第23章 解直角三角形（高效培优单元测试·提升卷）（教师版）

第23章解直角三角形（高效培优单元测试·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的）1．为锐角，且，则的范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵，∴，故选：C．2．如图，河坝横断面迎水坡的坡度，坝高，则坡面的长度为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：在中，，，，．故选：D．3．在中，，且，则的值是（

）A． B． C． D．3【答案】C【详解】解：如图，

在中，，，∴设，则，∴，∴．故选：C．4．如图，某数学兴趣小组测量一棵树的高度，在点处测得树顶的仰角为，在点处测得树顶的仰角为，且，，三点在同一条直线上．若树高米，则点，之间的距离为（

）A．米 B．米 C．米 D．16米【答案】B【详解】解：由题意得：，，在中，，，在中，，，，米，故选：B．5．在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】解：如图，取格点D，连接，根据题意得：，，，∴，∴，∴，故选：D．6．定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”，若等腰是“倍长三角形”，则底角的正切值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】解：∵等腰是“倍长三角形”，设，当时，，不能组成三角形；当时，能组成三角形，过点A作于点D，∴，∴．在中，，∴．故选：C．7．如图，在反比例函数图象上有一动点，连接并延长交图象的另一支于点，在第一象限内有一点，满足，当点运动时，点始终在函数的图象上运动，若，则的值为（

）A． B．4 C． D．8【答案】D【详解】解：如图，作轴于点，作轴于点，连接，则有，∴，由题意得，点关于原点对称，∴，∵∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵在中，，∴，∴，，∵点在反比例函数图象上，点始终在函数的图象上运动，∴，，∴，∴，∵点在第一象限，∴．故选：D．8．如图，直线分别与x轴、y轴交于点B，A，直线分别与x轴、y轴交于点C，A，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】解：令，则，，，令，则，解得：，，，令，则，解得：，，，，，，，如图，过点作于点，，，，，，故选项不符合题意；，，，故选项不符合题意；，

，，故选项不符合题意；，

，，故选项符合题意；故选：．9．如图，与是四边形的对角线，，已知，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】解：如图，过点C作，使，连接，∴，∴，即，又∵，，，∴，在中，，在中，由三边关系，得（当点E位于上时，等号成立），故的最大值．故选：A．10．如图（1），在中，点为其中心，，，动点从点出发，沿匀速运动到点，再从点沿直线运动到上的点．设点运动的路程为，的面积为，则与的函数关系的图象如图（2）所示，则的长度为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【详解】解：如图，连接，过作于，结合题意可得三点共线，由函数图象可得：当时，动点从点出发，沿匀速运动到点，∴，当时，动点从点沿直线运动到上的点，此时的面积不变，∴，，∴，∵，∴，∵，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；故选B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，某船由西向东航行，在点测得小岛在北偏东方向上，船航行了海里后到达点，这时测得小岛在北偏东方向上，船继续航行到点时，测得小岛恰好在船的正北方，则此时船到小岛的距离为海里．

【答案】【详解】解：设海里，依题意得，，，海里，海里，海里，海里，即，，故答案为：．12．在中，，都是锐角，且，则的度数为．【答案】/75度【详解】解：∵，且，∴，即，∴，∴；故答案为．13．如图，在中，，点D是的中点，过点B作的垂线，垂足为E，则．【答案】【详解】解：在中，∵，即，设（），则，由勾股定理得，即，解得，∴，，，∵点D是的中点，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．14．如图，在正方形纸片中，是边的中点，将正方形纸片沿折叠，点落在点处．

（1）的值为；（2）如图，连接并延长交于点，则的值为．【答案】【详解】（1）解：如图，连接，延长交于点，

∵是边的中点，∴，∵将正方形纸片沿折叠，点落在点处，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，设正方形的边长为，∴，，，在中，，即，解得：，∴，，故．故答案为：．（2）解：如图，过点作于点，过点作于点，

