八年级上学期数学压轴必考题型-等腰三角形的判定（含答案）

人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题等腰三角形的判定

一.选择题

1.（2021春•建平县期末）在正方形网格中，网格线的交点称为格点.如图，已知A,B是两格点，如果点

C也是格点，且使得△ABC是以48为腰的等腰三角形，那么点C的个数有（）

2.（2021春•和平区期末）如图，下列4个三角形中，均有A8=AC,则经过三角形的一个顶点的一条直线

能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）

3.（2021春•璘口区月考）如图，在平面直角直角坐标系中，A（4,0）、B（0,3）.点。在x轴上，

若在线段（包括两个端点）上找点P,使得点4、D、P构成等腰三角形的点。恰好只有1个，下列

选项中满足上述条件的点。的坐标不可能是（）

A.（-3,0）B.（-1,0）C.（5,0）D.（9,0）

4.（2021•雁塔区校级模拟）在△4BC中，AB=AC,/BAC=108°,AC的中垂线交5C于点。，交AC于

点石，连接A。，NAQ4的角平分线交于点尸则图中等腰三角形的个数为（）

BDC

A.6B.5C.4D.3

5.（2020秋•船营区期末）平面直角坐标系中，已知A（l,1）,8（2,0）.若在工轴上取点C,使△ABC为

等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

6.（2020春•松江区期末）如图，关于△A8C,给出下列四组条件：

①△ABC中，AB=ACi

②△ABC中，NB=56°，/物C=68°；

③△ABC中，ADA.BC,AO平分/BAC；

④Z\A8c中，AD±I3C,AO平分边4C.

其中，能判定△ABC是等腰三侑形的条件共有（）

7.（2019秋•蜀山区期末）在△48c中，与NA相邻的外角是130°,要使为等腰三角形，则的

度数是（）

A.50°B.65°

C.50°或65°D.50°或65°或80°

8.（2020春•左权县期末）如图，已知每个小方格的边长为1,A,8两点都在小方格的顶点上，请在图中找

一个顶点C，使△A8C为等腰三角形，则这样的顶点C有（）

r-1----«----------------V--------V--------1--------V-------1

11111111

11111111

1----------1---------------1--------1--------1--------1-------1

11I11II1

11111111

r।111111

111111

L11111

1一1--------1一1一厂.)

11111111

1_____1________1--------

II_____I_____1__4L__X__J

B

A.8个B.7个C.6个D.5个

二.填空题

9.（2020秋•松山区期末）已知：如图△A8C中，NB=50°,ZC=90°,在射线84上找一点。，使4

ACO为等腰三角形，则NAC。的度数为

10.（2021春•吉安县期末）如图，已知点P是射线上一动点（P不与8重合），NAOB=30°,N4BM

=60°,当NOAP=时，以A、0、B中的任意两点和尸点为顶点的三角形是等腰三

角形.

A

11.（2019秋•海淀区期末）如图，已知/M0N,在边ON上顺次取点Pi，P3,P5…,在边。朋上顺次取点

P2,PA，PG…，使得OP]=P|22=P2P3=尸3。4=。4P5…，得到等腰△OP/2,/\P\P2P3,AP2P3PA，3P4P5…

（l）若NM0N=30°,可以得到的最后一个等腰三角形是：

（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△03凡8,则NM0N的度数a的取值范围

是.

12.（2019秋•江油市期末）如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形、点

，也在格点上，且aABC为等腰三角形，则符合条件的点C共有个.

13.（2021春•鹿城区校级月考）如图，N4O/3=45°,点M,N在边OA上，OM=x,ON=.x+2,点夕是边

上的点.若使点P,M,N构成等腰三角形的点P恰好有两个，则工的取值范围是

。B

14.（2017秋•靖江市校级期中）平面直角坐标系中，已知A（-5,0）,点P在第二象限，AA。尸是以。4

为腰的等腰三角形，且面积为10,则满足条件的P点坐标为.

