第3章 勾股定理（单元测试提升卷）-2024苏科版八年级数学上册

八年级上册数学单元检测卷

第三章勾股定理,能力提升

建议用时：90分钟,满分：120分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列四个说法：

①如果a,b,。为一组勾股数，那么2a,2b,2c仍是勾股数；

②如果直角三角形的两边是8、15,那么斜边必是17；

③如果一个三角形的三边是12、25、20,那么此三角形必是直角三角形；

④一个等腰直角三角形的三边是a,b,c（a>b=c）,那么/：/：。2=2：1：1.

其中正确的是（）

A.®@B.①@C.②④D.①④

2.如图，。为数轴原点，A,8两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰V48C,连接OC,以。为圆心,

OC长为半径画弧交数轴于点M,则点“表示的实数为（）

A.-V5B.75C.-y/1D.6

3.如图，在直角三角形48c中，ZBAC=90°,AC=6,48=8,点。为8c中点，则力。的长为（）

A.1（）B.4.8C.4D.5

4.如图，在中，408=90°,DE垂直平分48交8c于点若“。。的周长为14,且4月C=38C,

则,48的长为（）

1/31

5.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选项中的图形，能证明

勾股定理的是（）

①②③④

A.①②③B.①©④C.②®④D.①②③④

6.如图，用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成了一个正方形图案.已知大正方形的面积为49,

小正方形的面积为4,若用x,y表示直角三角形的两直角边长C＞歹），有下列四个说法：①/+9=49；

②工一y=2；③x+y=9；(4)2xy+4=49.其中正确的是（）

A.®®B.©©③C.©©③④D.①②④

AF

咫

与

AB

第6题第7题

7.如图，正方形的面积标记为5,以8为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条

直角边为边向外作正方形，其面积标记为邑,…,按照此规律继续下去，则上与S的关系为（）

A.$8=（亨jsB.H郛

C.&=出£DS3=（「S,

8.在如图所示的网格纸中，有4、8两个格点,试取格点C,使得V/18C是直角三角形，则这样的格点C

的个数是（）

A.3B.4C.6D.8

•一―—―r1—1一一一一1l一一一一•

111AD

•1____1___L1___三

111

111

"'A\\B

111BEC

第8题第9题

2/31

9.如图，长方形川?。。中，/8=3,BC=4,点、E是BC边上一点、,连接力E,把沿力E折叠，使点8

落在点8,处，若ACE9恰好为直角三角形，则CE的长为（）

A.1B.3C.1或』D.1或3

2

10.如图，在Rt△4AC中，4cB=90。，4=30。，BC=l,P是48边上一动点，将△8CQ沿CP折叠,

点8落在ZT处，设8P=x,当ZT落在△4C尸的内部时，x的取值范围是（）

i<x<V3-1

A.-<x<\B.

2

二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共4（）分）

II.己知百角三角形的两功长为4和6,那么这个直角三角形的斜动长为.

12.如图所示，3x3的方格放置在数轴上，格点正方形的顶点。在数轴上表示-1.以点。为圆心,

40长为半径画弧，交数轴右侧于点区则点£所表示的数是

第12题

13.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅

简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数:

①3,4,5；②5,12,13：③7,24,25：④9,40,41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为.

14.如图，三角形纸片V/出。中，N比1C=9O。，AB=2,AC=3,沿过点A的直线将纸片折叠，使点8落

在边3C上的点。处；再折叠纸片，使点C与点£＞重合，若折痕与/C的交点为E,则力E的长是.

15.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全

等的直角三角形和一个小正方形组成的.如图，直角三角形的直角边长为。，b,斜边长为c,若6-。=4,

c=8,则每个直角三角形的面积为________.

第15题第16题

3/31

22.(本题10分)如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现力4=/lC,BC=20m,。是腰/出上一点,

且CZ)=16m,BD=12m.

(1)求证：CD上AB；

(2)求三角形花园VABC的面积.

23.(本题10分)【课本再现】

(1)如图1,四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.己知直角三角形的两

直角边长分别为“，h,斜边长为c.课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了

勾股定理/+〃=/.请写出证明过程.

【类比迁移】

(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2,若。=3,6=4,则空白部分的面积为.

【能力提升】

(3)如图3,在V力4。中，力。是3C边上的高，HB=4,AC=5,BC=6,设8。的长为x,请求出x的

值.

