第3章 圆的基本性质（高效培优单元测试·提升卷）

第3章圆的基本性质（高效培优单元测试•提升卷）

（考试时间：120分钟试卷满分：120分）

一、选择题（本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。）

1.如图，A8是GO的直径，点C,。在工。上，若NCBA=55。，则NO=（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

【答案】B

【分析】本题考查圆周角定理，根据直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，进行求解即可.

【详解】解：I2JA8是O的直径，

0ZAC^=9O°,

0ZC2M=55°,

0ZCAB=900-NCBA=35°，

0BC=Z^C»

0ZD=ZA=35°；

故选B.

2.下列说法中，正确的是（）

A.两个半圆是等弧

B.三个点确定一个圆

C.相等的弦所对的弧相等

D.90的圆周角所对的弦是直径

【答案】D

【分析】本题主要考查了圆的相关定义，

根据等弧，确定圆的条件，圆周角定理等逐项判断即可.

【详解】解：因为半径不相等的半圆不是等弧，所以A不正确；

因为在同一条直线上的三点不能确定一个圆，所以B不正确；

因为不在同一个圆中的相等的弦所对的弧不相等，所以C不正确；

因为90。的圆周角所对的弦是直径，所以D正确.

故选：D.

3.如图，A8为。。的直径，C,D为&。上的点，AD=CD.若NDAC=25。，则264的度数为（）

A.30°B.40°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】本题考查了圆周角定理以及圆心角、弧、弦的关系.连接OC,OD,由圆周角定理得出

ZCOD=500,结合4O=CO求出-AOC的度数，再利用等腰三角形的性质求解即可.

【详解】解：连接OC，OD,如图：

团ND4C=25。，

0ZCOD=2ZDAC=50°,

^AD=CD，

0ZAOC=2ZCOD=IOO0,

团。4=OC,

0ZCAB=1（180°-ZAOC）=40°,

故选：B.

4.0。的半径10cm,点。到圆心的距离为12cm,则点C与。的位置关系是（）

A.点在圆上B.点在圆内C.点在圆外D.无法确定

【答案】C

【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，当OC＞一时，点P在圆外；当。。=「时，点。在圆上;

当。。＜r时，点C在圆内.

根据点与圆的位置关系，即可进行解答.

【详解】解：012cm>10cm,

团点。在。外，

故选：C

5.如图，在VA3C中，A6=AC,乙4=36。，将VA4c绕点8逆时针旋转得到亦EB,旋转角为。（®v好）,

点。的对应点E落在V4BC边上时，则旋转角夕的度数为（）

【答案】B

【分析】本题考查了利用旋转的性质求角度，三角形内角和定理，等边对等角，解题关犍是掌握上述知

识点并能熟练运用求解.

先利用等边对等角和三角形内角和定理求得NABC,再根据旋转的性质得出BC=BE,然后利用等边对

等角和三角形内角和定理求得旋转角0.

【详解】解：团在VA8C中，AB=AC,

0Z4=36°,

0ZAfiC=ZC=1（18O°-ZA）=72°,

团将V/WC绕点8逆时针旋转得到..£>£3，旋转角为。

0B£=BC,4CBE=9,

0ZBEC=ZC=72°,

・••NCBE=180°-ZC-/BEC

=180°-2ZC

=36°,

即6=36。，

故选:B.

6.中国扇文化有着深厚的文化底盆，是民族文化的一个组成部分，与竹文化、道教文化有着密切关系.中

Er

如图，在RiAAOG中，AB=4,ZAOG=30。,

^AG=BG=2,AO=2AG=4,

回OG=do#-AG?=26，

所以这个正六边形的面积=?4x2Gx6=24g.

故选：C.

8.如图，在。中，半径。4,OB互相垂直，点C在劣弧上.若ZABC=19。，则/8AC=()

A.19°B.26°C.38°D.52°

【答案】B

【分析】本题主要考查圆周角定理，连接OC,根据圆周角定理可求解/AOC的度数，再利用圆周角定

理结合垂直的定义可求解28"的度数即可.

【详解】解：连接OC，

/.ZAOC=2ZABC=38°,

.半径。4,08互相垂直,

...ZAOA=90°,

...ZBOC=90°-38°=52°,

ZBAC=-ZBOC=26°,

2

故选：B.