三.解答题

15.（2019•沙坪坝区校级模拟）如图，在△A8C中，AO_L8c于点。，点F为AB上一点,连接CF,过点

B作8£J_/3c交CE的延长线于点£,交AO于点从且N1=N2

（1）求证：AB=AC\

（2）若Nl=22°,ZAFC=110°,求N8CE的度数.

16.（2019春•蜀山区期中）如图，在△A/C中，N8=90°，A8=8厘米，笈。=6厘米，P、Q是4ABe也

上的两个动点，其中点P从点A开始沿方向运动速度为I厘米/秒，点Q从点B开始沿

方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时间为/秒.

（1）求出发2秒后，PQ的长：

（2）点Q在CA边•上运动时，当△BCQ成为等腰三角形时，求点Q的运动时间.

cc

备用图

17.（2020秋•五常市期末）如图，点。、£在△A8C的边3c上，AD=AE,BD=CE.

（1）求证：AB=AC：

(2)若N8AC=108°,ZDAE=36°,直接写出图中除△ABC与△AOE外所有的等腰三角形.

18.（2020春•陈仓区期末）已知：如图，A8=AC,O是44上一点，DE工BC于点E,£。的延长线交CA

的延长线于点E求证：△4Q"是等腰三角形.

19.（2019秋•巩义市期末）如图，在RtZUBC中，ZC=90°,NA=60°,AB=\2cm,若点P从点B出

发以2cmk的速度向点A运动，点Q从点A出发以Icmk的速度向点C运动，设P、Q分别从点B、A

同时出发，运动的时间为m

（1）用含/的式子表示线段AP、AQ的长；

（2）当，为何值时，4A尸Q是以PQ为底边的等腰三角形？

（3）当f为何值时,PQ//BC2

2（）.（2019秋♦镇贲县期末）在△人BC中，人£＞平分/84C,E是3C上一点，BE=CD,EF//AD交AB于F

点，交C4的延长线于P,交40的延长线于点H,

①求证：△AP产是等腰三角形：

②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想.

21.（2019•葫芦岛模拟）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边与含30°角的直角三角

板。射的直角边长度相同，且斜边与距在同一直线上，AC与BD交于点、O,连接CD.求证：

△C。。是等腰三角形.

22.（2021春•高碑店市期末）如图,已知:A。平分NCAE,AD//BC.

（1）求证：/XABC是等腰三角形.

（2）当NCAE等于多少度时，△A8C是等边三角形？证明你的结论.

23.（2018•鼓楼区一模）如图，ZX4BC中，AD1BC,垂足为D小莉说：当时，XABC

是等腰三角形，她的说法正确吗？如正确，请证明；如不正确，请举反例说明.

24.（2018秋•盅县期末）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角

板。BE的直角边长度相同，且斜边与BE在同一直线上，AC与B。交于点O,连接CD.

求证：△CQO是等腰三角形.

B

25.（2017•长安区校级模拟）如图，△A8C中8。、C。平分NA8C、ZACB,过。作直线平行于8C,交

AB.AC于E、F,求证：EF=BE+CF.

人教版数学八年级上册压轴题专题精选汇编

专题等腰三角形的判定

一.选择题

1.（2021春•建平县期末）在正方形网格中，网格线的交点称为格点.如图，已知A,B是

两格点，如果点C也是格点，且使得△ABC是以为腰的等腰三角形，那么点C的个

数有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【思路引导】根据网格结构，分别以人、8为圆心，A8为半径作圆与网格线的交点即为

点C即可得到点。的个数.

【完整解答】解：如图，以A6为等腰AA3c其中的一条腰时，符合条件的C点有4个.

故选：B.

2.（2021春•和平区期末）如图，下列4个三角形中，均有A8=AC,则经过三角形的一个

顶点的一条直线能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（）

【思路引导】逐个画出图形，即可得到答案.

