北师大版高二数学期末模拟卷（含解析）

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

I.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.测试范围：北师大版2019选择性必修第一册。

4.难度系数:0.65o

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知空间向量2=（621）,S=（2,x,-3）,若仅一241£,则“（）

2321

A.4B.6C.—D.一

44

2.已知圆G：/+V=4,圆C2：/+y2-4x-4.v+4=0,两圆的公共弦所在直线方程是（）

A.x+y+2=0R.x+y-2=0C.x+j4-1=0D.x+y-l=0

3.某椭圆的两焦点坐标分别为甲-60）,6（60）,，是椭圆上一点，若防归凰•归勾=8,则该

椭圆的方程是（）

A.—+^-=1B.—+^-=1C.—+^=1D.—+^-=1

72279449

4.海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小

组计划利用5月1日至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿

地公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察1个，其中对美舍河湿地公园的考

察安排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（）

A.24种B.48种C.98种D.120种

5.若事件A,8发生的概率分别为P（A）,P（B）,（P（A）＞0,P（B）＞0）,则“P（邳A）=P（3）”是

“P（A|B）=P（A）”的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充分且必要D.既不充分又不必要

6.为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下2x2列联表:

未治愈治愈合计

服用药物104050

未服用药物203050

合计307010()

则下列说法一定正确的是（）

附：％?=7---Z77----------、人(其中〃=a+Z?+c+d).

(a+〃)(c+d)(a+c)(>+d)

临界值表:

a0.15OJO0.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”

B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关”

C.在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关

D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关”

7.已知双曲线C:£-E=l,两焦点分别为6,6，过右焦点F?作直线/交右支于A,3点，且A月

a-3

jr

若/=§,则双曲线。的离心率为（）

357

A.—B.—C.-D.2

235

8.如图，在直三棱柱A4C—AUG中，为线段4M的中点，。为线段G。上

一点，则△BCQ面积的取值范围为（）

A.[2,6]B.[2,V5]C.[氐6]D.[V2,x/5]

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.下列说法正确的是（）

A.样本数据20,19,17,16,22,24,26的下四分位数是17

B.在比例分配的分层随机抽样中，若第•层的样本吊:为10,平均值为9,第二层的样本吊:为20,平均

值为12,则所抽样本的平均值为11

/1\Q

C.若随机变量x~85,-,则p（x=2）=+

D.若随机变量X〜N（4,〃）（b>（））,若P（xN2）=0.8,则P（x>6）=0.2

10.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着一个有趣的数学

问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的笑处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎

样走能使总路程最短?在平面直角坐标系中有两条河流〃?，〃，其方程分别为2x-y=0,y=（）,将军的出

发点是点A（3』），军营所在位置为8（6,3）,则下列说法错误的是（）

A.若将军先去河流〃?饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为（1,2）

B.将军先去河流〃饮马，再返回军营的最短路程是㈠

C.将军先去河流〃?饮马，再去河流〃饮马，最后返回军营的最短路程是屈

D.将军先去河流〃饮马，再去河流〃?饮马，最后返回军营的最短路程是2A

———4=1(m>0,）有公共焦点K,

11.已知椭圆Ci：Ca>b>0）与双曲线g：〃>0F2,

G与G在第一象限的交点为尸，且PK，。尸2,记C.3的离心率分别为4,6.下列结论正确的是（）

A.若|尸周=五+1,忸闾=6-1,则.=2

B.若“="，则e=2

7

C.的最小值为1

D.记△匕的内心为/,G的右顶点为E,则/E_Lx轴

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.随机变量4的分布列如下:

若E(4)=l,则。(4)=

13.若（2-的展开式中二项式系数和为A,所有项系数和为8,则A+H=.

14.过抛物线V=4x上一动点/，俏圆C:（x-4）2+），2=/（/>o）的两条切线，切点分别为A3,若|A4|.|PC|

的最小值是12,则「=.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）氮氧化物是一种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位:

万吨）的折线图,其中年份代码I〜9分别对应年份2015〜2023.

