北京市通州区2024-2025学年高一年级下学期期末考试数学试题（含答案解析）

北京市通州区2024-2025学年高一年级下学期期末考试数学试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

I.已知向量4=（2,-1）,6=（见2）,若/〃月，则实数加=（）

A.-4B.-2C.2D.4

2.已知复数z=l-2i,则下列说法正确的是（）

A.复数z的虚部是-2iB.二\5

C.z2=5D.在复平面内，复数z对应的点在第二象限

3.已知一组样本数据16,x.14.15,13的平均数为15•则该组样本数据的方差为（）

A.2.0B.2.1C.2.2D.2.4

4.一组样本数据10,12,12,18,19,22,31,35,41,50的75%分位数是（）

A.31B.33C.34D.35

5.某市为了减少水资源浪费，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了200户用户

居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频密分布直方图，则用水量小于1.5立

6.已知平面向量〃•为单位向量，IN'2上,且〃•与6的夹角为:，则＞/=（）

A.B.2C.JsD.3

7.已知平面a,6为两个不同的平面，直线，〃为a内一条直线，则“〃〃/6”是七//。”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.如图，在正方体A8CO・AI|GS中，点E,F,G分别为。口，BD,88的中点，则

异面直线GE与FG所成的角的余弦值为（）

A石R2c岳口3#

5s520

9.堑堵、阳马、鳖嚅这些名词出自中国古代的数学名著《九章算术・商功》.如图1,把一块

长方体分成相同的两块，得到两个直三棱柱（堑堵）.如图2,再沿堑堵的一顶点与相对的棱

剖开，得到四棱锥和三棱维各一个，其中四棱徘称为阳马，三棱锥称为瞥膝.则在图2中，

下列说法正确的个数为（）

图1图2

①阳马的四个侧面中恰有3个是直角三角形

②鳖喘的四个面均为直角三角形

③堑堵的表面积是阳马的表面积的2倍

④堑堵的体枳是鳖膈的体枳的2倍

A.0B.1C.2D.3

10.如图，在长方体ABCO-A与GR中，AB=BC=4,4Al=2,点P,。分别为5C,0./）,

的中点，点M为长方形AD"A1内一动点（含边界），若直线。例〃平面八PG,则点M的

轨迹长度为（）

试卷第2页，共6页

c.2(5D.y/u)

二、填空题

11.已知复数z=1+i的共规复数为句，则;-.

•I

12.天气预报端午假期甲地的降雨概率为0.6,乙地的降雨概率为0.7,假定在这段时间内两

地是否降雨相互之间没有影响，则在这段时间内两地都不降雨的概率为.

13.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而

成，如图所示，已知一木制陀螺模型，其中圆柱的高是圆锥的高的2倍，圆锥的底面半径与

圆锥的高相同，若圆柱的高为6cm,则该圆柱的侧面积为cm?：该陀螺的体积

为_____________cm3.

14.在VA3c中，AB=AC=2t8c=2〃，点P在线段BC上，若APj_BC,则

B'A.B'P=；若P_B=Q-T,当P-A.p7取得最小值时，A=.

15.如图1,正方形A8C。中，A8=2,M为4。的中点，D"<=,4£(0,1].将A.A3M

沿抑/翻折至lj&PBM,△QMN沿MN翻折到△PMN,连接4N,如图2.给出下列四个结论：

①平面P8Mj_平面P8N；

②当九二1时，三棱锥P-BMN的体积为6；

③设二面角PTW-M的平面角为&,当2=:时，cos&=；：

④设直线PM与平面BMN所成角为％，当sin”.=士生时，贝U4=」.

・74

其中所有正确结论的序号是.

试卷第3页，共6页

(1)求图中a的值；

(2)学校团组织利用比例分配的分层随机抽样方法，从［80,90)和［90,100)的学生中抽取7人

组成宣讲团.

(i)求应从［80,90)和［90,100)学生中分别抽取的学生人数；

(ii)从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，求至少有1人测试成绩位于区间

［90,100)的概率.

19.如图，在五面体尸中，四边形A8CZ)是正方■形，平面A8C。1平面4”,

AB=BF=\,CF瓜EF=2.

(1)求证：CDIIEF；

(2)求证：平面8(7;

(3)求证：AE.LDF.

20.如图，在四面体A-8c。中，BC±CD,BC=CD,上4c8二上4c。，点E为8。的中

点，点F为AC上一点，且OE=1,四面体A-8CO的体积为史.

