2025-2026学年上学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之正多边形和圆

第21页（共21页）2025-2026学年上学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之正多边形和圆一．选择题（共9小题）1．（2025秋•东城区校级期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（）①两等分；②三等分；③四等分．A．② B．①② C．①③ D．①②③2．（2025春•绥化期末）正三角形的边心距、半径和高的比是（）A．1：2：3 B．1：2：3 C．1：23．（2025•定兴县一模）如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦CD长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（）A．22 B．23 C．33 4．（2025•游仙区一模）如图，正五边形ABCDE中，点F是边CD的中点，AF，BC的延长线交于点N，点P是AN上一个动点，点M是BN上一个动点，当PB+PM的值最小时，∠BPN＝（）A．72° B．90° C．108° D．120°5．（2024秋•绵阳校级期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（）A．12 B．82 C．83 D6．（2024秋•盖州市期末）正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝20°，则该正多边形的边数为（）A．8 B．9 C．10 D．127．（2024秋•云南期末）如图，平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若AB＝2，则中心P的坐标为（）A．(2，3) B．（1，3） C．（2，2） D．（38．（2025•五华区校级模拟）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（）A．150° B．145° C．140° D．135°9．（2025•平乡县二模）如图，已知等腰△AEN中，AE＝AN，分别以AE，AN为边，作正五边形ABCDE与正方形ABMN有公共边AB，则∠AEN的度数为（）A．9° B．10° C．15° D．20°二．填空题（共5小题）10．（2025秋•红河县期中）俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是．11．（2024秋•盱眙县期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧BC上一点（不与点C重合），则∠CPD的度数为．12．（2025•西宁二模）一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是．13．（2024秋•和平区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝3，则正六边形ABCDEF的面积为．14．（2025•竞秀区一模）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出∠P＝36°，则可得出正多边形的边数n＝．三．解答题（共2小题）15．（2024秋•旬阳市期末）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为5m的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．16．（2024秋•杨陵区期末）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OB＝3，求这个正六边形的周长．

2025-2026学年上学期初中数学人教新版九年级期末必刷常考题之正多边形和圆参考答案与试题解析一．选择题（共9小题）题号123456789答案BACCCBAAA一．选择题（共9小题）1．（2025秋•东城区校级期中）我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（）①两等分；②三等分；③四等分．A．② B．①② C．①③ D．①②③【考点】正多边形和圆；圆的认识．【专题】正多边形与圆；运算能力．【答案】B【分析】通过圆规六等分圆后，可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但四等分点无法仅用圆规得到．【解答】解：将圆六等分，只需在⊙O上任取点A，从点A开始，以⊙O的半径为半径，在⊙O上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把⊙O六等分．∵只用圆规可完成圆的六等分，∴可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但无法只用圆规得到四等分点，∴①②可行，③不可行，故选：B．【点评】本题考查正多边形与圆、尺规作图、等分圆周等知识，解题的关键是理解将圆六等分的方法，属于作图中的难题．2．（2025春•绥化期末）正三角形的边心距、半径和高的比是（）A．1：2：3 B．1：2：3 C．1：2【考点】正多边形和圆．【专题】计算题；数形结合．【答案】A【分析】作出图形，根据正三角形的性质和直角三角形的性质解答．