第23章解直角三角形（复习讲义）（教师版）

第23章解直角三角形（复习讲义）理解锐角三角函数的概念掌握正弦（sin）、余弦（cos）、正切（tan）的定义，能根据直角三角形边长正确写出三角函数值.熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能快速计算或推导.掌握解直角三角形的方法利用勾股定理、三角函数关系（如sin²A+cos²A=1）或边角关系，已知两边或一边一角时，求解其他未知边或角.应用三角函数解决实际问题能将实际问题转化为直角三角形问题，如测量高度、坡度、方位角等，并运用三角函数求解.●一、锐角三角函数1、正切、正弦、余弦正切：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分别是∠A的对边和邻边．我们将∠A的对边a与邻边b的比叫做∠A的正切，记作tanA.正弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA＝∠A的对边斜边＝BCAC余弦：在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即cosA＝∠A的对边斜边＝BCAC【注意】（1）正切、正弦、余弦都是在直角三角形中定义的，求值时，要先找到角所在的直角三角形.（2）正切、正弦、余弦反映了直角三角形的边与角的关系，是两条边的比值，没有单位．2、锐角三角函数：∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数．3、锐角三角函数之间的关系：（1）正弦与余弦的关系：任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值.sinA=cos(90－A)=cosB,cosA=sin(90º－A)=sinB．（2）同角的正弦、余弦关系：sin2A+cos2A=1．tanA=sinA●二、30°、45°、60°的三角函数值1、30°、45°、60°角的正弦值、余弦值和正切值如下表：三角函数30°45°60°sinαcosαtanα1（1）已知特殊角的度数，可求出相应的三角函数值；反之，已知一个特殊角的三角函数值，也可求出这个角的度数.（2）●三、用计算器求锐角三角函数值（1）当锐角以度为单位时，可先按（或）键，然后输入角度值（可以为整数或小数），再按键，即可在屏上显示出结果.（2）当锐角以度、分、秒为单位时，要借助键计算，按键顺序为：（或）、、度数、、分数、秒数、、.【注意】使用计算器求出的值多为近似值，具体计算中必须按要求取近似值.●四、解直角三角形1、解直角三角形的概念：在直角三角形中，除直角外有5个元素（即3条边长、2个锐角），只要知道其中的2个元素（至少有1个是边长），就可以求出其余的3个未知元素.由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.2、直角三角形中的边角关系：直角三角形各元素之间的关系图形两锐角之间的关系∠A+∠B=90°.三边之间的关系a²+b²=c²边角之间的关系sinA＝∠A的对边斜边＝BCABsinB＝∠B的对边斜边＝ACABcosA＝∠A的邻边斜边＝ACABcosB＝∠B的邻边斜边＝BCABtanA＝∠A的对边∠A的邻边＝tanB＝∠B的对边∠A的邻边＝3、解直角三角形的类型及基本解法已知条件图形解法两边（1）两条直角边a,b①由tanA＝ab，求∠A②∠B=90°－∠A.③c=（2）斜边和一条直角边（如a,c）①由sinA＝ac＝cosB求∠A,∠B②b=一边一锐角（3）一个锐角及其对边（如a,∠A）①∠B=90°－∠A.②c=asinA,b=atanA（4）一个锐角及其L邻边（如b,∠A）①∠B=90°－∠A.②a=btanA,c=bcosA（5）一个锐角及其斜边（如∠A,c）①∠B=90°－∠A.②a=csinA,b=ccosA.【注意】1.在遇到解直角三角形的实际问题时，最好是先画出一个直角三角形的草图，按题意标明哪些元素是已知的，哪些元素是未知的，然后按先确定锐角、再确定它的对边和邻边的顺序进行计算.2.若题中无特殊说明，“解直角三角形”即要求出所有的未知元素，已知条件中至少有个条件为边.●五、直角三角形的应用1、利用解直角三角形解决实际问题的一般过程：（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据题目条件解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案.2、解直角三角形的实际应用中涉及的有关概念：（1）仰角、俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫仰角，视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫俯角．（2）方位角以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角.如图：如图所示,目标方向线OA,OB,的方向角分别可以表示为北偏东30°、南偏西45°,其中南偏西45°习惯上又叫做西南方向,北偏西45°习惯上又叫做西北方向.（3）坡角、坡度名称定义表示方法关系举例坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角.一般用字母α，β，γ表示.①坡度不是角的度数，它是坡角的正切值，即i=tanα；②坡度越大，坡角α就越大，坡面就越陡.当h=1，l=3时，坡度.i=h:l=1：3，坡角为30°.坡度坡面的铅直高度(h)和水平宽度(l)的比叫做坡面的坡度(或坡比).通常用i表示，即i=h:l.题型一题型一求角的正弦值【例1】（2024秋•石景山区期末）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝3BC，则sinA为（）A．13 B．24 C．1010 【答案】C．【分析】根据勾股定理，可得AB与BC的关系．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边解答即可．【详解】解：由勾股定理，得AB=AC∴sinA=BC故选：C．【点睛】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．【变式1-1】（24-25九年级下·陕西咸阳·期中）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3，【答案】3【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理求出AC的长，再根据正弦的定义，进行求解即可．【详解】解：∵∠B=90°，AB=3∴AC=∴sinC故答案为：35【变式1-2】（2025·广东广州·二模）在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=2,AC=3，BD【答案】53/【分析】本题考查了勾股定理，求正弦函数值，利用∠DBC=∠A【详解】解：如图，∵∠ABC=90°，∴∠A∴∠DBC∴sin∠由勾股定理得BC=∴sin∠故答案为：53题型题型二由正弦值求边长【例2】（2025·广东梅州·二模）在△ABC中，∠C=90∘，BC=4，sinAA．25 B．6 C．83 D【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形，在直角三角形ABC中，已知BC的长和角A的正弦值可求出AB．【详解】解：在△ABC中，∠C所以AB故选：B．【变式2-1】（2025·陕西咸阳·二模）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE⊥CD交DC的延长线于点E．若AB=2, BDA．12 B．1 C．2 D．【答案】B【分析】本题主要考查了解直角三角形，平行四边形的性质，根据平行四边形对角线互相平分可得OD=【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=∵OE⊥CD，∴sin∠∴OE=1故选：B．【变式2-2】如图，在锐角三角形ABC中，AB＝10，AC＝213，sinB=3（1）求tanC；（2）求线段BC的长．【答案】（1）32；（2）12【分析】（1）过点A作AD⊥BC于D，根据已知条件可得出AD，再利用勾股定理得出CD，进而得出tanC；（2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD＝8，结合CD的长度，即可得出BC的长．【解答】解：（1）如图，过点A作AD⊥BC于D，在Rt△ABD中，AB＝10，sinB=AD∴AD10∴AD＝6，在Rt△ACD中，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2，∴CD2＝（213）2﹣62＝16，∴CD＝4，∴tanC=AD（2）在Rt△ABD中，AB＝10，AD＝6，∴由勾股定理得BD＝8，由（1）得CD＝4，∴BC＝BD+CD＝12．【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，要熟练掌握好边角之间的关系．题型题型三求角的余弦值【例3】A．72 B．21111 C．11【答案】B【分析】本题考查了求余弦，勾股定理；先由勾股定理求出AB，再由余弦函数的定义即可求解．【详解】解：∵∠C∴AB=∴cos∠故选：B．【变式3-1】（24-25九年级下·黑龙江哈尔滨·期中）在Rt△ABC中，∠C=90°，sinBA．513 B．1213 C．512【答案】A【分析】本题考查锐角三角函数的定义，理解和掌握三角函数的定义是解题的关键．根据正弦和余弦的定义即可得出答案．【详解】解：∵∠C=90°，∴cos故选A．【变式3-2】（23-24九年级上·山东威海·期中）在△ABC中，∠C=90°，tanA=A．55 B．255 C．2【答案】B【分析】本题考查了同角三角函数的关系，先根据题意画出直角三角形，设BC=x，求出AC及AB，然后可得出【详解】解：如图：∵tanA∴可以假设BC=x，∴AB∴cosB=故选：B．题型题型四由角的余弦值求边长【例4】（2025·云南昭通·二模）在Rt△ABC中，∠A=90°，已知BC=10，cosA．4 B．5 C．6 D．8【答案】D【分析】本题考查了余弦的定义，画出图形，根据余弦的定义计算即可得解，熟练掌握余弦的定义是解此题的关键．【详解】解：如图：，∵在Rt△ABC中，∠A=90°，∴ABBC∴AB=8故选：D．【变式4-1】（2025·云南·模拟预测）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，若【答案】3【分析】本题考查了利用余弦求边长，根据锐角的余弦值等于邻边比斜边列式求解即可，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．【详解】解：∵∠C∴cosB∴2AB∴AB=故答案为：3．【变式4-2】（2025·陕西渭南·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为AB的中点，连接CD，若CD=3，cosA．2 B．4 C．5 D．2【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形，直角三角形斜边中线的性质勾股定理．根据直角三角形斜边中线的性质求得AB=2CD=6，由余弦函数求得BC【详解】解：∵∠ACB=90°，点D为∴AB=2∵cosB∴BCAB∴BC=4∴AC=故选：D．题型题型五求角的正切值【例5】（24-25九年级上·重庆·阶段练习）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，cosA

