第2章 小结与评价 学案-2025湘教版八年级数学上册

第2章分式

第2章小结与评价

►学习目标与重难点

学习目标：

1.能够系统I可顾和总结分式的基本概念、性质、运算规则以及分式方程的解法和应用。

2.能够熟练进行分式的化简、加减乘除运算，解决分式方程及其应用问题，提高运算能力和解题技巧。

3.通过知识结构图和典型例题，梳理分式章节的核心内容，形成知识体系。

学习重点：

1.分式的运算规则（通分、约分、混合运算）。

2.分式方程的解法步骤与增根的检。

学习难点：

1.分式方程的建模与实际应用（如工程问题、行程问题）。

2.增根的理解与检验（如为何需检验、如何检验）。

►教学过程

一、知识图谱

二、思考回顾

教材第58页

1.举例说明什么是分式.分式的基本性质有哪些?

【牛刀小试】下列说法正确的是（）

xx-4

A.代数式.是分式B.当无工4时分式一^有■意义

4+TTX+2

C.分式差工的值为0,则工的值为±3D.无论》为何值，景石,软有意义

2.什么是最简分式？如何通过约分把分式化成最简分式？

【牛刀小试】若一■表示的是一个最简分式，则♦可以是（）

x—2

A.2xB.xC.4x—x2D.x2

3.如何进行分式的加法、减法、乘法、除法和乘方运算？

【牛刀小试】下列计算正确的是（）

5,27x+yx—y_2

A.----F-=—B.

x2x3xxyxyx

D.Qb=Q

b

4.什么是最简公分母？什么叫作通分？

【牛刀小试】把分式J23通分时,这三个分式的分子分母依次乘.

3b2c2a2bSac

5.如何进行同底数昂的除法?

【牛刀小试】下列计算中，结果是。6的是（）

A.a12+a2B.a3+a3C.a8-r-a2D.a3•a2

6.任何非零实数的零次鼎等于多少？整数指数k的基本性质有哪些?

【牛刀小试】如果Q=（-2025）。，b=J»c=（-2）2,那么a,b,c三数的大小为（）

A.a>b>cB.a>c>bC.c>a>bD.c>b>a

7.解可化为一元一次方程的分式方程的步骤是什么？

1?

【牛刀小试】分式方程:一一=0的解是________.

x—2x

二、注意事项

1.分式£中分母g不为0.

g

2.任何非零实数的零次鞋都等于1,即。。=1（存0）.

3.非零实数的负整数指数第规定为Q一九（aH0,n是正整数），特别地，a-1=；（存0）.

ana

4.解可化为一元一次方程的分式方程时，一定要检验一元一次方程的解是否为原分式方程的解.

四、【课堂练习】

【知识技能类作业】

必做题

1.下列说法正确的是（）

x+4

A.代数式元是分式B.分式中％y都扩大3倍，分式的值不变

3x—2y

x+1D.分式士g的值为0,则X的值为±3

C.分式是最简分式

x2+lX—3

2.下列各式中，正确的是（）

22

A.声=上11「b_b?a+b

B.--------=-----C---.---=~D.---------=a+b

3x+yx+y—x—yx+yaa，a+n

m2

3.已知关于x的分式方程的一+2---------,解为正数，则非负整数m的所有个数为（）

x-11-x

A.3B.4C.5D.6

选做题

一24%2y_

4.约分：（1）⑵小

8y2z

777+T?-64+2—6

5.对于代数式，…，定义运算“软,：m㊈n=例如：4⑥2=E，若QT）③

A,B

(%+2)=--+—则？1+38=

x-1x+2

6.在读书活动中，某同学对甲、乙两个班学生的读书情况进行了统计：甲班学生人数比乙比学生人

数多2人，甲班学生读书256本，乙班学生读书180本，乙班平均每人读书的本数是甲班平均每人

读书的本数的右求甲乙两班各有多少人？设乙班有x人，依题意，可列方程为.

【综合拓展类作业】

7.解答下列各题:

2

..M%—92x4-1

⑴化简：N+6X+广^7?

⑵先化简，再求值：（2人悬.前为其中a满足02+叱3=。.

