2025~2026学年九年级数学上册专题提优训练《圆》-含解析

2025-2026学年九年级数学上册专题提优训练《圆》1.如图，在圆0中，直径AB平分弦CD于点E,且CD=4√3,连接AC,OD,若∠A与∠DOB互余，A.2√3B.4C.√3D3.下列说法正确的是()A.平分弦的直径垂直于弦B.圆的内接四边形的对角相等C.三点确定一个圆D.三角形的任意两边垂直平分线的交点是三角形的外心5.如图是一个儿童奇妙屋的主视图，奇妙屋的一个入口是圆的一部分，点O为圆心，该入口的最高点A与圆心的连线的延长线恰好过弦BC的中点M,连接OC.若BC=0.6m,∠MOC=30°,小花身高1.1m,小亮身高1.15m,对于“小花和小亮是否需要弯腰才能进入奇妙屋”,(参考数据：√3≈1.73)以下说法正确的是()A.小亮和小花都不需要B.小亮需要，小花不需要C.小亮和小花都需要D.小亮不需要，小花需要6.如图，△ABC内接于⊙0,连接OB,OC,若∠A=60°,则∠OBC的度数为()A.30°B.35°C.47.点O是△ABC的外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB、AI,若∠CAI=38°,则∠OBC的度数是()A.15°B.14°8.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙0上一点，点D是BC的中点，连接AC,CD,DB,若∠BAC=80°,则∠ACD的度数是()A.100°B.110°C.120°9.小红、小明、小刚、小丽四人进行跳绳比赛，小红的成绩在前三名，小明既没有获得第一名，也不是最后一名，小刚也不是第一名，小丽是第二名.小红是第()名，小明是第()名，小A.三，一，四B.三，四，一C.一，三，四D.四，一，三10.如图，AB是⊙O的一条弦，半径OC交AB于点D,且AD=BD,连接OA,∠OAB=30°,BD=2√3,则阴影部分的周长为()BDABD11.直线1与⊙O相切于点P,点A在直线1上，线段AO与⊙O相交于点B,若AB=2,12.若扇形的圆心角为120°,半径为5,则该扇形的弧长为13.如图，有一直径是√2米的圆形铁皮，现从中剪出一个圆周角是90°的最大扇形ABC,用该扇形铁皮围成一个圆锥，所得圆锥的底面圆的半径为米.14.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠DAB=60°,则∠BCD的度数是15.已知圆锥的侧面积为15π,母线长为5,则圆锥的底面半径是16.如图，已知圆心O在水面上方，且◎O被水面截得弦AB长为4米，⊙0半径长为3米，若点C为圆周的最低点，则点C到弦AB所在直线的距离是_·CAB,则图中阴影部分的面积是BB段CP的最小值为·20.如图，现有圆形木材埋在墙壁里，不知大小，将它锯下测得深度CD为1寸，锯长AB为10寸，21.如图，△ABC内接于◎0,∠C=60°,点E在直径BD的延长线上，且AE=AB.(1)求证：AE是⊙O的切线；(1)如图1,点P是AC延长线上一点，∠APB=∠ADC,求证：BP与⊙O相切；(2)如图2,点G在CD上，OF⊥AC于点F,连接AG并延长交◎O于点H,若CD为⊙O的直②求⊙O半径的长.23.如图所示，AB是⊙O的直径，点DP,过点C作⊙O的切线，交PD的延长线于点E,交AD的延长线于点F.(2)若AF⊥EF,EF=1,求⊙O的半径；(3)若,⊙O的半径是5,连接DC,求四边形POCD的面积.(2)∠A=45°,⊙O的半径为4,求图中阴影部分的面积.(1)求证：AE=CF.②在点P运动过程中，试探索PD,PE,PF之间的数量关系，并证明.26.已知△ABC内接于⊙O,AB是直径，过点A作⊙O的切线MN.(1)如图1,求证：∠ABC=∠MAC;(2)如图2,当D是弧AC的中点时，过点D作DE⊥AB于E.求证：AC=2DE;(3)如图3,在(2)的条件下，DE与AC相交于点F,连接CD,BD与AC相交于点G,若△CDG的面积为12,EF=3,求点C到MN的距离.图1图2(3)如图2,取BC的中点F,将△A'D'C绕着点A旋转一周，点F的运动路径长为28.如图，点D是等边△ABC中BC边的延长线上一点，且AC=CD,以AB为直径作⊙0,分别交(2)连接OC,交⊙O于点G,若AB=8,求线段CE、CG与GE围成的阴影部分的面积S.DDCC(1)①∠ADB=②在线段AD的左侧过点D作∠ADM,使∠ADM=∠ACD,证明：DM是⊙O的切线.(2)过B作AD的平行线，交AC于F,试判断线段EA,CF,EF之间满足的等量关系，并说明理量关系转化为边与边的数量关系，把边与边的数量关系转化为角与角的数量关系.【构造模型】(1)如图①,已知△ABC,在直线BC作图方法，并保留作图痕迹)BB②①②【应用模型】BB③(2)如图②,若◎O的半径r=5,AB=8,求AC+BC的最大值并说明理由.(3)如图③,已知线段MN,AB为⊙O的弦，用直尺与圆规作点C,使AC+BC=MN.(不写作法，保留作图痕迹)31.如图，AB是半圆O的直径，点C是弦AD延长线上一点，连接CB、BD,∠CBD=∠CAB.AA(2)连接OD,若∠CAB=30°,AB=4,求扇形OBD的面积.