A．43 B．34 C．35【答案】B【分析】本题考查了勾股定理，正切函数，余弦函数，熟练掌握锐角三角函数是解题的关键．根据已知∠C=90°，cosA=AC【详解】解：根据已知∠C=90°，cosA=AC故tanA故选：B．【变式5-1】（2024•雁塔区校级一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，则tanB＝（）A．13 B．3 C．1010 D【答案】A．【分析】根据正切函数的定义求解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3AC，∴tanB=AC故选：A．【点睛】本题考查锐角三角函数，解题的关键是掌握正切函数的定义．【变式5-2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图所示，在Rt△ABC中，斜边AB=3，BC=1，点D在AB上，且BDADA．13 B．1 C．223【答案】C【分析】过点D作DE⊥BC于点E，构造含∠BCD的Rt△CDE，分别算出DE、CE的长，利用正切的定义计算即可．【详解】如图，过点D作DE⊥BC于点E，∵∠ACB=∠DEB=90°，∴AC∥DE∴∠A=∠EDB∴△ACB∽△DEB（AA）∵BDAD∴BD又∵AB=3，BC=1∴BE=14，∵Rt△BDE∴DE∵BC=1∴CE∴tan故选C．【点睛】本题考查了正切的定义，相似三角形的性质与判定，勾股定理等知识点，正切值定义的成立条件是在直角三角形中，这点是容易被忽略的易错点．题型题型六由正切值求边长【例6】（2025·云南红河·三模）如图，在△ABC中，若∠B=90°，tanA=43A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据锐角三角函数的定义得tanA=BCAB=【详解】解：在Rt△ABC中，∠B∵BC=4∴AB=3∴AC=故选：C．【变式6-1】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在△ABC中，∠ABC=30°,tanC【答案】9+33/【分析】本题主要考查了解直角三角形以及勾股定理，熟练掌握解直角三角形的方法是解答本题的关键．作AD⊥BC于D，设AD=x，根据题意可得CD=3x，进而解直角【详解】解：如图所示，作AD⊥BC于设AD=∵tanC∴CD=3∵∠ABC=30°，∴cos∠即32解得：BD=3在△ADB中，AD即：AD=∴CD=3∴BC=故答案为：9+33【变式6-2】（24-25九年级上·重庆·期中）如图，点D是△ABC外一点，DB=DC，AB与CD相交于点E，∠BDC=∠BAC，连接DA，若AC=4，【答案】3【分析】本题主要考查了解非直角三角形，过点D作DN⊥AC交AC延长线于N，先由∠BDC=∠BAC，∠BED=∠AEC，得到∠DBA=∠ACD，即可得到tan∠DBA=tan∠DCA【详解】解：如图，过点D作DN⊥AC交AC延长线于N，则∵∠BDC=∠BAC，∴∠DBA∵tan∠∴tan∠∴设DN=x，则∵AC=4∴AN=在Rt△ADN中，DA=∴x2解得x1∵AN=2∴x=3∴DN=x=3∴BD=故答案为：35题型题型七由定义判断多结论【例7】（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=a，ACA．sinA=bc B．tanB=【答案】B【分析】本题考查了三角函数的定义根据定义逐一判断，即可求解；掌握sinα=α的对边斜边【详解】解：A.sinAB.tanBC.tanAD.cosB故选：B．【变式7-1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在△ABC中，∠C=90°A．sinA=ACAB B．cosB=【答案】D【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．根据三角函数的定义即可作出判断．【详解】解：在△ABC中，∠∴sinA=BCAB，cosB=BCAB，tanA∴AC=AB⋅故选：D．【变式7-2】（23-24九年级下·山东济南·开学考试）如图，在Rt△ABC中，∠ACBA．sinA=BCAC B．tanB=【答案】D【分析】根据三角函数的定义直接逐个判断即可得到答案；【详解】解：由题意可得，∵在Rt△ABC中，∠ACB∴sinA=BCtanB=ACcosA=ADsinB=CD故选D．【点睛】本题考查三角函数的定义，解题的关键是判断不同直角三角形中的直角边与斜边．题型题型八特殊锐角三角函数的计算【例8】（2025·云南玉溪·二模）计算：36-【答案】3【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是熟练掌握运算顺序和法则．首先计算零指数幂，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，求立方根，然后计算乘法，最后计算加减法．【详解】解：36=1+2-=1+2-=3．【变式8-1】（2025·云南昆明·三模）计算：-1【答案】6【分析】本题主要考查了含特殊角三角函数的混合运算、零次幂、负整数次幂、二次根式等知识点，灵活运用相关性质成为解题的关键．先根据有理数乘方、零次幂、负整数次幂、二次根式、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可．【详解】解：-=-1+1+3+5-2×1=-1+1+3+5-2=6．【变式8-2】（2024秋•西岗区期末）计算．（1）3tan30°﹣tan45°+2sin60°；（2）（cos230°+sin230°）×tan60°．【答案】（1）23-1；（2）3【分析】利用特殊锐角的三角函数值计算即可．【详解】解：（1）原式＝3×33=3-1＝23-1（2）原式＝1×=3【点睛】本题考查特殊锐角的三角函数值，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．题型题型九由特殊锐角三角函数值求角度【例9】（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）若α为锐角，且tanα+15°=1，则αA．20° B．25° C．30° D．45°【答案】C【分析】本题考查了根据特殊角三角函数值求角的度数，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．由“α为锐角，且tanα+15°=1”可得α【详解】解：∵α为锐角，且tan∴α∴α故选：C．【变式9-1】（24-25九年级上·河北保定·阶段练习）在△ABC中，若cosA-12A．45° B．60° C．75° D．105°【答案】C【分析】本题主要考查学生对特殊的三角函数值以及三角形的内角和的掌握，由|cosA-12|≥0，tanB-12≥0，且cosA-【详解】解：∵|cosA-12∴|cosA-∴cosA=∴∠A=60°，∴∠C故选：C．【变式9-2】，tanA-1+A．75° B．60° C．45° D．105°【答案】A【分析】本题考查算术平方根和平方根的非负性，特殊角三角函数值，三角形内角和定理等．根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分均为零．结合三角函数可求出∠A和∠B的度数，再利用三角形内角和计算【详解】解：由题意得：tanA-1∴tanA=1，∴在锐角范围内，∠A=45°，∴∠C故选A．题型题型十利用特殊锐角三角函数判断三角形的形状【例10】（23-24九年级下·福建龙岩·阶段练习）在△ABC中，若2cosA-2A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形【答案】D【分析】根据非负数的和为零，可得每个非负数同时为零，根据特殊角三角函数值，可得A、B的值，根据直角三角形的判定，可得答案．本题考查了特殊角三角函数值，直角三角形的判定，熟记特殊角三角函数值是解题关键．【详解】解：∵2∴2cosA∴cosA=∴∠A=45°∴∠C∴△ABC故选：D．【变式10-1】sinB=cos90°-∠A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键，根据特殊角的三角函数值即可求出∠B【详解】解：∵sinB∴90°-C∴∠C∴∠B∴△ABC故选：A．【变式10-2】（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）在△ABC中，若sinA-32【答案】等边【分析】直接绝对值的性质以及偶次方的性质得出sinA=3【详解】解：∵|sin∴sinA=∴∠A=60°，∴△ABC故答案为：等边．【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．题型题型十一已知角度比较三角函数值的大小【例11】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）sin46°,cos46°,A．tan46°<cos46°<C．sin46°<cos46°<【答案】D【分析】该题考查了特殊角的三角函数值，比较三角函数在46°时的大小关系，需利用三角函数在锐角范围内的变化规律．首先比较sin46°和cos46°的大小，再分析【详解】解：∵sin∴tan又∵cos∴sin∴tan故选：D．【变式11-1】三角函数sin30°、cos16°、sin43°A．sin43°>cos16°>C．cos16°>sin43°>【答案】C【分析】本题考查三角函数值的大小比较，掌握正余弦的转换方法：一个锐角的余弦值等于它的余角的正弦值，由cos16°=sin90°-16°【详解】解：∵cosα=sin∴cos16°=sin当0≤α∴sin∴cos16°>故选：C．【变式11-2】（23-24九年级下·山东济宁·开学考试）比较tan52°，cos21°，sin49°A．tan52°<cos21°<C．sin49°<tan52°<【答案】D【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键，根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断．【详解】∵cos21°=∴cos21°>∵tan52°>tan45°，∴tan52°>1，sin∴sin49°<故选：D．题型题型十二由三角函数值判断锐角的取值范围【例12】（23-24九年级上·北京昌平·期末）若∠A是锐角，且sinA=A．0°<∠A<30° BC．45°<∠A<60° D【答案】A【分析】本题主要考查了锐角三角函数的增减性，锐角的正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），正确理解锐角正弦值的增减性是解题的关键．根据正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小），及30°、45°、60°的正弦值可求解．【详解】解：∵∠A是锐角，且sin∴0°<∠A故选：A．【变式12-1】（23-24九年级上·安徽六安·期末）若cosα=4A．0°<α<30° BC．45°<α<60° D【答案】B【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，关键是熟练掌握当角度在0°~90°间变化，①正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）；②余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）；③正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）．根据余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大），判定即可．【详解】解：∵cos30°=3∵22∴30°<α故选：B．【变式12-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）若锐角α满足12<cosα<A．0°<α<45° BC．45°<α<60° D【答案】C【分析】本题考查特殊角的三角函数值，以及余弦的性质，根据余弦值随着锐角度数的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：∵cos60°=12∴45°<α故选C．题型题型十三由同角三角函数求值【例13】（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知tanα=2，则sin2A．23 B．43 C．4 D【答案】B【分析】本题考查了锐角三角函数的混合运算，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键．根据锐角三角函数的计算得到tanα=sin【详解】解：∵tanα∴sin2故选：B．【变式13-1】（23-24九年级上·四川内江·阶段练习）已知tanα=2，则2sin【答案】5【分析】分子分母同时除以cosα，化成正切代入tanα【详解】解：∵sinα∴tanα∵tanα=2∴sinα∴2故答案为：5．【变式13-2】（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知Rt△ABC中，∠C=90°，cosB=2【答案】1【分析】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：sin2【详解】解：∵sin2B+∴sin2∵∠B∴sinB∴sinB故答案为：13题型题型十四互余两角三角函数的关系【例14】（2024·全国·九年级课时练习）在△ABC中，∠C＝90°，sinA=35，则sinB等于(

