2026年高考数学一轮复习：函数模型及其应用（讲义）解析版

专题2.8函数模型及其应用（举一反三讲义）

【全国通用】

题型归纳

【题型1利用函数图象刻画实际问题的变化过程】......................................................2

【题型2利用给定函数模型解决实际问题】.............................................................5

【题型3二次函数模型的应用】.........................................................................8

【题型4分段函数模型的应用】........................................................................1（）

【题型5幕函数模型的应用】..........................................................................12

【题型6指数、对数函数模型的应用】.................................................................14

【题型7函数模型的选择问题】........................................................................16

1、函数模型及其应用

考点要求真题统计考情分析

（1）了解指数函数、对数函

数与一次函数增长速度的

差异2020年新高考全国1卷：第6函数模型是高考数学的重要内容之

（2）理解“指数爆炸”“对数题，5分一，从近几年的高考形势来看，高考对

增长”“直线上升”等术语2020年全国【II卷：第4题，5函数模型的考查相对稳定，主要考察指、

的含义分对数函数模型问题，般以选择题的形

⑶会选择合适的函数模2024年北京卷：第7题，5分式出现，难度不大；学生在复习中要加

型刻画现实问题的变化规2025年北京卷：第9题，5分强对建模能力和应用能力的培养.

律，了解函数模型在社会

生活中的广泛应用

知识梳理

知识点1几种常见的函数模型

1.一次函数模型

一次函数模型:Jlx）=kx+b（k,b为常数，原0）.

一次函数是常见的一种函数模型，在初中就已接触过.

2.二次函数模型

二次函数模型:.危）=4/+bx+e（a,h,c为常数，〃和）.

二次函数为生活中常见的一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故最优、最省等最值问题常

用到二次函数模型.

3.塞函数模型

备函数模型应用的求解策略

(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，确定函数关系式.

(2)根据题意，直接列出相应的函数关系式.

4.指数函数模型

指数函数模型:/。)=儿'+。36«为常数，A0,且存1,工0).

5.对数函数模型

对数函数模型：/(x)=blog/+c(a,b,c为常数,a>0,且如1,厚0).

6.分段函数模型

由于分段函数在不同区间上具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化前后的实际问题中具有广泛

的应用.

7.“对勾”函数模型

对勾函数模型是常考的模型，要牢记此类函数的性质，尤其是单调性沙=。什?(。>0力>0),当x>0时，在(0,4]

上递减，在(4,+8)上递增.另外，还要注意换元法的运用.

知识点2判断函数图象与实际问题变化过程

1.判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法

C)构建函数模型法:当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不

符合实际的情况，选出符合实际的情况.

知识点3实际问题中函数建模的基本步骤

1.构造函数模型解决实际问题的基本步臊

⑴审题:弄清题意，分清条件和结论，理清数量关系，初步选择模型.

(2)建模：将自然语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型.

⑶求解:根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特征正确求得函数模型的解.

(4)还原：应用问题不是单纯的数学问题，既要符合数学学科背景又要符合实际背景，因此解出的结果要代

入原问题中进行检验、评判，最后得出结论，作出回答.

举一反三

【题型1利用函数图象刻画实际问题的变化过程】

【例1】(24-25高二下•北京大兴•阶段练习)水以恒速注入下图所示容器中，则水的高度九与时间t的函数关

系是()

h

【答案】A

【解题思路】考查容器的形状来确定水的高度的变换规律，选择图形即可.

【解答过程】容器由下到上口径越来越大，水以恒速注入，则容器中水的高度增加的速度逐渐变慢，A符合;

B选项容器中水的高度增加的速度逐渐变快；

C选项容器中水的高度是匀速增加；

D选项容器中水的高度增加的速度先增加较慢，后增加较快.

故选：A.

【变式1-1](24-25高一上•云南红河期中)某企业员工小李的住处与他的办公室相距am,某天下班后，小

李发现有份重要材料丢在办公室，于是他从住处出发，先匀速跑步3min来到办公室，停留2min,然后匀速

步行lOmin返回住处.在这个过程中，小李行进的速度u(t)和行走的路程s(t)都是时间£的函数，则速度函数

和路程函数的示意图分别是下面四个图象中的()

a

32a

a

To

~O35\5~^tO35IT?