【完整解答】解：图①中，NA=36°,AB=AC,贝!NA8C=4CB=72。，

以8为顶点，在△48C内作NA8O=36°,则/A=/A8O=36°,

•••△A3。是等腰三角形，

而N£）BC=N/18C-NABO=36°,NACB=72°,

AZACB=ZBDC=72°,

•••△8DC是等腰三角形，

故直线8。将AABC分成了两个小等腰三角形，①符合题意，如图:

图③中，N6AC'=9（T,AB=AC,

••.△A3C是等腰直角三角形，/8=/C=45°,

过人作作AE_LBC于£,如图：

A

则4ABE和△ACE是等腰直角三角形，

故直线AE将AA3c分成了两个小等腰三角形，③符合题意;

图④中，ZBAC=108°,AB=AC,则N8=NC=36°,

以A为顶点，在△A8C内作N84F=72°,如图：

则和△八C户都是等腰三角形，

故④符合题意；

图②是等边三角形，没有直线能将它分成两个小的等腰三角形，

故②不符合题意；

故选：D.

3.（2021春•研□区月考）如图，在平面直角直角坐标系4。y中，A（4,0）、B（0,3）.点

。在x轴上，若在线段48（包括两个端点）上找点儿使得点A、。、。构成等腰三角形

的点P恰好只有1个，下列选项中满足上述条件的点。的坐标不可能是（）

【思路引导】先利用与股定理计算出AB=5,然后利用等腰三角形的判定对各选项进行

判断.

【完整解答】解：:A（4,0）、B（0,3）,

：.AB=5,

当点。坐标为（-3,0）时，只能作以P。、以为腰的等腰三角形，

当点。坐标为（・1,0）时，可以作以尸以以为腰的等腰三角形也可以作AP、4）为

腰的等腰三角形，

当点。坐标为（5,0）时，只能作以A。、以为腰的等腰三角形，

当点。坐标为（9,0）时，只能作以A。、雨为腰佗等腰三角形，

故选：B.

4.（2021•雁塔区校级模拟）在△ABC中，AB=AC,NMC=108°,人。的中垂线交于

点。，交AC于点E,连接4。，NAQ8的角平分线交AB于点尸则图中等腰三角形的个

【思路引导】由等腰三角形的判定可得答案.

【完整解答】解：VA3=AC,ZBAC=108°,

・・・NB=NC=36°,Z\4BC是等腰三角形，

•••。七是AC的中垂线，

：.AD=CD,△4OC是等腰三角形，

・・・ND4C=NC=36"，N8AD=108°-36°=72°,

VZB=36°,

，N8D4=I8O0-36°-72°=72°,

：.^BAD=^BDA,△ABZ）是等腰三角形，

产平分NAQ8,/ADB=72：

：.ZBDF=ZADF=36<,,

:.^ADF和尸是等腰三角形.

故选：B.

5.（2020秋•船营区期末）平面直角坐标系中，己知A（l,1）,B（2,0）.若在x轴上取点

C,使△人8c为等腰三角形，则满足条件的点C的个数是（）

A.2个B.3个C.4个D.5个

【思路引导】由点A.〃的坐标可得到万然后分类讨论：若AC=4&茗BC=

4B；若CA=CB,确定。点的个数.

【完整解答】解：•・•点A、8的坐标分别为A（1,1）,B（2,0）.

①若4C=AB,以A为圆心，AB为半径画弧与x轴有2个交点（含8点），即（0,0）、

（2,0）,

・•・满足△ABC是等腰三角形的C点有1个；

②若BC=AB,以B为圆心，BA为半径画弧与x轴有2个交点（4点除外），即满足△

ABC是等腰三角形的C点有2个；

③若CA=C8,作A5的垂直平分线与x轴有1个交点，即满足△48C是等腰三角形的C

点有I个；

综上所述：点C在％轴上，△ABC是等腰三角形，符合条件的点C共有4个.

故选：C.

6.（2020春•松江区期末）如图，关于△48C,给出下歹J四组条件：

①△A6C中，AB=AC-.

②△ABC中，ZB=56°,ZBAC=6Sa；

③△ABC中，ADA.BC,AO平分NBAC；

④ZX4BC中，ADA.BC,平分边BC.

其中，能判定△A8C是等腰三角形的条件共有（）

【思路引导】根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可.