求作：直线PA和直线PB,使PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B.作法：如图，①连接OP,分别以点O和点P为圆心，大的同样长为半径作弧，两弧分别交于点M,N;②连接MN,交OP于点Q,再以点Q为圆心，0Q的长为半径作弧，交⊙O于点A和点B;③作直线PA和直线PB.所以直线PA和PB就是所求作的直线.根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹);(2)完成证明过程.一点，且OG=OB,连接GH,求GH的长；问题解决(3)如图3,某次施工中，工人师傅需要画一个20°的角，但他手里只有一把带刻度的直角尺，工程监理给出了下面简易的作图方法：①画线段OB=15cm,再过它的中点C作m⊥OB;②利用刻度尺在m上寻找点A使得OA=15cm,再过点A作1//OB;③利用刻度尺过点O作射线，将射线与AC和I的交点分别记为点F、E,调节刻度尺使FE=□cm时(“□”内的数字被汗渍侵蚀无法看清),则∠EOB=20°.你认为监理给的方法可行吗?如果可行，请写出“□”内的数字，并说明理由；如果不可行，请给出可行的方案.34.(1)如图1,用无刻度的直尺和圆规在图1中作出◎O的内接正六边形ABCDEF,保留作图痕(2)如图2、图3是由小正方形组成的6×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.其中点A、点D为格点，⊙O经过点A、点D,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图任务.①如图2,过点O作AD的垂线，交◎O于E,F;②如图3,点B在⊙O上，过点B作弦BC//AD.图1图3(1)画出△ABC右移2个单位，再上移2个单位后得到的△A₁B₁C₁;(2)画出△ABC绕O点顺时针旋转90°后得到的△A₂B₂C₂;(3)求出点A绕O点顺时针旋转90°后到A₂所经过的路径长.36.有公共顶点A的两个正方形ABCD与AEFG,连接DE,BG,点M是BG的中点，连接AM交图1图2图1(1)如图1,当点E,G分别在边AB,AD上时，直接写出线段DE与AM之间的数量关系和位置(2)如图2,将正方形AEFG绕点A顺时针旋转，线段DE与AM之间的数量关系和位置关系是否仍然成立?请说明理由：时，连接BE与CF相交于点H,延长线上的点E,连接DA,DB.(3)延长ED交AB的延长线于F,若AD=DF,DE=√3,求⊙O的半径；38.如图，⊙O为等边△ABC的外接圆，其半径为1,P为弧AB上的动点(P点不与A、B重合),连接AP,BP,CP.39.定义：在平面直角坐标系xOy中，若某函数的图象(1)在点A(2,3),B(-2,-3),C(-3,-2)中，(2)若函数y=-x²+bx存在唯一的“3倍点”,求b的值；(3)若函数y=-x+2m+1的“m倍点”在以点(0,10)为圆心，半径长为2m的圆外，求m的所有值.40.如图，在△ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径的⊙0与AC边交于点D,过点D的直线交CC(3)过点D作DH⊥BC于H,直接写出DB-DH的最大值.(1)求证：BF是⊙O的切线；(2)当∠CAB=30°,AB=2时，求BD的长度.于点E,延长EC交AB延长线于点F,且EF是⊙O的切线，连接AC,OC.(3)若的值.43.(1)已知：△ABC(图①),求作：△ABC的外接圆(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不要求证明)④连接AC.若AC=3,求⊙O的半径.(图①)(图②)(1)如图1,求证AD是⊙0的切线；(2)如图2,CD交◎O于点E,过点A作AG⊥BE,垂足为F,交BC于点G,若AD=2,CD=3,求GF的长.45.如图，Rt△ABC是◎O的内接三角形，点D为⊙O上一点，点C、点D分别在线段AAC=2,CB=2√3.BB(图1)(图2)(1)求◎O的半径长；(2)如图1,若CD⊥AB,求CD的长；(3)如图2,若CD=2√2,求∠ACD的度数.(1)尺规作图(不写作法，保留作图痕迹):作△ABC的外接圆⊙0,作直径AE,连接BE;(2)证明：△ABE∽△ADC.(2)若◎O的半径为2cm,且AB=2BC,求阴影部分的面积.49.如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,3),作直线BC.点M是第一象限抛物线上一动点，MP⊥x轴于点P,交BC于点N,设点P的横坐标为m.(1)求抛物线的解析式和直线BC的解析式；(2)过点A、O、C的圆上有一点Q,请直接写出∠AQC的度数为;(3)当点P在线段OB上运动时，连接MB,求△MBC面积的最大值；(4)当m-1≤x≤m+1时，抛物线的最大值为3,请直接写出m的值(2)连接AD与BC交于点E,若AE=DE,求sin∠ABC的值.