①②

③④

A.①④B.②③C.@@D.③②

【答案】A

【解题思路】设行进的速度为vm/min,行走的路程为sm,得山u关于t的函数，s关于，的函数解析式，即可

判断函数图象.

（l，0<t<3,

【解答过程】设行进的速度为um/min,行走的路程为sm,则u=10,3<t<5,

舟5<鹏15,

?,0<t<3,

a,3<t<5,,

（a+QVY15,

由速度函数及路程函数的解析式可知，

其图象分别为①④.

故选：A.

【变式1-2]（24-25高一上•全国•课后作业）48两车分别从甲乙两市同时出发，A从甲市驶向乙市，8从乙

市驶向甲市，两车同时出发并匀速行驶，两车之间距离y（单位：km）与行驶时间工（单位：h；的关系如下

图，己知力的速度大于8的速度，则下列说法中错误的是（）

A.甲市与乙市之间的距离为dkm

B.两车在出发后ah相遇

C.点M表示8在出发后bh时到达了甲市

D.点N表示在出发后ch时两车都到达了目的地

【答案】C

【解题思路】根据给定的函数图象分析各项描述的正误.

【解答过程】由图知，两车开始出发时的距离就是两市之间的距离，A正确:

当％=a时，y=0,所以两车在出发后ah相遇，B正确；

由于A的速度大于8的速度，所以力比8先到达目的地，

所以在点M处即A在出发后师时到达了乙市，

之后在点N处即8在出发后ch时到达了甲市，C错误，D正确.

故选：C.

【变式1-3］（24-25高二下•山东滨州•期末）如图，等腰梯形力4C。的上底8=1,下底/4=3,高为1.记

等腰梯形力88位于直线x=*0WK3）左侧的图形的面积为/（/）,则/⑺随/变化时的图象大致是（）

【解题思路】根据面积公式得出每段的函数解析式，进而得出答案.

【解答过程】当时，/（。=）2,是过原点，且开口向上的抛物线的一部分，故排除D；

当1VCW2时，/（t）=l+（t-l）xl=t-1,为单调递增的一次函数的一部分，故排除BC：

当2<tW3时，/（。=,+任智厘=二年0,是开口向下的抛物线的一部分；

故选：A.

【题型2利用给定函数模型解决实际问题】

【例2】（2025・北京•高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间丁二

klogzN（单位：h）,其中左为常数.在此条件下，已知训练数据量N从106个单位增加到1.024x109个单

位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从1.024x109个单位增加到4.096X1（）9个单位时，训练时间增

加（）

A.2hB.4hC.20hD.40h

【答案】B

【解题思路】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对■数的运算性质即可求解.

【解答过程】设当N取106个单位、1.024X109个单位、4.096x109个单位时所需时间分别为T],。，/，

6

由题意,Tj=Zclog210=6fclog210,

9106

T2=/clog2(1.024x10)=/clog2(2x10)=k(10+6log210),

9126

T3=/clog2(4.096x10)=/clog2(2xIO)=k(12+6log210),

因为72—r1=/c(10+61og210)-6/clog210=10k=20,所以k=2,

所以q-T2=k(12+61og210)-fc(10+61og210)=2k=4,

所以当训练数据量N从1.024x1。9个单位增加到4.096X1()9个单位时，训练时间增加4小时.

故选：B.

【变式2-1】(2025•北京•三模)香农定理作为通信理论的基石，在现代通信中有着广泛的应用，它给出了信

道容量和信噪比及信道带宽的关系，即。=皿1。82(1+*)其中。是信道容量，单位bps；W为信道带宽，单

位Hz；京代表接收信号的信噪比，为无量纲单位.军事战术电台采用跳频扩频(FHSS)技术，通过每秒切换

数千次频率将信道带宽由5MHz扩展至100MHz,为了将敌方干扰效率降低90%以上，需将信道容量由

17.3Mbps提高至593Mbps,依据杳农定理，则大约需将信号的信噪比提升至原来的()倍.(参考数据：2146«

11,2593«60.97)

A.5B.6C.7D.8

【答案】B

【解题思路】依据香农定理，结合题中数据代入计算即可.