【完整解答】解：①、•••△ABC中，AB=AC,

•••△A8C是等腰三角形，故①正确；

②、•••△A8C中，ZB=56°,N8AC=68°,

AZC=I8O°-ZBAC-Z^=180°-68°-56°=56°,

AZB=ZC,

•••△A3C是等腰三角形，故②正确；

③,.,△ABC中，AD±BC,A。平分N84C,

：.ZBAD=ZCAD,ZADB=^ADC,

VZB+ZBAD+ZADB=180°,NC+NCAO+NAOC=180°,

/./R=/C,

•••△ABC是等腰三角形，故③正确；

④、•••△ABC中，ADLBC,4。平分边8C,

：,AB=AC,

•••△4BC是等腰三角形，故④正确；

即正确的个数是4,

故选：

7.（2019秋•蜀山区期末）在△ABC中，与NA相邻的外角是130°,要使△A8C为等腰三

角形，则N8的度数是（）

A.50°B.65°

C.50°或65°D.50°或65°或80°

【思路引导】依据三角形的内角和定理和等腰三角形的性质进行判断即可.

【完整解答】解：ZA=180°-130°=50°.

当A3=AC时，ZB=ZC=A（180°-50°）=65*；

2

当时，NA=/C=50°,则NB=180°-50°-50°=80°；

当C4=C8时，NA=/B=50°.

N8的度数为50°或65°或80°,

故选：Q.

8.（2020春•左权县期末）如图，已知每个小方格的边长为1,A,8两点都在小方格的顶点

上，请在图中找一个顶点C,使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有（）

A.8个B.7个C.6个D.5个

【思路引导】分为腰和为底两种情况考虑，画出图形，即可找出点C的个数.

【完整解答】解：当AB为底时，作A8的垂直平分线，可找出格点C的个数有5人，

当/W为腰时，分别以.4、△点为顶点，以A4为半径作弧，可找出格点C的个数有3个;

・•・这样的顶点C有8个.

填空题（共6小题）

9.（2020秋•松山区期末）已知：如图△4BC中，NB=50°,ZC=90°,在射线B4上找

一点D,使△ACO为等腰三角形，则N4CQ的度数为7为或40°或20°.

【思路引导】分三种情形分别求解即可;

【完整解答】解：如图，有三种情形：

②当CO'=ADf时，ZACD'=40°.

③当AC=A。"时，NACD"=20°,

故答案为70°或40°或20°

10.（2021春•吉安县期末）如图，已知点尸是射线8M上一动点（户不与8重合），ZAOB

=30°,NA4M=60°,当/。4。=75°或120°或90"时,以4、0、4中的任意

两点和P点为顶点的三角形是等腰三角形.

【思路引导】先根据题意画出符合的情况，再根据等腰「角形的性质和一角形内角和定

理求出即可.

【完整解答】解：分为以下5种情况：

A

VZAOB=30°,OA=OP,

VZAOB=30°,OA=AP,

，NAPO=NAO5=30°，

/.ZOAP=1800-ZAOB-Z4PO=180°-30°-30°=120°।

@AB=AP,

VZAOM=6()°，AB=AP,

：.ZAPO=ZABM=6(r,

，NO4尸=180°・NAO8-N4PO=180°・30°-60°=90°；

④AB=BP,

•・・N48V=60°，AB=BP,

：.ZBAP=ZAPO=^x(180°-60°)=60°,

2

，NO4尸=180°・NAO8・NAPO=180°-30°-60°=90°；

A

・・・NABM=60°,AP=BP,

：,ZABO=ZPAB=60,

・'/A=I8U°-60°-6U°=6。°,

/.ZOAP=I800-NAOB-N4PO=180°-30°-60°=90°；

所以当NOAP=75°或120°或90°时，以A、0、8中的任意两点和P点为顶点的三角

形是等腰三角形，

故答案为：75°或120°或90°.