∵将正方形纸片沿折叠，点落在点处，∴，在中，，，∴，∴，∴，设正方形的边长为，在中，，∵，∴，∴，在中，，∵，，∴，，，∴四边形为平行四边形，∴，∴，故．故答案为：．三.解答题（本大题共9题，满分90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．计算：(1)；(2)；【详解】（1）解：；（2）解：．16．如图，在中，，，(1)求的长．(2)利用此图求的精确值．【详解】（1）解：，，，，，，∵，，∴，即，∴，，（舍去），；（2）解：过点B作，交于点E，，，，，，，．17．如图1所示，某种型号的机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其瞬间的几何示意图，机器人的一腿直立于地面，小腿部分刚好与地面平行，上身垂直于大腿，即于点，，于点是机器人小腿上踢后与大腿在同一直线的瞬间．(这里的小腿都包括脚面部分，上身包括头部部分)．已知，，求∶(1)的度数(2)点P距离地面的高度．(结果精确到．参考数据∶)【详解】（1）解：如图所示，过点A作，∵，∴，∵，，∴，∴，∴；（2）解；如图所示，过点P作交延长线于T，∵，∴，∴，在中，，∴，答：点P距离地面的高度约为．18．如图，一架无人机静止悬浮在空中处，小明在山坡A处测得无人机的仰角为，小亮在水平地面处测得无人机的仰角为，已知山坡的坡度，处到地面的距离为10米，水平地面长为30米．(1)求山坡的长；(2)求此时无人机离地面的高度的长（精确到0.1米）．（参考数据：，，）【详解】（1）解：如图，作交的延长线于，由题意可得：米，∵山坡的坡比，∴，∴米，∴米，∴山坡的长为米；（2）解：如图：延长交于点，则，则：，∴四边形为矩形，∴米，，∵，∴为等腰直角三角形，∴，设米，则米，米，∵，∴，∴米，即此时无人机离地面的高度的长米．19．某海域发生事故，故障船只位于处（位置如图），位于观测站的北偏西方向，甲、乙两艘救援船分别从两地同时出发，甲在地位于观测站的正北方向处，乙在地位于观测站的北偏西方向，两船均以直线航行前往事故点处救援，15分钟后两船同时到达处．(1)求甲船的航行速度；(2)计算乙船从处航行到处的距离．（参考数据：，结果保留一位小数）【详解】（1）解：根据题意可知，，，答：甲船的航行速度为．（2）解：如图，过点作，交的延长线于点，，是等腰直角三角形，．设，过点作于点，得矩形，，．在Rt中，，，，，，．答：乙船从处航行到处的距离约为.20．如图，在中，，，，分别是，，的对边．(1)求的值；(2)（填空）当为锐角时，____________；(3)利用上述规律，求式子的值．【详解】（1）解：在中，，，；所以：；（2）解：当为锐角时，，故答案为1；（3）解：==（44个1相加）=．21．已知正方形中，E为边上一点，E点关于直线的对称点为F点，射线交的延长线于点G，连接交延长交于点H，连接交于点M．(1)若，①求证：；②求的值；(2)求证：M为的中点．【详解】（1）①证明：∵是正方形，∴，，，又，，在和中，，．又E点与F点关于对称，；②，，，又∵，，，即，设，则，解得，；（2）证明：如图，延长、交于点P．，，，∵，，，又，D为的中点，即，∵，∴，∴，，即M为的中点．22．已知抛物线交x轴于点，点，交y轴于点，连接．(1)求该抛物线的表达式；(2)点P是抛物线上一动点，且在直线的上方（不与点重合），连接．①求的面积的最大值；②若，求的取值范围．【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，点，∴二次函数的表达式可写为，∵点在抛物线上，∴，解得：，∴二次函数的表达式为；（2）解：①设直线的表达式为，把和代入，得：，解得：，∴直线的表达式为．如图：过点P作轴于点R，交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，∴．∴．∵动点P在直线的上方（不与B，C重合），∴．∴当时，面积取得最大值，最大值是；②∵轴，∴轴，∴．∴∵，，∴在中，，∵，∴，∴．23.如图，在矩形中，点E是的中点，连接，，过点B作的垂线交，于点F，G．设．

(1)求证：；(2)如图1，连接，若，求m的值；(3)如图2，若平分，过点D作的垂线交，及的延长线分别于点P，H，M．若，求的长．