【解答过程】设原始状态信道容量为G，提升后信道容量为C2，

由题意可得的=Wilog2(+?),即17.3=5k)g2(l+给,解得/410,

同理g="21og2(l+勃，即593=1001og2(l+粉，解畸*60,

所以大约需将信号的信噪比提升至原来的6倍.

故选：B.

【变式2-2](2025•福建莆田•模拟预测)点声源亦称“球面声源”或喻单声源”.已知点声源在空间中传播时，

衰减量AL(单位：dB)与传播距离r(单位：m)的关系式为刈=10•lg5r2)+忆其中位为常数.当传播距

离为「I时，衰减量为AN；当传播范离为七时，衰减量为AL2.若丁2=2丁],则△殳一AL1约为()(参考数

据：lg2x0.3)

A.6dBB.4dBC.3dBD.2dB

【答案】A

【解题思路】利用函数值作差，再进行对数运算，即可求出近似谊.

222-r2

【解答过程】由一必=10-lg（nr2）+/c-[10-lg（nri）4-/c]=10♦[lg（nr2）lg（^i）]=101g吗,

iir—

因为上=2rv所以AL2-AL】=101g篝=10lg4=20lg2«6,

故选:A.

【变式2-3]（2025•北京海淀•二模）中华人民共和国国家标准（G511533-2011）中的《标准对数视力表》采

用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：L=5-lg蓝，其中，L为被测试眼睛的视力值，d为该眼睛能分

辨清楚的最低一行“E”形视标的笔划宽度（单位：亳米），。为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所

示，k是与d,D无关的常量.图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米

处进行检测，能分辨的最低•行视标为图2中虚线框部分.因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行

检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明

右眼的实际视力值最接近的为（）（参考数据：lg2ao.30,lg3ao.48）

IU3UJmE4.7

3mE3UJm4.8

UJ3EmEmuj4.9

图1图2部分标准视力表示意图

A.4.5B,4.6C.4.8D.5.0

【答案】C

【解题思路】根据已知视力值求出1g号的值，再根据小明距离3米，求出其实际视力值.

【解答过程】已知当L=5.0,D=5时，代入L=5-lg器，解得kd=5.

小明在距离该视力表3米处进行检测，即0-3,代入求解乙一5-坨泰

因为题中参考数据已知lg2》0.30,1^3«0.48；

所以lg|二）g5-lg3=Igy-lg3=IglO-lg2-lg3*1-0.30-0.48=0.22,

所以L=5—lg|々5—0.22=4.78.

故选：C.

【题型3二次函数模型的应用】

【例3】（2025高三・全国•专题练习）某新能源汽车公司设计充电桩布局，要求每个充电区的长度为a米，宽

度为6米.根据城市规划要求，Q+b=12米，且充电桩间隔距离需满足aN3b.为使充电区有效面积最大，

应选择的尺寸是（）

A.Q=9米，b=3米

B.Q=8米，匕=4米

C.Q=10米，b=2米

D.a=7.5米，匕=4.5米

【答案】A

【解题思路】由题可得面积表达式。然后根据题意及二次函数单调性可得答案.

【解答过程】建立面积函数S=ah,通过消元法转化为S=a（12-a）,结合附加条件a23（12-a）,得a€

［9,12）.注意到函数y=a（12-a）=-（a-6）2+36在［9,12）上单调递减，则当a=9,b=3时取最大值.

故选：A.

【变式3-1］（24-25高三上•全国•课前预习）小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y=-0.2%2+3.5

的一部分（如图所示），若命中篮环中心，则他与篮底的距离/是（）

C.4.5mD.4.6m

【答案】B

【解题思路】根据二次函数的性质，代入求解即可.

【解答过程】篮环的纵坐标为3.05,令y=-0.2/+3.5=3.05,得小=1.5,x2=-1.5（舍去）.

t=2.5+1,5=4（m）.

故选：B.

【变式3-2］（24-25高一上•江苏无锡期末）已知汽车从踩刹车到停车所滑行的距离L（单位：m）与速度"

(单位：km/h)之间有如下关系式：L=kM-/,其中k是比例系数，且k>O,M是汽车质量(单位：t).