图1图2图3

5/31

24.(本题10分)五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传.已

知一辆移动广播车在笔直的公路//上，沿东西方向由A向"行驶.小丽的家在公路的一侧点C处，且点C

与直线44上的两点4〃的距离分别为4C=300m,8c=400m,又/18=500m,假如移动广播车周边250

米以内能听到广播宣传.

⑴求ND的度数.

(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？

(3)若移动广播车在笔直的公路力8上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点E时.，小丽在家刚好听

到广播，当移动广播车行驶到点尸时，小网在家刚好不再听到广播，即C£=W=250米，问小丽在家听到

广播宣传的时长是多长？

25.(本题10分)【背景介绍】千百年来，人们对勾股定理的证明乐此不疲，其中有著名的数学家，也有业

余数学爱好者.向常春构造发现了一个新的证法：把两个全等的Rt△48C和按如图1方式放置,

其三边长分别为a,b,c,NBAC=NDEA=90。.

图1图2

(1)请你利用图1证明勾股定理；

(2)如图2,在V/18C中，BC=a,4b,AB=c,且c>6>a,当V/4C是钝角三角形时，猜想/+从与

T之间的关系，并说明理由；

⑶已知的三边为小b,c(c为斜边)，其中“，人满足(片+〃乂。2+从-4)=5,求Rt△48。的斜

边的长.

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2025-2026学年八年级上册数学单元检测卷

第三章勾股定理•能力提升

建议用时：90分钟,满分：120分

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.下列四个说法：

①如果a,b,。为一组勾股数，那么2a,2b,2c仍是勾股数；

②如果直角三角形的两边是8、15,那么斜边必是17；

③如果一个三角形的三边是12、25、20,那么此三角形必是直角三角形；

④一个等腰直角三角形的三边是a,b,c（a>b=c）,那么/：/：。2=2：1：1.

其中正确的是（）

A.®@B.①@C.②④D.①④

【答案】D

【知识点】用勾股定理解三角形、勾股树（数）问题、判断三边能否构成直角三角形

【分析】此题主要考查勾股定理的逆定理，直角三角形的判定等知识点的综合运用.

根据勾股定理对①进行判断；利用分类讨论的思想和勾股定理对②进行判断；根据勾股定理的逆定理对③

进行判断；根据等腰直角三角形的性质和勾股定理对④进行判断.

【详解】解：:。，b,。为一组勾股数，・•・/+/=c•又・・・（2小+（24=4/+4从=4（标+〃），（2C）2=4C2,

・・・（24+（232=（冽2,...如果“，乩c为一组勾股数，那么2”,2b,2c仍是勾股数；故①正确；

如果直角三角形的两边是8、15,当直角边为8、15时，那么斜边是17,当15是斜边时，斜边是15,故②

错误；

・・T22+20、252,.••如果一个三角形的三边是12、25、20,那么此三角形不是直角三角形,故③错误；

:等腰宜.角三角形的三边是a，b,c（a>b=c）,，6’+<?=/，**-a-\/2b»«2-b2:c2:b2:b2=1,

一个等腰直角三角形的三边是a,b,c（a>b=c）,那么/：方?：/=2：I：1,故④正确.

正确的有①④.

故选：D.

2.如图，O为数轴原点，A,4两点分别对应-3,3,作腰长为4的等腰V48C,连接OC,以。为圆心，

0c长为半径画弧交数轴于点则点M表示的实数为（）

7/31

c

C.-y/iD.5/7

【答案】D

【知识点】求一个数的算术平方根、实数与数轴、勾股定理与无理数

【分析】本题考查了勾股定理及等腰三角形的性质.先利用等腰三角形的性质得到OC_L,46,则利用勾股定

理可计算出OC=",然后利用叫法可乔利。W==,于是可确定点拉对应的数.

【详解】解：•.•"6C为等腰三角形，OA=OB=3,

：.OC1AB,

在Rtn（9Z?C中，oc=y/BC2-OB2=-32=J7，

•••以。为圆心，CO长为半径画弧交数轴于点M,

OM=0C=币，

.,•点〃对应的数为V7.

故选：D.

3.如图，在直角三角形/BC中，ZZ?JC=90°,JC=6,4？=8,点。为8C中点，则力。的长为（）

【答案】D

【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半

【分析】本题考查勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，利用数形结合的思想解答是解答

本题的关键.