11.（2019秋•海淀区期末）如图，已知NMON,在边ON上顺次取点P，尸3,Ps…，在边

OM上顺次取点。2，。4，06…，使得OP|=P|P2=P2P3=P3P4=P|P5…，得到等腰△OPB，

△P|P2P3，2P3P4,△尸3尸4Ps…

（2）若按照上述方式操作，得到的最后一个等腰三角形是△凸尸4尸5,则/MON的度数a

的取值范围是18°WaV22.5°.

【思路引导】（1）利用等腰三角形的性质求出NOP2P3即可判断.

（2）由题意要使得得到的最后一个等腰三角形是3P4P5，需要满足：NP4P3尸5=4a<

90°且/MP4P5=5a290°,解不等式即可解决问题.

【完整解答】解:（1）・；OPi=PiP2=P2P3,

・・・NOP2Pl=NO=3（）°,

NP2Plp3=/P2P3Pl=60°,

・•・NOP2P3=90°,

••.△P2P3P4不存在，

，得到的最后一个等腰三角形是△2小2P3.

故答案为2P3.

（2）由题意要使得到的最后一个等腰三角形是?4P5,

需要满足：/尸4尸3P5=4aV90°且NMP4P5=5a290°,

/.18°WaV22.5°,

故答案为18°WaV22.5°.

12.（2019秋•江油市期末）如图，4、8两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为

1的正方形、点C也在擀点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点。共有9个.

i.・…:.・…i.….k...|

'••••♦•.,

•••I

•・・・・・1・••・••••O••••••

\,:••：A：■\,

!---9--，-----Q---•

【思路引导】根据已知条件，可知按照点C所在的直线分两种情况：①点C以点A为标

准，A4为底边；②点C以点4为标准，A3为等腰三角形的一条边.

【完整解答】解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；

②点C以点6为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个.

所以符合条件的点。共有9个.

13.（2021春•鹿城区校级月考）如图，NAOB=45°,点M,N在边OA上，OM=x.ON

=x+2,点尸是边OB上的点.若使点P,M,N构成等腰三角形的点尸恰好有两个，则

x的取值范用是2加-2WxW2或工=2加或x=S-1.

【思路引导】考虑四种特殊位置，求出x的值即可解决问题；

【完整解答】解：如图1中，当△PzMN是等边三角形时满足条件，作P2”_LO4于”.

在中，匕〃=代M=加,

•••/0=/傍。=45°,

：.OH=HP?=0

：.x=OM=OH-MH=g-1.

如图2中，当。M与08相切于P，MP=MN=2时，x=OM=2加，此时满足条件:

图2

如图3中，如图当（DM经过点。时，x=OM=2,此时满足条件的点P有2个.

如图4中，当。N与。3相切于外时，x=OM=2加・2,

A

，1、、/

观察图3和图4可知：当2加-2VxW2时，满足条件，

综上所述，满足条件的x的值为：2亚・2VxW2或；1=2正或%=灰・1,

故答案为2亚-2<x^2或x=2加或x=V3-1.

14.（2017秋•靖江市校级期中）平面直角坐标系中，已知A（-5,0）,点P在第二象限，

△AOP是以OA为腰的等腰三角形，且面积为10,则满足条件的。点坐标为（-3.4）

或（-8,4）或（-2,4）.

【思路引导】设P（〃?，〃）.利用三角形的面积公式求出〃的值，再分两种情形构建方程

即可解决问题；

・・・04=5,

S^POA=10'

.\AX5X/I=10,

2

当。尸=OA=5时，〃尸+42=52,

:.〃?=±3,

•••/"VO,

m=-3>

:・P(-3,4),

当A。'=5时，(m+Si2+4?=弓2,

：.m=-2或-8,

:・P'(-8,4)或(・2,4).

故答案为(-3.4)或(-8,4)或(-2,4).

三.解答题

15.(2019•沙坪坝区校级模拟)如图，在△ABC中，ADLBC于点D,点F为AB上一点,

连接CF，过点3作8£J_8c交CF的延长线于点E,交40于点H,且N1=N2

(1)求证：AB=AC；

(2)若Nl=22°,ZAFC=110°,求N8CE的度数.

