2026年高考数学一轮复习：空间直线、平面的垂直（讲义）原卷版

专题7.4空间直线、平面的垂直(举一反三讲义)

【全国通用】

题型归纳

【题型1垂直关系的有关命题的判断】..................................................................5

【题型2证明线线垂直】................................................................................5

【题型3线面垂直的判定】.............................................................................7

【题型4线面垂直的性质定理的应用】..................................................................8

【题型5面面垂直的判定】.............................................................................1()

【题型6面面垂直的性质定理的应用】.................................................................12

【题型7平行、垂直关系的综合应用】.................................................................14

【题型8垂直关系的探索性问题】......................................................................16

1、空间直线、平面的垂直

考点要求真题统计考情分析

空间直线、平面的垂直是高考的重

点、热点内容.从近几年的高考情况来

2023年新高考H卷:第20题，

看，主要分三方面进行考查，一是空间

12分

中线面垂直关系的命题的真假判断，常

(1)理解空间中直线与直线、直2024年新高考H卷:第17题，

以选择题、填空题的形式考查，难度较

线与平面、平面与平面的垂直15分

易；二是空间线线、线面、面面垂直的

关系2025年全国一卷：第9题，6

证明以及垂直关系的转化，一般以解答

(2)掌握直线与平面、平面与平分、第17题，15分

题的第一小问的形式考查，难度中等；

面垂直的判定与性质，并会简2025年北京卷：第14题，5

三是线面平行、垂直关系的存在性问题，

单应用分

难度中等；解题时要灵活运用直线、平

2025年天津卷：第17题，15

面的垂直的判定与性质，复习备考时要

分

强化定理条件的严谨性，避免忽略定理

核心条件导致失误.

知识梳理

知识点1线面垂直的判定定理和性质定理

1.直线与平面垂直

⑴定义

如果直线/与平面a内的任意一条直线都垂直，我们就说直线/与平面a互相垂直，记作/J_a.直线/叫做平面

a的垂线，平面a叫做直线/的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点户叫做垂足.

⑵点到里面的距离

过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，在线段的长度

叫做这个点到该平面的距离.

2.直线与平面垂直的判定定理

(1)自然语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.

(2)图形语言：如图所示.

(3)符号语言：aUa,bUa,aC\b=P,I-La,/_L8=/_La.

该定理可简记为“若线线垂直，则线面垂直”.

3.直线与平面垂直的性质定理

(1)直线与平面垂直的性质定理

①自然语言：垂直于同•个平面的两条直线平行.

②图形语言：如图所示.

(2)性质定理的隹用

①由线面垂直证明线线平行.

②构造平行线.

知识点2面面垂直的判定定理和性质定理

1.面面垂直的定义及判定定理

(I)平面与平面垂直的定义

一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面。与夕垂直，记

作。_L6.

(2)两个平面互相垂直的画法

如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.

(3)平面与平面垂直的判定定理

①自然语言

如果•个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直.

②图形语言

zdrz

③符号语言

bLa,bU80B工a.

该定理可简记为“若线面垂直，则面面垂直”.

2.平面与平面垂直的性质定理

(1)平面与平面垂直的性质定理

①自然语言

两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.

a邛,afl/y=Z,aCQ,Q_L/今Q_LQ.

(2)性质定理的隹用

①证明线面垂直、线线垂直；

②构造面的垂线.

知识点3空间中的垂直关系的判定方法

1.直线与直线垂直的判定方法

(1)定义法:如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线。与直线6垂

直，记作q_Lb；

(2)利用线面垂直的性质定理；

(3)利用面面垂直的性质定理；

2.直线与平面垂直的判定方法

(1)定义法：利用定义：若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面(不常用);

(2)利用线面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线就和这个平

面垂直(常用方法)；

(3)可作定理用的正确命题：如果两条平行直线中的一条直线垂宜于一个平面:那么另一条也垂直于这个平

面(选择、填空题常用)；

(4)面面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于这两个平面的交线的直线垂直于另

一个平面(常用方法)；

(5)面面平行的性质：如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，则这条直线也垂直于另一个平面：

(6)面面垂直的性质：若两相交平面同时垂直于第三个平面，则这两个平面的交线垂直于第三个平面.