根据勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得到结论.

【详解】解：在RtZUA。中，ZZ?JC=90°,44=8,AC=6,

8/31

:.BC=^AB2+AC2=782+62=10，

••,点D为BC的中点,

：.AD=-BC=5,

2

故选:D.

4.如图，在放18。中，"CB=90。,QE垂直平分相交AC于点0,若△力CO的周长为14,且44C=38C,

则月8的长为（）

A.8B.9C.10D.12

【答案】C

【知识点】线段垂直平分线的性质、用勾股定理解三角形

【分析】本题考查垂直平分线的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键.

设8c氏为x,则力。=38C=1r,根据。E垂直平分44,得4）=80,再由△ACQ的周长为14,可得

44

AC+CD+BD=AC+BC=14,求出4C=6,BC,由勾股定理，即可解答.

【详解】解：设8c氏为x,则4C=：8C=：x,

44

VDE垂直平分43，

，AD=BD,

***Geo=14,

AAC+CD+AD=14.

即,4C+CQ+8Q=/1C+〃C=14,

3

/.-x+x=\4,解得x=8,

4

AAC=6f

•・•N4CB=90。,

；•AB=dAC2+BC=10.

故选C.

5.在勾股定理的学习过程中，我们已经学会了运用图形验证著名的勾股定理，下列选J贝中的图形，能证明

9/31

勾股定理的是()

【答案】D

【知识点】勾股定理的证明方法

【分析】本题主要考查勾股定理的证明过程，分别利用每个图形面积的两种不同的计算方法，再建立等式,

再整理即可判断.

【详解】解：在图①中，整个图形的面积等于两个三角形的面积加大正方形的面积，也等于两个小正方形

的面积加上两个直角三角形的面积，

:.c2+2x—ab=a2+h2+2x—ab,

22

整理得/+/=。2,

故①可以证明勾股定理；

在图②中，大正方形的面积等于四个三角形的面积加小正方形的面积，

:.4x—ab+c2=(a+b)2,

整理得02+/=/,

故②可以证明勾股定理；

在图③中，由图可知三个三角形的面积的和等于梯形的面积,

—ab+—ab+—c2=—(a+b)(a+b),

2222

整理可得/+/=。2,

故③可以证明勾股定理；

在图④中，连接8。，

A

10/31

此图也可以看成绕其直角顶点顺时针旋转90。，再向下平移得到.一方面，四边形力比力的面积等

于VABC和Rt△4C。的面积之和.另一方面，四边形/AC。的面积等于RtAJBD和4BCD的面积之和，

整理：b2+ab=c2+a(b-a),

b2+•ab=c2+ab-a，，

:.a1+b2=c

故④可以证明勾股定理；

・•・能证明勾股定理的是①②③④.

故选：D.

6.如图，用4个全等的直角三角形与I个小正方形镌嵌成了一个正方形图案.已知大正方形的面积为49,

小正方形的面积为4,若用x,y表示宜角三角形的两直角边长（丫＞y），有下列四个说法：①9+/=49；

②》-卜=2；③x+y=9；④2xy+4=49.其中正确的是（）

AF

A.®@B.①©③C.0@③④D.①②④

【答案】D

【知识点】以弦图为背景的计算题

【分析】本题考查了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为“弦图”，熟悉勾股定理并认清图中

的关系是解题的关键.

根据直角三角形的性质、直角三角形面积的计算公式及勾股定理解答.

【详解】解：①・・・V48c为直角三角形，

・••根据勾股定理：x2+y2=4）=49,故本选项正确：

②由图可知，x-y=C£=C=2,故本选项正确；

③由2孙+4=49可得2孙=45①,

11/31

又：x2+/=49@,

・•.①+②得，，+2切+/=49+45,

整理得，（x+y）2=94,

x-y=相工9，故本选项错误;

④由图可知，四个直角三角形的面枳与小正方形的面枳之和为大正方形的面枳，

列出等式为4xgx^+4=49,

即2个+4=49；故本选项正确.

，正确结论有①②④.

故选:D.

7.如图，正方形/也的面积标记为S，以CO为斜边作等腰直角三角形，再以该等腰直角三角形的一条

直角边为边向外作正方形，其面积标记为§2,…，按照此规律继续卜.去，则$8与§的关系为（）

【答案】D

【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积

【分析】本题考查了勾股定理、正方形的性质以及等腰直角三角形等知识，熟练掌握勾股定理，找出规律

是解题的关键.设正方形44co的边长为。，求出$=42,邑=；“2,S,…找出规律

即可得出结论.