如图，等腰直角△ABC与等腰直角△CEF共顶点C,点D为AB的中点，连接AE,DF,已知BB备用图(1)问题解决：如图①,当点E在AC边上时，则线段AE与线段DF的数量关系是_(2)问题探究：如图②,将图①中的等腰直角△CEF绕点C逆时针旋转，线段AE和线段DF的数量关系是否仍然成立?请说明理由；(3)拓展延伸：若BC=10,CF=6,将图①中的等腰直角△CEF绕点C逆时针旋转，使得B,E,F三点在同一直线上，利用所提供的备用图求出线段DF的长.52.如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C,使BC=OB,E(1)求BD所对的圆心角的度数.(3)点P是⊙O上一动点(不与点A,B重合),连接PE,PC,求的值.53.已知：如图，A、B、C三个点.求作：⊙O,使⊙O经过A、B、C三点.AB℃如图①、②,点P分别在⊙O外、在⊙O内，直线PO分别交⊙O于点A、B,则PA是点P到⊙0上的点的最短距离，PB是点P到⊙O上的点的最长距离.[问题解决]请就图①中PB为何最长进行证明.[初步应用](1)已知点P到⊙O上的点的最短距离为3,最长距离为7.则⊙O的半径为(2)如图③,在△ABC中，∠C=90°,AC=8,BC=6.点E在边BC上，且CE=2,动点P在半径为2的⊙E上，则AP的最小值是_[拓展延伸]如图④,点A(2,0),动点B在以P(4,4)为圆心，√2为半径的圆上，OB的中点为C,则线段AC的最大值为55.如图，△ABC内接于⊙0,∠ABC>90°,△ABC的外角∠EAC的平分线交◎O于点D,连接(1)求证：△DBC是等腰三角形.①求证：BC²=DC·BF.②若⊙O的半径为5,BC=6,的值.56.如图，在△ABC中，∠A=90°,AB=3,BC=5.(1)用圆规和直尺作出◎P,使圆心P在AC边上，且与AB、BC两边都相切(保留作图痕迹，不写作法和证明).(2)若在(1)的条件下，设◎P与BC的切点为D,求◎P的半径.57.如图，已知以AB为直径的⊙0中，点D,C在AB的同侧，点D是AC的中点，连接BD,过点(2)已知AB=10,BD=8,求BC的长.(2)若⊙O的半径为5,∠BAC=30°,求线段BE的长.59.如图，在菱形ABCD中，点P、Q均在对角线BD上(不与点B、D重合),且BP=QD.(1)求证：△BCQ=△DAP;(2)若∠BAD=120°,①已知BD=4√3,求平行线AD与BC之间的距离；②若△APD的外心在其内部，且n°<∠PAD<m°,求m-n的值.60.【问题提出】车轮为什么要做成圆形?这里面有什么原理?【合作探究】(1)探究A组：如图1,圆形车轮半径为6cm,其车轮轴心O到地面的距离始终为_cm.(2)探究B组：如图2,正方形车轮的轴心为0,若正方形的边长为6cm,求车轮轴心O距离地面的最高点与最低点的高度差.(3)探究C组：如图3,有一个破损的圆形车轮，半径为6cm,破损部分是一个弓形，其所对圆心角为90°,车轮轴心为0,让车轮在地上无滑动地滚动一周，求点O经过的路程.【拓展延伸】(4)探究D组：如图4,分别以正三角形的三个顶点A,B,C为圆心，以正三角形的边长为半径作60°圆弧，这样形成的曲线图形叫做“莱洛三角形”.使“莱洛三角形”沿水平方向向右滚动.在其“最高点”和“车轮轴心O”所形成路径的大致图案是()A.人人B.参考答案与试题解析一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)【答案】D【考点】切线的判定与性质勾股定理圆周角定理圆的综合问题垂径定理的应用【解析】连接CO,由直径AB平分弦CD及垂径定理知∠COB=∠DOB,则∠A与∠COB互余，由圆周角定理知∠A=30°,∠COE=60°,则∠OCE=30°,设OE=x,则CO=2x,利用勾股定理即可求出x,再求出BE即可.【解答】连接CO,∵AB平分CD,解得x=2,故选D.【答案】B【考点】勾股定理的应用圆周角定理半圆(直径)所对的圆周角是直角圆和圆的位置关系【解析】首先根据圆周角定理可得∠ACB=90°,∠ADB=90°,角平分线得∠ACD=∠BCD,再利用勾股定理计算出BC,AD的长，可得△ABD等腰直角三角形，设△ABD内切圆的半径为rcm,根据切线长定理列出方程求解.【解答】解：∵AB是直径，设△ABD内切圆的圆心为I,与AD,BD,AB切于点E,G,F,半径为rcm,CCID【答案】D【考点】【解析】利用利用垂径定理可判断A,由反证法可判断B,由确定圆的条件可判断C,根据三角形的外接圆与外心的定义可判断D.【解答】B、在四边形ABCD中，∠B=80°,∠D=100°,【答案】C【考点】【解析】连结OC,由垂径定理可得CE=DE==4,由OE:OB=3:5,可得OE:OC=3:5,设OE=3x,OC=5x,在Rt△OEC中，可求OC=5即可；【解答】在Rt△OEC中，整理得16x²=16,解得x=1,x=-1(舍去),故选择C.【答案】B【考点】含30度角的直角三角形【解析】本题考查了垂径定理，勾股定理等知识，根据垂径定理的推论可得),AM⊥BC,根据含30°角的直角三角形的性质求出OC=2CM=OM=√OC²-CM²≈0.52(m),则可求AM=OA+OM=1.12(m),然后用两人的身高与AM比较即可得出结论.