【思路引导】（I）想办法证明NABC=N4CB即可.

（2）根据NA*）=NF8C+NEC8,想办法求出NFBC即可.

【完整解答】（1）证明：VEB1BC,ADLBC,

:.EB//AD,

・・・N2=N8A。，

VZ1=Z2,

：,ZBAD=Z\,

VZ1+ZACD=9O°,N8AQ+NA8C=90°,

/.ZABC=ZACB,

：,AB=AC.

(2)解：•・・/2=Nl=22°,NEBC=90°,

AZFBC=68°,

,/ZAFC=/FBC+/ECB,

AZECB=110°-68°=42°.

16.(2019春•蜀山区期中)如图，在△ABC中，N5=90°,A4=8厘米，4c=6厘米，P、

Q是△ABC边上的两个动点，其中点。从点A开始沿A-8方向运动速度为I厘米/秒,

点Q从点8开始沿B-C-A方向运动速度为2厘米/秒，若它们同时出发，设出发的时

间为/秒.

(1)求出发2秒后，PQ的长；

(2)点。在CA边上运动时，当ABCQ成为等腰三角形时，求点。的运动时间.

cc

备用图

【思路引导】（l）根据点尸、。的运动速度求出4P,再求出8尸和BQ,用勾股定理求得

P0即可;

（2）当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：

①当CQ=B。时（图1）,则NC=NCBQ,可证明NA=NAB。，则BQ=AQ,则CQ=

AQ,从而求得f：

②当CQ=3C时（图2）,则8C+CQ=12,易求得/；

③当BC=BQ时（图3）,过8点作于点E,则求出BE,CE,即可得出九

【完整解答】（1）解：（1）80=2X2=4°〃，

BP=AB-A〃=8-2X1=6cm,

VZB=90°,

"Q=、BQ2+Bp2=2Vl^（cm）；

（2）解：分三种情况：

①当CQ=8Q时，如图1所示：

则NC=NCBQ,

VZABC=90°,

・・・NCBQ+N48Q=9（T,

ZA+ZC=90°,

ZA=ZAB（）

：.BQ=AQ,

.・.CQ=AQ=5,

：.BC+CQ=\\,

Az=114-2=5.5秒.

②当CQ=8C时，如图2所示：

则BC+CQ=n

••・/=12+2=6秒.

③当8C=8Q时，如图3所示：

过8点作8口LAC于点E,

则BE=战呻，=J6X_8=4.8（。”）

AC10

:・CE=JBC2-BE2=3.6cw,

：.CQ=2CE=1.2cm,

，BC+CQ=13.2cm,

・•・，=13.2+2=6.6秒.

由上可知，当，为5.5秒或6秒或6.6秒时,

△8CQ为等腰三角形.

17.（2020秋•五常市期末）如图，点。、上在△A8C的边BC上，AD=AE,BD=CE.

（1）求证：AB=AC；

（2）若N84C=108°,ND4E=36°,直接写出图中除△ABC与△ADE外所有的等腰

三角形.

【思路引导】（1）首先过点A作A/UBC于力、尸,FtlAD=AE,根据二线合一的性质，可

得/又由8。=。E，可得BF=CF,然后由线段垂宜平分线的性质，可证得人8

=AC»

（2）根据等腰三角形的判定解答即可.

【完整解答】证明：（1）过点A作A凡L4C于点八

•：AD=AEf

：.DF=EF,

•:BD=CE,

:・BF=CF,

：.AB=AC.

(2)•:/B=/BAD,ZC=ZEAC,ZBAE=ZBEA,ZADC=ZDAC,

，除△ABC与△AOE外所有的等腰三角形为：△ABO、△AEC、△ABE、ZUOC,

18.（2020春•陈仓区期末）已知：如图，AB=AC,D是AB上一点,DELBC于点ED

的延长线交CA的延长线于点F.求证：△AO/是等接三角形.

【思路引导】根据等边对等角得出/月=NC,再利用等角的余角相等和对顶角相等得出

/EFC=/ADF,进而证明即可.