12/31

【详解】

解：如图，设正方形48C。的力长为明

则¥=力,

•.•△CQE是等腰直角三角形，

DE=CE,NCED=900,

CD2=DE2+CE2=IDE2,

.___V2__

..DE=—CDn=—ci,

22

•Qf及Y-

..3、=—a=­a,

I2J2

•••面积标记为S3的等腰直角三角形的直角边长为交X交°=L,

222

渭=&)=6)/

故选：D.

8.在如图所示的网格纸中，有小〃两个格点，试取格点C,使得vx8c是直角三角形，则这样的格点C

的个数是（）

13/31

A.3B.4C.6D.8

【答案】D

【知识点】在网格中判断直角三角形

【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，关键是根据是直角三角形得出多种情况解答.

以点。为直角顶点时，根据勾股定理的逆定理得出符合条件的有2个点；以点A为直角顶点时有3个点,

以点8为直角顶点时有3个点，夫8个.

【详解】解：如图所示：

其中/0=，『+]2=及,5C,=712+12=V2,AB=2,

*：AC；+BC；=AB2,

，△川g为直角三角形,

同理：△4BC?为直角三角形,

网格中其他点C如图所示,

所以格点C的个数是8,

故选:D.

9.如图，长方形4BCD中,/1B=3,5c=4,点E是边上一点，连接北，把沿花折叠，使点8

落在点"处，若恰好为直角三角形，则CF的长为（）

14/31

A.1B.3C.1或』D.1或3

2

【答案】C

【知识点】勾股定理与折叠问题、矩形与折叠问题

【分析】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等知识点.分为两种情况，当NCB£=90。和

NC£b=90。时，将图形画出，利用折叠性质和勾股定理求解即可.

【详自星】解：如图，当NC6£=90°时，

•・•在矩形中，/出=3,BC=4,/8=90。，

.**AC=JAB，BC2=5,

由折叠性质可得：4B'E=/B=90。,AB'=AB=3,B'E=BE,则点"在AC上,

・,.B,C=AC-AB,=2,

设8E=x,则：CE=4-x,B,E=BE=x

在Rtz^'CE中，由勾股定理可得：X2+22=（4-X）2,

3

解得：x=],

・•./=：,则CE=2,

22

由折叠性质可得：NWE=NABE=90。,B'E=BE,

・•・四边形48E"为正方形，

:・BE=B'E=AB=3,则CE=I,

15/31

综匕8E=1^1,

故选.C.

10.如图，在《△/AC中，ZJC5=90°,4=30。，BC=1,P是44边上一动点，将△品尸沿”折叠,

点8落在"处，设8P=x,当4'落在的内部时，x的取值范围是（）

C.l<x<^

D.—<x<>/3-1

222

【答案】D

【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、折叠问题

【分析】当C『_L/1〃时，点ZT落在月2?上时，此时=当ZT落在/C上时，得到

B,P=AB,=AC-B,C=AC-BC解答即可.

本地考查了折叠的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键.

【详解】解：过点。作CE148尸点E,

VZJ=30°,BC=\,乙4cB=90。，

:・AB=2BC=2,AC7AB「BC'=B/8=60。，

・•・当。与点E时重合时，点"落在48卜.时，此时==

，当8'落在NC上时，ZCB'P=ZB=60°,B'C=BC=l,

/.乙4=4乙*=30。,

・•・PB'=AB',

；・B'P=AB'=AC-B'C=AC-BC=6-1，

<x<>/3—1,

2

故选：D.

二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）

16/31

11.已知直角三角形的两边长为4和6,那么这个直角三角形的斜边长为.

【答案】6或2万

【知识点】用勾股定理解三角形

【分析】本题考查的是勾股定理，即在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长

的平方.

己知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求斜边的长必须分类讨论，即6是

斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解.

【详解】解：当6是斜边时，第三边长=序不=26；

当4和6是直角边时，斜边长="+62=2内；

・•・斜边的长为：6或24I，

故答案为：6或2JIL

12.如图所示，3x3的方格放置在数轴上，格点正方形力BCQ的顶点。在数轴上表示7.以点。为圆心,

力。长为半径画弧，交数轴右侧于点E,则点£所表示的数是.

