北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》专项检测卷及答案

第第页北师大版九年级数学上册《特殊平行四边形》专项检测卷及答案一、选择题1.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=70∘，点E为对角线BD上一点，点F为AD边上一点，连接AE，CE，FE，CF，若AE=FE，∠BCE=25∘，则∠CFD的度数为(

)A.50∘ B.55∘ C.二、解答题2.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，CE⊥AB于点E，F为线段AE上一点，若AC=6，BD=8，AF=49AE，求线段CF的长．

3.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60∘，E为对角线AC上一点，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转60∘，点E的对应点为点F，连接BE，AF，CF.(1)求证：B，C，F三点共线；(2)若G为BE的中点，连接AG，求证：AF=2AG.4.如图，在菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，连接AE，AF，若sin∠EAF=45，AE=5，求AB的长．

5.如图，在菱形ABCD中，∠D=60∘，点E是边AD上的点，点F是边BC上的点，将菱形ABCD沿直线EF折叠，点C的对应点为C′，点D的对应点为D′.

(1)如图①，若点F与点B重合，AB=6，连接AC′，AD′，当∠C′AD′=90∘时，求(2)如图②，连接BE，CE，若C′D′过点A，且C′F所在直线垂直于AB，求S△BEF6.如图，四边形ABCD是菱形，M为CD边上一点(不与点C，D重合)，过点A作直线BM的垂线交BM于点E，F是直线BM上一点(点F在点E右侧)，连接AF，DF，且∠EAF=12∠BAD.

(1)如图①，当∠EAF在∠BAD内部时，求证：DF=BF−2BE；(2)如图②，当∠EAF的边AE，AF分别在边AB的两侧时，判断(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．7.如图，若将四边形ABCD沿AC折叠，则点B与点D重合，过点B作BE//CD交AC于点E，连接DE.

(1)求证：四边形BCDE为菱形；(2)连接BD，若四边形BCDE的周长为14，面积为132，求BD+CE8.如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，连接AC，P，Q分别是边AD，BC上的动点，且AP=BQ，作PE⊥AC于点E，QF⊥AC于点F，求PE+QF的值．

9.如图，在正方形ABCD中，AB=6，M为BC延长线上一点，且CM=12BC，N为AB上一点，连接NC并延长交DM的延长线于点G，若∠G=45∘，求△NBC10.我们把长与宽之比为2:1的矩形称为“标准矩形”．在现实生活中，我们经常会看到许多“标准矩形”，如我们的课本封面、A4的打印纸等．

(1)如图①，四边形ABCD是“标准矩形”(AB<AD)，∠ADC的平分线交边BC于点E，过点A作DE的垂线，垂足为H，连接CH并延长交边AB于点F，连接AE交CF于点O.求证：O为AE的中点；(2)如图②，四边形ABCD是“标准矩形”(AB<AD)，点R在AD上，点T在AD的延长线上，且AR=DT，点M，N分别是RT，BC上的动点，且RM=CN，连接CT，G是CT的中点，AB=2，连接MG，GN，NM，判断△MNG的面积是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是定值，请说明理由．11.如图，正方形ABCD中，E是对角线AC上的一点，连接DE.过点E作EF⊥ED，交AB于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG.

(1)求证：四边形DEFG是正方形；(2)连接AG，判断AE+AGAD12.(1)问题情境数学活动课上，小刚与小强玩折纸游戏，小刚用如图①所示的矩形纸片ABCD，先对折使得AD与BC重合，展开后得到折痕EF，再沿BM折叠使得点A的对应点N恰好落在EF上，展开后小强通过测量得出∠AMN的度数是120(2)独立思考爱思考的小强给小刚提出了个问题：如图②，BM交EF于点G，当EG=1，BC=5时，延长BN与矩形ABCD的边交于点H.(1)判断点H会落在边AD上还是边CD上，并说明理由；(2)求DH的长；(3)深入探究小刚和小强通过探讨发现，将矩形纸片经过多次折叠后，能够得到一些特殊的角度．在此兴趣激发下，小刚用一张矩形纸片ABCD进行折叠，如图③，首先他将纸片ABCD沿AE折叠，使得点B落在AD边上的点F处，展开后再沿过点D的直线折叠，使得点C落在AD上的点N处，点E也恰好落在AE上的点M处，折痕与AE交于点G，测量∠ADM的度数为3013.在矩形ABCD中，E是CB延长线上一点，连接AE，DE.

