北师大版九年级数学上册 专项训练 二次函数的图象与性质的应用（含解析）

专题训练二次函数的图象与性质的应用

一、单选题

1.如图所示的是二次函数），=af+法+c图象的一部分，直线x=T是对称轴，且图象经过

点（2,0）.有下列说法：①为一〃=0；@16«-4/?+c<（）；③a—〃+c=—9a；④若A（-3j）,

B（15），2）是抛物线上的点，则y>为.其中正确的是（）

C.①②④D.②③④

2.如图，二次函数y=加+云+«，，工0）的图象与x轴的一个交点坐标为（1,0）,对称轴为直

线x=T.有下列四个结论：@abc<0i②4a-给+cvO；③3a+c=0；④当一3cx<1时,

0V2+加+c<0.其中正确的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空题

3.将抛物线），=9+4工+3绕原点旋转180。后，再分别向下、向右平移3个单位长度，此时

该抛物线的表达式为.

4.如图，在平面直角坐标系中，将抛物线），=f-4.《犬21）的部分记为图象G-图象G1沿

直线x=i翻折后得到的图象记为a,图象G1和灯组成图象G.过点(O.b)作y轴的垂线/.若

直线/和图象G恰有两个交点，则〃的取值范围为.

三、解答题

5.如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，菱形。SC的顶点4(3,4),点c在X轴的

负半轴上，抛物线y=一：(*-2)2+/过点月.

⑴求k的值.

⑵若把抛物线y=-2)、4沿X轴向左平移〃1个单位长度，使得平移后的抛物线经过菱

形048。的顶点C.试判断点3是否落在平移后的抛物线上，并说明理由.

四、单选题

试卷第2页，共4页

6.已知二次函数），=a12+2以+/+”2（。为常数）在-时，）'的最大值为10,

则〃的值是（）

A.-6B.2x/3C.-6或2石D.2或-2G

7.二次函数），=-戈2+云+0的图象经过点（1,0）,（2,3）,在a"K6范围内有最大值4和最小

值-5,则。的取值范围是（）

A.a>6B.3<a<6C.（）<a<3D.a<0

8.设二次函数y=-加）（X-〃7-A）（a>0,/〃/是实数），则（）

A.当&=2时，函数）’的最小值为一。

B.当&=2时，函数）:的最小值为-加

C.当％=4时，函数）:的最小值为一。

D.当々=4时，函数）的最小值为-2a

五、填空题

9.已知点「（〃?,〃）在抛物线y=-f-3x+3上，则m+〃的最大值是.

10.当—24x41时，二次函数）=-（%-加尸+〃/+1有最大值%则实数加的值为

六、单选题

II.直线y=at+b与抛物线），=01二+次+〃在同一直角坐标系中的大致图象为（）

七、解答题

12.如图，已知抛物线"4+c过点（-2»2）,（4,5）,过定点尸（。,2）的直线"+2与抛

物线交于48两点，点"在点A的右侧，过点力作”轴的垂线，垂足为C.

⑴求抛物线的表达式.

(2)当点〃在抛物线上运动时，判断线段8尸与的数量关系，并证明你的判断.

(3)，为)，轴上一点，以反C,RP为顶点的四边形是菱形,设点的坐标为(O.m),求自然数

用的值.

试卷第4页，共4页

参考答案

1.B

【解析直线x=-l是走称轴，.•.-==-1,即。=2即•.〃-)=0,故①正确；•.•直线x=-l

2a

是对称轴，二次函数产加+法+{"0)图象经过点(20),.•.抛物线经过点(-4,0),.•.当

x=T时，y=0,即，y=cix2+bx+c=\6a-4b+c=0,故③错误；当x=Y时，

y=ax2+bx+c=\6a-4/7+c=16t/-4x2a+c=8〃+c=0•:.c=-&1,

:.a-b+c=a-2a-^i=-9a,故③正确；二•抛物线开口向下，;抛物线上的点离对称地越

远，则函数值越小.•+3-(-1)|=2,卜(-1)=<A(Ty)与可*%是抛物线上的点，

故④正确.综上所述，说法正确的是①③④.

2.D

【解析】•.,二次函数的图象开口向上，与)'轴交十负半轴，

•.•二次函数的对称轴为直线x=T.•「二=-1,

2a

：.b=2a>0.:.abc<0,故①正确；

二次函数y=瓜+《。=0)的图象与x轴的一个交点坐标为(L0),

二•二次函数广加+m+《"0)的图象与工轴的另一个交点坐标为(-3,0),

当x=-2时，>'<0,

即4。-2/?+c<0,故②正确；

•.•x=l时，y=0,:.a+b+c=0,

:.a+2a+c=O,即3〃+C=0,故③正确；

由函数图象可知，当—3<x<l时，以2+以十cyO,故④正确.

综上所述，其中正确的个数为4.