9

Z产51800.

r=l

⑴可否用线性回归模型拟合y与/的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明.

⑵若根据所给数据建立回归模型），=-138/+2O25,可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化

物排放量？请说明理由.

2?7一师

附：相关系数「=---------

16.（15分）某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零

件作为备件，价格为每个200元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个

320元.在使用期间，每台设备需要更换的零件个数7的分布列为

T4567

P0.30.20.40.1

X表示2台设备使用期间需更换的零件个数，〃代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.

（1）求X的分布列；

（2）以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在〃=10和〃=11中，应选择哪一个？

17.（15分）已知椭圆。:圣+3=19>6>0）的左、右焦点分别为％F”且忻段=2板动直线/与

椭圆交于尸，。两点：当直线：过丹时，耳的周长为8.

（1）求椭圆C的方程；

[2）若直线/过点E（l,0）,椭圆的左顶点为4,当△APQ面枳为J6时，求直线/的斜率上

18.（17分）如图，在四棱锥尸-ABC。中，四边形ABC。为正方形，4/?=6,/>。=尸力=扃，二面带?一6-4

⑴证明：平面力W_L平面ABC。.

（2）求四棱锥/>八BCD的体积.

⑶若点”在线段P。上，且平面M4C_L平面A8CD,求直线AM与平面P8C所成角的正充值.

19.（17分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，

他研究发现：如果一个动点0到两个定点的距离之比为常数〃2>0且2=1）,那么点P的轨迹为圆，这

就是著名的阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中,已知K（T,O）,Q（O,应）直线4：比-y+2f+3=o,直线

Z2：x+（y+3f+2=0,点尸为4和「的交点.

（1）求点〃的轨迹方程。；

⑵点M为曲线C与x轴正半轴的交点，直线/交曲线C于A,8两点，M与人，8两点不重合，直线MA、

MB的斜率分别为跖且攵鱼=-；,证明直线/过定点，并求出该定点；

31

13）当点P在曲线C上运动时，求万I尸RI+耳IPQI的最小值.

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.测试范围：北师大版2019选择性必修第一册。

4.难度系数:0.65o

第一部分（选择题共58分）

一,选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.已知空间向量2=（621）,1=（2,x,-3）,若仅则”（）

2321

A.4B.6C.—D.一

44

【答案】C

【详解】因为G-涕=（6,2,1）-2（2,思一3）=（2,2-2尤7）,

因为（。一2可，乙，所以12+4-4入+7=0,解得了=?.

故选：C.

2.已知圆G：/+V=4,圆C//+），2-4X-4），+4=0,两圆的公共弦所在直线方程是（）

A.x+y+2=0B.x+y-2=0C.x+y+l=0D.x+y-1=0

【答案】B

【详解】由圆G：/+V=4,圆C2：d+y2_4x_4y+4=0,

两式作差得，4x+4y—4=4,即工+y一2二。，

所以两圆的公共弦所在直线方程是x+y-2=0.

故选:B.

3.某椭圆的两焦点坐标分别为4-6,。），口底。），P是椭圆上一点，若歌二夕匕|P周忖周二8,则该

椭圆的方程是（）

2））？

Vn厂A.

AA.—+—=1B・-+-^=1

7227

C.JJlD.《+£=1

9449

【答案】C

【详解】设俨用=m,|尸鸟|=〃,

因为心口鸟，恒周二26,所以/+“2=（2石丫，即/+〃2=20；

因为归£|•归勾=8,所以〃"?=8,

所以（/〃+〃）-=nr+n2+2mn=20+2x8=36；

因为〃?>0,/?>0,所以"?+〃=6,即2a=6,々=3,

所以〃=9,h~=a2-c2=4»

所以椭圆的方程为£+f=l，

94

故选：C.