五、【作业布置】

1.下列约分正确的有（）

Q2_2Q-3=0^3aim-n）3=2+xy=a+m=a

））

1a2+2a+la+1'Q^（n-m）3，1xy+2'Wb+mb'

A.1个B.2个C.3个D.4个

11+k

2.若分式方程「一『=1无解.，则k的值为（）

x—22—x

A.2B.-2C.ID.-1

3.端午节是中国的传统节日，某商店销售甲、乙两种礼盒的粽子，经调查发现：用880元购进的甲

礼盒数最是用400元购进的乙礼盒数量的2倍，且每个甲礼盒的进价比乙礼盒贵4元，设每个乙礼

盒的进价为x元，则下列方程正确的是（）

880,400880、,400

A.=2X——B.=2X——

x-4Xx+4X

880400880400

C.2XD.2x

x-4Xx+4X

4.茂名地区的荔枝和三华李已入选广东非物质文化遗产名录.为满足消费者需求，某超市购进荔枝

和三华李，已知荔枝比三华李每千克进价少2元，用900元购进荔枝与用1100元购进三华李的重量

相同.

⑴求荔枝和三华李每千克进价分别是多少元；

⑵本次购进荔枝和三华李共800千克，均按每千克13元出售，购进荔枝的重量不超过三华李重量

的3倍・，且重量不少于400千克.若该批水果全部售完，则该超市应购进荔枝和三华李各多少千克

才能获得最大利润？最大利润是多少？

答案解析

课堂练习：

I.【答案】C

【解析】解：A.代数式等是整式，故不正确；

B.分式缶中为y都扩大3倍得3X；：23V=悬，分式的值改变，故不正确;

c.分式号是最简分式，正确；

D.分式髭的值为0,则/一9二0且%一3H0.则%的值为-3,故不正确・

故选C.

2.【答案】B

【解析】解：A、芸;工长，等式错误，不符合题意；

、——=等式止确，符合题意：

B人z人『X

。、5===受中授等式错误,不符合题意;

aQ/ana

D、喏KQ+b,等式错误，不符合题意；

故选：B.

3.【答案】A

【解析】解：普+2=-2

1-X

去分母，得：m+2(x-l)=2,

移项、合并，得：％=手，

•••分式方程的解为正数，

4—m

•••4-m>0,-y-工1,

解得：m<4,H.mH2,

•••非负整数解的有0,1、3共3个，

故答案为：A.

1

2

4.【答案】-3xy；4〃・

-24/y3z

【解析】解：(1)

故答案为：一3炉”

2g)工

J'8a/)2(l-a)4b2，

故答案为：一+

5.【答案】8

【解析】解：(Al)⑥(x+2)=渣潟=滥言方

AB

+x+2

纵工+2)+8(%-1)

(x-l)(x+2)

Ax+2A+Bx-B

(x-l)(x+2)

(Zl4-g)x+24-e

=(x-l)(x+2)1

・••Q-l)③(%+2)=£+总

2x-5_{A+B)x+2A-B

■'(x-l)(x+2)-(x-l)(x+2)，

"+8=2,2A-B=-5

解得力二-1,3=3,

•'-A+3B=-1+3x3=8,

故答案为：8.

6.【答案】翳X*等

【解析】解：设乙班有x人，则甲班有(x+2)人,

根据题意得：整、：=弓.

X"r£,qX

3山口2563180

故答案是：7^x；=—

2

7.【答案】(1)解:X—92x+l

x2+6x+92x+6

(x+3)(x-3)2%+1

=--+3)22(x4-3)

x—32x+1

x+32(%+3)

2x—6-2x—l

2(x4-3)

7

二-2(x+3)

2a2+4a12a、,a-4

(2)解:原式=(；

a+2a+2~(a+2)2

2a2-8aa-4

=a+2*(a+2)2

2a(a-4)(a+2)2

--------x------

a+2a-4

=2a(a+2)

va2+2Q-3=0,

•,•a2+2a=3.

二原式=2(a2十2a)=6.

作业布置：

1.【答案】D

【解析】解：a3b—4ab=aZ?(