3.面面垂直判定的两种方法与一个转化

⑴两种维：

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理.

(2)一个转化：

在已知两个平面垂直时，，一般要用性质定理进行转化.在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后

进一步转化为线线垂直.

4.平面与平面垂直的其他性质与结论

(1)如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内.

(2)如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面.

⑶如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内.

(4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面.

(5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直.

知识点4空间中位置关系的相互转化

1.线、面垂直位置关系的相互转化

【方法技巧与总结】

1.三垂线定理

平面内的一条直线如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.

2.三乖线定理的逆定理

平面内的一条直线如果和穿过该平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线在该平面内的射影垂直.

3.两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

举一反三

【题型1垂直关系的有关命题的判断】

【例1】（2025・重庆•二模）己知?n,n,a,b是两条不重合的直线，*0是两个不重合的平面，则下列说法

正确的是（）

A.若？nJ_a,n//p,alp,则mln

B.若mLn,mLa,n//P,则

C.若m//n,m//a,n//p,则a//p

D.若a//a,ac.p,aC\p=b,贝!ja//b

【变式1-1]（2025•重庆•三模）已知直线m,n和平面a,其中mua,则“m1n”是“n1a”的（）

A.充要条件B,充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

【变式1・2】（2025•天津滨海新•三模）已知m,n是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，则下列命题

正确的是（）

A.若"ua,则m〃九B.若m〃a,m//n,则7i〃a

C.若m_La,nip,mln,则aJ./?D.若a-L/?,aC8=I,mil,则m_La

【变式1-3]（2025・天津和平•二模）已知m〃是空间两条不同的直线，a,0,y为三个不同的平面，则下

列命题正确的为（）

A.若all/7,aua,bu0,则a||bB.若a||a,al/?,则a1。

C.若an0=a,yC0=b,a\\b,则allyD.若al./7,aua,则a1/7

【题型2证明线线垂直】

【例2】（2025高二下•湖南株洲•学业考试）在正方体力BCD-力1々。山1中，连接4C,B0,则直线AC,BDY

位置关系是（）

A.异面且垂直B.异面但不垂直

C.相交且垂直D.平行

【变式2-1]（24-25高二上•费州•阶段练习）如图，在长方体力BCD—4'B'C'D'中，直线44’与DC的位置关系

是（）

D'

A

/

A

A.平行B.相交C.异面且垂直D.异面但不垂直

【变式2-2](24-25高二上•云南昭通•期中)如图所示，在正方体48。。一48]。1。1中，48=1.证明:

⑴孙1BXC^

(2)ADi与BiC是异面直线.

【变式2・3](24-25高一下•吉林长春・期末)如图，在直三棱柱480小丛G中，ABLAC,D,I分别为5C,

小&的中点.

(1)求证：ABIDE.

(2)若力小=3,AB=AC=2,求三棱锥力一8C£1的体积.

【题型3线面垂直的判定】

【例3】(2025•上海青浦•模拟预测)如图，已知四棱锥S-48CD的底面为菱形，LBAD=^,AS=CS.

⑴求证：AC1平面80S；

(2)若力B=2,BS=y/3,DS=l,求四棱锥S-4BCD的体积.

【变式3-1](2025•山西•三模)如图所示，在三棱锥人-BCD中,AB=CD,AC=AD=BC=BD,BC=2ABt

点E,F,G分别在棱8C,AC,TW上运动，且48〃平面EFG,〃平面EFG,M,N分别是线段CD和AB的

中点.

(l)证明:直线MN1平面EFG；

(2)当三角形“G面积的最大值为川，求三棱锥力-BCD的体积.