4.海口市作为首批“国际湿地城市”，有丰富的湿地资源和独特的生态环境，海口市某中学一研究性学习小

组计划利用5月IFI至5月5日共5天假期实地考察美舍河湿地公园、五源河湿地公园、三江红树林湿地

公园、潭丰洋湿地公园和响水河湿地公园5个湿地公园，每天考察I个，其中对美舍河湿地公园的考察安

排在5月1日或5月2日，则不同的考察安排方法有（）

A.24种B.48种C.98种D.120种

【答案】B

【详解】先安排美舍河湿地公园的考察时间，方式有A；=2种；

再安排剩下四天的行程有A：=24,所以一共有2x24=48种安排方法.

故选:B

5.若事件A,8发生的概率分别为P（A）,P（B）,（P（A）>0,P（B）>0）,则“尸（8网=尸（5）”是

“P（A|3）=P（A）”的（）条件.

A.充分不必要B.必要不充分

C.充分且必要D.既不充分又不必要

【答案】C

【详解】因为P（B|A）=P（B）,所以P（网力=4^=尸位），所以P（AB）=P（A）.P（8）,

1I勺

所以小力箫=等鲁=小）・

反之由P（A|J?）=P（A）能推出上（8|A）=P⑻,

所以“，（用A）=〃（8）”是“〃（A[8）="（A）”的充分且必要条件.

故选：C

6.为了检测某种新药的效果，现随机抽取100只小白鼠进行试验，得到如下2x2列联表:

未治愈治愈合计

服用药物1()4050

未服用药物203050

合计3070100

则下列说法一定正确的是（）

附："(〃+/，)(c+d)g+c)S+〃)(其中〃=""c+d)

临界值表;

a0.150.100.050.0250.0100.0050.001

Xa2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

A.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关“

B.在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关”

C.在犯错误的概率不超过0.005的前提下,认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”

D.在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药无关”

【答案】A

【详解】解：由列联表中数据，计算/=100*（300-800）2=变、4762,

30x70x50x5021

且3.841v4.762<5.024,

所以有95%的把握认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关”

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为“小白鼠是否被治愈与是否服用新药有关

故选:A.

7.已知双曲线=两焦点分别为入，6，过右焦点工作直线/交右支于A,"点，且前耐,

a-b-3

若=g，则双曲线。的离心率为()

357

A.-B.-C.—D.2

235

【答案】C

【详解】如图，因为而=:丽，令|A6|=3/,则叫=5，，怛回=2,

由双曲线定义IA印=1AF21+2。=3f+2%|mRBF21+2〃=2/+2a,

在乙48耳中，ZFAB=-,

}3

2*5

由余弦定理I4用2+1AB『-214用.IABIcos/RAB=|BE,|,

^(3f+2a)2+(5z)2-2(3r+2«)x5rcos—=(2/+26r):,

3

2

整理得15产一6〃=0,解得[=*"或r=0(舍去)，

则|A用=3/+2a=3x]a+2a=4”，|A/^=3/=3xga=[a,

故在△人耳玛中，由余弦定理|A用2+14工『一21A"|•|A"|cosZF,AB=1耳用),

得(小〃尸+(色〃)2-2入34・9〃85¥=(2(7尸,

55553

整理得罢42=4,2=0,则6=£=]

故选：C.

8.如图，在直三棱柱ABC-A/C中，AB_L8CAB=BC=/M1=2,尸为线段吊片的中点，。为线段C7上

一点，则△4CQ面枳的取值范围为()

AiCi

c.[3向D.[a,向

【答案】B

【详解】

由直三棱柱可得8q_L平面ABC,而A3J.3C,

故建立如图所示的空间直角坐标系,A（0,2,0）,C（2,0,0）,C1（2,0,2）,P（0,l,2）,

设而=%即=2(—2,1,0)=(—2440),其中4e[0』，故。(2-2442),

而诙二(-2/U,2),CB=(-2,0,0),

卜+分+4一（阴=

故。到直线3C的距离为"二

因为4故1£[2,右],故SaQAc=：xdx8C=de[2.行]