9.我国明代科学家徐光启在《农政全书》中描绘了一种我国古代常用的水利灌溉工具一一筒车，如图，筒

车盛水桶的运行轨道是以轴心。为圆心的圆，已知圆心。在水面的上方，。被水面截得的弦48长为

8米，点。是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米，则。的半径长为（）

A.4米B.5米

【答案】B

【分析】本题考查了垂径定理利勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键.连接0A、

OC,交于点。，设（。的半径长为％,由垂径定理得4）=8/）=4（米），再由勾股定理列方程求

出工的值即“J.

【详解】解：如图，连接。4、OC,交A8于点。，设。的半径长为x,

水面

图2

团点C是运行轨道的最低点，点C到弦AB的距离为2米,

^OC±AB,OD=x-2,

^1AD=BD=-AB=4f

2

在RtZXOA。中，OA2=OD2+AD\

0X2=42+(X-2)2,

解得：x=5,

回（。的半径长为5米.

故选：B.

10.将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6,2和5,3和4）放置于水平桌面上，如图①.在图②

中，将做子向右翻滚90。，然后在桌面上按逆时针方向旋转90。，则完成一次变换.若骰子的初始位置

为图①所示的状态，则按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是（）

A.3

【答案】C

【分析】本题考查了图形的变化，将骰子向右翻滚90。，然后在桌面上按逆时针方向旋转90。,叫做•

次变换，据此可得连续3次变换是一个循环，然后根据10被3整除后余数为1,即可确定骰子朝上一

面的点数.

【详解】解：根据题意可知,

骰子第一次向右翻滚90。,上面的点数为5,逆时针旋转90。前面的点数为4,

骰子第二次向右翻滚90。,上面的点数为6,逆时针旋转90。前面的点数为2,

骰子第三次向右翻滚90。,上面的点数为3,逆时针旋转90。前面的点数为1,

骰子第四次向右翻滚90。,上面的点数为5,逆时针旋转90°前面的点数为4,

以此类推可知连续3次变换是一循环.

10+3=3..」.

・•・得利第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5.

故选：C.

11.如图，在VABC中，ZACS=90°,N84C=30。，BC=1,夕为V4BC内一点，分别连接小、PB、PC,

当Z4依=N3PC=NAPC时.A4+依+PC的值为（）

A.2B.2&C.75D.V7

【答案】D

【分析】本题考查/旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，将△AM

绕点B顺时针旋转60。到△，池,连接由旋转性质可知研=8W,AB=BN,

ZPBM=ZABN=9。,PA=MN,则有△尸MB,BAN都是等边三角形，所以总=PM，

/BMP=/BPM=®。,从而可得N8PC+N8尸M=180。，/BMP+NBMN=180。,故有C,P,M,

N在一直线上，然后通过勾股定理即可求解，熟练掌握旋转的性质是解题的关键.

【详解】解：将ZW汨绕点5顺时针旋转60。到△可/“，连接尸M，

由旋转性质可知8P=8W，AB=BN,/PBM=AABN=9。,PA=MN,

2"MB,6AN都是等边二•:角形，

国PB=PM，/BMP=/BPM=C^,

EZAPB=NBPC=ZAPC,

EZAPB=NBPC=ZAPC=3604-3=120°,

仅N8PC+N8QW=180°,/BMP+NBMN=180°,

0C,P,M,N在一直线上，

EZACB=90°,ZBAC=30°,BC=\f

0ZC4A^=3O+6O=9O°,AN=AB=2,

22

^AC=>JAB-BC=A/22-12=73,

⑦PA+PB+PC=CN7AC?+AN2=币'

故选：D.

12.如图，”是正方形ABC。的边CD的中点，〃是正方形内一点，连接叱，将线段叱以/3为中心逆时

针旋转90。得到线段BQ.连接MQ.若A/3=4,叱=1,则MQ的最小值为（）

A.2M-2B.2框-1C.4V10-2D.4V10-1

【答案】B

【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关

的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键.连接胡将8W以8为中心，逆时针旋转90。，

M点的对应点为E,由尸的运动轨迹是以M为圆心，1为半径的半圆，可得：。的运动轨迹是以E为

圆心，1为半径的半圆，再根据"圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时

定点与动点之间的距离•最短"，所以当M、Q、E二点共线时.MQ的值最小,可求=J55M=2"3.

从而可求解.