A．25 B．35 C．45【答案】C【分析】根据互余两角三角函数的关系：sin2A+sin2B=1解答．【详解】∵在Rt△ABC,∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，∴sin2A+sin2B=1，sinB>0，∵sinA=35∴sinB=1-(35故选C.【点睛】本题考查的是三角函数，熟练掌握三角函数是解题的关键.【变式14-1】（20224·全国·九年级单元测试）若α为锐角，且cosα＝1213，则sin(90°－α)的值是(A．513 B．1213 C．512【答案】B【分析】根据：若α+β【详解】由锐角三角函数性质可知：sin(90°－α)=cosα＝12故选B【点睛】本题考查两角和的余弦公式的应用，利用已知条件对角进行分解是解题关键．【变式8-2】（2024全国·九年级专题练习）已知α，β都是锐角，且α+β=90°，sinα【答案】60°【分析】根据互余两角的三角函数的关系得出cosβ=sin【详解】解：∵α+∴cosβ∵sinα2sinα=∴锐角α=60°故答案为：60°.【点睛】本题考查了互余两角的三角函数的关系，特殊角的三角函数值的应用，解此题的关键是求出sinα题型题型十五锐角三角函数与网格问题【例15】（24-25九年级下·黑龙江佳木斯·阶段练习）如图，在网格中每个小正方形边长为1，若点A、B、C均在格点上，则cos∠BAC的值为（A．55 B．255 C．1【答案】B【分析】本题考查求角的余弦值，勾股定理，连接BC，根据勾股定理的逆定理判定△ABC【详解】解：如图，连接BC，由格点及勾股定理知：AB2=22∵2+8=10，∴BC∴△ABC是直角三角形，∠∵AB=∴cos∠故选：B．【变式15-1】（2025·陕西榆林·模拟预测）如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点（小正方形的顶点）上，则tan∠BAC的值为（