【变式3-2](2024•陕西安康•模拟预测)如图，在四棱锥P-/BC。中，底面4BCD是边长为2的正方形，且

CB1BP,CD1DP,R4=2,点E,尸分别为PB,0D的中点.

(1)求证：PAJ■平面48CD：

(2)求点P到平面4EF的距离.

【变式3-3](2025・四川雅安•三模)四棱锥P-/1BCO中，AP=AC,底面ABC。为等腰梯形，CO||AB,AB=

2CD=2BC=2,E为线段PC的中点，PC1CB.

(1)证明：AE1平面PCB；

(2)若PB=2,求直线PD与平面4BCD所成角的正弦值.

【题型4线面垂直的性质定理的应用】

【例4】(2025•上海杨浦•模拟预测)如图，在四棱锥P—ABCD中，底面48CD为直角梯形,

ZR4D=90°,AD//BC,AB=2,4Z)=1,PA=BC=4,PA1平面4BCD.

(I)求证:直线801PC：

(2)求直线PC与平面PAB所成角的大小.

【变式4-1](2025•湖南长沙•一模)在多面体力BCDE中，已知48=BC=2,AC=2®DA=DB=EB=EC=

遥：且平面BCE与平面D4B均垂直于平面;48C,尸为DE的中点.

(1)证明：DE||4C：

(2)求直线BF与平面4CE所成角的正弦值.

【变式4-2](2025・全国•模拟预测)如图所示,平面四边形4BCD中,4B=8,C4=373,ED=9,UDC=90°,

^BAD=30°,点瓦厂满足荏"而，而=噂福将t沿EP翻折至△「“，使得PC=12.

(1)证明:EF1PDi

⑵求直线CD与平面PBF所成角的余弦值.

【变式4-3】（2025•全国•模拟预测）如图，在四棱锥P-48c0中，底面ABCD为直角梯

形，AB//CDf/.BAD=90°,2AB=AD=DC=DP=2,PA=2A/2,PC=273.

(1)若M,F分别是24,BC的中点，证明：MFI/ID；

(2)求二面角P-BC-。的余弦值.

【题型5面面垂直的判定】

【例5】(2025•江西南昌•二模)在三棱柱力481cl中，侧面力CC14是边长为4的正方形,BC】=26,人8=

2,AB1BC.

⑴求证：平面4CC141平面4BC；

(2)求二面角8-ACX-C的余弦值.

【变式5-1](2025•广东广州•模拟预测)如图，在四棱锥P-2BCD中,底面ABCD为矩形,18=2,BC=4,

侧面P力。为等边三角形，平面P/ID平面力BCD,E为PB中点、.

(1)证明:平面P4DJL平面R4B；

(2)求平面巴4c与平面4CD夹角的余弦值.

【变式5-2](2025•海南三亚•一模)在多面体4tBi-4BC中,4?7为为平行四边形，1平面ABC,=

2MB=企,乙谢=90°，。为毋的中点.

(1)证明：平面当以；，平面/IB%%;

(2)已知多面体力]当-的体积为竽，求710与平面。所成角的正弦值.

【变式5-3](2025•安徽马鞍山•模拟预测)如图，四棱锥P—4BC。的底面为正方形，48=4P=2,P4，平

面48CO,E,产分别是线段尸8,尸。的中点，G是线段尸。上的一点.

(1)求证：平面EFG1平面/MC；

(2)若直线4G与平面力所所成角的正弦值为g求CG的长.

【题型6面面垂直的性质定理的应用】

【例6】(2025•全国•模拟预测)如图，四棱锥P-ABC。中,底面A8CD为直角梯形,AD//BC,CDLAD,AD=

CD=2BC=2,平面PAD1平面他。力且4P力。是以P为直角顶点的等腰直角三角形.

(1)证明：CD1平面PAD；

(2)求二面角4-PB-。的正弦值.