【详解】解，如图，连接3M，将8M以4为中心，逆时针旋转90。，M点的对应点为E,

1B

I-

//P的运动轨迹是以“为圆心，1为半径的半圆，

・・・。的运动轨迹是以E为圆心，1为半径的半圆，

如图，当M、Q、E三点共线时，MQ的值最小，

四边形A8CO是正方形，

:.CD=AB=BC=4,ZC=90°,

M是C。的中点，

:.CM=2,

:.BM=ylCM、BC。

=722+42=2>/5，

由旋转得：BM=BE,

ME=CBM=2x/10，

:.MQ=ME-EQ

=2>/io-i.

•1•M。的值最小为

故选：B.

二、填空题（本题共6小题，每小题2分，共12分.）

13.如图，AB是OO的直径，点C、D在0。上，ZA£JC=30°,则/BOC=度.

【答案】120

【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握"同弧所对的圆周角等于圆心角的一半”是解题的关键.

利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出NAOC=2Z/V）C=60。，则NBOC=180。-/40c=120。.

【详解】解：0ZADC=30°,NADC是弧"•所对的圆周角，NAOC是弧AC所对的圆心角，

^ZAOC=2ZADC=600,

0NBOC=180o-ZAOC=180°-60o=120°.

故答案为：120.

14.一个挂钟的时针长5厘米，一昼夜这根时针针尖扫过的面积是平方厘米.

【答案】50乃

【分析】本题考查了扇形面积的计算.熟记公式S叨形=3伏是解题的关键.一昼夜时针转过两圈720。，

根据弧长公式求出转过的弧长，再根据无形=（以可得面积.

【详解】解：一昼夜时针转过两圈720。，

所以S国形=；/R=；x卫等9x5=50万（平方厘米）.

乙Z1oU

故答案为：50万.

15.石磨是我国古代的伟大发明之一，最初叫硝（读作卬击），汉朝才叫作磨.其原理为在磨盘的边缘连接

•个固定长度的"连杆"，推动"连杆”带动磨盘转动，将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲

柄连杆机构〃.图1是一种推磨工具模型，图2是它的示意图，图3是其简化图，点A在中轴线加上运

动，点8在以。为圆心，05长为半径的圆上运动，且O4=4dm.当点A运动了1兀dm到点A'处时，

【答案】67.5°

【分析】本题考查了弧长公式，根据题意易得：点A移动的距离=点8在圆周上经过的弧长，然后进

行计算即可，熟练掌握弧长公式是解此题的关键.

【详解】解：由题意得：甯=口兀，

解得：〃=67.5。，

故答案为：67.5°.

16.如图，在RtAABC中，A4=AC,。、£是斜边3c上两点，连接AE、AD,且将△4OC

绕点人顺时针旋转90。后，得到△AFB,连接七/，若AEB尸的周长为4,则的长度为.

【答案】4

【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质.根据旋转得”=m，AF=AD,

ZABF=ZC=45°,证明,AFE0ADE(SAS),可得尸£=OE,据此求解即可.

【详解】解：回在RtZXABC中，AB=AC,

Ez7LBC=ZC=45°,

由旋转得：DC=FB,AF=AD,ZABF=ZC=45°,

/DAE=45。，ZE4£>=Z5AC=90°,

ZFAE=90°-ZDAE=45°=NDAE.

又.AF=AD^AE=AE,

AFE^ADE(SAS),

「•FE-DE,

厂的周长为4,即8E+EF+8尸=4,

BC=BE+DE+CD=BE+EF+BF=4,

故答案为：4.

17.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，•=2cm,扇形的圆

心角6=160。，则该圆锥的母线长/为cm.

【答案】T

【分析】本题考查了圆锥的有关计算，解题关键是熟知圆锥的侧面展开图的弧长等于圆锥底面周长和

圆锥母线等于圆锥侧面展开图的半径，根据题意建立方程.根据侧面展开图的弧长等于底面周长列方

程即可.

【详解】解：圆锥的底面周长=2n2=4万(cm),

由题意可得L-,解得/=2，

所以该圆锥的母线长为1cm.

9

故答案为

18.如图，MN是GO的直径，点A是半圆上的三等分点，点B是劣弧AN的中点，点尸是直径MN上一动

点.若MN=2&，AB=\,则右八48周长的最小值是.

【答案】3

【分析】本题考查了轴对称的性质，圆心角与弧，勾股定理，作点A关于的对称点A,连接A'8,

交MN于点、P,连接04’，04,08,必，AY.根据轴对称的性质得到ZA'ON=ZAON=60°,PA=PAf,

进而可知N8QV=30。，NA'OB=90。，根据勾股定理求出A'4=2,可知%+P4=24'+Q8=4A=2,

进而可求一Q4B周长的最小值，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键.