【解答】解：∵该入口的最高点A与圆心的连线的延长线恰好过弦BC的中点M,【答案】A【考点】【解析】【解答】【答案】B【考点】【解析】【解答】B【答案】D【考点】半圆(直径)所对的圆周角是直角【解析】此题考查了圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键.连接BC,根据圆周角定理求出∠ACB=90°,根据圆内接四边形的性质求出∠D=100°,求出∠DCB=40°,再根据角的和差求解即可.【解答】B故选：D.【答案】C【考点】反证法【解析】本题主要考查了逻辑推理能力，解题的关键是根据题意进行合理的逻辑推理.根据给出的信息进行合理的逻辑推理即可.【解答】解：由小明既没有获得第一名，也不是最后一名，小刚也不是第一名，小丽是第二名，得出第一名是小红；则小明是第二名或者第三名；∵小丽是第二名，∴小明是第三名；剩下第四名是小刚；故选：C.【答案】A【考点】含30度角的直角三角形【解析】本题考查了三角形全等的判定与性质，勾股定理，弧长，直角三角形的性质.连接OB,利用SSS求出OA,再由阴影部分的周长=lAc+AD+CD,计算即可.【解答】∴OA=4(负值舍去),∴阴影部分的周故选：A.【答案】【考点】等边三角形的性质与判定切线的性质求弧长【解析】先证明△OPB是等边三角形，得到∠BPA=∠OAP=30°,推出PB=AB=2,OB=OP=2,再根据弧长公式即可求解.【解答】解：连接OP、PB,∴△OPB是等边三角形，∴劣弧PB的长故答案为：【答案】【考点】求弧长【解析】本题考查了弧长公式.根据弧长的计算公式(n是扇形圆心角的度数，r是扇形的半径),由此即可求解.【解答】解：根据题意可得，该扇形的弧故答案为：【答案】一一寸寸【考点】圆锥的展开图及侧面积弧长的计算【解析】先利用△ABC为等腰直角三角形得到AB=1,再设圆锥的底面圆的半径为r,则根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到然后解方程即可.【解答】1一41一4【答案】【考点】圆内接四边形的性质【解析】根据圆内接四边形的对角互补解答即可.【解答】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，故答案为120°.【答案】3【考点】求圆锥底面半径【解析】【解答】故答案为：3.【答案】【考点】垂径定理的应用【解析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理的应用等知识点，熟练掌握垂径定键.如图：连接OC交AB于D,由垂径定理得2(米),再由勾股定理得OD=√5,然后求出CD的长即可.【解答】解：如图：连接OC交AB于D,(米),∠ADO=90°,∴CD=OC-OD=(3-√5)米，即点C到弦AB所在直线的距离是(3-√5米.故答案为(3-√5米.【答案】【考点】扇形面积的计算求其他不规则图形的面积【解析】根据题意可求得△ACB的面积和扇形CAB的面积，利用做差即可求得阴影部分的面积.【解答】解：∵CA=BC=2,∠C=90°,则阴影部分的面积为S扇形CAB-S△ABC=π-2,故答案为：π-2.【答案】2【考点】勾股定理的应用90度的圆周角所对的弦是直径【解析】本题为求线段的最值-隐圆问题，考查了“直角所对的弦是直径”,勾股定理等知识.根据AP⊥BP,得到点P在以AB为直径的圆上，以AB为直径作圆O,连接OC交圆O于点P,此时CP有最小值.根据勾股定理求出OC=5,即可求出CP有最小值为2.【解答】解：如图，∵P是△ABC内部的一个动点，且满足AP⊥BP,以AB为直径作圆O,连接OC交圆O于点P,此时CP有最小值·CC故答案为：2【答案】【考点】弧长的计算【解析】连接AO,求出AB的长度，然后求出BC的弧长，进而求出扇形围成的圆锥的底面半径，应用勾股定理，求出圆锥的高.【解答】【答案】【考点】垂径定理的应用【解析】本题考查了垂径定理、勾股定理，熟练掌握垂径定理是解题关键.设圆形木材的圆心为0,连接OA,OD,先根据垂径定理可得AD=5寸，再设圆材的半径为r寸，则OA=OC=r寸，OD=(r-1)寸，在Rt△AOD中，利用勾股定理求解即可得.【解答】解：如图，设圆形木材的圆心为O,连接OA,OD,(寸),设圆材的半径为r寸，则OA=OC=r寸，∵深度CD为1寸，解得r=13,即圆材的半径为13寸，故答案为：三、解答题(本题共计40小题，每题10分，共计400分)【答案】(1)见解析【考点】证明某直线是圆的切线求其他不规则图形的面积圆周角定理解直角三角形的相关计算【解析】(1)先根据圆周角定理求得∠AOB=2∠C=120°,进而有,再根据等腰三角形的性质求得∠E=30°,然后根据三角形的内角和定理求得∠OAE=90°,根据切线判断定理可得(2)先利用锐角三角函数求得AO,再根据扇形面积公式和三角形的面积公式求解即可【解答】解：(1)证明：连接OA,·(2)解：在Rt△AOE中，∠OAE=90°,∠E=30°,AE=AB=6,【答案】(1)见解析(2)①见解析；②2√6.