【答案】V5-1

【知识点】数轴上两点之间的距离、勾股定理与无理数

【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，利用勾股定理求出力。的长是解题的关键.先根据利用勾股定

理求出力。的长，再由已知条件得到OE的长，然后利用数轴上的两点间的距离公式求出答案即可.

【详解】解：由题意可知：OA=2,OD=\,

在RL4。。中，AD=ylOA2+OD:=V22+I2=45，

DE=AD=后，

OE=DE-OD=V5-1，

・・•点E表示的数为

17/31

故答案为：石-1.

13.清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅

简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献.由此法则写出了下列几组勾股数：

①3,4,5：②5,12,13；③7,24,25；④9,40,41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为.

【答案】11,60,61

【知识点】数字类规律探索、勾股树（数）问题

【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为奇数，后面两个数

字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11,设箕2个数为x,则第3个数为x+1,根据勾

股定理列出方程进行求解.

【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11,设第2人数为K,则第3个数为K+1,

由勾股定理，得：+/=（*+12,

解得：x=60»

/.x+l=61；

工第⑤组勾股数为11,60,61；

故答案为：11,60,61.

14.如图，三角形纸片V月8。中，/9。=90。，力8=2,4C=3,沿过点A的直线将纸片折叠，使点8落

在边8C上的点。处；再折叠纸片，使点。与点。重合，若折痕与力C的交点为E,则力E的长是.

JEC

13

【答案】?

0

【知识点】勾股定理与折叠问题

【分析】本题主要考杳了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识.根据折叠的性质可得：

AD=AB=2,CE=DE,ZADB=NB,4CDE=4C,进而证明N4）=90。，然后利用勾股定理建立方程求

解即可.

【详解】解：由折叠的性质可得：AD=AB=2tCE=DE,4ADB=4B，NCDE=NC,

•/ABAC=90°,

•••Z/y+ZC'=90u,

18/31

NADB+NCDE=90。,

AADE=180°-(+Z.CDEj=90°,

设=^DE=CE=AC-AE=3-x,

在Rt"O七中，由勾股定理得：AD2+DE2=AE2^

222

2+(3-X)=X,

解得：%=:，

6

・•.AE=—,

6

13

故答案为：

6

15.我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全

等的直角三角形和一个小正方形组成的.如图，直角三角形的直角边长为叫b,斜边长为%若b-a=4,

C=8,则每个直角三角形的面积为.

【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、以弦图为背景的计算题

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，完全平方公式的应用，

根据勾股定理得/+〃=1=64,由已知条件结合完全平方公式可得/—2数+〃=16,进而求出仍=24,

则此题可解.

【详解】解：根据勾股定理得a2+〃=c2,

■:方一a=4,c=8,

.•.0)2=16,a2+b2=64,

••a~—2ab+b~=16»

即ab=24t

・••直角三角形的面积为:"=12.

故答案为：12.

19/31

16.如图，在四边形/BC'O中，ZABC=ZADC=90\分别以加?、BC、CD、。力为边向外作正方形.若乙

的面积是31,丙的面积是18,丁的面积是9,则48的长为.

【答案】2M

【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积

【分析】本题主要考查的是勾股定理的灵活运用，解答的关键是利用两个直角三角形公共的斜边.利用勾

股定理的几何意义解答.

【详解】解：如图,连接NC,

：.AD2+CD2=AB2+BC2^

丁乙的面积是31,丙的面积是18,丁的面积是9,

.•.31+18二次+9，

AB1=40，

二/4=2而，或力4=-2而（舍去，不符合题意）,

故答案为：2\/70.

17.如图长方体木箱的长、宽、高分别为12m,4m,3m则能放进木箱中的直木棒最长为cm.

【答案】13

【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题

【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握勾股定理：化任何一个直角二角形中，两条直角边

20/31

长的平方之和一定等于斜边长的平方.首先利用勾股定理计算出BC的长，再利用勾股定理计算出AC的长

即可.

【详解】解：连接8C，AB,如图所示，为最氐边

由题意可知，BC=\/32+42=5

在RtZ\/18。中，4c=12,BC=5,AACB=90°

那么=V122+52=13(cm)

故答案为：13.