(1)如图①，F，G分别是AE，BC的中点，连接FG交DE于点H，求证：HE=HG；(2)如图②，当BE=AB时，过点A作AP⊥DE于点P，连接PB，求证：PE−PA=14.已知正方形ABCD的边长为4，△BEF为等边三角形，点E在AB边上，点F在AB边的左侧．

(1)如图①，若D，E，F在同一直线上，求BF的长；(2)如图②，连接AF，CE，BD，并延长CE交AF于点H，若CH⊥AF，求证：2(3)如图③，将△ABF沿AB翻折得到△ABP，点Q为AP的中点，连接CQ，若点E在射线AB上运动，请直接写出线段CQ的最小值．15.如图，在正方形ABCD中，Q为CD上的一个动点，连接AQ，BD，AQ交BD于点M，过点M作MN⊥AQ交BC于点N，过点N作NP⊥BD于点P，连接NQ.

(1)求证：AM=MN；(2)求证：MP=1(3)求证：BN+DQ=NQ；(4)判断AB+BNBM参考答案1.【答案】C

【解析】∵四边形ABCD为菱形，∴AB=BC，∠ABD=∠CBD=12∠ABC，AD//BC.∵BE=BE，∴△ABE≌△CBESAS，∴∠BAE=∠BCE=25∘，EA=EC.∵AD//BC，∠ABC=70∘，∴∠BAD=110∘，∴∠EAF=∠BAD−∠BAE=85∘，∵EA=EF，∴∠EFA=∠EAF=82.【答案】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD交于点O，∴AC⊥BD，BO=12BD=4∴在Rt△AOB中，AB=∵12AC⋅BD=AB⋅CE(∴12×6×8=5CE∵CE⊥AB，∴在Rt△ACE中，AE=∴AF=49AE=∴在Rt△CEF中，CF=

3.【答案】【小题1】证明：∵四边形ABCD是菱形，∠ABC=60∴AB=BC=AD=CD，∠ADC=∠ABC=60∘，∴△ADC是等边三角形，∴AD=AC=CD，∠DAE=∠ADC=60由旋转的性质得DE=DF，∠EDF=60∵∠ADE+∠CDE=60∘，∴∠ADE=∠CDF，∴△ADE≌△CDFSAS，∴∠DCF=∠DAE=6∵∠BCD=120∘，∴∠BCD+∠DCF=180∘，∴B，【小题2】证明：如解图，延长AG至点H，使得AG=HG，连接BH(倍长中线)，∵G为BE的中点，∴BG=GE，∵∠BGH=∠EGA，∴△AGE≌△HGBSAS，∴AE=HB，∠H=∠GAE，∴BH//AC，∴∠ABH+∠BAC=18∵∠BAC=∠ACB=60∘由(1)得△ADE≌△CDF，∴BH=AE=CF，∵AB=AC，∴△ABH≌△ACFSAS，∴AH=AF，

4.【答案】解：如解图①，延长BC，AF交于点M，过点E作EN⊥AF于点N，∵四边形ABCD是菱形，∴AD//BM，AB=AD=CD=BC，∴∠D=∠MCF.∵F是CD的中点，∴DF=CF.∵∠DFA=∠CFM，∴△ADF≌△MCFASA∴AD=CM，AF=MF.∵sin∠EAF=45，AE=5，∴在由勾股定理得AN=∵E为BC中点，∴BE=CE，∵BC=CD，∴BE=DF，∵∠B=∠D，AB=AD，∴△ABE≌△ADF，∴AF=AE=MF=5，∴NF=2，∴MN=5+2=7，在Rt△ENM中，由勾股定理得EM=设CE=x，则CM=2x，∴EM=3x=65，解得∴CM=2x=2【一题多解】如解图②，连接AC，BD交于点O，连接EF交AC于点P，过点E作EH⊥AF于点H，易知AE=AF=5.∵sin∠EAF=4∴在Rt△AHE中，EH=5sin∠EAF=4，由勾股定理得∴HF=5−3=2.∴在Rt△EHF中，由勾股定理得EF=∵E，F分别是BC，CD的中点，∴EF是△BCD的中位线，∴EF=12BD=OB=2∵AC⊥BD，∴AC⊥EF.同理可得EP是△BCO的中位线，∴CP=OP，EP=12在Rt△AEP中，由勾股定理得AP=设CP=x，则OA=OC=2x，∴AP=3x=25，解得x=在Rt△AOB中，由勾股定理得AB=

5.【答案】【小题1】解：如解图①，取CD的中点G，过点G作GH⊥BC交BC的延长线于点H，取C′D′的中点G′，连接BG，AG′，BG′，BG′交AC′于点O，∵∠C′AD′=90∘，G′为C′D′的中点，∵BA=BC′，∴BG′垂直平分AC′，∵AD//BC，∠D=60∘，∴∠HCG=60∵G为CD的中点，CD=AB=BC=6，∴CG=DG=3，AG′=1∴CH=32，GH=3∴BG=BH设OG′=x，则OB=3∵OA∴32−x2解得x=677，∴AC′=2OA=6【小题2】解：如解图②，延长FC′交AB于点M，设BF=a，CF=b，则C′F=b，∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABC=∠D=60∘，∵C′F⊥AB，∴FM=32∴MC′=MF−C′F=由折叠的性质得∠D′C′F=∠DCF=120∘，∴AM=∵AB=BC，∴AM+BM=BF+CF，∴3a2−3∴S△BEFS

