2025-2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之一元二次方程

第16页（共16页）2025-2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之一元二次方程一．选择题（共7小题）1．（2025秋•昌平区期中）将二次函数y＝x2﹣6x+4化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，下列结论中正确的是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2﹣5 C．y＝（x﹣3）2﹣5 D．y＝（x﹣6）2+42．（2025秋•碧江区期中）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条．除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为40米，宽为24米，种植面积为520平方米，设修建的路宽为x米，根据题意可列方程为（）A．（24﹣2x）（40﹣2x）＝520 B．（24﹣x）（40﹣x）＝520 C．（24﹣x）（40﹣2x）＝520 D．（24﹣2x）（40﹣x）＝5203．（2025秋•固安县期中）若方程ax2+3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值不可能是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．44．（2025秋•南开区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝x+m的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．（2025秋•西丰县期中）将方程x2﹣4x+3＝0配方后所得的方程正确的是（）A．（x+2）2＝7 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝7 D．（x﹣2）2＝16．（2025•湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（）A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝37．（2025•石林县校级模拟）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．12x(x二．填空题（共6小题）8．（2025秋•山阳县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个整数解是3，则m的值为．9．（2025秋•潮阳区期中）若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+m）2＝n的形式，则n的值为．10．（2025秋•长治期中）若一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是．11．（2025秋•兴庆区校级期中）为积极响应国家“双减政策”，某中学2022年第三季度平均每周作业时长为500分钟，经过2022年第四季度和2023年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为320分钟．则每季度平均每周作业时长的下降率为．12．（2025•南关区校级三模）若关于x的方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则实数a的值是．13．（2025•苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝．三．解答题（共3小题）14．（2025秋•碧江区期中）解下列方程．（1）x2+10x﹣2＝0；（2）x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0．15．（2025秋•固安县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）当k＝4时，若△ABC的一边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．16．（2025秋•重庆期中）某海鲜排档购进一批大龙虾和海胆，它们的进货单价之和是360元．大龙虾的零售单价比进货单价多40元，海胆的零售单价比进货单价的1.5倍少60元，按零售单价购买2只大龙虾和4个海胆，共需要1200元．（1）求大龙虾和海胆的进货单价；（2）该海鲜排档平均每天卖出20只大龙虾和12个海胆．经调查发现，大龙虾的零售单价每降低5元，平均每天就可多售出10只，海鲜排档决定把大龙虾的零售单价下降a（a＞0）元，海胆的零售单价和销量都不变，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元？

2025-2026学年上学期初中数学北师大新版九年级期末必刷常考题之一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）题号1234567答案CCBDDDD一．选择题（共7小题）1．（2025秋•昌平区期中）将二次函数y＝x2﹣6x+4化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式，下列结论中正确的是（）A．y＝（x﹣3）2+4 B．y＝（x+3）2﹣5 C．y＝（x﹣3）2﹣5 D．y＝（x﹣6）2+4【考点】配方法的应用．【专题】配方法；运算能力．【答案】C【分析】利用配方法将y＝x2﹣6x+4转换即可．【解答】解：y＝x2﹣6x+4＝x2﹣6x+9﹣9+4＝（x﹣3）2﹣5，那么将二次函数y＝x2﹣6x+4化成y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的形式为y＝（x﹣3）2﹣5，故选：C．【点评】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方的方法是解题的关键．2．（2025秋•碧江区期中）如图，在一块矩形的劳动实践基地上有三条同宽的道路，横向有一条，纵向有两条．除道路外，剩下的是种植面积．已知该矩形基地的长为40米，宽为24米，种植面积为520平方米，设修建的路宽为x米，根据题意可列方程为（）A．（24﹣2x）（40﹣2x）＝520 B．（24﹣x）（40﹣x）＝520 C．（24﹣x）（40﹣2x）＝520 D．（24﹣2x）（40﹣x）＝520【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】C【分析】设修建的路宽为x米，利用图形的平移法，将种植面积平移拼接为长方形，即可列出方程．【解答】解：根据题意可列方程为（24﹣x）（40﹣2x）＝520．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程的应用，读懂题目，找出题目中的等量关系是解题的关键．3．（2025秋•固安县期中）若方程ax2+3x+1＝0是关于x的一元二次方程，则a的值不可能是（）A．﹣2 B．0 C．2 D．4【考点】一元二次方程的定义．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】B【分析】注意：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．