A．12 B．2 C．3 D．【答案】D【分析】本题考查网格中的三角函数值，作BD⊥AC，勾股定理，求出【详解】解：作BD⊥由网格特点和勾股定理，得：AD=12∴tan∠故选D．【变式15-2】18．△DCF的面积=9-3-1-=7∴12∴5FG∴FG=在Rt△DFG中，由题意得：AB∥∴∠BED∴sin故答案为：72【变式15-2】（24-25九年级上·甘肃天水·期中）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段AC和BD的端点都在网格线的交点上．若AC与BD相交于点E，则tan∠AEB的值为（

A．55 B．12 C．25【答案】B【分析】本题考查了求正切值，平行四边形的判定与性质，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．取格点F，连接DF、BF，根据网格的特点可推出四边形AFDC为平行四边形，从而得到∠AEB=∠FDB，然后根据勾股定理的逆定理可得∠【详解】解：取格点F，连接DF、BF，如图，∵CD=AF=1∴四边形AFDC为平行四边形，∴AC∴∠AEB∵BF2=1∴B∴∠DBF∴tan故选：B．题型题型十六解直角三角形【例16】（2025·山西朔州·三模）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别为AB，AC边上的点，且∠B=2∠ADE，AE=BD【答案】10【分析】本题主要查了平行线分线段成比例，角平分线的性质，解直角三角形．作∠EDF=∠ADE，DF,AC交于点F，过点E作EG⊥AB于点G，则∠ADF=2∠ADE，可得∠ADF=∠B【详解】解：如图，作∠EDF=∠ADE，DF交AC于点F，过点E作EG⊥AB∵∠B∴∠ADF∴DF∥∵∠ACB∴∠AFD∵EG⊥∴EF=在Rt△∵BC=6，tan∴AC=BC×∴AB=10设EG=3x，则∴AD=10-5∵DF∥∴ADAB即10-5x解得：x=∴BD=5故答案为：10【变式16-1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，在△ABC中，∠B=30°,∠C=45°,【答案】AB=42【分析】本题考查了解直角三角形．作AD⊥BC于点D，证明△ADC为等腰直角三角形，求得AD=DC【详解】解：作AD⊥BC于点∵∠C=45°，AD∴△ADC∵AC=4∴AD=在Rt△∵∠B∴AB=2∴BD=∴BC=综上，AB=42，【变式16-2】（23-24九年级上·江苏泰州·期中）如图，AD是△ABC的中线，

