题型专练9特殊四边形为背景的全等三角形

第四部分题型专练题型专练9特殊四边形为背景的全等三角形1.（2025·石柱）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，分别过点A，C作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F.求证：BE＝DF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠ABE＝∠CDF.∵AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，∴∠AEB＝∠CFD＝90°.

∴△AED≌△CFD（AAS）.∴BE＝DF.2.（2025·海沧）如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.求证BE＝DF.证明：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB＝∠AFD.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠B＝∠D.

∴△ABE≌△ADF（AAS）.∴BE＝DF.3.（2025·从江）如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足为F.求证：BE＝AF.

证明：∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝90°＝∠DAF＋∠BAE，∠B＝90°.又∵DF⊥AE，∴∠DAF＋∠ADF＝90°.∴∠ADF＝∠BAE.

∴△ADF≌△EAB（AAS）.∴BE＝AF.4.（2025·厦门）如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，且∠EDF＝90°.求证：DE＝DF.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠A＝∠DCF＝∠ADC＝90°.又∵∠EDF＝90°，∴∠ADC－∠EDC＝∠EDF－∠EDC.∴∠ADE＝∠CDF.

∴△ADE≌△CDF（ASA）.∴DE＝DF.5.（2025·西安）如图，点E，F，G，H分别在▱ABCD的边上，若AE＝CG，BF＝DH，连接EF，EH，GH，GF.求证：EF＝GH.

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AD＝BC，∠B＝∠D.∵AE＝CG，BF＝DH，∴BE＝DG.

∴△BEF≌△DGH（SAS）.∴EF＝GH.6.（2025·碑林）如图，在平行四边形ABCD中，E为BC边的中点，DF⊥AE于点F，G为DF的中点，分别延长AE，DC交于点H，求证：CG⊥DF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠B＝∠HCE.∵E为BC边的中点，∴BE＝EC.

∴△ABE≌△HCE（ASA）.∴AB＝CH.∴DC＝CH.∵G为DF的中点，∴CG是△DFH的中位线.∴CG∥EH.∵DF⊥AE，∴CG⊥DF.7.（2025·江阴）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F在AC上，且AE＝CF.（1）求证：△ABE≌△CDF；证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD.∴∠BAE＝∠DCF.

∴△ABE≌△CDF（SAS）.（2）请你添加一个条件：

，使四边形EBFD是矩形，并证明.

解：（答案不唯一）添加一个条件BE⊥DE.证明：由（1），知△ABE≌△CDF，∴BE＝DF，∠AEB＝∠CFD.∴∠BEO＝∠DFO.∴BE∥DF.∴四边形EBFD是平行四边形.∵BE⊥DE，∴∠BEF＝90°.∴四边形EBFD是矩形.BE⊥DE8.（2025·渭城）如图，在矩形ABCD中，M是BC上一点，连接AM，E为AM上一点，ME＝MC，连接DE，且DE⊥AM.（1）求证：△ABM≌△DEA；证明：如答图，连接DM，∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，AB＝CD，∠B＝∠C＝90°.∵M是BC上一点，E为AM上一点，DE⊥AM，∴∠AMB＝∠DAE，∠AED＝∠DEM＝90°.∴∠B＝∠AED.

∴Rt△DEM≌Rt△DCM（HL）.∴DE＝CD.∴AB＝DE.

∴△ABM≌△DEA（AAS）.（2）若CD＝a，AE＝2EM，求BM的值（用含a的代数式表示）.解：由（