【考点】半圆(直径)所对的圆周角是直角证明某直线是圆的切线全等三角形的应用勾股定理的应用【解析】(1)如图1,连接BC,根据圆周角定理得到∠ACB=90°,易得∠ABC=∠APB,进而得到∠ABP=90°即可证明结论；△AOD=△BOC(SAS)得到AD=BC=2OF=6,证明△AON=△BOM(AAS),则OM一步证明∠AOG=∠AGO,即可得到结论；②设OM=ON=a,利用勾股定理构建方程求出a即可解决问题.【解答】(1)解：如图1,连接BC,(2)解：①如图：连接BC、BH,作BM⊥CD于M,AN⊥CD于N.∴BC=2OF,BC//OF,∴Rt△BMG=Rt△AND(HL),【答案】(1)见详解【考点】【解析】(1)连接OD,由题意易得OD⊥AC,则有OD⊥PE,进而问题可求证；(2)连接CD,设OD与AC交于点H,先证四边形AOCD是菱形，则有∠OAC=30°,然后根据含30度角的性质可进行求解；股定理可得方程求解x,进而可得AH=CH=4,OH=3,最后根据割补法可求四边形的面积.【解答】解：(1)证明：连接OD,如图所示：(2)解：连接CD,设OD与AC交于点H,如图所示：即⊙O的半径为2√3;(3)解：如(2)图，在Rt△AHO中，由勾股定理可得：(5-x)²+4x²=25,【答案】(1)证明过程见详解(2)图中阴影部分的面积为2π-4√2【考点】证明某直线是圆的切线扇形面积的计算求其他不规则图形的面积圆与三角形的综合(圆的综合问题)【解析】(1)如图所示，连接OD,根据等腰三角形的性质可得∠ODB=∠ACB,OD//AC,根据DE⊥AC,可得DE⊥OD,由此即可求解；径定理可得BG的值，由此可算出S△OBD,再根据扇形的面积计算方法可得S扇形OBD’由此即可求【解答】(1)解：如图所示，连接OD,∴OB,OD是半径，即OB=OD,∴OD//AC,∴DE是⊙O的切线.CC∴△ABH是等腰直角三角形，且⊙O的半径为4,∴∠BOD=45°,且⊙O的半径为4,【答案】(1)见解析；(3);②PF=PE+√2PD,证明见解析.【考点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)圆周角定理已知圆内接四边形求角度解直角三角形的相关计算【解析】解答即可；(2)连接EF,先求出∠EDF=90°,可得EF为直径，再利用tan∠AEF=tan∠ADF=3,求出AF=3AE,可得AF=3CF,求出AF和AE,利用勾股定理求得EF的值，则⊙O的面积可求；的三角形的面积相等，得到S△PFD=S△OFD,证明∠FOD=2∠CAD=90°,通过计算△OFD的面积即可得出结论；②连接EF,过点D作DN⊥DP,交PF于点N,通过证明△DEP=△DFN,得到EP=FN,DN=DP,利用等腰直角三角形的性质和线段的和差即可得出结论.【解答】解：(1)证明：∵在Rt△ABC中，AB=AC,∵四边形FAED是圆的内接四边形，(2)解：连接EF,如图，·证明：连接EF,过点D作DN⊥DP,交PF于点N,如图，∴EP=FN,DN=DP,【答案】(1)见解析(2)见解析【考点】【解析】(2)连接CD,AD,OD,OD与AC交于点F,延长DE交◎0于点G,利用圆心角，弧，弦的(3)过点C作CH⊥AB于点H,连接OD,DA,OD与AC交于点K,延长DE交⊙0于点J,利行线之间的距离相等得出结论即可.【解答】解：(1)证明：∵AB是直径，(2)证明：连接CD,AD,OD,OD与AC交于点F,延长DE交⊙O于点G,如图，∵AB是直径，∴△DKF=△AEF(AAS),∵△CDG的面积为12,∴点C到MN的距离为【答案】2,30或210【考点】90度的圆周角所对的弦是直径【解析】BC=2√2时，过点A作AH⊥BC于点H,分两种情况画出图形，可得答案；(2)画出图形，可,同(3)连接AF,由AB=AC,点F为BC的中点，知∠AFB=90°,故点F的运动轨迹是以AB为直径的圆，利用圆的周长公式即可得答案.【解答】(1)解：如图，当BC=2√2时，过点A作AH⊥BC于点H,如图，故答案为：2;30或210;(2)解：如图，同理(3)解：连接AF,如图，∴点F的运动路径长为【答案】【考点】【解析】(1)已知△ABC为等边三角形，可得AC=BC,又因AC=CD,所以AC=BC=CD,即可判定△ABD为【解答】∴△OAE是等边三角形，∵△ABC是边长为4的等边三角形，【答案】(1)解：①答案为：45.解析：∵AC为直径，②如图，连接OD,如图，将△ABE绕点B逆时针旋转90°得到△CBM,连接FM,【考点】半圆(直径)所对的圆周角是直角用ASA(AAS)证明三角形全等(ASA或者AAS)【解析】【解答】(1)解：①答案为：45.【答案】【考点】【解析】(1)当点D在BC的延长线上时，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交BC的延长线于点D,连接AD,即为所求；当点D在CB的延长线上时，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交CB的延长线于点D₁,连接AD₁,即为所求；(2)由三角形两边之和大于第三边可得AC+BC>8,连接AC并延长至D,使得CD=CB,连接AO,(3)第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P;第2步：以点P为圆心，PA为半径作◎P;第3步：以A为圆心，MN的长为半径画弧交◎P于点E;第4步：连接AE交⊙O于点C.