求：(1)BC的长；(2)∠ADC【答案】(1)6(2)5【分析】本题考查解直角三角形的应用、锐角三角函数等知识，解题的关键是：（1）作AH⊥BC于H．在Rt△ACH中，求出AH=（2）在Rt△ADH中，求出DH，【详解】（1）解：如图，作AH⊥BC于

在Rt△ACH中，∵cos∴CH=1，在Rt△ABH中，∴BH∴BC（2）∵BD∴CD=3，DH=2在Rt△ADH中，∴∠ADC的正弦值为5题型题型十七解非直角三角形【例17】（24-25八年级下·福建福州·期中）如图，在△ABC中，∠BAC=135°， A．25 B．42 C．210【答案】C【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，作CD⊥AB交BA的延长线于D，求出△CAD是等腰直角三角形，结合勾股定理得出AD【详解】解：如图，作CD⊥AB交BA的延长线于∵∠CAB∴∠CAD∴△CAD∴AD=∵AD2+CD∴AD=∴BD=∴BC=故选：C．【变式17-1】（22-23九年级上·江苏南通·期末）如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tan

A．2+23 B．3+3 C．4 D【答案】D【分析】作CD⊥AB于D，根据∠A=30°，AC=23，算出CD和AD，再根据【详解】如下图，作CD⊥AB于

在Rt△ACD中，∠A∴CD=1在Rt△BCD中，∴3∴BD∴AB故选：D．【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．【变式17-2】（23-24九年级下·山东枣庄·阶段练习）已知在△ABC中，∠A=60°，AB=1+3A．45° B．75° C．90° D．105°【答案】B【分析】过点C作CD⊥AB，垂足为D，根据∠A=60°，得出∠ACD=30°,进而求得【详解】解：如图所示，过点C作CD⊥AB，垂足为在Rt△ADC中，∴∠ACD∴sin∴∴BD∴CD=在Rt△∵∴∠∴∠故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形，构造直角三角形，掌握直角三角形的边角关系是解题的关键．题型题型十八利用解直角三角形求图形的面积【例18】已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，则△ABC的面积为（

）A．122 B．C．243 D．【答案】D【分析】画出图形，利用三角函数求出BC边上的高，再计算面积即可.【详解】根据题意作△ABC如图所示，过A作AD⊥BC于D，∵在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=6，∴sin∠B=ADAB∴AD=33∴S△ABC=1故选D.【点睛】本题考查特殊角度的三角函数值的应用，熟记特殊角度的三角函数值是关键.【变式18-1】如图，cosB=22，sinC=3A．42 B．43 C．44 D．45【答案】A【分析】过点A作AD⊥BC于点D，根据锐角三角函数的定义，求出AD、BD和CD的长度．【详解】过点A作AD⊥BC于点D，∵sinC＝ADAC∴AD＝AC•sinC＝6，∴由勾股定理可知：BC＝8，∵cosB＝22∴∠B＝45°，∴BD＝AD＝6，∴BC＝14，∴△ABC的面积为12BC•AD＝12×6×14＝故选A．【点睛】考查解直角三角形，解题的关键是根据锐角三角函数求出AD与BC的长度.【变式18-2】（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在△ABC中，∠(1)求AC的值．(2)求△ABC【答案】(1)AC(2)△ABC的面积为【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形．（1）过点C作CD⊥AB于点（2）利用勾股定理及三角形面积求解即可．【详解】（1）解：如图，过点C作CD⊥AB于点在Rt△BCD中，∠B∴BD=∴CD在Rt△∵∠A∴AC（2）解：由（1）知：在Rt△ACD中，AC=6∴AD∴AB∴S△题型题型十九解直角三角形的应用---仰角俯角问题【例19】（2025·四川绵阳·二模）如图，在小山的东侧A点有一个热气球，受西风的影响，以20m/min的速度沿与地面成75°角的方向飞行，15min后到达点C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A，

A．3002m B．3752m C．【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长．在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD【详解】解：如图，作AD⊥BC于

在Rt△ACD中，∠ACD∴AD=在Rt△ABD中，∵∴AB=2故选：A．【变式19-1】（2025·海南·模拟预测）定滑轮能改变力的方向，使得施力方向转变为容易出力的方向．某班“综合与实践”小组的同学在课余时间测量“定滑轮距地面的高度”．如图，点O处放置一定滑轮，点A，B，B'，C，C'，O均在同一竖直平面内，在点B处测得定滑轮O的仰角为30°，小组成员站在A处，拉动绳子，使得物体移动至点B'处，在点B'处测得定滑轮O的仰角为60°，物体从点B移动到点B'处绳子收回的长度为4m，已知物体的高度A．3-3m B．3+3m【答案】C【分析】本题考查解直角三角形的实际应用（仰角问题），解题的关键是通过作辅助线，利用解直角三角形求解．过点O作OD⊥CC'交CC'的延长线于点D，延长BB'交OD于点E，，根据题意，在Rt△BEO中，OB=【详解】如解图，过点O作OD⊥CC'交CC'的延长线于点D，延长根据题意，得B'C'∵∠EBO∴OB=在Rt△∵∠E∴OB∵绳子收回的长度为4m∴OB-OB∴OD=故定滑轮O距地面的高度为4+3故选：C．【变式19-2】（2025·安徽滁州·二模）为了将所学的知识应用于实践，聪聪计划测量一下他家（楼AB）前面的楼CD的高度．如图，他首先在AC间的点M处架了测角仪，测得楼CD楼顶D的仰角为45°已知AM=4米，测角仪距地面MN=1米，然后又到家里（点P处），用测角仪测得楼CD楼顶D的仰角为37°，AP=4米，请求出楼CD的高度．（参考数据：sin37°≈0.6，【答案】25米【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，如图，过点N作NG⊥DC于点G，延长DP，GN，交于点H，GH交AB于点J，由题意，得四边形AJNM是矩形，∠H=37°，∠DNG=45°，则PJ=PA-AJ=3米．在Rt△DNG中，∠DNG【详解】解：如图，过点N作NG⊥DC于点G，延长DP，GN，交于点H，GH交AB于点则四边形AJNM是矩形，∠H=37°，∠DNG=45°，∴PJ在Rt△DNG中，∴NG在Rt△PHJ中，设NG=在Rt△DHG中，tanH解得x=24则DC=∴楼CD的高度为25米．题型题型二十解直角三角形的应用---方位角问题【例20】（24-25八年级下·河南平顶山·期末）如图，一条笔直的东西公路的北边有一个建筑物C，小明在公路上的点A处测得建筑物C在北偏东60°的方向上；小明向东走20米到达点B处，测得建筑物C在北偏东30°方向上．则建筑物C到公路l的距离为（

