2026年高考数学一轮复习：函数的概念（讲义）原卷版

专题2.1函数的概念(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1函数的概念】..................................................................................2

【题型2同一函数的判断】.............................................................................3

【题型3具体函数的定义域的求解】....................................................................4

【题型4抽象函数的定义域的求解】....................................................................4

【题型5函数值域的求解】.............................................................................5

【题型6已知函数定义域、值域求参数】................................................................5

【题型7已知函数类型求解析式】......................................................................6

【题型8己知/Ig(x))求解析式】.........................................................................6

【题型9分段函数及其应用】...........................................................................7

1、函数的概念

考点要求真题统计考情分析

函数的解析式与定义域、值域问题是高

(1)了解函数的含义，会求考数学的重要内容.从近几年的高考情

简单函数的定义域和值域2022年浙江卷：第14题，5况来看，高考对函数的概念考查相对稳

⑵会根据不同的需要选分定，考查内容、频率、题型、难度均变

择恰当的方法(图象法、列2023年北京卷：第11题，5化不大，函数的解析式在高考中较少单

表法、解析法)表示函数分独考查，多在解答题中出现.预计明年高

(3)了解简单的分段函数，2025年北京卷：第7题，4分考对本节的考查不会有大的变化，仍将

并会应用以分段函数、定义域、值域为主，主要

在选择题中考查.

知识梳理

知识点1函数的定义域、值域的求法

1.求给定解析式的函数定义域的方法

求给定解析式的函数的定义域，其实质就是以函数解析式中所含式子(运算)有意义为准则,列出不等式或不

等式组求解；对于实际问题，定义域应使实际问题有意义.

2.求抽象函数定义域的方法

(1)若已知函数,7U)的定义域为［4,句，则复合函数,/［以⑼的定义域可由不等式友(0求出.

⑵若已知函数的定义域为［*切，则/(x)的定义域为g(x)在上的值域.

3.求函数值域的一般方法

(1)分离常数法；

⑵反解法；

(3)配方法；

(4)不等式法；

(5)单调性法；

(6)换元法；

(7)数形结合法；

(8)导数法.

知识点2函数解析式的四种求法

1.函数解析式的四种求法

(I)配逡法：由已知条件./(g(Y)尸Rr),可将Rr)改写成关于g")的表达式，然后以丫替代g(r),便得人》)的表

达式.

(2)待定系数法:若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法来求解.

(3)换元法:己知复合函数人虱明的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围.

(4)方程思想:已知关于/(》)与/(：)或/(-X)等的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组,

通过解方程组求出大X).

知识点3分段函数的应用

1.分段函数的应用

分段函数问题往往需要进行分类讨论,根据分段函数在其定义域内每段的解析式不同，然后分别解决，即

分段函数问题，分段解决.

举一反三

【题型1函数的概念】

【例1】(2025•山东•模拟预测)下列图象中，能表示函数y=/(x)图象的是()

【变式1-1](24-25高一上•陕西・期末)下列图象中,可以表示函数的为()

【变式1-2]（2025高三・全国•专题练习）下列可以作为集合力到集合B的一个函数的是（）

A.A=R,B=[y\y>0],/:xy=VxB.A=R,B={y\y>0},/:x->y=|x|

C.A={x\x>0],B=R,f:xy2=xD.A=R,B=y=1

【变式1-3]（24-25而上•黑龙江大庆,期中）若函数y=/Q）的定义域为M="|-2£x£2},值域为N=

{y|0<y<2}，则函数y=f（x）的图象可能是（）

【题型2同一函数的判断】

【例2】（2025•江西九江•模拟预测）下列各组函数中，表示同一函数的是（)

A./(乃=^^，9W=x

B.f(x)=x,g(x)=

D./(x)=x,g。)=f

C.Z(x)=l,g(x)=

【变式2-1]（24-25高一下•河北俣定•阶段练习）下列各组函数表示同一函数的是（）

A.f(x)=l,g(x)=%。B.fM=朝蜩=（正尸

C.fW=x+Lg(x)=看D./(x)=旧,g(x)=(Vx)2

【变式2-2](24-25高一上・甘肃甘南•期末)下列四组函数：①=叱；②fM=^,g(x)=

(谭『；③/(X)=d一2%+l,gQ)=(£一1)2；@f(X)==(X+1)°；其中表示同一函数的是()

A.②④B.②③C.®®D.③④

【变式2-3](24-25高一上•江西赣州•开学考试)下列各组中的两个函数是同一个函数的是()