【变式6-1](2025•福建厦门•三模)在三棱锥P-ABC中，ACIBC,AP1CP.AP=CP=2,。是48的中

(1)证明：/1P_L平面BCP；

(2)已知平面a经过直线PG且力B〃a,直线尸。与平面a所成角的正弦值为手，求三棱锥P-H8C的体积.

«3

【变式6-2](2025•湖北武汉•三模)如图，在三棱柱ABC-481cl中，平面/"CL平面4%的，41clJ.力道,

AC=2^3,AB=AA=2,^CAB=7

X6

(1)证明:4B1平面4%C；

(2)求8Q的长;

(3)求平面44/与平面48c夹角的余弦值.

【变式6-3](2025・海南•模拟预测)如图,在四棱柱力^。。一座当好处中,底面48cl为矩形,平面4BCD_L

平面CDD16，AA1=AB=2AD,乙=60。，O,E分别为CQ,的中点.

之笛…S/c

AB

(1)证明:。1。■!平面

(2)求平面A/E与平面人41当8的夹角的余弦值.

【题型7平行、垂直关系的综合应用】

【例7】(24-25高二下•贵州毕节•期末)如图，在直三棱柱力"一41/的中，C4=CB,P,Q,M分别是4窗,

CCV&Q的中点，下列说法不用砸的是()

小MG

B

A.PM与QG是异面直线B.PQ〃平面A8C

C.PQ1AXBD.PQ1

【变式7-1]（2025高三・全国•专题练习）如图，四面体P-48。的棱长均相等，D,厂分别为BC,P8的中点,

A.EFLBCB.PELBC

C.EF//平面PACD.平面DE"，平面48c

【变式7-2]（24-25高二上•上海静安•阶段练习）如图，已知四边形力8CD是矩形，PA1平面A8CD,且=2,

历、N是线段P8、DC上的点，满足丝=丝=人.

（1）若a=1,求证：直线MN〃平面PDA；

（2）是否存在实数九使直线MN同时垂直于直线P8,直线DC?如果有请求出/I的值，否则请说明理由.

【变式7-3】（2025•甘肃兰州•模拟预测）如图，在四棱锥力-8CDE中，底面1为矩形，侧面力BC1底面

BCDE,BC=2,CD=V2,AB=AC.

(1)求证：BE1平面4BC；

(2)若凡G分别为棱CD,4E的中点，求证：G/〃平面/8C；

(3)设△力8C为等边三角形，求直线CE与平面48E所成角的大小.

【题型8垂直关系的探索性问题】

【例8】(24-25高一下•云南昭通・期末)如图，在正三棱柱48。一力]/。1中，AB=AAX=2,点M为力

的中点.

⑴求点/到平面MB。1的距离；

(2)在楂8%上是否存在点。，使得8Q_L平面BgM?若存在，求出需的值；若不存在,请说明理由.

【变式8-1](24-25高一下•辽宁大连•期末)如图，在四棱锥S-A8G)中，平面S4D1平面力8CD,SA=SD=

=2,四边形4BCD为正方形，E,M分别为A。、8c的中点.

s

(1)直接写出图中与EM平行的平面；

(2)求证：平面S/0_L平面S4B；

(3)在棱SC上是否存在点N,使得平面。MN,平面ABCD?若存在，求三棱锥C-0MN体积；若不存在，说明

理由.

【变式8-2](24-25高一下•辽宁沈阳•期末)如图，四棱锥P—/1BCD的底/BCD是正方形，△PAD是正三角

形，平面_L平面/BCD,M是P。的中点.

(1)求证：AM1平面PCD：

(2)求二面角M-AC-。的余弦值；

(3)在棱PC上是否存在点Q,使平面BDQ1平面M4C成立？如果存在，求出笔的值；如果不存在，请说明理

由.