若某辆卡车不装货物(司机体重忽略不计)以36km/h的速度行驶时，从踩刹车到停车需要走20m.当这辆

卡车装着等于车重的货物行驶时，为保证安全，要在发现前面20m处有障碍物时能在离障碍物5m以外处

停车，则最高速度应低于(假定司机发现障碍物到踩刹车需要经过1s)()

A.16B.18C.24D.27

【答案】B

【解题思路】设卡车本身的质量为M(t),速度为u(km/h),刹车滑行距离为L(m),依题意可得

20=/c-M-362,卡车司机发现障碍物到踩刹车需要经过1s,可得"+k-2M・/<20—5,解不等式可得

18

答案.

【解答过程】设卡车本身的质量为M(t),速度为v(km/h),刹车滑行距离为L(m),依题意可得L=k•M•/,

将1=20,矛=36代入可得:20=fc•M-362=k•M=果.

又々车司机发现障碍物到踩刹车需要经过1s,

这1s内卡车行驶的路程为：镖二荒(m).

ooUUlo

由黄+小2时・卢<20—5=^+2乂舅22<15=七・1；2+9-3<0,

181836’lo18

所以O+36)(〃-18)<0=>-36<v<18.

根据速度的意义，所以0V/V18.

所以卡车行驶的速度应低于18km/h.

故选：B.

【变式3-3](24-25高一上•河南•阶段练习)如图，动物园要靠墙(足够长)建造两间相邻的长方形禽舍,

不靠墙的面以及两间禽舍之间要修建围墙，已有材料可供建成围墙的总长度为36米，若设禽舍宽为工米,

则当所建造的禽舍总面积最大时，%的值是()

A.3B.4C.5D.6

【答案】D

【解题思路】根据题意，用工表示禽舍的总长，从而得到禽舍的面积关于%的表达式，利用配方法即可得解.

【解答过程】由题意，若把材料全部用完，则禽舍的总长为(36-3x)m,0<x<10,

设所建造的禽舍总面积为ym2,

则）'=（36—3x）•x=-3x2+36x=-3（x—6）2+108,

所以当所建造的禽舍总面积最大时，》的值6.

故选：D.

【题型4分段函数模型的应用】

【例4】（2025•湖北•一模）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可获得的总利润s（单位:

百万元）与新设备运行的时间t（单位：年，£WND满足s=『2f十个^一色,，々?，当新设备生产的产

品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间t=（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】B

【解题思路】由已知可得y=2=，十当8和1之8时分别求得最大值，即可求解.

fI-t2+10t-2,t>8

98

【解答过程】由题意，新设备生产的产品可获得的年平均利润y=三二-2亡-7+，°，'<8,

—+lot—2,£N8

当tv8时，2t+y>28,当且仅当£=7时，等号成立，

则-2"手+50<22,

所以当£=7时，：取得最大值，且最大值为22,

当t28时，一产+10£-2=一（£-5）2+23,

所以函数在［8,+8）上单调递减，

所以当t=8时，三取得最大值，且最大值为14,

t

故当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间C=7.

故选：B.

【变式4-1］（24-25高三上•山东聊城•阶段练习）某公司引进新的生产设备投入生产，新设备生产的产品可

获得的总利涧s（单位：百万元）与新设备运行的时间£（单位：年，亡£V）满足5=｛二］；需二；:；鼠，

当新设备生产的产品可获得的年平均利润最大时，新设备运行的时间£=（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【解题思路】设年平均利润为小，表示出W，再结合基本不等式及二次函数的性质求出各段的最大值，即可

得解.

【解答过程】依题意，设年平均利润为W,则勿二三二一2£+5°-彳"<8（££N*）,

'（-t2+10t-2,t>8

当tV8时W=-2t+50-y=50-（2t+y）<50-2=22,

当且仅当2t=?,即t=7时取等号；

当£工8时卬=一亡2+101-2=-（t-5）2+23,则当t=8时〃取得最大值且Wmax=14，

乂22>14,所以当t=7时年平均利润W取得最大值.

故选:C.

【变式4-2】（2025•内蒙古呼和浩特•二模）如图，梯形。力BC是上底为近，下底为3企，高为&的等腰梯形,

记梯形0ABe位于直线x=t（t>0）左侧的阴影部分的面积为/⑴，则y=/Q）的大致图象是（）

【解题思路】写出y=f«）的表达式，再根据分段函数性质选出图象即可.