3.y=-(x-5)2-2

【解析】略

4.b=T或方>一3

【分析】根据函数图象作答即可.

【详解】解：y=x2-4x=(x-2)2-4,

x=2时，y=-4,为最小值；

答案第1页，共5页

x=l时，)'=-3.

由图象可知：当直线/和图象G恰有两个交点时，b=T或b>-3.

故答案为：〃或〃>一3.

【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是熟练掌握二次函数的图

象与性质，采用数形结合的思想.

5.(l)Ar=y

⑵当加=5时，点8落在平移后的抛物线上；当〃z=9时，点8不在平移后的抛物线上，理由

见解析

【详解】解：⑴\・抛物线—2尸+女经过点4(3,4),

.•「；x(3—2尸+攵=4,解得女=?.

JJ

(2)当m=5时，点8落在平移后的抛物线匕

当〃?=9时，点8不在平移后的抛物线上，理由如下:

如图，设A8与〉轴交于点。，抛物线)'=-*-2)2+与与工正半轴交于点七，则AO_Ly轴,

A。=3,0。=4,

:.C)A=ylAD2+OD2="+42=5.

•.,四边形O48C是菱形，.•.04=A8=OC=5,

/.8D=A13-AD=2,「.4(-2,4).

令),=0,得-*-2)2+与=0,解得玉=0,”4,

.•.E(4,0)„\OE=4,/.CE=9.

当川=OC=5时，平移后的抛物线表达式为尸-*+3)2

JJ

令x=—2,得y=—：x(—2+3)2+?=4,

JJ

•・•点B在平移后的抛物线y=-*+3)2+与上；

当〃/=6F=9时，平移后的抛物线表达式为)，=-*+7尸+学.

答案第2页，共5页

令x=-2,得),=-白(-2+7)2+?=-28工4,

JJ

41£

点B不在平移后的抛物线y=-1。+7)2上.

综上，当〃2=5时，点8落在平移后的抛物线上；当〃2=9时，点8不在平移后的抛物线上.

6.D

【解析】略

7.C

T+HcuO

【解析】•••二次函数y=*+法+c的图象经过点(],o),(2,3),‘解得

工抛物线的表达式为)，=-/+6x-5=-。-3)2+4,.•.抛物线的顶点坐标为(3,4),

当x=3时，抛物线有最大值4,由于当x=6时，y=-(6-3)2+4=-5,且在范围内

有最大值4和最小值-5,•••根据抛物线的对称性可得〃的取值范围是04。43.

8.A

【解析】令，=。,则a(x_〃7)(x-"Lk)=0,/.X1=tn,=m+k,

.,.二次函数y=。(工一〃。(/-〃2-〃)与x轴的交点坐标是(加,0),("?+k,0),二次函数的对称轴

是直线工=然1=空譬_2m+k

~2~

・.・a>o,，y有最小值，且当X=笺2m+^k时,y最小,

(2m+ky2m+k)k?

即小依=々———fn-k^--a.

?2

当攵=2时，函数y的最小值为)，

4

当4=4时，函数y的最小值为)，二一±-。=-44.

9.4

【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，利用二次函数求最值，熟练掌握二次函

数的性质是解答本题的关灌.

将(〃?，〃)代人抛物线得〃=-〃，—3〃?+3,整理后小+〃=-(〃?+iy+4,再利用二次函数性质

求解即可.

【详解】解；将(狼〃)代入抛物线得〃---一痴十3,整理后

答案第3页，共5页

"7+〃=一("7+1)~+4,

当=-1时，m+〃有最大值4,

故答案为：4.

10.2或一6

【解析】由题意，得该抛物线的对称轴为直线x=，〃.

•・抛物线开口向下，

.•.当％＜加时,y随x的增大而增大;当用时,y随。的增大而减小.

当"721时，y的最大值在x=l处取得,即-(1-〃?)2+/+1=4,解得〃2=2；

当一＜2〃?＜1时，的最大值在x=相处取得，B|J/H2+1=4,解得町(不合题

7

意，舍去)；当mW-2时，)的最大值在工=一2处取得，即-(-2-〃?)2+〃?2+1=4,解得〃?=-二

4

(不合题意，舍去).

综上所述，实数用的值为2或-Q.

II.D

【解析】由一次函数的图象可知，«＞0,〃＞(),则抛物线丁=口/+/求+人与)，轴的交点在

原点上方，故排除A，B选项.＜。＞0力＞。，」.而＞0,x=——v0,，抛物线y=ax2+bx+b

2ci

的对称轴位于y轴左侧，故c选项不符合题意，D选项符合题意.

12.⑴)，=：/+1

4

(2)4产=AC.证明见解析

(3)自然数"的值为6或0.

4CJ+c=2a=

【详解】解：⑴把(一2,21(4,5)代入)，=公2+°,得