23.2 解直角三角形及其应用（4知识点+6题型+强化练习）学生版

23.2解直角三角形及其应用课程标准学习目标能用锐角三角函数解直角三角形，能用相关知识解决一些简单的实际问题1.理解解直角三角形的含义，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形；2.能通过作高线构造直角三角形解非直角三角形；3.会用解直角三角形中的有关知识建立数学模型,解决某些简单的实际问题.知识点01解直角三角形的概念一般地，直角三角形中除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。注意：①在直角三角形中，除直角外的五个元素中，已知其中的两个元素(至少有一个是边)，可求出其余的三个未知元素(知二求三)②一个直角三角形可解，则其面积和周长可求。但在一个解直角三角形的题中，如无特别说明，则不包括求面积和周长【即学即练1】（23-24九年级上·江苏徐州·阶段练习）如图，在中，，点在上，，．求的值．【即学即练2】（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）一座楼梯的示意图如图所示，是铅垂线，是水平线，与的夹角为．现要在楼梯上铺一条地毯，已知米，楼梯宽度3米，则地毯的面积至少需要（

）A．米 B．米C．米 D．米知识点02直角三角形中五个元素（除直角外的）之间的关系如图，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，①三边关系：.（勾股定理） ②内角关系：∠A＋∠B＝90°③边角关系：、、、；、、、.【即学即练3】（2024·安徽合肥·二模）如图，中，已知，点在边上，且，求的长．（结果精确到，参考数据：）【即学即练4】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，．(1)求的值．(2)求的面积（结果保留根号）【即学即练5】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，是的高，若，，则的长为（

）A．6 B．5 C．4 D．3知识点03实际问题中的解直角三角形①找到实际问题中的直角三角形模型;②根据问题中的条件选用合适的锐角三角函数解直角三角形;③根据实际情况分析结果【即学即练6】（2024·安徽宿州·一模）如图，四所学校在同一平面内，校到校的距离千米，校到校的距离千米，测得，，求两校之间的距离．（结果精确到千米，参考数据：，，，，，）注意：①根据问题找到要求解的直角三角形，当没有现成的直角三角形时,适当添加辅助线构造(或分割)直角三角形②有些问题中有两个(或两个以上)直角三角形,当其中一个直角三角形不能求解时,可考虑在其他直角三角形中找出含有相同的未知元素的关系式，列方程求解知识点04一次函数与x轴的夹角问题（斜率问题）·设直线与x轴正方向的夹角为α：→【即学即练7】如图，直线与坐标轴交于点、，过点作的垂线交轴于点，则点的坐标为（

）A． B． C． D．【即学即练8】一次函数的图像过一、三象限，且与轴的夹角为，若其经过点，则一次函数解析式为．·解直角三角形的基本方法：已知条件解法两边两直角边由，求；;斜边,一直角边（如）由，求；;一边一角一直角边和一锐角③锐角,邻边（）；④锐角,对边（）；⑤斜边,锐角（）；总结：有斜(边)求对(边)乘正弦,有斜(边)求邻(边)乘余弦,有邻(边)求对(边)乘正切·常见的解直角三角形模型及其边角关系图形关系式图形关系式【题型一：解直角三角形——求边长】例1.（2024·安徽·三模）如图，在中，，点是上一点，过点作于点，已知，，则的长为（

）A．4 B． C． D．3例2.（2024·安徽六安·三模）如图，中，，，于点，是线段上的一个动点，则的最小值是（

）

A． B． C． D．10【题型二：仰角和俯角问题】例3．（2024·安徽马鞍山·三模）如图，某景点中一建筑可看作由等腰三角形和矩形构成，其中建筑的横梁长为8米，小明同学站到高的平台上的处，发现建筑顶端点，檐角点和视点点正好在同一条直线上，此时测得檐角点的仰角为，小明往前步行至处，测得檐角点的仰角为，已知小明的视点距平台的竖直高度为，过点作垂直水平面于点，且所有点均在同一平面中，求此建筑的高度（的值）（精确到）．参考数据：，，．