6.【答案】【小题1】证明：如解图①，在直线BM上截取B′E=BE，连接AB′(截长法)，∵AE⊥BM，∴AE垂直平分BB′，∴AB=AB′，∴△BAB′为等腰三角形，∴∠BAE=∠B′AE(等腰三角形三线合一).∵∠EAF=∠EAB′+∠B′AF=1∴∠BAE+∠DAF=12∠BAD∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD=AB′，∵AF=AF，∴△B′AF≌△DAFSAS∴DF=B′F=BF−BB′=BF−2BE；【小题2】解：(1)中的结论不成立．理由：如解图②，在直线BM上截取B′E=BE，连接AB′(补短法)，同(1)可得AB=AB′，∠BAE=∠B′AE，∵∠EAF=1∴∠B′AF=∠B′AE+∠EAF=∠BAE+1∴∠B′AF=∠DAF，∵四边形ABCD为菱形，∴AB=AD=AB′，∵AF=AF，∴△B′AF≌△DAFSAS∴DF=B′F=BF+BB′=BF+2BE.

7.【答案】【小题1】证明：∵将四边形ABCD沿AC折叠，则点B与点D重合，∴CD=BC，∠ACD=∠ACB.∵BE//CD，∴∠BEC=∠ACD，∴∠BEC=∠ACB，∴BE=BC，∴BE=CD，∴四边形BCDE为平行四边形．∵CD=CB，∴平行四边形BCDE为菱形；【小题2】解：如解图，设BD与CE相交于点O.∵四边形BCDE为菱形且周长为14，∴CD=7设CE=a，BD=b.∵四边形BCDE的面积为132，∴1∵四边形BCDE为菱形，∴∠COD=90∘，CO=1在Rt△COD中，根据勾股定理得CO即12a2∴a+b2∵a+b>0，∴a+b=53，即BD+CE

8.【答案】解：如图，连接AQ，CP，∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90∘，BC=AD=8，∴AC=∵SS四边形AQCP∴5PE+QF=24(等面积法)，∴PE+QF=24

9.【答案】解：如图，过点C作CH//DG交AD于点H，连接NH，∵四边形ABCD是正方形，∴AD//BC，AD=BC=CD，∠ABC=∠ADC=90∵CH//DG，∴四边形DHCM是平行四边形，∴HD=CM=∵CH//DG，∠G=45∘，∴∠NCH=∠G=45将△CDH绕点C逆时针旋转，使得CD与CB重合，得到△CBE.由旋转的性质得CH=CE，∠CDH=∠CBE=90∘，∠DCH=∠BCE，∴∠CBN+∠CBE=180∘，∴N，B，∵∠NCE=∠NCB+∠BCE=∠NCB+∠DCH=∠BCD−∠NCH=45∴∠NCE=∠NCH=45∵CN=CN，∴△NCH≌△NCE(半角模型得全等)，∴NH=NE=NB+BE=NB+HD，∵四边形ABCD是正方形，AB=6，∴AH=DH=1设BN=x，则AN=6−x，NH=3+x，在Rt△ANH中，NH2=A解得x=2，即BN=2，∴

10.【答案】【小题1】证明：∵四边形ABCD是“标准矩形”，AB<AD，∴AD=∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=45∵AH⊥DE，∴△ADH和△DCE都是等腰直角三角形，∴AD=2AH=∴AH=DH=AB=CD，AD=DE，∴∠AEH=12×∵DH=CD，∠EDC=45∘，∴∠OHA=180∴∠EAH=∠OHA(利用具体角度值得等角)，∴OA=OH.∵∠OHE=∠DHC=67.5∘，∴∠AEH=∠OHE，∴OA=OE，即O为AE的中点；【小题2】解：△MNG的面积是定值，如图，过点G作GP//TM交MN于点P，交CD于点H，则PM=PN，DH=CH=1，∴S△MNG=过点N作NQ//CT，交MT于点Q，交PG于点K，则四边形QKGT，QNCT均是平行四边形．∴KG=QT=CN，∵RM=CN，∴RM=QT.∵GP//TM，PM=PN，∴KQ=KN，∴PK=1∴PG=PK+KG=∵四边形ABCD是“标准矩形”，AB<AD，AB=2，∴AD=2∴PG=1∴△MNG的面积为定值，这个定值为