A.f(x)=：,g(x)=去2B.f(x)=|x|,g(x)={上；%、

x

[\/X)l匹“&U

c./(x)=1,9(%)=X°D./(x)=x2,g(x)=(x4-I)2

【题型3具体函数的定义域的求解】

【例3】(2025•湖南岳阳•模拟预测)函数y=«+的定义域是()

A.(0,1)B.10,1]C.[0,+8)D.{0,1}

【变式3-1】(2025•河北衡水•模拟预测)已知函数、=/(%)的定义域为[0,4],则函数丫=需+(工一2)°的

定义域是()

A.(1,5]B.(1,2)U(2,5)C.(1,2)U(2,3]D.(1,3]

【变式3-2](2025•海南•模拟预测)函数/(乃二江五+上的定义域为()

X—1

A.(-oo,l]B.(1,2]C.(-oo,2]D.(-oo,l)u(l,2]

【变式3-3](24-25高一下・浙江金华•阶段练习)函数/(%)="+J(x+4)(1-幻的定义域是()

A.(-8,-4]U[2,+8)B.(-4,0]U(0,1)

C.[-4,0)U(0,1]D.[-4,0)U(0,1)

【题型4抽象函数的定义域的求解】

【例4】(2025•江苏镇江•模拟预测)若函数y=/(2%)的定义域为[-2,4],则y=/(X)-f(r)的定义域为()

A.[-2,2]B.[-2,4]

C.[-4,4]D.[-8,8]

【变式4-1](24-25高二下•江苏无锡•阶段练习)已知函数/(%)的定义域为(一1,1),则函数g(x)=等的定

义域为()

A.(-1,1)B.{1}C.(1,3)D.(1,2)

【变式4-2](2025•江西九江•模拟预测)已知函数y=/(x)的定义域为则函数y=八2,一1)的定义

域为()

A.[0,3]B.[-3.3]C.[-V3,V3]D.[-3,0]

【变式4-3](24-25高一上•云南楚雄•期末)已知函数/(%)的定义域为(-1,2),则函数9(切=等的定义域

vx—1

为()

A.(-1,1)B.{1}C.(1,3)D.(-1,3)

【题型5函数值域的求解】

【例5】(2024•北京怀柔・模拟预测)已知函数/'(好二洗丁则对任意实数x,函数/Xx)的值域是()

A.(0,2)B.(0,2]C.[0,2)D.[0,2]

【变式5-1](24-25高一上•辽宁朝阳•期末)函数/a)=T-2Hf勺值域为()

【变式5-2](24-25高一上•北京•期中)下列函数中，值域为[0,4]的是()

A./(x)=x-l,无€{1,2,3,4,5}B.f(x)=-x2+4

C./(X)=V16-X2D./(x)=x+--2(x>0)

【变式5-3](2025・北京•高考真题)已知函数/(%)的定义域为。，则”/(%)的值域为R”是“对任意M€R,存

在看eD,使得|/(沏)|>M"的()

A.充分不必要条件R.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条

件

【题型6已知函数定义域、值域求参数】

【例6】(24・25高一上•江苏常州•期中)若函数/(幻=方悬右的定义域为R,则实数及的取值范围是()

A.(0,4)B.(0,4]C.[0,4)D.k<0或k>4

【变式(高一上•全国•课后作业)函数的定义域为，则实数的取值范围为()

6-1]25-26kxc^2kx+l।R2

A.(-oo,0)U(l,+oo)B.(-oo,0]u[l,+oo)C.(0,1)D.[0,1)

【变式6-2](24-25高一上•北京•阶段练习)已知函数/■(%)=|/-4"+3|在[血词上的值域为[0,1],则八一血

的取值范围是()

A.[1,2]B.[V2-1,2]C.[1,2何D.[V2-1,2\/2]

【变式6-3](24・25高一上•贵州毕节•期末)已知函数/(%)=,.2；二二的定义域是R，则a的取值范围

(a-l)x4+(a-l)x+2

是()

A.(L9)B.(1,8)C.[1,9)D.[1,8)

【题型7已知函数类型求解析式】

【例7X24-25高一上•福建福州•期中)若函数/(X)是二次函数,满足/(0)=2,f(x+2)-f(x)=4x,M/(x)=

()

A.xz+x+2B.xz-Zx+ZC.xz-x+2D.x2+Zx+2

【变式7-11(24-25高一上•天津•期中)已知函数/(©=kx+b为一次函数,且-2)=-1/(4)=3,则/(-1)=

()