【解答】解：如图，当点D在BC的延长线上时，以点C为圆心，AC长为半径画弧，交BC的延长线于点D,连接AD,即为所求；当点D在CB的延长线上时，以点A为圆心，AD长为半径画弧，交如图，连接AC并延长至D,使得CD=CB,连接AO,(3)如图，第1步：作AB的垂直平分线交⊙O于点P;第2步：以点P为圆心，PA为半径作⊙P;第3步：以A为圆心，MN的长为半径画弧交◎P于点E;第4步：连接AE交⊙O于点C.【答案】(1)见解析【考点】【解析】(1)先根据圆周角定理得到∠ADB=90°,则∠A+∠ABD=90°,再由∠CBD=∠CAB即可证明BC⊥OB,即可证明BC是⊙O的切线；(2)先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠A=60°,再由扇形面积公式求解即可.【解答】解：(1)证明：∵AB是半圆O的直径，∴BC是⊙O的切线；(2)解：如图，AA∴扇形OBD的面【答案】(1)见解答；(2)见解答.【考点】切线的判定尺规作图——过圆外一点作圆的切线【解析】(1)按照尺规作图中的线段的垂直平分线步骤进行即可；(2)根据切线的判定证明即可.【解答】(1)补图如下：P(2)如图，连接PA,PB,OA,OB,【答案】2(3)可行，30【考点】含30度角的直角三角形【解析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质得出OC=OB即可得证；(2)连接OH,证出△GOH为等边三角形即可得证；(3)取FE中点P,连接AP,证出AP=FP=EP=AO即可求解.【解答】(1)解：∵∠BAC=90°,AO是它的一条中线，故答案：2.(3)解：可行，30。故答案：可行，30.【答案】(1)画图见解析；(2①画图见解析；②画图见解析【考点】圆周角定理正多边形和圆无刻度直尺作图利用垂径定理求值【解析】(1)先作直径AD,分别以A,D为圆心，OA为半径画弧，与⊙O的交点分别为F,B,E,C,再顺次连接即可得到正六边形ABCDEF;(2)①取格点Q,K,连接QK交AD于N,过O,N作直线交⊙O于E,F即可；②取格点Q,K,连接QK交AD于N,过O,N作直线交⊙O于E,F,连接AB交EF于M,连接DM并延长交⊙O于C,连接BC,则BC即为所求.【解答】解：(1)如图，六边形ABCDEF即为所求；理由：连接OB,OC,OE,OF,由作图可得：OA=OB=AB,∴六边形ABCDEF为⊙O的正六边形；(2①如图，EF即为所求；理由：由格点图形可得：四边形AQDK为正方形，理由：由(2)得：EF是AD的垂直平分线，∴BC//AD.【答案】(1)图见解析(2)图见解析【考点】【解析】分别向右移2个单位，再上移2个单位，再顺次连接即可；分别绕O点顺时针旋转90°,再顺次连接即可；(3)利用弧长公式求解.【解答】(1)解：如图，△A₁B₁C₁即为所求；(2)解：如图，△A₂B₂C₂即为所求；(3)解：如图，【答案】(1)DE=2AM,DE⊥AM.(2)DE=2AM,DE⊥AM,理由见详解【考点】【解析】(2)延长AM至点H,使得AM=MH,连接BH,证明△AMG=△HMB(SAS),由全等三角形的性ED=AH=2AM,结合角的等量代换，则可得出答案.(3)①过点C作CM//EB交AD于一点M,连接FM,证明四边形EBCM是平行四边形，再推出△FEM=△MDC,再进行角的等量代换得出∠FMC=90°,得出△FMC是等腰直角三角形，即可作答.②连接BD交CF于点I,连接MI,根据同弧所对的圆周角是相等是，得出点M,I,C,D四点共圆，,MI=IC,即可作答.【解答】(1)解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形，故答案为：DE=2AM,DE⊥AM.(2)解：仍然成立，证明如下：延长AM至点H,使得AM=MH,连接BH,∵四边形ABCD是正方形，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴△EAD=△ABH(SAS),故线段DE与AM之间的数量关系是DE=2AM.线段DE与AM之间的位置关系是DE⊥AM.∴四边形EBCM是平行四边形，∵MD=AD-AM,EF=AE=EM-AM=DC-AM=AD-AM,∴△FMC是等腰直角三角形，∵△FMC是等腰直角三角形，则∵四边形EBCM是平行四边形，·【答案】BD²=CE·AB;【考点】【解析】(1)、连接OD,根据弧的中点以及OA=OD得出OD和AE平行，从而得出切线；(3)、根据AD=DF得出∠1=∠F=∠3,根据△ADF的内角和得出∠1=30°,∠4=60°据Rt△ECD的三角函数得出CE、BD的长度，然后根据(2)的结论得出答案.【解答】(1)解：数量关系是BD²=CE·AB,连接CD,在△ADF中，∠1+∠F+∠3+∠ODF=180°,*由BD²=CE·AB得(2)²=1×AB,∴AB=4,∴⊙O的半径是2.