）A．10米 B．103米 C．15米 D．3【答案】B【分析】本题考查了解直角三角形的知识，解决此题的关键是弄清直角三角形的三边与其锐角的关系，进而列出有关的等式，解之即可．分别在两个直角三角形中由锐角三角函数的定义用PC分别表示出AP、BP，利用两线段的差等于20列出关于线段PC的式子，求得PC即可．【详解】解：过点C作CP⊥AB，∵在Rt△PBC中，∴BP∵在Rt△PAC中，∴AP∵AB=∴3解得：PC=10故选：B．【变式20-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）某校组织一次定向越野拉练活动．如图，A点为出发点，途中设置两个检查点，分别为B点和C点，行进路线为A→B→C→A，B点在A点的南偏东25°方向32km处，C点在A点的北偏东80°方向，【答案】3+【分析】本题主要考查三角函数的应用．过点A作AD⊥BC，垂足为D，由等角对等边得出【详解】解：过点A作AD⊥BC，垂足为∴∠ADB=∠∵∠ABD∴∠BAD∴AD在Rt△∵sin∴AD∴BD在Rt△∵tan∴CD∴BC故答案为：3+3【变式20-2】（2025·安徽合肥·二模）我军舰在点A的北偏东35°方向上的点C处，发现一艘靠近我内海的不明军舰，立即通知我军在点B的执行任务的军舰进行跟踪伴行．已知点A在点B的南偏西65°的方向上，点Ｃ在点B的北偏西52°，点A，C之间相距20海里，求点B，C之间的距离．（结果保留0.1海里）参考数据：sin63°≈0.89，cos63°≈0.45【答案】点B，C之间的距离为11.2海里【分析】本题考查了方位角问题，掌握以上知识是解答本题的关键；作CD⊥AB于点D，根据题意可得∠CAB=30°，∠ABC=63°，然后在【详解】作CD⊥AB于点D，由题意知，∠CAB=30°，在Rt△ACD中，∠ADC∴CD=在Rt△BCD中，sin∠∴BC=答：点B，C之间的距离为11.2海里；题型题型二十一解直角三角形的应用---坡度问题【例20】（24-25八年级下·浙江杭州·期中）如图，某拦水坝横截面如图所示，若迎水坡AB的坡比是1:3，坝高BC=12m，则迎水坡AB的长度是(

)A．24 B．242 C．36 D．【答案】D【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出AC的长是解题的关键．利用坡比的定义得出AC的长，进而利用勾股定理求出AB的长．【详解】解：∵迎水坡AB的坡比是1:3，坝高BC=12∴BC解得：AC=36则AB=故选：D．【变式20-1】（24-25九年级上·海南海口·期中）图为某拦河坝改造前后河床的横断面示意图，AD∥BC，坝高DC=8m，将原坡度i=1:0.25的迎水坡面AB改为坡角为60°的斜坡EB，此时，河床面的宽减少的长度AE等于（结果精确到0.1mA．2m B．2.6m C．3.2m D．3.6m【答案】B【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，过点A作AF⊥BC于F，过点E作EH⊥BC于H，根据坡度的概念求出BF，根据正确的定义求出【详解】解：如图，过点A作AF⊥BC于F，过点E作EH⊥则AF=EH=∵斜坡AB的坡度i=1:0.25，AF∴BF=2在Rt△EBH中，tan∠∴BH=∴AE=故选：B．【变式20-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）在阳光下，测得一根与地面垂直、长为1米的竹竿的影长为2米．同时一同学测量一棵树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，如图，树的影子恰好落在地面和一斜坡上，此时测得地面上的影长EF为6米，坡面上的影长FG为4米．已知斜坡的坡角∠GFN为30°【答案】3+5【分析】此题考查了解直角三角形的应用．延长AG交EF延长线于D点，作GM⊥ED于M，求出GM=2（米），FM=23（米），在Rt△GMD中，GM【详解】解：延长AG交EF延长线于D点，作GM⊥ED于在Rt△GFM中，∠GFM∴GM=2（米），FM在Rt△∵GM:∴DM=4∴ED=在Rt△AED中，题型题型二十二解直角三角形的应用---其它问题【例22】（2025九年级下·广东深圳·学业考试）如图是某壁挂台灯的侧面示意图，已知台灯底部离桌面距离CD=20cm，支架长BC=15cm，灯长AB=16cm，当支架BC与墙壁的夹角、灯罩AB与水平面的夹角均为30°时，阅读时光照效果最佳，此时点A．34cm B．41cm C．45cm D．50cm【答案】B【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点B作直线CD的垂线，垂足为E，过点A作直线BE的垂线，垂足为F，分别解直角三角形求出AF，【详解】解：如图所示，过点B作直线CD的垂线，垂足为E，过点A作直线BE的垂线，垂足为F，在Rt△ABF中，∴AF=在Rt△EBC中，∴CE=∴AF+故选：B．【变式22-1】（2025·四川南充·三模）如图，将教室两扇窗户向外推开相同的角度，形成通风的缝隙CD，已知AC=BD=12AB=1A．2-2m B．2m C．1-【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用、勾股定理以及平行四边形的判定与性质，正确添加辅助线，构造直角三角形，是解题的关键．如图所示，作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，求出AE、【详解】解：如图所示，作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点则AE=BF=因为AC=所以AB=2所以CD=故选：A．【变式22-2】（2025·内蒙古包头·三模）在汉代之后，荡秋千逐渐成为清明、端午等节日进行的民间习俗活动并流传，现在也深受儿童的喜爱．如图所示成都市某公园的秋千，秋千链子的长度为4m，当摆角∠AOC为30°时，座板离地面的高度AM为1m，当摆动至最高位置时，摆角∠BOC为【答案】2【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点A作AD⊥ON，垂足为D，过点B作BE⊥ON，垂足为E，根据题意可得：AM=DN=1m，OA=OB=OC=4【详解】解：过点A作AD⊥ON，垂足为D，过点B作BE⊥由题意得：AM=DN=1在Rt△AOD中，∴AD=1在Rt△BOE中，∠BOC∴OE∴EN∴座板距地面的最大高度为(23故答案为：23题型题型二十三用计算器求锐角的三角函数值【例23】（24-25九年级上·山东烟台·期中）已知∠A是锐角，且A的大小是的计算结果，则∠A的度数为（