【解答过程】根据题意可知在梯形048。中，乙10C=乙OCB=45。：

当0VCW四时，阴影部分为等腰直角三角形，其面积为/（£）=!/；

当鱼<£<2近时，阴影部分为等腰直角三角形加上一个矩形，

其面积为/Q）=1x（V2）2+V2（t-V2）=V2t-1；

当2四时，阴影部分面积为整个梯形面积减去右侧空白部分表面积,

即/Q）=1（V2+3V2）xV2-|（3V2-t）2=-1t2+3V2t-5；

'|t2,0<t<V2

所以可得/«）=,V2t-l,V2<t<2V2;

一*+3V2t-5,2鱼<t<3V2

2

根据函数类型对比图象可得A正确.

故选：A.

【变式4-3]（24-25高二下•北京朝阳・期末）某研究所开发一种新药，据监测，一次性服药t（0WtW12）小

时后每亳升血液中的含药量y（亳克）与时间£（小时）之间近似满足图中所示的曲线关系.据测定，每亳升

血液中含药量不少于4亳克时治疗疾病有效，则12小时内药物在体内对治疗疾病•直有效所持续的时长为

【解题思路】首先求出函数解析式，再令yZ4求出相应的t的取值范围，即可得解.

【解答过程】当04£W3时，则）;=会=2£,

当3<£工12时，设函数为y=kt+b,

2

将（3,6）,（12,0）代入可得｛:二彗;[，解得所以丁=一3+8，

一（2t,0<t<3

所以y=t+8,3VtW12'

要使yN4,则或卜？+8?4,解得2WtW3或3vtW6,

10-f-3I3<t<12

综上所述：2$CS：6,

所以有效所持续的时长为6-2=4个小时.

故选：A.

【题型5幕函数模型的应用】

【例5】（2025•四川泸州•模拟预测）2020年底，国务院扶贫办确定的贫困县全部脱贫摘帽，脱贫攻坚取得

重大胜利！为进一步巩固脱贫攻坚成果，持续实施乡村振兴战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活

动.该企业2021年初有资金150万元，资金的年平均增长率固定，每三年政府将补贴10万元.若要实现

2024年初的资金达到270万元的目标，资金的年平均增长率应为(参考值：%瓦41.22,VI/*1.2)()

A.10%B.20%C.22%D.32%

【答案】B

【解题思路】设年平均增长率为均依题意列方程求x即可.

【解答过程】由题意，设年平均增长率为％，则15O(l+x)3+io=270,

所以x二溜一1。1.2-1=0.2,故年平均增长率为20%.

故选：B.

【变式5-1](24-25高一上•湖北荆州•期中)为响应国家退耕还林的号召，某地的耕地面积在最近5()年内减

少了20%,如果按照此规律，设2024年的耕地面积为〃?，则2029年的耕地面积为()

A.(1-0.2250)mB.(1-0.8^)m

C.0.8250mD.0.编m

【答案】D

【解题思路】设某地的耕地面积每年减少居依题列出方程(1-x)50=1-20%,再进行整体代入m(l-x)5,

即得2029年的耕地面积.

【解答过程】设某地的耕地面积每年减少x,因在最近50年内减少了20%,则有(1-％)5。=1-20%,

故Q—x)5=0.810,

由题意,2029年的耕地面积为即0.8■m.

故选：D.

【变式5-2】(2025•广西•模拟预测)异速牛.长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通

常以幕函数形式表示.比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重力满足y=kx与其中k和a为正常数，该类动

物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍,

则a为()

A.-B.-C.-D.-

4234

【答案】D

【解题思路】初始状态设为(右,乃)，变化后为。2，%)，根据修,％2,力/2的关系代入后可求解.

【解答过程】设初始状态为(必,％),则乃=16打,y2=8yt,

a

又力=kx《,y2=kxf,即8yl=/c（16x1）=k-16a瑞,

4a3

8y1=M624>16a=8,2=2,=3,a=-.

yikxf4

故选：D.

【变式5-3]（24-25高一上•青海西宁・期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需

要对文件加密，有一种加密密钥密码系统（PrivateKeyCryptosystem）,其加密、解密原理为：发送方由明文

一密文（加密），接收力由密文一明文.现在加密密钥为y=k/,如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受

方接到密文“与”，则解密后得到的明文是（）

A.-B.-C.2D.-

248

【答案】A

【解题思路】根据题意中给出的解密密钥为y=kx3,利用其加密、解密原理，

求出A：的值，解方程即可求解.