18.加图，小巷左右两侧是移直的墙壁,一架梯子斜靠在左墙▽，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端

距离地面1.5米.若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为

【知识点】求梯子滑落高度（勾股定理的应用）

【分析】在中，根据勾股定理求出NE的长，再在RSCDE中，求出CE的长，最后由3c=8E+CE

进行计算即可得到答案.

【详解】解：如图，

根据题意得：AE=DE,

在中，45=1.5米，BE=2米,

：.AE=ylAB2+BE2='(⑸)1=2.5米,

化山△C。七中，。上=2.5米，C〃=2.4米,

21/31

:.CE=y/DE2-CD1=7(2.5)2-(2.4)2=0.7米，

EC=BE+CE=2+0.7=2.7米,

•••小巷的宽度为2.7米，

故答案为：2.7.

【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题的关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型.

19.在一个长6米，宽为6米的正方形草地上，如图堆放着一根三棱柱的木块，它的侧棱长平行且大于场

地宽片。，木块的主视图的高是G米的正三角形，一只昆虫从点力处到c处需要走的最短路程是米.

【答案】io

【知识点】求最短路径(勾股定理的应用)、等功三角形的性质

【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将木块表面展开，然后根据两点之间线段最短，用勾股定理计算

解答即可.

【详解】解：设正三角形的边长为X,

•・•正三角形的高是G，

・•・由二线合一和勾股定理，得：(石=x2,

x=2,

・•・正三角形的边长为2,

如图，将木块展开，得到如图的长方形,

如图长方形的Z8相当于是6+2+2—2=8米,宽5c=6米.

在RtZX/lBC中，

4C=用+82=10米,

・••昆虫从点4处到。处需要走的最短路程是10米.

故答案为：10.

20.如图，。为等腰直角V4/C(ZJ/yC=90")内一点，连接CM,(JB,OC,/力。”=135,OA=1,

22/31

OB=6,则oc的长为.

【答案】x/7

【知识点】根据旋转的性质求解、全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、等腰三角形的定

义

【分析】将线段80绕点4逆时针旋转90。得到线段的，连接E。、EA,则EB=OB=5ZBOE=90°,

所以OE2=EB2+O1=6，由404=135。，NBOE=NBEO=45。,得/力。£=90。，而。力=1,贝ij

EA=\loA2+OE2=\/7»再证明“78。丝△48E，即可得到OC=£4=J7•

【详解】解：将线段80绕点8逆时针旋转90。得到线段的，连接EO、EA,则28=04=71，/8OE=90。，

・•・OE2=EB2+OB2=（可+（可=6，

V^AOB=\35°,ZBOE=NBEO=45。,04=1,

・•・ZAOE=ZAOB-/BOE=90°,

EA=y/OA2+OE2=Vl2+6=x/7，

•・・V力AC是等腰直角三角形，48c=90。，

:.CB=AB,NCBO=/ABE=90c-ZABO,

在AC8O和"BE中，

CB=AB

NCBO=NABE,

OB=EB

23/31

：.KBO@“BE(SAS),

/.OC=EA=y/l,

故答案为：yfl.

【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质、旋转的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质，正确地

作出辅助线是解题的关键.

三、解答题(共5小题，共50分)

21.(本题10分)如图，小正方形的边长为1,三角形。的三个顶点都在小正方形的顶点上：

(l)J/?=：BC=：AC=

(2)求出8。的长

【答案】⑴石,2,石；

【知识点】根据三角形中线求面积、勾股定理与网格问题

【分析】本题主要考查了勾股定理，三角形中线的性质，熟知勾股定理是解题的关键.

(1)根据勾股定理和网格的特点求解即可；

(2)可求出5八谢=2,由网格的特点可得点力为我的中点，则S^e=；S&K=l，CD=\AC=—>

222

过点。作。H_L8C于"，可求出。，=1,则犷-。〃2=_L,BH=BC-BH=',据此可得

22

BD=y/BH2+DH2=—.

2

【详解】(1)解：由题意得，AB=\l\2+22=>/5,BC=2,/C=J『+22=石;

(2)解：由题意得，S"c=；x2x2=2,

由网格的特点可得点。为4c的中点，

SgcD=7sxBC=1，CD--AC=-，

222

如图所示，过点D作DH工BC于H,则

DH=1,

24/31

：.CH=4cb1-DH2=-,

2

3

・•.BH=BC-BH=-,

2

・•・BD=y/BH2+DH~=—

22.(本题10分)如图所示，已知一块三角形的花园，测量发现=8c=20m,。是腰48上一点,

且CO=16m,8O=12m.