变式3-1.（2024·安徽淮南·二模）某校“综合与实践”活动小组的同学要测量，两座楼之间的距离，他们借助无人机设计了如下测量方案：无人机在，两楼之间上方的点处，点距地面的高度为，此时观测到楼底部点处的俯角为，楼上点处的俯角为，沿水平方向由点飞行到达点，测得点处俯角为，其中点，，，，，，均在同一竖直平面内．请根据以上数据求楼与之间的距离的长．（结果精确到．参考数据：，，，）．变式3-2．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图，在同一水平地面上有和两栋楼，从楼顶部点处测得楼的底部点的俯角为，从楼顶部点处测得楼的点的俯角为，且米，已知楼高25米，求楼的高度．（精确到1米，参考数据：，，）变式3-3.（2024·安徽淮北·二模）某数学活动小组测量图书馆和实验楼的高度，已知两楼中间有一棵树，楼、和树都垂直于地平面，点在同一条直线上．测得是的中点，且米，从实验楼楼顶处测得图书馆楼顶处的仰角为，测得树顶处的俯角为，已知树高为10米，求图书馆和实验楼的高度．（精确到1米，参考数据：）例4.（2024·安徽蚌埠·三模）2024年5月，“嫦娥六号”突破月球逆行轨道设计与控制、月背智能采样和月背起飞上升等关键技术，实施月球背面自动采样返回，同时开展着陆区科学探测和国际合作，如图，在斜坡上有一瞭望台，斜坡的坡度为，坡长为50米，雷达的高度为10米，火箭发射前，雷达中心测得火箭底端点的俯角为，仅2秒的时间，测得火箭上升至的处的仰角为，请根据以上数据估算火箭发射时速度．（结果保留整数，参考数据：，）

【模型与方法总结】→模型：仰视1.仰视2.俯视+仰视3.在测量中,我们把在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的叫做仰角.视线在水平线下方的叫俯角.如图所示，PQ为水平线,视线为PA时，则∠APQ为仰角;视线为PB时,则∠BPQ为俯角.【题型三：方向角问题】例5．（2024·安徽蚌埠·三模）学校组织学生从地到，，三个劳动基地去研学，已知，，三地在同一条直线上．经测量：，两地相距，地在地的北偏东方向上，地在地的北偏西方向上，．求，两地之间的距离．（结果精确到，参考数据：，）变式5-1.（2024·安徽阜阳·二模）已知小玫家、学校、妈妈工作单位分别位于点、、处，点在点的北偏西方向上，点在点的北偏东方向上，且千米，千米．某天妈妈从家送小玫上学，然后到单位领取文件后回家（途中上下楼路程忽略不计），求妈妈从离家到回家全程所走的路程．（参考数据：，，，，，，，，）变式5-2.（2024·安徽合肥·二模）如图，在学校处测得图书城在其北偏东方向（即），千米；测得运动馆在其北偏东方向（即），千米，求图书城到运动馆的距离．（参考数据：，，，，，．）例6．（2021·黑龙江大庆·中考真题）小明在点测得点在点的北偏西方向，并由点向南偏西方向行走到达点测得点在点的北偏西方向，继续向正西方向行走后到达点，测得点在点的北偏东方向，求两点之间的距离．（结果保留，参数数据）【模型与方法总结】 →常见模型1.常见模型2.【题型四：坡度与坡角问题】例7．（2024·安徽淮北·三模）某村准备对水库一段长100m的堤坝进行改造．改造前，背水坡坡面的坡比，改造后坡面的坡比变为，坝顶加宽1m（），已知原背水坡的长为8m．(1)求改造后背水坡的长；(2)求所需土石方的体积．（结果精确到，）变式7．（2023·安徽淮北·二模）某幼儿园准备建造的一款滑滑梯的形状如图所示，AB为扶梯，为连廊，CD为滑梯，已知AD，，滑梯CD的坡度，扶梯，连廊，求建成后的滑滑梯的底部AD的长(精确到(参考数据：，)例8.（2024·安徽六安·模拟预测）大别山旅游资源丰富，某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图1景区内修建观光索道，设计示意图如图2所示，以山脚为起点，沿途修建，；两段长度相等的观光索道；最终到达山顶处，中途设计了一段与平行的观光平台，长度为．索道与的夹角为，与水平线的夹角为．，两处的水平距离为，，垂足为（图中所有点都在同一平面内，点，，在同一水平线上，计算结果精确到，参考数据：，，，）

(1)求索道的长．(2)求水平距离的长．【模型与方法总结】→常见模型1.常见模型2.（1）坡角:坡面与水平面所成的夹角.如图中的（2）坡度:我们通常把坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度.坡度也可写成的形式,在实际应用中常表示成的形式（3）坡度与坡角的关系：.坡度是坡角的正切值,坡角越大，坡度也就越大【题型五：光线问题】例9．如图，小张同学去黄山旅游时，发现太阳光线照射在立柱（与水平地面垂直）上，其影子的一部分落在地面上，另一部分落在斜坡上，且，经测量，米，米，斜坡的坡角，求立柱的高．（结果精确到米，参考数据：，，）变式9-1．（2024·安徽合肥·模拟预测）如图是某物理兴趣小组利用矩形模块设计的一个感光元件，平行光线从区域射入，线段为感光区域，已知，，，，则感光区域的长度之和为多少？（结果精确到，参考数据：，，，）变式9-2．（2024·安徽·中考真题）科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点处发出，经水面点折射到池底点处．已知与水平线的夹角，点到水面的距离m，点处水深为，到池壁的水平距离，点在同一条竖直线上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为，折射角为，求的值（精确到，参考数据：，，）．变式9-3．（2024·安徽宿州·三模）光线从一种介质进入另一种介质时会发生折射现象．如图1，我们把称为折射率（法线与介质相互垂直）．操作一：如图2，在一个无水的水槽中，有一束激光恰好落在水槽点处．操作二；如图3，保持激光的角度和高度不变，在水槽中加入一定量的水，水平面为，这束光发生折射，光线与交于点，折射光线为，为法线．已知四边形是矩形，该束光从空气到水中的折射率，，入射角，求的长．（参考数据：，，）