【详解】解：如图，作点A关于MN的对称点连接A8,交MN于点P,连接OA,OA.OB,PA,

AA'.

0点A与A'关于MN对称，点A是半圆上的一个三等分点，

EZAW=Z4O7V=60°,PA=PAf,

巧点8是劣弧AN的中点,

也NBON=30°,

EZA'OB="ON+NBON=90°,

@MN二2五，

®OA=OA'=OB=4i，

+OA>2=2-

^PA+PB=PA,+PB=A,B=2.

口Q4B周长的最小值=Q4+P3+A8=2+1=3,

故答案为：3.

三、解答题(本题共8小题，(本题共8小题，第19-第22题每题8分，第23-第26题每题10分，共72分,

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)

19.如图，OA=OB,48交。。于点C,D,OE是半径，且0E_LA8于点F.

ACDB

(1)求证：AC-BD；

(2)若。。=8,五尸=1,求2。的半径.

【答案】(1)见解析

17

(2)。的半径是彳

【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，等腰三角形的性质，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于

半径的方程.

(1)由垂径定理得到。尸=。/，由等腰三角形的性质得到A尸=4尸，从而证明AC=BO；

(2)设：。的半径是「，由勾股定理，垂径定理列出关于「的方程，即可求出：。的半径.

【详解】(1)证明：OEA.AB,

..CF=DF,

OA=OB,

;.AF=BF,

;.AF-CF=BF-DF,

AC=RD；

(2)解：连接。C,

设,，0的半径是「，

OA=OB,OEiAB,

AF=BF,CF=DF=-CD=4,

2

EF=1,

:.OF=OE-EF=r-\,

CO2=CF2+OF2,

22

•/=4+(r-i),

17

/.r--,

2

・•・OO的半径是

20.如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度，V4BC的三个顶点的坐标分别为

4-2,1),5(-4,5),C(F3).

⑴画出将VA8C绕原点。顺时针方向旋转9（）。后得到的；

⑵求（1）中线段扫过的图形面积.

【答案】（1）图见解析

⑵9兀

【分析】本题考查了图形的旋转以及扇形面积的计算，解题的关键是掌握旋转的性质和扇形面积公式.

（1）根据旋转的性质，确定点A、B、C绕原点。顺时针旋转90。后的对应点儿、用、G的坐标，然

后连接各点得到△AB|G；

（2）先求出线段。4和08生长度，再根据线段A8扫过的图形面积等于以08为半径的扇形面积减去

以OA为半径的扇形面积，利用扇形面积公式计算.

【详解】（1）解：画出将VABC绕原点0顺时针方向旋转90。后得到的△A4G，如下图所示：

（2）解：连接OA、OB、。4、OBif如图,

由旋转可知：。4=。4，OB=OB',AB=AiB],

jAOBM，AO*SSS）,

团(1)中线段AB扫过的图形面积为与形。明-S廊形小=如崇-强算

OB=y）42+52=\[4i,OA=yl22+l2=>/5»

90兀,（如）290-（GA

,扇形05玛扇形O4A360360

即（1）中线段扫过的图形面积为9兀.

21.如图，己知VA8C.

⑴用直尺和圆规作V/1BC的外接圆〈O(保留作图的痕迹，不写作法)；

(2)在(1)的条件下，若的半径为5,点。到8c的距离为3,求8c的长.

【答案】⑴见解析

(2)8

【分析】本题考查尺规作图，垂径定理，勾股定理三角形的外接圆与外心等知识，

(1)作线段A3，AC的垂直平分线交点为。，点。即为V43c的外接圆的圆心；

(2)作OEJL8c于£利用勾股定理求出跖，再利用垂径定理可得8E=EC,求出8C即可.

【详解】（1）解：如图，作线段AB,AC的垂宜平分线交点为0,点。即为VABC的外接圆的圆心;

（2）解：作OELBC于E.

在RlOBE中,08=5,OE=3,

-OE1=V52-32=4»

OELBC,

;.BE=EC=4,

BC=BE+EC=8.

22.如图，A8为:，。的直径，点C在CO上，延长8c至点。，使。C=C3,延长D4与C。的另一个交点

为E,连接AC、CE.

⑴求证：ZB=ZD；

（2）若A6=5,8C-AC=\,求的长.