【解答】解：如图，O为△ABC的中心，AD为△ABC的边BC上的高，则OD为边心距，∴∠BAD＝30°，又∵AO＝BO，∴∠ABO＝∠BAD＝30°，∴∠OBD＝60°﹣30°＝30°，在Rt△OBD中，BO＝2DO，即AO＝2DO，∴OD：OA：AD＝1：2：3．故选：A．【点评】此题考查了对正三角形的高、边心距、半径概念的理解及对含30°角的直角三角形性质的掌握．3．（2025•定兴县一模）如图，A、B、C、D均为圆周上十二等分点，若用直尺测量弦CD长时，发现C点、D点分别与刻度1和4对齐，则A、B两点的距离是（）A．22 B．23 C．33 【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】根据正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及圆周角定理进行计算即可．【解答】解：如图，连接AD，由正十二边形，圆的对称性可知，AD是⊙O的直径，∵点O是正十二边形的中心，点A，点B，点C，点D是其中的十二等分点，∴∠COD=360°12×2＝60∴AB＝AC，∵AD是⊙O的直径，∴∠ACD＝90°，∠CAD=12∠COD=在Rt△ACD中，∠CAD＝30°，CD＝4﹣1＝3，∴AC=3CD＝33∴AB＝AC＝33．故选：C．【点评】本题考查正六边形和圆，圆周角定理，掌握正六边形的性质，直角三角形的边角关系以及圆周角定理是正确解答的关键．4．（2025•游仙区一模）如图，正五边形ABCDE中，点F是边CD的中点，AF，BC的延长线交于点N，点P是AN上一个动点，点M是BN上一个动点，当PB+PM的值最小时，∠BPN＝（）A．72° B．90° C．108° D．120°【考点】正多边形和圆；轴对称﹣最短路线问题．【专题】三角形；平移、旋转与对称；正多边形与圆；运算能力；推理能力．【答案】C【分析】根据正多边形的性质，轴对称的性质以及三角形内角和定理进行计算即可．【解答】解：如图，∵正五边形ABCDE中，点F是边CD的中点，直线AN是正五边形ABCDE的对称轴，∴点B与点E关于直线AN对称，又∵点P是AN上一个动点，点M是BN上一个动点，PB+PM的值最小，即PE+PM的值最小，∴点E、点P、点M在一条直线上，且EM⊥BC，∴直线EM是正五边形ABCDE的对称轴，∴点P为正五边形ABCDE的中心，∴PA＝PB＝PE，正五边形ABCDE的内角∠BAE=(5-2)×180°5由对称性可知，∠BAN＝∠EAN=12∠BAE＝在△ABP中，PA＝PB，∠BAP＝54°＝∠ABP，∴∠BPN＝2∠ABP＝108°．故选：C．【点评】本题考查正多边形和圆，轴对称的性质以及三角形内角和定理，掌握正多边形的性质，轴对称的性质以及三角形内角和是180°是正确解答的关键．5．（2024秋•绵阳校级期末）正六边形蜂巢的建筑结构密合度最高、用材最少、空间最大、也最为坚固、如图，某蜂巢的房孔是边长为8的正六边形ABCDEF，若⊙O的内接正六边形为正六边形ABCDEF，则BF的长为（）A．12 B．82 C．83 D【考点】正多边形和圆．【专题】多边形与平行四边形；推理能力．【答案】C【分析】根据圆内接正六边形的性质以及直角三角形的边角关系进行计算即可．【解答】解：连接OA，OB，OA交BF于G，∵六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，边长为8，∴AB＝AF＝8，∠AOB=360°6=60°∴△AOB为等边三角形（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形），∴AB＝AF＝OA＝OB＝8，∠AOB＝60°，∵AB＝AF，∴AB=∴OA⊥BF，BF＝2BG，∴∠BGO＝90°，∴∠GBO＝30°，∴OG=∴BG=∴BF=2故选：C．【点评】本题考查正多边形与圆，掌握垂径定理及其推论是解题的关键．6．（2024秋•盖州市期末）正多边形的一部分如图所示，若∠ACB＝20°，则该正多边形的边数为（）A．8 B．9 C．10 D．12【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；运算能力；推理能力．【答案】B【分析】根据圆周角定理即可得到结论．【解答】解：如图，∵∠ACB＝20°，∴∠AOB＝2∠ACB＝40°，∴正多边形的边数=36040故选：B．【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．7．（2024秋•云南期末）如图，平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的顶点A，B在x轴上，顶点F在y轴上，若AB＝2，则中心P的坐标为（）A．(2，3) B．（1，3） C．（2，2） D．（3【考点】正多边形和圆；坐标与图形性质．【专题】多边形与平行四边形；运算能力．【答案】A【分析】连接PA，PB，作PH⊥AB于H，由正六边形的性质得到PF＝PA＝AF＝AB＝2，∠APH＝30°，得到AH=12AP=1，勾股定理求出PH，再证得四边形OFPH是矩形，得到OH＝PF＝【解答】如图，连接PA，PB，作PH⊥AB于H，由已知可得，∠FAB＝120°，∴∠FAO＝60°，∵正六边形ABCDEF的边长为2，∵∠AOF＝90°，∴OA=12∵六边形ABCDEF是正六边形，且AB在x轴上，点F在y轴上，∴△APB是正三角形，∴∠APH＝30°，PA＝AB＝2，∴AH=12PA＝∴PH=3，OH＝OA+AH＝2∴点P的坐标为（2，3），故选：A．