【题型六：解直角三角形的其它应用】例10．（2024·安徽·三模）如图1是某地红色广场标牌，将其红色主体部分拍象为图2，，，，米，米，求该标牌的高（精确到米，参考数据：，，，例11．（2024·宁夏银川·一模）如图一是屏幕投影仪投屏情景图，图二是其侧面抽象示意图，，，是支架的一部分，投影光线与投影仪近似在同一直线上，已知与地面垂直，且的长为，CD的长为，距墙面的水平距离为，若投影光线与的夹角，与地面的夹角，求光源投屏最高点到地面的距离．（结果精确到，参考数据：，）例12．（2024·安徽淮北·三模）如图，某中式台球桌的桌面是矩形，桌上有一个球，球到边的中洞的距离为，与的夹角为，球到底洞的距离为，与的夹角为，求球到底洞的距离．（结果保留根号，，，，，，）1.如图，为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座换水站，对坡面的绿地进行喷灌，现测得斜坡与水平面所成角的度数是，为使出水口的高度为，那么需要准备的水管的长为2．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，，．(1)求的长；(2)求的面积（结果保留根号）．3.如图，某风景区有三个景点，，，景点在的北偏西60°方向、且在的北偏西15°方向上，景点在的正西方向上，千米，求景点到的距离（结果保留根号）．4.（2024·安徽六安·模拟预测）如图，山顶上有一座电视塔，为测量山高，在地面上引一条基线，测得，，．已知电视塔高，求山高的值．（结果精确到，参考数据：）5．（2024·湖南长沙·三模）如图，灯塔位于港口的北偏东方向，且之间的距离为，灯塔位于灯塔的正东方向，且之间的距离为．一艘轮船从港口出发，沿正南方向航行到达处，测得灯塔在北偏东方向上，灯塔到直线的距离为．

(1)求的长；(2)求的长（结果精确到0.1）．（参考数据：）6．（22-23九年级上·安徽滁州·期末）“蛟龙号”载人潜水器是中国探索深蓝的利器．如图，在某次任务中，当蛟龙号下潜到点处时，科研入员在海面的观察点测得点的俯角为，当蛟龙号继续垂直下潜2千米到达海底处时，在观察点测得点的俯角为，求点到海面的深度．（结果精确到千米）参考数据：，，，

7．（2024·安徽蚌埠·三模）小小遮阳棚，彰显大民生．为进一步提升城市宜居水平，不断强化城市功能设施配套建设，各地积极修建遮阳棚．如图，遮阳棚高为4米，长为5米，与水平面的夹角为，当太阳光线沿方向，且与地面的夹角为时，求此时遮阳棚与太阳光线围成的四边形的面积．（结果精确到；参考数据：，，，）

8.（2024·安徽六安·二模）如图，某测绘小组计划利用无人机测量某段山体的长度，无人机飞行速度为，无人机先是悬停在山体边缘点正上方处，然后沿山体的平行方向飞行18到处悬停，测得山体边缘点的俯角为，然后继续向前飞行到达处，测得山体边缘点的俯角为．试求山体的长度．（参考数据：，，）9．（2024·安徽合肥·一模）随着测量技术的发展，测量飞机可以实现精确的空中测量．如图，为测量我国某海岛两端、的距离，我国一架测量飞机在距海平面垂直高度为2千米的点处，测得端点的俯角为，然后沿着平行于的方向飞行千米到点，求某海岛两端、的距离．（结果精确到千米，参考数据：，，，）

10．（2024·安徽池州·三模）如图，在距某信号塔（垂直地面）的底部点的右侧30米处有一个斜坡，斜坡的坡度为，斜坡上4米处有一竖直广告牌（即米，），已知当阳光与水平线夹角成时，信号塔的影子顶端正好和广告牌的顶端影子重合于点（即点，，在同一条直线上），经测量长度为9米，求信号塔的