【答案】【考点】圆内接四边形的性质圆周角定理圆的综合问题垂径定理的应用【解析】(1)在PC上截取PD=AP,利用圆周角定理得到∠APC=60°,则△APD是等边三角形，根据等边三角形的性质得到AD=AP=PD,∠ADP=60°,进而推出∠ADC=∠APB,即可证明,易知PC为⊙O的直径时，四边形APBC的面积最大，求出三角形ABC的边长即可求面积.【解答】(2)当点P为弧AB的中点时，四边形APBC的面积最大.理由如下，如图2,过点P作PE⊥AB,垂足为E.图2过点C作CF⊥AB,垂足为F.∴此时四边形APBC的面积最大.如图所示，过0作OM⊥BC,连接OB,OC,【答案】点A(2,3)和C(-3,-2)【考点】抛物线与x轴的交点【解析】B作BC⊥y轴于C,由两点间的距离公式得出10-√4m²-1>2m,求解即可.【解答】(1)解：当m=1时，故答案为：点A(2,3)和C(-3,-2);(2)解：当m=3时，y=3x+3,(3)解：∵如图所示，直线x=1与⊙A交于点B,连接AB,过点B作BC⊥y轴于C,【答案】DB-DH的最大值【考点】相似三角形的性质与判定【解析】(1)连接OD,利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出(3),作DH⊥BC,作点H关于DE的对称点F,连接连接BF,DF,EH,则BD-DH=BD-DF≤BF,即当B,F,D三点共线时取得最大值，根据切线长定理以及对称性∠EBD=∠EDB=∠HDE=30°,进而【解答】理由如下：连接OD.在Rt△ABC中(2)如图，作DH⊥BC,作点H关于DE的对称点F,连接连接BF,DF,EH,0BCDAA0DFBEHC°°【答案】【考点】同弧或等弧所对的圆周角相等证明某直线是圆的切线【解析】出求BD的长度.【解答】解：(1)证明：连接BC,如图1所示，(2)解：连接OD,【答案】(1)∠CAO(答案不唯一)(2)证明见解析【考点】半圆(直径)所对的圆周角是直角切线的性质相似三角形的性质与判定【解析】(1)利用切线性质和平行线、等腰三角形性质，找出与∠CAE相等的角.(2)通过切线性质、圆周角定理推导角相等，结合公共角证明三角形相似；(3)利用圆周角定理得到线段相等，结合相似三角形△BCF∽△CAF的性质，通过设BF=x,则CF=2x,AF=4x,建立关系求解比值.【解答】(1)解：∵EF是⊙O的切线，∵OA=OC,△AOC为等腰三角形，∴∠CAE=∠CAO(答案不唯一);。【答案】(1)见解析；(2)◎0的半径√3.【考点】等边三角形的性质与判定勾股定理的应用尺规作图——确定圆心【解析】本题主要考查圆的基本性质，确定三角形的外接圆的圆心.(1)根据三角形的外接圆的圆心是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可；(2)由题意易得△OAB是等边三角形，则∠OAB=∠OBA=∠O=60°,进而可得∠C=∠BAC=30°,然后可得AC=√OC²-OA²=√30A,最后问题可求解.【解答】解：(1)△ABC的外接圆⊙O如图所示：由作图知OA=AB,【答案】55一4【考点】【解析】形的性质可得出∠OAC=∠OAB,即AO平分∠BAC,利用垂径定理可得出AO⊥BC,结合AD//BC可得出AD⊥AO,由此即可证出AD是⊙O的切线；全等三角形的性质可求出AF,BF的长，设FG=x,在此题得解.【解答】(1)证明：如图1,连接OA,OB,OC可证出△ADC=△AFB(AAS),利用Rt△BFG中，利用勾股定理可求出x的值，在△OAC和△OAB中，(2)如图2,连接AE.在△ADC和△AFB中·【答案】【考点】90度的圆周角所对的弦是直径【解析】(1)先根据勾股定理求出AB的长度，然后根据90°的圆周角所对的弦是直径判断出AB是直径，即可求解；(2)设CD与AB相交于点E,根据等面积法求出CE,然后根据垂径定理求解即可；(3)证明△ACO是等边三角形，得出∠ACO=60°,根据勾股定理的逆定理证明∠DOC=90°,结合等边对等角和三角形内角和定理求出∠DCO=45°,即可求解.【解答】(1)解：∵∠ACB=90°,AC=2,CB=2√3,∴⊙O的半径(2)解：设CD与AB相交于点E,.BC,.∵CD⊥AB,AB是⊙0是直径，(3)解：∵AC=CO=AO=2,∴△ACO是等边三角形，∴△DOC是等腰直角三角形，【答案】(1)见解析(2)见解析【考点】半圆(直径)所对的圆周角是直角画圆(尺规作图)同弧或等弧所对的圆周角相等【解析】(1)根据三角形的外心为三角形三边中垂线的交点，作AC,AB的中垂线，两条中垂线的交点即(2)根据圆周角定理得到∠ABE=∠ADC=90°,∠ACB=∠AEB,即可得证；【解答】(1)解：由题意，作图如下：【答案】(1)见解析；(2)∠BAD=65°【考点】全等的性质和ASA(AAS)综合(ASA或者AAS)半圆(直径)所对的圆周角是直角【解析】本题考查了矩形的性质，三角形全等的判定与性质，圆周角定理的推论.熟练掌握以上知识点是解题的关键.(1)根据四边形ABCD是矩形，推出∠B=90°,AD//BC,从△AFD=△EBA(AAS),从而得到AB=DF.