【点评】本题考查直角三角形的性质、正多边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．（2025•五华区校级模拟）如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（）A．150° B．145° C．140° D．135°【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；推理能力．【答案】A【分析】根据多边形内角和定理及正多边形的每一个内角都相等计算即可．【解答】解：正十二边形一个内角的度数为(12-2)×180°12=故选：A．【点评】本题考查了正多边形与圆，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．9．（2025•平乡县二模）如图，已知等腰△AEN中，AE＝AN，分别以AE，AN为边，作正五边形ABCDE与正方形ABMN有公共边AB，则∠AEN的度数为（）A．9° B．10° C．15° D．20°【考点】正多边形和圆；等腰三角形的性质；正方形的性质．【专题】正多边形与圆；运算能力．【答案】A【分析】求出∠EAB和∠NAB，再根据等腰三角形的性质即可求解．【解答】解：每个内角度数为：180°×(5-2)5∴∠EAB＝108°，∠NAB＝90°，∴∠EAN＝360°﹣108°﹣90°＝162°，∵AE＝AN，∴∠AEN＝∠ANE，∴∠AEN故选：A．【点评】本题考查了正多边形内角和、等腰三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．二．填空题（共5小题）10．（2025秋•红河县期中）俗话说“瑞雪兆丰年”，2023年冬季湖南境内出现多次降雪，预示着2024年是一个丰收之年．如图是一个正六边形雪花状饰品，正六边形的中心角的度数是60°．【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆．【答案】60°．【分析】根据正n多边形中心角公式是360°n【解答】解：正六边形的中心角等于360°÷6＝60°；故答案为：60°．【点评】本题考查了正多边形和圆的知识，解题的关键是牢记中心角的定义及求法．11．（2024秋•盱眙县期末）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，点P是劣弧BC上一点（不与点C重合），则∠CPD的度数为36°．【考点】正多边形和圆；多边形内角与外角；圆周角定理．【专题】与圆有关的计算；推理能力．【答案】36°．【分析】连接OC，OD．求出∠COD的度数，再根据圆周角定理即可解决问题．【解答】解：如图，连接OC，OD，∵ABCDE是正五边形，∴∠COD=360°5∴∠CPD=12∠COD＝故答案为：36°．【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是根据正多边形的边数求出圆心角∠COD的度数．12．（2025•西宁二模）一个正多边形的中心角为40°，则这个正多边形的边数是9．【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；运算能力．【答案】见试题解答内容【分析】根据正多边形的中心角的计算公式：360°n【解答】解：设这个多边形的边数是n，由题意得，360°n=解得，n＝9，故答案为：9．【点评】本题考查的是正多边形和圆的有关知识，掌握正多边形的中心角的计算公式：360°n13．（2024秋•和平区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，OA＝3，则正六边形ABCDEF的面积为2723【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；运算能力．【答案】272【分析】连接OA，OF，根据正六边形的性质可得∠AOF＝60°，进而可得△AOF是等边三角形，则得AF＝OA＝3，再求出等边△AOF的面积，进而可求解．【解答】解：过F点作FH⊥AO于点H，连接OA，OF，如图：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOF∵OA＝3，OA＝OF，∴AF＝OA＝3，△AOF是等边三角形，∴AH=∴FH=∴等边△AOF的面积为：S=∴正六边形ABCDEF的面积为：6S故答案为：272【点评】本题考查了正多边形与圆，把一个圆分成n（n是大于2的自然数）等份，依次连接各分点所得的多边形是这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆．14．（2025•竞秀区一模）小瑜在公园路边她发现了一处被茂密植被遮住的正多边形花坛．如图，为了得出边数，她将正多边形的两边延长交于点P，测量出∠P＝36°，则可得出正多边形的边数n＝5．【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；几何直观．【答案】见试题解答内容【分析】根据∠P＝36°，求出∠PAB+∠PBA，结合正多边形的每个外角都相等求出外角，结合外角和求解即可得到答案．【解答】解：∵正多边形的两边延长交于点P，且∠P＝36°，∠P+∠PAB+∠PBA＝180°，∴∠PAB+∠PBA＝180°﹣36°＝144°，∵图形是正多边形花坛，∴∠PAB∴n=故答案为：5．