根据一元二次方程的定义判断即可．【解答】解：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫一元二次方程．若方程ax2+3x+1＝0是一元二次方程，则a的值不可能是0．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，4．（2025秋•南开区期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m﹣1＝0无实数根，则一次函数y＝x+m的图象一定不经过（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】根的判别式；一次函数的性质．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【答案】D【分析】先利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＜0，解不等式得到m的取值范围，然后根据一次函数的性质解决问题．【解答】解：根据题意得：Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣1）＜0，解得m＞2，所以一次函数y＝x+m的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了一次函数的性质．5．（2025秋•西丰县期中）将方程x2﹣4x+3＝0配方后所得的方程正确的是（）A．（x+2）2＝7 B．（x﹣2）2＝4 C．（x﹣2）2＝7 D．（x﹣2）2＝1【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】D【分析】根据配方法解一元一次方程的步骤对所给一元二次方程进行变形即可．【解答】解：由题知，x2﹣4x+3＝0，x2﹣4x+4＝﹣3+4，（x﹣2）2＝1．故选：D．【点评】本题主要考查了解一元二次方程﹣配方法，熟知配方法是解题的关键．6．（2025•湖北）一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是（）A．x1+x2＝﹣4 B．x1+x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3【考点】根与系数的关系．【专题】一元二次方程及应用；运算能力；推理能力．【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，直接求解即可．【解答】解：根据一元二次方程根与系数的关系，x2﹣4x+3＝0，a＝1，b＝﹣4，c＝3，∴x1+x2=-ba=4，x1•x故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握该知识点是解题的关键．7．（2025•石林县校级模拟）“少年强，则国强”，为丰富校园文化生活，激发学生参与体育运动的积极性，进一步推动学校体育活动的健康发展，以赛促练．我县计划组织初中学生篮球赛，若首轮进行单循环赛（每两队之间都赛一场），则首轮需要安排28场比赛，设共有x个队参赛，根据题意，下面所列方程正确的是（）A．x（x+1）＝28 B．x（x﹣1）＝28 C．12x(x【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．【专题】一元二次方程及应用；应用意识．【答案】D【分析】利用首轮需要安排比赛的总场数＝参赛队伍数×（参赛队伍数﹣1）÷2，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：根据题意得：12x（x﹣1）＝28故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．二．填空题（共6小题）8．（2025秋•山阳县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个整数解是3，则m的值为﹣3．【考点】一元二次方程的解．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】﹣3．【分析】将已知的整数解x＝3代入一元二次方程，直接求解m的值．【解答】解：由条件可得32﹣2×3+m＝0，9﹣6+m＝0，3+m＝0，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查一元二次方程的解，掌握知识点是解题的关键．9．（2025秋•潮阳区期中）若一元二次方程x2+6x﹣1＝0经过配方，变形为（x+m）2＝n的形式，则n的值为10．【考点】解一元二次方程﹣配方法．【专题】一元二次方程及应用．【答案】10．【分析】由方程知，只要加上一次项系数一半的平方，再减去这个数即可完成配方．【解答】解：由题意得：x2+6x﹣1＝0，x2+6x+9﹣9﹣1＝0，即（x+3）2＝10．∴n＝10．故答案为：10．【点评】本题主要考查了配方法的应用，掌握其相关知识点是解题的关键．10．（2025秋•长治期中）若一元二次方程x2﹣3x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是k＜94【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】k＜【分析】根据判别式的意义得到Δ＝（﹣3）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣3）2﹣4k＞0，解得k＜故答案为：k＜【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义，熟练掌握该知识点是关键．11．（2025秋•兴庆区校级期中）为积极响应国家“双减政策”，某中学2022年第三季度平均每周作业时长为500分钟，经过2022年第四季度和2023年第一季度两次整改后，平均每周作业时长为320分钟．则每季度平均每周作业时长的下降率为20%．【考点】一元二次方程的应用．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】20%．【分析】设每季度平均每周作业时长的下降率为m，根据两次整改后作业时长的变化列出一元二次方程，解方程并检验根的合理性．【解答】解：设下降率为m，则整改后作业时长为原来的1﹣m倍．经过两次整改，根据题意列一元二次方程得，500（1﹣m）2＝320．所以1-m=因此m=1故答案为：20%．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到关系式．12．（2025•南关区校级三模）若关于x的方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，则实数a的值是1．【考点】根的判别式．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据题意得出Δ＝0即可求出答案．【解答】解：由于关于x的方程x2﹣2x+a＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝4﹣4a＝0，解得a＝1．故答案为：1．【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根，熟记以上知识点是解题的关键．13．（2025•苏州）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝﹣3．【考点】根与系数的关系．