3

试卷第5页，共6页

(1)求证：平面ACEJ,平面

(2)若4Ej_CE,上8F。恰为二面角8—AC—。的平面用，求VBO尸的面积.

21.在VABC中，角4,8,。所对的边分别为“，〃，。，点。为YA8C内的一点，且

±APB=±JiPC^^-

⑴当〃cosC+-JjasinC—b—c=0时，

(i)求角A;

(ii)若尸A.PB+PB..+p7.PA=—1，。=2,拗+c的值：

(2)若”V=0,且|阕・，i网QR).附—和求的最小值.

试卷第6页，共6页

《北京市通州区2024-2025学年高一年级下学期期末考试数学试题》参考答案

题号12345678910

答案ABADCCBCBC

1.A

【分析】直接根据向量平行得到关系式，解得答案.

【详解】已知向量4=(2,—1),b=(w,2),若,；〃葭所以2x2=—lx〃?，

则实数用二—4.

故选:A.

2.B

【分析】对于A,根据虚部的定义判断即可；对于B,根据求复数模长的公式求解即可；对

于C,根据更数的乘方运律求解即可；对于D,根据复数的几何意义判断即可.

【详解】对于A,虚部不带i,是与虚数单位i相乘的实数部分，因此复数z=l—2i的虚部是

—2»A错误；

对于B,\：\二J1+4二、、.B正确：

对于C,z2=(l-2i)2=l2-4i+(2i)2=l-4i-4=-3-4i,C错误；

对于D,在复平面内，复数z对应的点为(1,一2),在第四象限，D错误.

故选：B.

3.A

【分析】根据样本数据的平均数和方差公式计算即可.

【详解】因为该组样本数据的平均数为15,所以SD=解得x=17,

则该组样本数据的方差为

?=-(l6-l5p(l7-15|2*(I5-I5p(l3-I5fl=-=20.

5LJS

故选：A..

4.D

【分析】题中的样本数据zL经按照从小到大的顺序进行排列，因此直接根据75%分位数的

定义和计算方法求解即可.

【详解】依题意，该组样本数据已经按照从小到大的顺序进行排列，且该组样本共10个数

据，10x75%=7.5,

答案第1页，共15页

算得小数，向下取整，因比取第8个数作为75%分位数，即75%分位数为35.

故选：D.

5.C

【分析】根据频数、频率及样本容量的关系即可求得答案.

【详解】根据直方图可得用水量小于1.5立方米的用户数为200x(0.3+0.2)x0.5=50.

故答案为：C.

6.C

【分析】利用公式结合已知条件求出a，;，再利用「一片二『+/—2。一方，代入计算.

【详解】’••平面向量)为单位向量，

7.B

【分析】山面面平行的性质、线面、面而平行的划定结合充分条件、必要条件的概念即可列

断.

【详解】因为小L。，若0T//S,则由线面平行的性质可知〃?//£,故"//。”是“a//。”的

必要条件，

设an8=〃，ml&,〃?/〃？，显然〃「6,从而有机//8成立，但此时a，6不平行，

所以故“//0”是“a//。”的不充分条件，

即“〃/6”是“Q//6”的必要不充分条件.

故选：B

8.C

【分析】连接GG,AE,取CG的中点M，连接通过证明可得EG//AG,即得

上4G尸为异面直线GE与FG所成的角或其补角，利用余弦定理即可.

【详解】

答案第2页，共15页

如图，连接GG,AE,取CG的中点M,连接

因点E,F,G分别为BD,8%的中点，^\\EM//DC//AB,EM=DC=AB,即得

OAEMB,

则AE//MB,AE=MB,易证GM//6G，GM=BG,即得oBGCM，

则GG〃初/(G=8M,故得GG//A&GG=AE,即得oAGCE,从而EC"/AG,

即上/4G〃为面直线GE与FG所成的角或其补角.

设正方体棱长为2,则4G=、QR；-JC+I:&4"=］。JL

2

在“产G中，由余弦定理，cos±AGF=5-2~=4^-'

2xV$xr^5

即异面直线G£与尸G所成的角的余弦值为“’.

故选：C.

9.B

【分析】对于①，根据阳马的定义结合线面垂直的判定与性质分析判断：对于②，根据鳖喘

的定义结合线面-垂直的判定与性质分析判断：对于③，杖据棱柱与棱锥的表面积公式结合已

知条件分析判断：对于④，根据棱柱与棱锥的体积公式结合已知条件分析判断.