【变式8-3](24-25高一下•湖南衡阳,阶段练习)如图所示，在四棱锥EABCD,底面/BCD是正方形，AC

与B。交于点。，ECL^ABCD,AB=y[2CE.

（I）求证：8D_L平面4CE；

（2）求BE与平面4CE所成角的正弦值；

（3）G是线段E。上一点，且满足案=〃，是否存在实数〃使CG_L平面8DE?若存在求出〃的值，若不存在，请

LU

说明理由

过关测试

一、单选题

1.（2025•山东临沂•模拟预测）已知I、m、n是直线,a是平面,且muQ,n//a,则“Z1m,1J.n”是“21a”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分又不必要条件

2.（2025,天津•二模）已知m,ri为两条不同的直线，a,0为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）

A.mca,九ua,mil/?,n\\p=>all/?B.al/?,aC\0=n,m1n=>m1p

C.m1a,ni1n=>n\\aD.川|m,n1am1a

3.（2025,福建厦门•三模）在正方体力夙力一为4射。］中，M为45的中点，I为平面4MQ与平面的

交线，则（）

A.l//AC}B.ILAC}C.l//BDxD.11BD}

4.（2025•天津•二模）已知a,。是两条直线，a,0是两个平面.下列命题正确的是（）

A.若ala,b1a,则a1bB.若a〃a,a〃£,ac0=b,则a〃匕

C.若a1a,al/?,则a1pD.若a_L/?,a//a,则aJ./?

5.（2025•广东•一模）已知a,0是两个不同的平面，m,n是两条不同的直线，给出了下列命题：

①若?n1a,mu£,则a1/7：

②若m1n,m1a,则?i〃a；

③若m〃a,al氏则?nl/7,

⑷若an£=77i,n//m,且九Ca,ntR,则n//a,n///?（）

A.②④B.①②④C.@@D.①③

6.（2024•内蒙古包头•三模）如图，已知正方形/8CQ为圆柱的轴截面，AB=BC=2,E,尸为上底面圆

周二的两个动点，且E尸过上底面的圆心G,若ABJLE四则三棱锥4一BE尸的体积为（）

24苧

氏-C

A.3-3D.

7.（2024・全国•模拟预测）如图，四棱锥力-8C0E是棱长均为2的正四棱锥，三楂锥4-CDF是正四面体,

G为BE的中点，则下列结论错误的是（）

A.点共面B.平面48E〃平面CDF

C.FG1CDD.FG_L平面ACD

8.（2025・上海长宁•二模）如图，等腰直角三角形/4C中，乙1=90。，点E是边力。的中点，点。是边

BC上.一点、（不与。重合），将三角形。CE沿逆时针翻折，点。的对应点是Q,连接Cg,设0为二面

角Ci—DE—C大小，0G（0,TT）.在翻折过程中，下列说法当中不正确的是（）

A.存在点。和仇使得DCi_L47B.存在点。和。，使得Bgl4C

C.存在点D和仇使得BQ_LDED.存在点。和仇使得Cg_LDE

二、多选题

9.（2025•湖北•模拟预测）设a,0是两个平面，2是一条直线，则（）

A.若a〃4/la,则Id./?B.若a_L0,Zia,则”/0

C.若〃/a,lip,则al/?D.若，〃a,l//p,则0〃0

10.（2025・福建厦门•三模）如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体ABC。-TI'B'C'D',下面部分可视为正

四棱锥尸-4BC0,。为正方形48CD的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（）

A.AO1ABB.A’O〃平面APD

C.平面/M'PL平面BOPD.CC'与4'P为相交直线

11.（2025•甘肃白银•模拟预测）在正三棱台A8C-4B1G中，D,E,%E】分别是48,BC,g,B1C1

的中点，且AC=2/liCi，则下列说法正确的有（）

A.AC1BBiB.4C〃平面。透山。

C.481平面。向£7)D.若。1£\=DDV则1平面ACgAi

三、填空题

12.（2025•北京•高考真题）某科技