【完整解答】解：・.・A8=AC,

:,NB=/C（等边对等角），

,：DE1BC^E,

:./FEB=NFEC=90",

・•・N8+/EDB=NC+NEFC=90°,

・"EFC=/EDB（等角的余角相等），

♦：/EDB=NADF（对顶角相等），

・•・ZEFC=ZADF,

：.AD=AF,

尸是等腰三角形.

19.（2019秋•巩义市期末）如图，在Rt△49c中,NC=90°,NA=60°,AB=\2cmt若

点P从点8出发以2c、“心的速度向点A运动，点Q从点A出发以la而的速度向点。运

动，设P、Q分别从点8、4同时出发，运动的时间为fs.

（1）用含，的式子表示线段AP、AQ的长；

（2）当/为何值时，A4P。是以PQ为底边的等腰三角形？

（3）当f为何值时,PQ//BC2

c

【思路引导】(1)由题意，可知N8=30°,AC=6ctn.BP=2hAP=AB-BP,AQ=t.

(2)若△4PQ是以P。为底的等腰三角形，则有AP=AQ,即12-2f=3求出，即可.

(3)先根据直角三角形的性质求出N8的度数，再由平行线的性质得出NQ%的度数，

根据直角三角形的性质即可得出结论.

【完整解答】解：(1)・・・RlZ\ABC中，ZC=90°,ZA=60°,

・・・NB=30°.

：.AC=6cm,BP=2t,AP=AB-BP=\2-2t,AQ=I；

(2)•••△APQ是以尸。为底的等腰三角形，

••・AP=AQ,即12-21=t,

・••当f=4时，△APQ是以PQ为底边的等腰三角形；

(3)当PQ_LAC时，PQ//BC.

VZC=90°,ZA=60°,

・・・NB=30°

yPQ/ZBC,

・・・NQ附=30°

：.AQ=^AP,

.*./=—(12-2z),解得f=3,

2

・••当f=3时,PQ//BC.

20.(2019秋•镇赍县期末)在△ABC中，A。平分NB4C,E是8C上一点，BE=CD,EF

〃AD交A8于/点，交CA的延长线于「，C”〃AB交AO的延长线于点儿

①求证：△AP尸是等腰三角形：

②猜想人8与PC的大小有什么关系？证明你的猜想.

A

H

【思路引导】①根据题意作出图形，根据两直线平行，内错角相等可得N1=N4,同位角

相等可得N2=NR再根据角平分线的定义可得N1=N2,然后求出N4=NP,根据等

角对等边的性质即可得证：

②根据两直线平行，内错角相等可得/5=/8,再求出NH=NI=N3,然后利用“4AS”

证明△蛇产和△C。”全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=CH,再求出AC=CH,

再根据48=4尸+B凡PC=AP+AC,整理即可得解.

【完整解答】①证明：•・・EF〃A。，

AZ1=Z4,N2=NP,

•・・A。平分NBAC,

AZ1=Z2,

；・N4=NP,

：.AF=APt

即△APb是等腰三角形；

®AB=PC.理由如下：

证明：YCH//AB,

；・N5=NB,NH=N1,

•:EFaAD,

AZ1=Z3,

・•・N"=N3,

在和△C。〃中，

'N5=NB

IZH=Z3.

BE=CD

:.△BEFWACDH(AAS),

:・BF=CH,

•.•4。平分NB4C,

.*.Z1=Z2,

，N2=N”，

:.AC=CH,

：,AC=I3F,

•：AB=AF+BF,PC=AP+AC,

21.（2019•葫芦岛模拟）将一副直角三角板如图摆放，等腰直角板/WC的斜边8c与含30°

角的直角三角板OBEf勺直角边B。长度相同，且斜边8C与8E在同一直线上，AC与BD

交于点0,连接CD求证：△C30是等腰三角形.

【思路引导】根据和NOE尸=30°可求得。和NBC。的值，根据NAC8=

45°即可求得/OOC的值，即可解题.

【完整解答】证明：•・•在△3OC中，BC=DB,