【解答过程】由题可知加密密钥为v=kx\

由已知可得，当％=4时，y=2,

所以2=kx43,解得k=g=5，

4’32

故》,=如3,显然令=表,即费=专包,

解得炉=[g|Jx=

oL

故选：A.

【题型6指数、对数函数模型的应用】

【例6】（2025•甘肃平凉・模拟预测）我们曾学习过碳14的半衰期约为5730年（即碳14大约每过5730年衰

减为原来的一半），即经过t年后，碳14的含量N=No6产（A。为碳14的初始含量，k为常数），则碳14

含量由原来的80%衰减为60%大约需要经过（）

（参考数据：ln2=0.7,1113^1.1）

A.2292年B.2456年C.2674年D.2838年

【答案】B

【解题思路】利用半衰期的意义求出k,再利用给定的模型列出方程组，结合对数运算求解即得.

【解答过程】依题意，当"5730时，N=〈No,即：=（炉73%解得攵=焉，

设经过£1年碳14含量衰减为原来口勺80%,经过以年碳14含量衰减为原来的60%,

（（工）品=80%=57301ogi0.8

则［I）急=6。％’即1=573隔0.6，所以「「573。叫。.6-573。㈣。.8

=57301ogi^=57301og2g=5730（log24-log23）=5730（2-给、5730（2-y）«2456.

故选：B.

【变式6-1】（2025•广东广州•二模）声强级匕（单位：dB）由公式101g（森）给出，其中，为声强（单

位：W/m2）.轻柔音乐的声强一般在10"〜i（）-6w/m2之间，则轻柔音乐的声强级范围是（）

A.0~20dBB.20〜40dB

C.40〜60dBD.60~80dB

【答案】C

［解撅思路】依题意可得10-8V/V10-6,即可求出也击的范围，从而得解.

【解答过程】依题意可得10-8W/W10-6,所以1044薪4106,所以4wig薪工6,

所以40<101g盛工60,即轻柔音乐的声强级范围是40〜60dB.

故选：C.

【变式6-2］（2025•广东汕头•模拟预测）某食品保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：。0满足函

数关系y=ekx+b（k.b为常数）若该食品在OY的保鲜时间是168小时.在2（TC的保鲜时间是42小时，则

该食品在30久的保鲜时间是（）

A.21小时B.22小时C.23小时D.24小时

【答案】A

【解题思路】根据已知条件，结合指数函数的公式，即可求解.

【解答过程】当x=0时，eb=168,当x=20时，e20fe+fo=42,

所以e2M=^=+

16842

当％=30时，e30k+b=(e10*)3.(e")=(g)x168=21.

故选：A.

【变式6-3】（2025•贵州六盘水•一模）20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是

使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说

的里氏震级M，其计算公式为M=电4Ig%其中A是被测地震的最大振幅，4是“标准地震”的振幅（使用

标准地震振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）.假设在一次地震中，一个距离震中10（）

千米的测震仪记录的地震最大振幅是50,此时标准地震的振幅是0.002,则这次地震的震级为（）（精确

到0.1,参考数据：馆2=0.3）

A.4.4B.4.7C.5D.5.4

【答案】A

【解题思路】直接利用题目中给出的公式和对数的运算性质求解即可得出结果.

【解答过程】根据题意可知这次地震的震级为：

M=lg50-lg0.002=1g赢=lg25000=1g苧=5-21g2«5-0.6=4.4：

因此可知这次地震的震级为4.4级.

故选：A.

【题型7函数模型的选择问题】

【例7】（2025•宁夏吴忠・模拟预测）从甲地到乙地的距离约为240km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗

油量Q（单位：L）与速度〃（单位：km/h）（0<v<120）的二列数据：

V0406080120

Q().0006.6678.12510.00020.000

为描述汽车每小时耗油量与速度的关系，则下列四个函数模型中，最符合实际情况的函数模型是（）

A.Q=0.5p+aB.Q=av+b

32

C.Q=av+bv+cvD.Q=k\ogav+b

【答案】C

【解题思路】作出散点图，根据单调性和定义域即可得解.