【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是掌握多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式．三．解答题（共2小题）15．（2024秋•旬阳市期末）如图1，有一个亭子，它的地基的平面示意图如图2所示，该地基的平面示意图可以近似地看作是半径为5m的圆内接正六边形，求这个正六边形地基的周长．【考点】正多边形和圆；等边三角形的判定与性质．【专题】等腰三角形与直角三角形；正多边形与圆；运算能力；推理能力．【答案】30m．【分析】根据正六边形的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠AOB∵OA＝OB，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝OA＝5m，∴正六边形ABCDEF的周长＝6×5＝30（m），答：这个正六边形地基的周长为30m．【点评】本题考查的是圆的内接正六边形的性质及等边三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键．16．（2024秋•杨陵区期末）如图，在圆内接正六边形ABCDEF中，半径OB＝3，求这个正六边形的周长．【考点】正多边形和圆．【专题】正多边形与圆；运算能力．【答案】这个正六边形的周长为18．【分析】连接OC，如图，根据正六边形的性质得到∠BOC=360°6=60°，则△OBC为等边三角形，所以BC【解答】解：如图，连接OC，∴OB＝OC．由题意可得：∠BOC=360°6∴△OBC是等边三角形，∴BC＝OB＝3，∴这个正六边形的周长为6×3＝18．【点评】本题考查了正多边形与圆，等边三角形的判定与性质，正确进行计算是解题关键．

考点卡片1．坐标与图形性质1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的，表现在两个方面：①到x轴的距离与纵坐标有关，到y轴的距离与横坐标有关；②距离都是非负数，而坐标可以是负数，在由距离求坐标时，需要加上恰当的符号．2、有图形中一些点的坐标求面积时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求出相关的线段长，是解决这类问题的基本方法和规律．3、若坐标系内的四边形是非规则四边形，通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题．2．等腰三角形的性质（1）等腰三角形的概念有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．（2）等腰三角形的性质①等腰三角形的两腰相等②等腰三角形的两个底角相等．【简称：等边对等角】③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．【三线合一】（3）在①等腰；②底边上的高；③底边上的中线；④顶角平分线．以上四个元素中，从中任意取出两个元素当成条件，就可以得到另外两个元素为结论．3．等边三角形的判定与性质（1）等边三角形是一个非常特殊的几何图形，它的角的特殊性给有关角的计算奠定了基础，它的边角性质为证明线段、角相等提供了便利条件．同是等边三角形又是特殊的等腰三角形，同样具备三线合一的性质，解题时要善于挖掘图形中的隐含条件广泛应用．（2）等边三角形的特性如：三边相等、有三条对称轴、一边上的高可以把等边三角形分成含有30°角的直角三角形、连接三边中点可以把等边三角形分成四个全等的小等边三角形等．（3）等边三角形判定最复杂，在应用时要抓住已知条件的特点，选取恰当的判定方法，一般地，若从一般三角形出发可以通过三条边相等判定、通过三个角相等判定；若从等腰三角形出发，则想法获取一个60°的角判定．4．多边形内角与外角（1）多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出（n﹣3）条对角线，将n边形分割为（n﹣2）个三角形，这（n﹣2）个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和．除此方法之和还有其他几种方法，但这些方法的基本思想是一样的．即将多边形转化为三角形，这也是研究多边形问题常用的方法．（2）多边形的外角和等于360°．①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角，则n边形取n个外角，无论边数是几，其外角和永远为360°．②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论：外角和＝180°n﹣（n﹣2）•180°＝360°．5．正方形的性质（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形．（2）正方形的性质①正方形的四条边都相等，四个角都是直角；②正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；③正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质．④两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形，同时，正方形又是轴对称图形，有四条对称轴．6．圆的认识（1）圆的定义定义①：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以O点为圆心的圆，记作“⊙O”，