【详解】对于①，如图，由题意可知QSJ_平面48CO,八。。右匚平面44。。，贝IJ

DDy1.AD.DD..LDC,

因为A5_L平面AD。，A"u平面AO。，所以A8j_A01,

因为BCJ_平面,CRL平面C。。］,所以BC±CD,,

所以阳马的四个侧面都是直角三角形，故①错误；

答案第3页，共15页

对于②，如图，由题意可知8C_L平面CCQ”

因为GB±平面8CG,BChL平面8CG，则GR±BC「CQi±CC,,

所以鳖鹏的四个面均为直角三角形，所以②正确；

对于③，设长方体的长，宽，高分别为a,"c,则A8=亿8。=〃,。。|二c,

所以堑堵的表面积=S…Zg+,£皿―

・ab*2xibc*ac+4丁*c•ab^bc^ac^a-$'♦c

2

+S*ABD[+S*CBDi+SSD\

阳马的表面积S°|-A8m=S3C/)+SACD/J]

=uf)+—ac+—a・4'+c：--b-4K+-be,

2222

由于SADD「8CCI~2SD「A8C0

・(ab♦Ac+ac+a7b，)-21ab+goc.1a'“，.L.；b'J/+3

=-ab-b>J(i:^c2<0«

所以堑堵的表面积不是阳马的表面积的2倍，即③错误；

对于④，设长方体的长，宽，高分别为“⑦,。，则48=a,8C=4。"二c,

所以堑堵的体积匕如一see=-abc,鳖膈的体积%「呐=Hbc=%c,

332fl

所以堑堵的体积是鳖席的体积的三倍，所以④错误.

故选：B

10.C

【分析】根据给定条件，过点。作出与平面4PG平行的长方体部分截面，确定点M的轨迹

即可.

【详解】在长方体ABCD・A|BCQ中,取AQ,B£的中点G,H,连接AG,GH,B〃，

答案第4页，共15页

由点P为5C的中点，得G〃//8P,C用=BP,则四边形5PG〃是平行四边形，

BHHC.P,MGHIJA\B,MAB,GH=A\B\=AB,则四边形ABHG是平行四边形，

于是AGfiBHf/GP,取GQ中点£,在AO上取点尸，使得A/二G£,连接E凡QE,。尸，

而A〃//GE,则四边形AG£F为平行四边形，EFI/AG,而AGL平面APg,EF丈平面

APG，

于是£73/平面APC；,由。为GQ的中点，得QE//GG,而GGU平面APG，QE文平面

APC,,

则Q£//平面APG，又跖nQE=E,EF,QEL平面。“，因此平面0£犷//平面APQ,

由直线QM//平面/1PG，点平面AQA4，则点M在平面QEF与平面AQA4的交线

上，

从而点M的机迹是线段EF,而打二〃，二71:入5，

所以点M的轨迹长度为2万.

故选：C

11.l+li

22

【分析】利用共挽复数的定义求出4,再由复数的除法计算即得.

_111>iI1

【详解】由题意，Z|=5=1-1,则二j—；HiM|；upp.

故答案为：、*、i.

【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式计算即可.

【详解】记端午假期甲地降雨为事件A,乙地降雨为事件

答案第5页，共15页

由题知，P（A）=0.6,P（8）=0.7,且AI相互独立，所以配方相互独立，

所以两地都不降雨的概率为H百）（I<16）（107）.114.0I012

故答案为：0.12

13.36兀63兀

【分析】根据给定条件，求出圆锥的底面半径及高，再利用圆柱的侧面积公式及圆柱、圆锥

体积公式求解.

【详解】依题意，圆锥的高为3cm,圆锥、圆柱的底面圆半径为3cm,

所以圆柱的侧面积为2冗所x6=36立（cm2）:

该陀螺的体积为川•?•6・1・3・3二63icm

故答案为：36兀：63几

14.3T

【分析】第一空，根据P为3。的中点，确定上4切-3利用数量积定义即可额求得答案：

第二空，建立平面直角坐标系，利用数量积的坐标运算求彳血女褊得最小值时P点坐标，

TT

结合厂B=6d即可求得答案.

【详解】由题意知V/1BC为等腰三角形，AB=AC=2t8C=2J],

当APj_3c时，P为BC的中点,则cos上/IBP一处=3,则上

AB2△

则//IBP2«x?.cos：

若P-B二Arr，则以8c的中点为坐标原点。，以8c为X轴建立平面直角坐标系，

则“QQ.A（0,l）,设布・。）."“£.