【解答过程】作出散点图，由图可知函数模型满足：第一，定义域为［0,120］；第二，在定义域单调递增且单

位增长率变快：第三，函数图象过原点.

A选项：函数Q=0.5U+Q在定义域内单调递减，故A错误；

B选项：函数Q=ai;+b的单位增长率恒定不变，故B错误；

C选项：Q=a/+6廿+s满足上述三点，故C正确；

D选项：函数Q=kloga"+b在u=0处无意义，D错误.

故选：C.

O

20406080100120140160x

【变式7-1](24-25高一上•全国•课后作业)2019年以来，我国国内非洲猪瘟疫情严重，引发猪肉价格上涨.因

此，国家为保民生，采取宏观调控，对猪肉价格进行有效的控制.通过市场调查，得到猪肉价格在8〜11

月的市场平均价/'(X)(单位：元/斤)与时间x(单位：月)的数据如下：

X891011

28.0033.9936.0034.02

现有三种函数模型：fM=bx+a,fM=ax2+bx+c；f(幻=(J、+a,找出你认为最适合的函数模型,

并估计2019年12月份的猪肉市场平均价为()

A.28元/斤B.25元/斤

C.23元/斤D.21元/斤

【答案】A

【解题思路】根据函数的单调性进行选择，并由此进行估计.

【解答过程】第二组数据近似为(934),第四组数据近似为(11,34),

根据四组数据(8,28),(9,34),(10,36),(11,34),

可得/(%)的图象先增后减，而八%)=bx+a和/(如=6)'+Q都是单调函数，

故不符合要求，所以选/'(%)=ax2+bx+c.

由第二组数据(9,34)和第四组数据(11,34),

可得/O)的图象关于直线％=10对称，故％=12时，/(12)=/(8)=28.

故选：A.

【变式7-2](24-25高一上•广东深圳•期末)近年来，我国自主研发芯片的市场需求增长迅速.某公司自2020

年起，每年统计其芯片的年销售数品•.将2020年记为第0年，统计数据如下表所示：

年份20202021202220232024

时间(£)/年01234

年销售数量(Q)/万片100150225337.5506.25

(1)在平面直角坐标系中，以t为横轴，Q为纵轴，根据表格中的数据画出散点图；

纣

700

600

500

400

300

200

100

O1234567

(2)为了描述年销售数量Q与时间t的关系，现有以下三种数学模型供选择：

c

①Q=at+b②Q=ka®Q=k\ogat4-b

(i)根据数据特点，选出最合适的函数模型，说明理由，并求出相应的函数解析式;

(ii：根据⑴中所选模型，预测该公司芯片的年销售数量在哪一年会首次超过2000万片？(参考数据：lg2

0.301,lg3x0.477)

【答案】(1)答案见解析

(2)(i)选择函数模型Q=k出合适，理由见解析，Q=100-C)’；

(ii)2028年

【解题思路】3)根据表格作出散点图即可；

(2)(i)根据散点图结合三种函数的增长速度即可得出结论，再将点代入所选模型即可得解;

(ii：根据Q>2000,结合对数的运算性质即可得解.

【解答过程】(1)

。个

O1

(2)(i)由散点图可知，年销售数量呈指数型增长,

故选择函数模型Q=k相合适;

将(0,100),(1,150)分别代入Q=kQt,

得［k=100(k=100

,解得

1100a=150

所以Q=100(I)；

当£=2时,Q=225；当t=3时,Q=337.5；当C=4时，Q=506.25,

所以Q=100.（1）’：

（ii；令100•（9>2000,则©>20,

则£>log320=衅=蛆皿X°3。1+1X

J飞尾Ig3-lg20.477-0.301

所以预测该公司芯片的年销售数量在2028年会首次超过2000万片.

【变式7-3]（24-25高一上•重庆•阶段练习）某电视台旗下的电商平台一“家乡好物商城”依托广播、电视与

互联网平台优势，主:要销售本地制造的优质产品及该地对口支援、帮扶地区的农特产品，打通新疆、广西、

云南、贵州等地区农特产品的产销对接渠道.近一个月来，“贵州黄牛肉”、“广西小砂糖橘”、“云南野苹果”等

农特产品在当地热销，通过对过去的一个月（以30天计）的“广西小砂糖橘”的销售情况的调查发现:每千克

的销售价格PQ）（单位:元/千克）关于第x天（1<x<30,x€的函数关系近似满足P（x）=10+：.日销售

量QQ）（单位:千克）关于第％天的部分数据如下表所示：

X914182229

52

QW54596359

（1）给出以下四种函数模型:①Q（x）=ax+b；②Q（x）=a|x-+b；③Q（x）=a，+b；@Q（x）=b\ogax.