【答案】（1）见解析

（2）4

【分析】（1）先根据直径所对的圆周角是直角得到ACX8D,继而根据DC=CB,得到AQ=AB,再

根据等边对等角即可证得结论；

（2）在RtZkABC中，结合已知条件利用勾股定理可求出AC、BC的长，再利用圆周角定理结合（1〉

的结论可得“=NO,继而根据等角对等边进行求解即可.

【详解】（1）回A8为的直径，

EZAC2?=9O°,即AC工BD,

又RDC=CB,

&ZB=ZD；

（2）在RtZ\A8C中，ZACB=90°,

^AB-=AC2+BC\

又用A4=5,BC-AC=1,

用AC=3,8c=4,

住DC=CB,

（2DC=4,

©NB=NE,NB=ND,

回/£：=/£>，

田CE=C£>=4.

【点睛】本题考查了圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等，

准确识图，灵活运用相关知识是解题的关键.

23.⑴问题：如图①，在RI/X48C中，AB=AC,。为BC边上一点（不与点B重合），将线段A。绕点

4逆时针旋转90。得到AE,连接EC,则线段BC,DC,EC之间满足的等量关系式为

（2）探索：如图②，在RtAA8c与RJAOE中，AB=AC,AD=AE,将VAOE绕点A旋转，使点

。落在8C边上，试探索线段A。，BD,C。之间满足的等量关系，并证明你的结论；

（3）应用：如图③，在四边形44CQ中，ZABC=ZACB=ZADC=45°.若“£）=9,CD=3,AD

的长.

【答案】（1）BC=DC+EC,见解析；（2）BD2±CD2=2AD2,见解析；（3）G

【分析】（1）证明△84。♦根据全等三角形的性质解答；

（2）连接CK,根据全等三角形的性质得到AO=CE,ZACE=/B,得到"C£=90。，根据勾股定

理计算即可；

（3）过点人作A£_LA。，使人石=人。，连接CE,DE,证明△BAO^^CAE,得到W）=CE=9,根

据勾股定理计算即可.

【详解】解：（1）BC=DC+EC,

理由如下：连接。石,

图①

由题意得：AD=AE,2D4E=90°,

伍NB4C=NQAE=90。，

(?ABAC-ZDAC=ZDAE-ZDAC,^ZBAD=Z.CAE,

在,84。和..CAE中，

AB=AC

/BAD=/CAE,

AD=AE

凰BAD^CAE(SAS),

QBD=CE,

QBC=BD+CD=EC+CD；

(2)BD2+CD2=2AD\

理由如下：连接C£，

图②

It](1)得，△8AO9ZiCA石，

EBD=CE,ZACE=ZB,

EZZX?£：=90o,

^CE2+CD2=ED2^

在RJAOE中，AD2+AE2=ED2^又4)=A£，

EBZ>24-CD2=2AD2;

(3)过点4作A£_LA3，使A£=A£>，连接CE,DE,

图③

ENBAC+NCAD=ZDAE+Z.CAD,

即N8AO=NC4E,

在一8Ao和二CAE中，

AB=AC

♦ZBAD=ZCAE,

AD^AE

团A凯陵ACAE(SAS),

EBD=CE=9,

回NADO45。，ZEDA=45°,

EZ£DC=90°,

EDE=VCE2-C£>2=V92-32=(h/2，

团/"£=90°,

EAD=AE=—DE=6.

2

【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理以及旋转变换的性质，二

次根式的乘法等，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

24.【问题探究】

(1)如图1,VA8C内接于。0,44=灰:，点。为劣弧AC上任意一点(点。不与点A、C重合),

连接A。、BD、C。，点。在运动的过程中始终有8O=AO+/)C,求的度数；

【问题解决】

(2)如图2是一块半径为2米的圆形废旧铁皮，工人李叔叔计划从该铁皮上裁剪出一块四边形A8C。

进行再利用，根据李叔叔的规划要求，点4,4,C,。均为。上的点，AB=BC,叵BD=AD+DC，

请问该四边形A8CO的周长是否存在最大值？若存在，求出四边形A8c。周长的最大值；若不存在，

请说明理由.

D

由2

【答案】（1）NA5c=60

（2）存在，最大值为8夜m

【分析】本题考查了圆的基本性质（圆周角定理、直径性质）、全等三角形的判定与性质、勾股定理逆

定理及弦长最值的应用.解题的关键是通过构造全等三角形转化线段和，结合VABC的固定角度确定

固定线段长度，利用直径是最长弦求动态线段的最大值.