(1)求证：CQ145；

(2)求三角形花园V48C的面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)150m2

【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形

【分析】此题主要考查了勾股定理，以及勾股定理逆定理，关键是掌握勾股定理的逆定理：圻果三角形的

三边长心b,。满足/+从=c2,那么这个三角形就是直角三角形.

(1)首先根据。=16,8。=12,5。=20氏可利用勾股定理逆定理证明/8。。=90。，进而得到CQ148；

(2)设4)=xm,则48=/lC=(x+12)m,再利用勾股定理可得/+©=(x+12＞，解方程可得x的值,

即可求出力。的长，进而得到力3氏，然后即可算出面积.

【详解】(1)解：-CD=\6,BD=\2,BC=20

・•・122+162=202,

；・DB2+CD2=BC2,

・•・4BCD是直角三角形，且NBDC=90°,

：.CDA.ABx

(2)解：设4£)=xm,则48=HC=(x+12)m,

25/31

/BDC=90°,

・•・ZADC=90°,

:.X2+162=(X+12)2,

14

解得：X=y,

14

即4。的长为

1450

：.AC=AB=BD+JZ)=12+y=y,

・•・三角形花园V”C的面积为:x与x18=150(n?).

23.(本题10分)【课本再现】

(1)如图1,四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形.已知直角三角形的两

直角边长分别为*b,斜边长为c.课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了

勾股定理/+〃=02.请写出证明过程.

【类比迁移】

(2)现将图1中的两个直角三角形向内翻折，得到图2,若。=3,6=4,则空白部分的面积为.

【能力提升】

(3)如图3,在V/l8c中，力。是4。边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设8。的长为x,请求出x的

值.

【知识点】完全平方公式在几何图形中的应用、用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法

【分析】(1)利用以c为边的正方形和4个直角三角形的面积和等于以边为(a+b)的正方形的面积建立方

程，即可得出结论;

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(2)由折叠后空白部分的面积为边长为c的正方形的面积-2个直角三角形的面积可得答案；

(3)设80的长为％,则CD=3C-5O=6-x,根据勾股定理列方程求解即可.

【详解】解：(1)依题意，•・•大的正方形的面积可以表示为(。+6)2,

大的正方形的面积还可以表示为，+4x$b=c2+2"

(a+6)'=c2+2ab

*'•a2+lab+b2=c2+lab

:.a?+〃♦；

(2)空白部分的面积=边长为。的正方形的面积-2个直角三角形的面积=。2-2xg",

a=3tb=4,

・•・空白部分的面积=3?+4?—2x^x3x4=25—12=13；

(3)•・•设8。的长为x,^]CD=BC-BD=6-x

•・•NO是AC边上的高

・•.AD1BC

•\AB2-BD2=AC2-CD2

:.42-X2=52-(6-X)2

解得V.9

4

【点睛】本题考查了勾股定理，完全平方公式，直角三角形的性质，解题的关键是掌握以上知识点.

24.(本题10分)五一即将来临，某家电商场准备开展促销活动，现采用移动车在公路上进行广播宣传.已

知一辆移动广播车在笔直的公路18上，沿东西方向由A向6行驶.小丽的家在公路的一侧点。处，且点C

与直线48上的两点48的距离分别为力C=300m,8c=400m,又力8=500m,假如移动广播车周边250

米以内能听到广播宣传.

(1)求//C8的度数.

(2)请你通过计算说明小丽在家能听到广播吗？

(3)若移动广播车在笔直的公路46上以10米/秒的速度行驶，当移动广播车行驶到点七时，小丽在家刚好听

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到广播，当移动广播车行驶到点尸时，小网在家刚好不再听到广播，即CE=C〃=250米，问小丽在家听到

广播宣传的时长是多长？

【答案】⑴4c5=90。

⑵小丽在家能听到广播，计算见解析

(3)小丽在家听到广播宣传的时间为14秒

【知识点】判断是否受台风影响(勾股定理的应用)

【分析】本题考查勾股定理的逆定理，勾股定理的应用；

(1)利用勾股定理的逆定理判断△力8C的形状；

(2)过点C作。。，48,根据等积法求出8