A．30° B．45° C．60° D．75°【答案】A【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，根据算式结合特殊角的三角函数值求解即可．【详解】解：由图可知，∠A的正切值是3∴∠A的度数为30°故选A．【变式23-1】（24-25九年级上·山东烟台·期中）利用科学计算器计算13cos52°A． B．C． D．【答案】A【分析】本题主要考查了计算器－三角函数．简单的电子计算器工作顺序是先输入者先算，根据按键顺序写出式子，再根据开方运算即可求出显示的结果．【详解】解：利用该型号计算器计算13

故选：A．【变式23-2】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=3A． B．C．D．【答案】A【分析】本题主要考查了正切的定义，用计算器求一个角的正切值，解题的关键是熟练掌握正切定义，根据∠C=90°，BC=2，AC【详解】解：由tanA=BC故按键顺序为，故选：A．题型题型二十四锐角三角函数的综合运用【例24】（2025·北京延庆·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D为AC中点，以BC，CD为一组邻边作▱BCDE，DE与AB交于点O，连接(1)求证：四边形AEBD是菱形；(2)若BC=82，tan∠【答案】(1)见解析(2)2【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合直角三角形的性质，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可证明四边形AEBD是菱形；（2）根据菱形的性质，三角形中位线定理，三角函数的应用，解答即可．【详解】（1）证明：∵▱BCDE∴CD即AD∥∵Rt△ABC中，∠ABC=90°∴BD∴AD∥BE∴四边形AEBD是平行四边形．又∵AD∴四边形AEBD是菱形．（2）∵菱形AEBD，∴O为AB中点，AB⊥∴OD是△ABC∴OD又∵BC∴OD∵在Rt△ODB中，∴OB∴OB∴BD【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线定理，勾股定理，正切函数的应用，平行四边形的性质，熟练掌握性质和定理是解题的关键．【变式24-1】（23-24九年级上·山东聊城·阶段练习）在△ABC中，AC=42，BC=6，(1)求△ABC(2)求AB的值；(3)求cos∠ABC【答案】(1)12(2)2(3)5【分析】（1）过点A作AD⊥BC，根据∠C的正切值确定∠C的度数，再利用直角三角形的边角间关系求出AD、（2）先利用线段的和差关系求出BD，然后在Rt△ABD中利用勾股定理求出（3）在Rt△ABD中利用直角三角形的边角间关系求出【详解】（1）解：过点A作AD⊥BC，垂足为∴∠ADC∵∠C为锐角且tan∴∠C∴∠DAC∴∠DAC∴AD=在Rt△∵sinC=AD∴DC=∵BC=6∴S△∴△ABC的面积为12（2）∵DC=AD=4∴BD=在Rt△AB=∴AB的值为25（3）在Rt△ABD中，AB=2∴cos∠ABC∴cos∠ABC的值为5【点睛】本题主要考查解直角三角形，掌握直角三角形的边角间关系、特殊角的三角函数值、三角形的面积公式及勾股定理是解题的关键．【变式24-2】（2025·江苏扬州·一模）如图，在▱ABCD中，E，F是对角线BD上的两点（点E在点F左侧），且∠(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)当AB=5，tan∠ABE=3【答案】(1)见解析(2)EF【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、锐角三角函数定义等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．（1）证AE∥CF，运用平行四边形的性质得AB∥CD，再证（2）由锐角三角函数定义和勾股定理求出AE=3，BE=4，再证∠ECF=∠CBE，则tan【详解】（1）证明：∵∠AEB∴AE⊥BD∴AE∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD∴∠ABE在△ABE和△∠AEB∴△ABE∴AE∴四边形AECF是平行四边形；（2）解：在Rt△ABE中，设AE=3a，则由勾股定理得：(3a解得：a=1或a∴AE=3，由（1）得：四边形AECF是平行四边形，∴∠EAF=∠ECF∵∠CBE∴∠ECF∴tan∴CFBF∴C设EF=x，则∴3解得：x=13-2即EF=基础巩固通关测基础巩固通关测1．（2024秋•南关区校级期中）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，则cosA的值为（）A．35 B．45 C．34 【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可．【解答】解：∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，∴AC=∴cosA=故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义以及勾股定理，正确把握锐角三角函数关系是解题关键．2．（24-25九年级上·湖南常德·期末）将Rt△ABC的斜边和直角边都扩大到原来的n倍，那么锐角A的三角函数值（A．都扩大到原来的n倍 B．都缩小到原来的1C．没有变化 D．只有tanA【答案】C【分析】本题主要考查了锐角三角形函数值的知识点，解题的关键理解锐角三角函数的概念．根据锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于锐角A所在直角三角形的边的比值，求解即可．【详解】解：∵锐角A的各个三角函数值等于锐角A所在直角三角形的边的比值，∴Rt△ABC的斜边和直角边都扩大到原来的n倍，锐角故选：C．3．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）如图，点A为∠α边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥ABA．CDBC B．ACAB C．ADAC【答案】D【分析】本题考查锐角三角函数的定义．根据在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，可得答案．【详解】解：∵AC⊥BC，∴∠ACB∴∠αA、在Rt△BCD中sinαB、在Rt△ABC中sinαC、在Rt△ACD中sinαD、在Rt△BCD中cosα故选：D．4．，若cosA-32A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】B【分析】本题考查根据特殊角的三角函数值求角度，绝对值的非负性，牢记特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：∵cos∴cosA-3解得：∠A=30°，∴∠C∴△ABC故选B．5．（2025·四川绵阳·二模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是37°，测得这栋楼的底部B处的俯角是60°，热气球与这栋楼的水平距离是30米，那么这栋楼的高度是（