（1）在〃。上截取线段构造全等三角形，利用圆内接图形的角度关系和等腰三角形性质，推导出NA6C

的度数；

（2）延长。C至/使b=连接M，证明一4以注工。/"得BD=BF,可得&BD=DF，由勾

股定理的逆定理可得NA4C=N£）B尸=90。；由NABC=90。及AB=8C,得/1C为直径（90°圆周角对直

径），四边形ABC。周长。=2八8+。/=4及+&4。，利用直径是最长弦，得4。最大值为4米，进而

求周长最大值.

【详解】解：（1）如图3所示，延长。C至E,使CE=AO,连接BE,

四边形ABC。为。的内接四边形,

AZDAB+ZDCB=180,

又NDCB+NBCE=180，

NDAB=/BCE,

在，84）和.4CE中,

AB=BC

NDAB=NBCE,

AD=CE

.工BAP"BCE(SAS),

：.BD=BE,ZABD=NCBE,

8D=AD+DC=CE+DC=DE,

“BDE为等边三角形.

：.ZDBE=60=NDBC+ZCBE=ZDBC+ZABD=ZABC,

即ZABC=60°.

(2)该四边形ABC。的周长存在最大值，最大值为8在m，理由如下:

如图4所示，延长DC至忆使CF=AD,连接BF,

也AB=RC,ZDAR=NFCR,AD=CF,

CBF(SAS),

从而BD=BF,

乂y/2BD=AD+DC=CF+DC=DF，

在VBO产中，因/2=2BZ)2，DF2=2BD2,

^BD2+BF2=DF2>故/DBF=y)。,

从而可得ZABC=90。，故AC为直径，AB2+BC2=AC2,

BP1AB2=AC2»则A8=^AC,

2

边形周长

=AB+BC+AD+DC=2AB+DF=2AB+6BD=yfiAC+QBD，

当8。最大时(即为直径时)，四边形ABC。周长最大值为应x4+x/5x4=8夜m

25.在平面直角坐标系八②中，对于点〃和半径为1的。给出现下定义：若过点〃的直线/交OC于A,B

两点，在P,A,B三点中，其中一点恰为以另外两点为端点的线段中点时，则称点P为。。的关联点.

⑴当点C与。重合时.

①在点仇4,0）,呜,中，0c的关联点是：

②已知点尸（〃?,〃）在直线），=—+3上，若点尸为C的关联点，直接写出，〃的取值范围_________；

⑵。。的圆心。亿0）,直线产-等x+36与x轴，）'轴分别交于点M,N,若线段上存在的

关联点P，则。的取值范围是.

【答案】⑴①E②0K〃区3

（2）3<c<9

【分析】本题在新定义的基础上，考杳了点和圆的位置关系，根据一次函数求点的坐标，解直角三角

形等知识，解决问题的关键是根据新定义转化为点和圆的位置关系.

（1）①点£在OC内，连接CK,过点七作CE的垂线，交（C于两点A,B,则七是A8的中点，点。

在圆外，点。到OC最小的距离为3,大于。C的直径2,进一步得出结果；

②设直线y=r+3与x轴和），轴分别相交于点A3,则4（3,0）,8（0,3）,点A、3到（C的最小距离是

2,圆的直径是2,当点P在线段A8时，点P是：O的关联点，进一步得出结果；

（2）先求得M和N坐标，作C4_LMN于A,作AB/x轴于8,当AC=3时，点4是］C的关联点，解

直角三角形ACM得出CM=6从而得出卜-9|46,进一步得出结果.

【详解】（1）解：①点石在G。内，连接CE,过点E作CE的垂线，交。于两点4,B,则E是AB

的中点（垂径定理），故点E是：。的关联点，点。不是，

②如图1,

设直线y=-x+3与X轴和)，轴分别相交于点4,B,则A(3,0),8(0,3),点A、B到〔C的最小距离是2,

圆的直径是2,

当点尸在线段A8时，点尸是CO的关联点，

/.0</??<3；

(2)如图2,

回直线方程为y=-4x+3j5,

当x=0时，y=3百，

/.N(0,36),ON=36

当y=0时，0=-旦+35

3

:.x=9,

=9,

八…ON3G73

/.tanNNMO=------=-------=——

OM93

.•.NNMO=30°,

作C41M/V干A,

.1.ZC7W-900,

...Z4CM=60°,

当4C=3时，点A是。C的关联点,此时CA/=2AC=6,

倒线段MN上