A.3B.-3C.-7D.7

【变式7-2](23-24高一上•浙江嘉兴•阶段练习)已知函数fQ:)是一次函数，且/1/'(%)-2x]=3,则/•⑸=

()

A.11B.9C.7D.5

【变式7-3](24-25高一上•全国•课后作业)图象是以(1,3)为顶点且过原点的二次函数fG)的解析式为()

A./(%)=-3x2+6xB./(x)=-2x2+4x

C./(%)=3x2—6xD.f(x)=2x2—4x

【题型8已知加(x))求解析式】

【例8】(2025•重庆•模拟预测)已知函数;"(1一切=要(%予0),则八))=()

A.+一1('0°)B.小一1(户1)

C.小-1…D.吉-31)

【变式8-1](2025•辽宁沈阳•二模)已知/(%-l)=eX,则/(2)=()

A.eB.2eC.e2D.e3

【变式8-2](24-25高一上・湖南衡阳•期中)困数/(%)满足若f(g(x))=9x+3,g(x)=3x+l,则/(无)=

()

A.f(x)=3xB.f(x)=3

C.f(x)=27%+10D.f(x)=27x+12

【变式8-3](24-25高一上•浙江•期中)已知函数/(〃-2)=%-4«+5,则/'(%)的解析式为()

A.f(x)=x2+l(x>0)B.f(x)=x2+l(x>-2)

C./(x)=x2(x>0)D./(X)=x2(x>-2)

【题型9分段函数及其应用】

【例9】(2025・吉林长春•三模)已知函数/(%)={/(；：羡七0,则八一3)=()

A.1B.2C.4D.8

【变式9-1](2025•江西上饶一模)设/'(%)={累，若f(m)=f(m+1),则m=()

A.:B.；C.\D.-y

23916

【变式9-2](2025・江西•模拟预测)已知函数/'⑴满足/(x+l)=[掌，"")为偶数'若/⑴=3,则

(3f(x)+1,/(%)为奇数.

/(2024)=()

A.1B.4C.5D.2024

2X-1%<1

【变式9-3](2025•吉林•模拟预测)已知/•(%)=«'、/若/(Q)=l，则实数Q的值为()

~,x>1.

A.1B.4C.1或4D.2

过关测试

一、单选题

1.(2025•山东•一模)函数八>)一/x-1|一3的定义域是()

A.[4,+oo)B.(-co,-2]

C.[-2,4]D.(-8,-2]U[4,+8)

2.(2025•山西•模拟预测)已知/(/(%))=d一%+1,则f(i)=()

A.0B.1C.0或1D.2

3.(2025•北京东城•一模)下列函数中，定义域为(0,+8)的函数是()

A./(x)=\[xB./(x)=InxC.f(x)=2*D./(x)=tanx

4.(2025・湖北黄冈•二模)已知函数/"(划:好的定义域AGR,值域8={9},则满足条件的/①)有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

5.(2025•江西萍乡•三模)已知定义在R上的函数f(%)满足对于任意实数均有/'(xy)=y/(x),且2/(2)=

/(1)+6,则/(2025)=()

A.675B.1350C.2025D.4050

6.(2024•江西•模拟预测)已知对任意的x,yGR,都有/■(欠+y+/(X))=6x+2y+3,则一次函数y=f(x)

的解析式为()

A.y=x+1B.y=2x

C.y=2x+lD.y=x

7.(2024•贵州铜仁•模拟预测)已知函数/'(%)的定义域为[0,3].记/lx)的定义域为集合1)的定义域

为集合8.则“无G4”是七E8”的()

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

8.(2025•云南红河•三模)定义在R上的函数y=/(%)满足:VxGR都有/(%4-1)-/(%)<%,<(%+2)-/(%)>

2x4-1,且f(l)=1,则/(10)=()

A.45B.46C.91D.92

二、多选题

9.(2024•湖南益阳•模拟预测)下列命题中，正确的是()

1,当%>0时

0,当％=0时表示同一函数

(-1,当xV0时

B.函数贝%)=%2-2%+2与〃(t)=t2-2t4-2是同一函数

C.函数y=f(x)的图象与直线x=2024的图象至多有一个交点

D.函数/•(%)=|%—1|一刈则/■(/■《))=0

10.(2025•新疆喀什,模拟预测)已知函数/(%)=青，则()

A./(x)+/(-%)=0B./(%)<2

C./W+/"(1)=2D./⑶+/(2)+/⑴+/•(9+/6)=5

11.(2025・全国•模拟预测)已知定义域为R