11.【答案】【小题1】证明：如图，过点E作EQ⊥AD于点Q，EN⊥AB于点N，则∠DQE=∠FNE=90∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAD=∠EAB，EQ=EN，∵∠EQA=∠ENA=∠DAB=90∘，∴四边形ANEQ是矩形，∵EF⊥ED，∴∠DEF=90∴∠DEF−∠FEQ=∠QEN−∠FEQ，即∠DEQ=∠FEN，∴△EQD≌△ENFASA，∴ED=EF∵四边形DEFG是矩形，∴四边形DEFG是正方形；【小题2】解：AE+AGAD由(1)知四边形DEFG是正方形，∴DG=DE，∵∠GDE=∠ADC=90∴∠GDE−∠ADE=∠ADC−∠ADE，即∠ADG=∠CDE，∵AD=CD，∴△ADG≌△CDESAS，∴AG=CE∴AE+AG=AE+CE=AC(通过全等将两条线段首尾相连转化为一条线段)，∵四边形ABCD是正方形，∴AC=2

12.【答案】【小题1】证明：由折叠的性质可得AE=BE=12AB，BN=AB，EF⊥AB∴BE=12BN，∠BEN=90∘∴∠AMN=360【小题2】(1)解：点H会落在边CD上，理由：如图，延长BN交射线AD于点P.∵∠AMN=120∘，∴∠ABN=6∵AE=BE，EF//AD，∴AM=2EG=2，∴MN=AM=2，∴PM=BM=2MN=4，∴AP=AM+PM=6，∵AP>AD，∴点H会落在CD上；(2)解：设DH=x，则PH=2x，∴DP=∵DP=AP−AD=1，∴3x=1，解得x=【小题3】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠B=90由折叠的性质得∠AFE=∠B=90∘，∴四边形ABEF是正方形，∴AB=BE，∴∠EAB=45∘，∴AN=MN(△AMN为等腰直角三角形，为设未知数和表示线段创造条件).设AN=MN=x，∵∠ADM=30∘，∴DM=2x，∴CD=DN=3x，AD=AN+DN=x+即小刚所用的矩形纸片的长和宽的比值是3+

13.【答案】【小题1】证明：如图①，延长BC至点M，使CM=BE，连接AM，则BM=CE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB=DC，AD//BC，∠BAD=∠ABC=∠DCB=90∴△ABM≌△DCESAS，∴∠AMB=∠DEC∵BE=CM，BG=CG，∴G为EM的中点，∵F为AE的中点，∴FG为△AEM的中位线，∴FG//AM，∴∠HGE=∠AMB，∴∠HGE=∠DEC，∴HE=HG；【小题2】证明：如图②，过点B作BQ⊥BP交DE于点Q(截长法)，则∠PBQ=90∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABE=180∴∠ABE−∠QBA=∠PBQ−∠QBA，∴∠EBQ=∠ABP，∵AD//BC，∴∠ADP=∠BEQ，∵AP⊥DE，∠BAD=90∘，∴∠BAP+∠PAD=90∴∠BAP=∠ADP，∴∠BEQ=∠BAP，∵BE=AB，∴△BEQ≌△BAPASA(手拉手全等∴QE=PA，QB=PB，∴△PBQ是等腰直角三角形，∴PQ=2

14.【答案】【小题1】解：∵△BEF是等边三角形，∴∠BEF=60∘，BF=BE，∵∠A=90∘，∴AE=43【小题2】证明：如图①，延长AF，CB交于点G，∵四边形ABCD是正方形，∴BD=∵CH⊥AF，∴∠CHG=∠ABG=90∴∠G+∠BAG=90∘=∠G+∠BCH∵∠ABG=∠CBE=90∘，∴△ABG≌△CBEASA，∴BE=BG，∠G=∠BEC∵△BEF是等边三角形，∴BE=BF=EF，∠BEF=∠BFE，∴BG=BF，∴∠G=∠BFG，∴∠BFG=∠BEC，∴∠GFE=∠CEF，∴∠HFE=∠HEF，∵CH⊥AG，∴∠HFE=∠HEF=45∘(△EFH∴EH=FH，EF=∴BD=2AB=【小题3】解：CQ的最小值为2−

【解析】

3.

【解法提示】分两种情况讨论：①如图②，当点E在线段AB上时，取AB的中点N，连接NQ，∵将△ABF沿AB翻折得到△ABP，∴∠ABF=∠ABP=60∘，∵点Q为AP的中点，点N是AB的中点，∴NQ//BP，∴∠ANQ=∠ABP=60∘，∴点Q在过AB的中点N，且与AB成60∘∠ANQ=60∘的射线NQ上移动(判断出点Q的运动轨迹)，∴当CQ⊥NQ时，CQ的值最小，如图③，延长QN，CB交于点H，∵正方形ABCD的边长为4，点N是AB的中点，∴BN=AN=2，∵∠ANQ=60∘=∠BNH，∴tan∴NQ=HQ−HN=23−1>2，∴BE=BF=BP=2NQ>4，∴此时点E不在线段AB上，即当点E在线段AB上