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】利用根与系数的关系，可得出x1+x2＝﹣2，结合x1＝1，即可求出x2的值．【解答】解：∵x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x﹣m＝0的两个实数根，∴x1+x2＝﹣2，又∵x1＝1，∴x2＝﹣2﹣x1＝﹣2﹣1＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和等于-b三．解答题（共3小题）14．（2025秋•碧江区期中）解下列方程．（1）x2+10x﹣2＝0；（2）x（x﹣5）﹣（x﹣5）＝0．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法；解一元二次方程﹣配方法．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】（1）x1=-5+33（2）x1＝5，x2＝1．【分析】（1）利用配方法即可求解；（2）利用因式分解法即可求解．【解答】解：（1）原方程移项可得：x2+10x＝2，x2+10x+25＝2+25，（x+5）2＝27，x+5=33或∴x1=-5+33（2）原方程分解因式可得：（x﹣5）（x﹣1）＝0，x﹣5＝0或x﹣1＝0，∴x1＝5，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键．15．（2025秋•固安县期中）已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）当k＝4时，若△ABC的一边长a＝3，另两边长b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力．【答案】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴k取任何实数值，方程总有实数根；（2）△ABC的周长是9．【分析】（1）由方程的系数，结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k﹣2）2≥0，进而可证出：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）将k＝4代入原方程，可得出原方程为x2﹣6x+8＝0，利用根与系数的关系，可得出b+c＝6，再结合三角形的周长公式，即可求出结论．【解答】（1）证明：∵Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴k取任何实数值，方程总有实数根；（2）解：当k＝4时，原方程为x2﹣6x+8＝0，∵b，c是这个方程的两个根，∴b+c＝6，∴a+b+c＝3+6＝9．答：△ABC的周长是9．【点评】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：（1）牢记“当Δ≥0时，方程有两个实数根”；（2）牢记“一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根之和为-ba，两根之积等于16．（2025秋•重庆期中）某海鲜排档购进一批大龙虾和海胆，它们的进货单价之和是360元．大龙虾的零售单价比进货单价多40元，海胆的零售单价比进货单价的1.5倍少60元，按零售单价购买2只大龙虾和4个海胆，共需要1200元．（1）求大龙虾和海胆的进货单价；（2）该海鲜排档平均每天卖出20只大龙虾和12个海胆．经调查发现，大龙虾的零售单价每降低5元，平均每天就可多售出10只，海鲜排档决定把大龙虾的零售单价下降a（a＞0）元，海胆的零售单价和销量都不变，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元？【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用．【专题】一元二次方程及应用；运算能力．【答案】（1）大龙虾进货单价为200元，海胆的进货单价为160元；（2）15．【分析】（1）设大龙虾的进货单价为x元，海胆的进货单价为y元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）根据海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元列出方程，解方程即可求解﹒【解答】解：（1）它们的进货单价之和是360元．大龙虾的零售单价比进货单价多40元，海胆的零售单价比进货单价的1.5倍少60元，设大龙虾的进货单价为x元，海胆的进货单价为y元，x+解得x=200答：大龙虾进货单价为200元，海胆的进货单价为160元；（2）由题意得(200+40-解得a1＝a2＝15，答：当a为15时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元﹒【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元二次方程的应用等知识﹒

考点卡片1．二元一次方程组的应用（一）列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：（1）审题：找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．（2）设元：找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．（3）列方程组：挖掘题目中的关系，找出两个等量关系，列出方程组．（4）求解．（5）检验作答：检验所求解是否符合实际意义，并作答．（二）设元的方法：直接设元与间接设元．当问题较复杂时，有时设与要求的未知量相关的另一些量为未知数，即为间接设元．无论怎样设元，设几个未知数，就要列几个方程．2．一元二次方程的定义（1）一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．（2）概念解析：一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2．（3）判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．3．一元二次方程的解（1）一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个等式求解未知量．ax12+bx1+c＝0（a≠0），ax22+bx2+c＝0（a≠0）．4．解一元二次方程-配方法（1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．（2）用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解．5．解一元二次方程-因式分解法（1）因式分解法解一元二次方程的意义因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．6．根的判别式利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．7．根与系数的关系（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2=-ba，x1x2=ca，反过来也成立，即ba=-（x1+x2（3）常用根与系数的关系解决以下问题：①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，