则—（70MX0）=&X

,，

当时，/-Vjr取最小值，符合题意，

乂PB=APC即（75-[。）=小Jx,0）,

答案第6页，共15页

故答案为：3；—3

15.①②®

【分析】对于命题①，根据题意可知PWJ_PN,PMJ_P8,在利用线面垂直的判定即可证明；

对于命题②，4=1时，N与。重合，由PMJL平面P&V即可求体积：对于命题③，彳=»,

过P作PO±BN交8N于点0,连接,通过计算可证±POM就是二面角夕一8N—历的

平面角4,然后求余弦值即可；对于命题④，当％=,时，易为PN+PB=BN,即此时点P

A

在BN上,所以a=0即可判断.

【详解】对于命题①，根据题意PMJ_PN,PMJLPB,

又PNCPB=P,PN,PBu平面PBN,所以PM_L平面PBN,

又PMu平面P8W,所以平面PBM平面PBN,故①正确；

对于命题②，才二1时，及与C重合，

此时在AP8N中，PB=PN=BC=2,则5“耽，=；乂2>方1]600=4.

由①知，PM±平面P8N,所以V>-以小=VIB■NUJw=-15.fiV.PM=—,故②正确;

对于命题③，1=Q时，DN=PN=\,AB=PB=2,MN=&MB=BN区'

过P作PO_LBN交BN于点、O,连接M。,

又PB?+PN2=BN?,所以P8_LPN,sin上PBN==-L.

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W5

PO=BPsinzm=—.OB・尸二FO?«

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cosZA^V=-------------------------="

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0”：・♦取＞-28"BOwsNMBN」更

S

答案第7页，共15页

则0"+。8=-*y=5BM2,则OMj_O8,乂POA_BN,

所以上POM就是二面角P-8N-M的平面角4,

则PN+PB=BN,即此时点P在8V上，所以口=0,故④错误；

故答案为：①②③.

16.（1）证明见解析

（2）证明见解析

【分析】（1）通过构造平行四边形找到与平面内直线平行的线，从而证明线面平行:

（2）根据线面垂直的性质和矩形的性质证明线面垂直.

【详解】（1）如图取PA的中点G,连接EG,G8,

因为E是P。的中点，G是P4的中点，

1

根据三角形中位线定理，在△H4。中，EGHAD,且皮-AD,

又因为底面A8CQ为矩形，”是8C的中点，

所以3尸//AD,且5尸

由此可得EG//8/，且EG=BF,

所以四边形EG85是平行四边形，

那么E///G8,

因为GZ?u平面PAB,E/丈平面

所以£///平面PA8；

答案第8页，共15页

(2)因为PA_1_平面ABC。，BCL平面A8CZ),

所以P4_LBC,

又因为底面A8CQ是矩形，所以A8_L8C,

而尸4nA8=A,A3、PAL平面PA8,

又ABL平面PAB,

所以BC_L平面PAB.

17.(D6»Vi4isinC=与

⑵选②，5*=?或¥|选③，.

【分析】(1)由余弦定理求〃，由正弦定理求sinC：

(2)选①，可得asin8=3>b-"，从而得三角形不存在：

选②，求得由正弦定理求得“=3,由余弦定理求得c=2或c=1,由面积公式求解即可;

选③，可得sin。=宁，再由正弦定理可得。=2,由面积公式求解即可.

【详解】(1)解：由余弦定理可得：b1=«2+c2—2«ccosB=IR-82--2v2-'=

所以b714：

由正弦定理可得

KinRKinC

所以.。=*=姮

b7

(2)解：选①：a=2+,

则asin8=3>人=J7,

所以此时V八3。不存在；

选②：sin/ld,

14

由正弦定理可得・L一巴,

vinRcin4

解得。=3:

由余弦定理得加=a2+C—leiccoaB,

即/-3c+2=0,

解得c=1或。二2；

答案第9页，共15页

所以S“8c」〃csin3=，'、、：

224

选③：cosC二42,

7

则sinC

7

由正弦定理可得'=-b-.

stnCsinBv3

解得c=2»

由余弦定理得加=片+c2-2accosB,

即"—2a—3=0,

解得a=3或。=—I（舍）：

所以8c==csinB-

）1

18.⑴。=0.030

⑵（i）5人，2人：（ii）

11

【分析】（1）根据频率分布直方图中各组频率之和为1,即可求得〃的值：

（2）（i）根据两组的频率之比，即可求得每组抽取人数：

（ii）依题意即可写出样本空间，根据古典概型的概率公式，即可求得答案.