请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型（简要说明理由）来描述日销售量QQ）关

于第X天的变化关系，并求出该函数的解析式：

（2）设该工艺品的H销售收入为函数y=/（幻（单位:兀）：求困数/Q）的最小值.

【答案】（1）（2（无）=。|%一刈+力比较合适，（?（%）=-|x-18|+63

（2）512元

【解题思路】（1）根据所给函数的单调性与QQ）的单调性进行判断选择即可；

（2）根据基本不等式、函数单调性的性质求解即可.

【解答过程】（1）由函数y=ax+b、y=ax+b,y=blog。”的解析式可知：这三个函数的单调性要么在定

义域内递增，要么递减，要么是常值函数，不会出现在定义域内即有单调递减又有递增的情况，而函数y=

a|x-7川+b在aV0时，在(—8,m)时是单调递增，在(m,+8)上单调递减，

由列表可知：QQ)的单调性是先增后减，因此Q(x)=a|x-m|+b合适，

把(14,59),(18,63),(22,59)代入,

m|14-m\+b=59fm=18

得卜118—?n|+b=63,所以］a=—1,所以Q(x)二——18|+63,

U|22-m|+b=59lb=63

显然(9,54),(29,52)也满足函数的解析式，

所以QG)=-|x-18|+63；

(2)f(x)=P(x)Q(x)=(10+^)(-\x-18|+63),

当IM%W18,♦时,

f(x)=(10+，(%+45)=lOx+452+^>452+2JlOx-y=512,

当且仅当10x=任时取等号，即当x=3时，取等号，此时最小值为512,

X

当18<工430,xeN*时，

f(x)=(10+(-X+81)=-10x+808+詈，

此时函数/(%)单调递减，当x=30时函数值最小，最小值为513.4,

综上所述：函数的最小值为512元.

过关测试

一、单选题

1.(24-25高一上•安徽安庆・期末)从甲地到乙地的距离约为240km,经多次实验得到一辆汽车每小时耗

油Q(单位：L)与速度u(单位：km/h)(0工〃工120)的下列数据：

V0406080120

Q().00()6.6678.12510.00020.000

为了描述汽车每小时耗油量与速度的关系，下列四个模型中你认为最符合实际的函数模型是：()

A.Q=—4-bB.Q-av34-bv2+cv

C.Q=0.5"+aD.Q=k\oguv+b

【答案】B

【解题思路】分析表中数据根据单调性和定义域即可判断出最符合实际的函数模型.

【解答过程】由图表中数据可知函数模型满足：第一，定义域为［0,120］；第二，在定义域单调递增且单位增

长率变快；第三，函数图象过原点.

函数Q=.+b和Q=0.5「+a在定义域内单调递减，不符合条件，故AC错误；

函数Q=kloga〃+b中0不在函数的定义域中，故D错误；

B选项：Q=Q/+b俨+cu满足上述三点，故B正确.

故选:B.

2.（2025・甘肃天水•三模）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严

重影响生活的问题.经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率/（单位：心跳次数・minT）与体重力（单位：Kg）

的g次方成反比.若力、8为两个睡眠中的恒温动物，力的体重为2Kg、脉搏率为21（）次・minT,8的脉搏

率是70次-minT,则B的体重为（）

A.6KgB.8KgC.18KgD.54Kg

【答案】D

【解题思路】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得.

【解答过程】依题意，设/=。（人0）,由w=2j=210,得A=21OX2，,则/二半巴

IV3IV3

当/=70时，前=强竺=3X2，,所以W=54.

故选：D.

3.（2025•内蒙古赤峰•一模）在下列四个图形中，点。从点O出发，按逆时针方向沿周长为1的图形运动

一周，。、。两点连线的距离y与点。走过的路程x的函数关系如图，那么点尸所走的图形是（）