）米（精确到1米）．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75A．74 B．91 C．57 D．40【答案】A【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．过点A作AD⊥BC于点D，则AD=30米，在Rt△ADB中和Rt△ACD【详解】解：过点A作AD⊥BC于点D，由题意可得，∠CAD=37°，∠BAD在Rt△ADC中，∴CD=AD·tan在Rt△ADB中，∴BD∴BC=BD+即这栋楼的高度BC是74米.故选：A．6．（2025·吉林长春·二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E在DC上，把△ADE沿AE折叠，点D恰好落在BC边上的点FA．74 B．73 C．34【答案】C【分析】本题考查矩形的性质、翻折变换的性质、同角的余角相等、解直角三角形等知识，推导出∠CFE=∠BAF是解题的关键．由矩形的性质得∠B=∠D=90°，AD=BC=8，由翻折得∠AFE【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AB=6，BC∴∠B=∠D∵把△ADE沿AE折叠，点D落在BC边上的点F处，∴∠AFE=∠D∵∠CFE+∠AFB∴∠CFE∴cos故选：C．7．（2025·湖北武汉·模拟预测）甲乙两人约好一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿AC的长为4m，露在水面上的鱼线BC的长为22m，把鱼竿AC逆时针转动15°到AC'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C'的长度是【答案】3.5【分析】本题考查了解直角三角形——特殊角的三角函数的应用，解题关键是能利用三角函数值求出角，以及利用特殊角的三角函数值求出线段的长．先求出∠CAB，在求出∠【详解】解：∵sin∠∴∠CAB∴∠C∴B'∴B'故答案为：3.5．8．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）α为锐角，若sinα+cosα=【答案】0【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，设a=sinα【详解】解：设a=sin∵sinα+∴a∴2∴a∴a-即sinα-故答案为：0．9．（2025九年级下·全国·专题练习）在△ABC中，∠A、∠B满足：2【答案】等边三角形【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，三角形的分类，先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值求出∠A、∠【详解】解：∵2sin∴2sin∴sinA∴∠A∴∠C∴△ABC故答案为：等边三角形．10．（23-24九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝60°，若DE⊥AB，垂足为点E，则DE的长为．【答案】3【分析】由已知的DE⊥AB，根据垂直的性质得到∠AED=90°，即三角形ADE为直角三角形，在此直角三角形中，根据正弦函数得到sin60°=【详解】解：∵DE⊥∴∠AED在Rt△ADE中，∠BAD∴sin60°=则DE=故答案为：3．【点睛】题目主要考查利用锐角三角函数解三角形及特殊角的三角函数值，菱形的性质等，深刻理解锐角三角函数的性质是解题关键．11．（24-25九年级上·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，点P-3, m在第二象限内，若OP与x轴负半轴的夹角α的正切值为54【答案】15【分析】本题主要考查解直角三角形．过点P作PA⊥x轴，交x轴于点A，根据题意得出tanα【详解】解：过点P作PA⊥x轴，交x轴于点∵点P-3,∴PA=m∵tanα=5∴m3∴m故答案为：15412．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）如图，某高速公路建设中需要测量一条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为50°和30°，若飞机离地面的高度CH为100米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为米（已知tan60°≈1.732，tan4

【答案】89【分析】本题考查了解直角三角形的应用．根据锐角三角函数的定义求出BH=CH⋅【详解】解：由题意可得：∠BCH=90°-∠DCB则在直角三角形CBH中，BH=在直角三角形CAH中，AH=∴AB=故答案为：89．能力提升进阶练能力提升进阶练13．计算：（1）6sin30°tan60°+cos245；（2）cos60°tan【答案】（1）33（2）-3【分析】（1）根据特殊角的三角函数值解决此题．（2）根据特殊角的三角函数值解决此题．【解答】解：（1）6sin30°tan60°+cos245=6×1=33（2）cos60°tan=1=-3【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解决本题的关键．14．（2025九年级下·浙江·专题练习）在△ABC中，∠B=120°,【答案】2【分析】本题主要考查解直角三角形，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键．过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，由平角的定义可求解∠CBD=60°，通过解直角三角形可求解BD，CD的长，即可求解【详解】解：过C点作CD⊥AB，交AB的延长线于点∵∠ABC=120°∴∠CBD∵BC∴sin∠CBD即sin60°=CDBC∴CD=3∵AB∴AD∴AC15．（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）在△ABC中，AB=6，∠B为锐角且cos(1)求∠B(2)求BC的长．【答案】(1)∠(2)BC【分析】此题考查了解直角三角形，勾股定理，熟练掌握各锐角的三角函数值及各锐角三角函数的计算公式是解题的关键．（1）根据函数值直接得到∠B（2）过点A作AH⊥BC于H，根据cosB=12求出BH=3，利用勾股定理求出AH【详解】（1）解：∵∠B为锐角且cos∴∠B（2）解：过点A作AH