可求得∠BAD的度数.【解答】(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，【答案】【考点】【解析】(2)连结OC,通过证明△BOC为等边三角扇形OCA的面积减去△OCA的面积即可得解.【解答】理由如下：如图，连结OD,∵△ABC内接于⊙0,AB为直径(2)如图，连结OC∴△BOC为等边三角形∵⊙O的半径为2cm【答案】(1)抛物线解析式为y=-x²+2x+3;直线BC解析式为y=-x+33或-1【考点】【解析】(1)利用待定系数法，将已知点代入抛物线和直线的解析式中求解系数即可；(2)由题意知，四边形AOCQ是圆内接四边形，根据圆内接四边形的性质得(3)先用m表示出MN,然后用含m的式子表示出△MBC的面积，再通过二次函数的性质即可(4)先将抛物线解析式化为顶点式，然后分情况讨论对称轴与给定区间的位置关系，从而确定最大值的情况，进而求出m的值.【解答】(1)解：∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),点A的坐标为(-1,0),与y轴交于点C(0,3),将点A,点C的坐标分别代入得：解得：∴直线BC解析式为y=-x+3;(2)解：由题意知，四边形AOCQ是圆内接四边形，(3)解：∵PM⊥x轴，点P的横坐标为m,(4)解：抛物线y=-x²+2x+3=-(x-1)²+4,其对称轴为直线x=1,解得m=-1或1(不合题意，舍去);解得m=1(不合题意，舍去)或m=3;综上所述，m的值为3或-1.故答案为：3或-1.【答案】(1)证明见解析；【考点】【解析】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角握知识点的应用是解题的关键.(1)连接CO,DO,证明△CDO=△BDO(SSS),所以∠OCD=∠OBD,又CD与◎O相切，可得∠OCD=90°,从而可证OB⊥BD,再由切线的判定即可求证；∠DFC=∠ACB=∠DFB=90°,证明△AEC=△DEF(AAS),所BF=2a,BE=3a,BC=4a,然后通过勾股定理得DF=2√2a,即有AC=DF=2√2a,AB=2√6a,再由sin即可求解.【解答】解：(1)证明：如图，连接CO,DO,∴DF=√DE²-FE²=√(3a)²-a²=2√2a,AB-V4C+BC=(2√2a²+(4a²=2√6a,【答案】AE=√2DF(2)成立；理由见解析【考点】圆周角定理根据旋转的性质求解相似三角形的性质与判定【解析】(1)证明△ACD为等腰直角三角形，得到AC=√2CD.则CE=√2CF,C,F,D三点共线，即可得到AE=AC-CE=√2CD-√2CF=√2(CD-CF)=√2DF;(2)证明△ACE∽△DCF,得到即可证明结论成立；(3)分两种情况进行解答即可.【解答】(1)解：(1)∵△ABC为等腰直角三角形，D为AB的中点，∴△ACD为等腰直角三角形，∵△CEF为等腰直角三角形，∴CE=√2CF,C,F,D(2)成立，理由如下：如解图，连接CD.∵△CEF为等腰直角三角形，·(3)∵△ABC是等腰直角三角形，BC=10,【答案】(2)见解析【考点】【解析】(1)连接OD,DB,利用线段垂直平分线的性质，同圆的半径相等，得到△OBD为等边三角形，(2)利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质求得∠CDB=30°,则∠CDO=90°,再利用圆的(3)连接OP,利用相似三角形的判定与性质解答即可.【解答】(1)解：如图1中，连接OD,DB,图1∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D,(3)解：连接OP,如图2,由已知可得：OP=OB=BC=2OE.。·【答案】见解答【考点】三角形的外接圆与外心作三角形的内切圆与外接圆【解析】连接AB、AC,分别作线段AB、AC的垂直平分线，相交于点O,连接AO,以点O为圆心，AO的长为半径画圆即可.【解答】解：如图，⊙O即为所求，【答案】解：[问题解决]如图，点C为⊙O上任意一点，连接PC,OC,∴PB的长是点P到◎O上的点的最长距离.[初步应用](1)若点P在◎O外，如图①,B∴⊙O的半径为2;∴⊙O的半径为5;综上所述，⊙O的半径为2或5.故答案为：2或5.(2)连接AE,交⊙O于点D由[模型建立]可得AD的长是点A到◎E上的点的最短距∴AP的最小值是AD的长.[拓展延伸]取点D(4,0),连接BD,∴点A是线段OD的中点，∵点C是线段OB的中点，∴当线段BD取得最大值时，线段AC也取得最大值，∴当点B位于点B′时，线段DB有最大值，∴线段AC的最大值为故答案为：【考点】点与圆的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：[问题解决]如图，点C为⊙O上任意一点，连接PC,OC,当点C与点B不重合时，当点C与点B重合时，PB=PC,∴PB的长是点P到⊙O上的点的最长距离.(1)若点P在⊙O外，如图①,∴⊙O的半径为2;若点P在◎O内，如图②,∴⊙O的半径为5;综上所述，⊙O