【详解】（1）由频率分布直方图可得（0.015+0.020+4+0.025+0.010）x10=1,

解得〃=0.030；

（2）（i）由图可得［80,90）和的,100］这两组的频率之比为需_

故应从［80,90）学生中抽取的学生人数为7*1一5（人），

应从［90.100）学生中抽取的学生人数为7.：二2（人）；，

（ii）设从［80,90）中抽取的5人为a"c,d,e,从190,100）学生中抽取的2人为1,2,

则这个试验的样本空间为

Q={ab.ac,ad,ae,a\,a2,be,bd,be,b\,b2,cd,ce,cl,c2,de,t/1,672,el,e2,12},

共有21个基本事件：

事件A=”至少有I人测试成绩位于区间［90,100）”，事件A的个数有II个，

答案第10页，共15页

B|j{«l,«2,/?l,Z?2,cl,c2,Jl,rZ2,el,e2,12},

故R<)-R.

19.⑴证明见解析；

(2)证明见解析；

(3)证明见解析：

【分析】(1)由正方形ABCZ)得A4/CO,根据线面平行的判定得到CO//平面/WFE,再

根据线面平行的性质即可得到CO//EF；

(2)先面面垂直的性质证得CO_LB产，结合CD"EF,CD4c可得EF_LBF,EF_LBC,

即可证得££_1_平面8。/；

(3)取EF的中点G,通过证A8PG是平行四边形得到AG=\EF,证得AE_LAb：

再由勾股定理逆定理得到C4证得8_L平面A8"G,得C4_LAK,即可得AOJ-AK,

进而证得4£_L平面AQ产，即可证得AE_L。尸.

【详解】(1)由正方形ABC3,得AB//CD,

乂丁CD丈平面从引石，ABC平面A8/石，I.CO〃平面A8/石，

•・•CDC平面C7)E尸，平面COE/0平面ABFE=FE,

・•・CD//EF

(2)由正方形A8CZ),得。。J_9C,

,:平面ABCD工平面BCF,平面ABC”!平面8b=BC,CDC平面ABC。，

:.CDJ_平面5CF,

又,:BFC平面BCT,・•.CD_LBF,

由(1)知CD//EF,:.EFJ_BC,EF_1_BF,

又BCCBF;B,BCRFC平面BCF,

:.EFJ_平面SC尸；

(3)取EF的中点G,连接4GA尸，则G尸二48=1,

V.AB//CD//EF,所以四边形ABFG是平行四边形.

,I,

：.AG=BF=I=,EF,AE.LAF.

由BC=8尸=1,CQ.◎得，BG+BP=CP,；.CB工.BF

VCBA.AB,ABCBF=B,尸C平面AB/G,

答案第11页，共15页

・•・C3JL平面

V4El平面ABFG,/.CB.LAE.

由正方形/WCO,得AD/C3,AAD.LAE,

VAE±AF,AFC\AD=A,AF,ADr^2®ADF,，A£JL平面AO/,

•・•。/L平面ADF,:.AE±DF

【分析】（1）由题意可得必。8三JCaSAS）,得A8=AD,由点E为8。的中点，可得

AE±BD,CE±BD,从而得BD工平面4CE,即可证明平面ACEJ_平面BOF；

（2）由A£_1_CE,可得HEJ_平面3CO,根据四面体A-8CO的体积为避，可得A£Jj，

进而可得48=4。=AC=2,再由上8尸。恰为二面角B-AC-O的平面角，得

BF±AC,DF±AC,由三角形的面枳公式可求得。/=8尸=4，即可求得V8Q/的面积

【详解】（1）证明：由题意可得△4CO为等腰直角三角形，斜边8。=2,

所以BC二CQ0,

又因为上4CB=±ACD,

所以MCBE.^ACD（SAS）,

所以A8=AD,

又因为点E为B。的中点，

所以AE±BD.CE1_BD,

乂A£CEu平面ACE,AEICE=E,

所以8。工平面ACE,

又因为5Dl平面厂,

所以平面ACE±平面8。/；

（2）解：因为AE_LCE,AE±BD,

且B。,CEC平面BCD,BDCCE二E,

答案第12页，共15页

所以A£_L平面8co,

所以AE为四面体的高，

所以四面体的体积V=；S,a。.AE=卜aaAE,

解得AE=&,

又因为BE=DE=CE=