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列说法正确的是（）

A.样本数据20,19,17,16,22,24,26的下四分位数是17

B.在比例分配的分层随机拙样中，若第一层的样本量为10,平均值为9,第二层的样本量为20,平均

值为12,则所抽样本的平均值为II

C.若随机变量则P（X=2）=2

\3）24J

D.若随机变量X〜"4,"）廿>0）,若P（x?2）=0.8,则P（X>6）=0.2

【答案】ABD

7

【详解】对于A.从小到大排序得-6,17,19,20,22,24,26,由7x25%二"5,所以下四分位数

是17正确;

10x9+20x12

对于B,=11正确;

30

对于C,由二项分布可得：P（X=2）=C；（gJ（gJ=墨，错误;

对于D,由正态分布的对称性可得：尸（x>6）=l-尸（x<2）=（）.2,正确

故选：ABD

10.唐代诗人李顽的诗《古从军行》开头两句：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”隐藏着•个有趣的数学

问题——“将军饮马”，即某将军观望完烽火台之后从山脚的某处出发，先去河边饮马，再返回军营，怎样走

能使总路程最短?在平面宜角坐标系中有两条河流〃?，〃，其方程分别为24-），=0,），=。，将”的出发点是

点以3,1）,军营所在位置为8（6,3）,则下列说法错误的是（）

A.若将军先去河流〃?饮马，再返回军营，则将军在河边饮马的地点的坐标为（1,2）

B,将军先去河流〃饮马，再返回军营的最短路程是不

C.将军先去河流〃?饮马，再去河流〃饮马，最后返回军营的最短路程是房

D.将军先去河流〃饮马，再去河流〃?饮马，最后返回军营的最短路程是29

【答案】ABD

【详解】对于A,如图①所不，设点A（3,l）关于直线2x-y=0的对称点为人但方），

所以将军在河边饮马的地点的坐标为C（|,3）,故A错误;

对干B,如图②所示，因为点A（3,l）关于直线y=0的对称点为4（3,-1）,

将军先去河流〃饮马，再返回军营的最短路程是忸Az|=二布而记=5,故B错误;

对于C,如图③所示，因为点8(6,3)关于直线，=0的对称点分别为，取6,-3)；

点4(3,1)关于直线2x->，=。的对称点为A(-l,3),

所以将军先去河流州饮马，再去河流〃饮马，最后返回军营的最短路程同4|=病，故C正确;

对于D,如图④所示，设点做6,3)关于直线2x-y=。的对称点分别为也a”、)，

^^x2=-l,

由马一6解得反(-"当；点A(3,l)关于直线产。的对称点为4(3,7),

2上_拉=055

22

将军先去河流〃饮马，再去河流小饮马，最后返回军营的最短路程是|人闵=乂粤，故D错误.

4=1(=>0,〃>0)有公共焦点尸I，尸2,

n-

G与G在第一象限的交点为夕，且号，记G，G的离心率分别为6，下列结论正确的是()

A.若|尸耳|=J7+1,|尸周二"一1,则4=2

B.若「苧，则一

C.6色的最小值为1

D.记鸟的内心为/,G的右顶点为E,则/E_Lx轴

【答案】ABD

【详解】对于选项A,根据椭圆定义IP用+1尸玛1=2%已知|户用=g+1,|。5|=近一1,

则2〃=IM|+|”|=5/7+1+>/7-1=2不，所以a=万.

根据双曲线定义IP£\-\PF2\=2m,IjllJ2m^PFy\-\PFZ|=>/7+1-(5/7-1)=2,

所以〃?=1.因为可，户&根据勾股定理|PKF+|”F=(2C)2,将.|/Y；|=J7+I,

|P区|=J7-1代入得(V7+1)2+G/7-1)2=(2C)2,即7+2近+1+7-26+1=4©2,16=牝2,解得c=2.

双曲线G的离心率约=£,因为。=2,m=\,所以e,=2,故选项A正确.

"m

对于选项B,设|P£l=s,IPF21=t,由椭圆定义$+/=%,由双曲线定义sT=2/n,

解得s=a+〃z,t=a-m.

因为尸£_LP5，所以$2+*=4。2,即(〃+〃?)2+3-〃?)2=4°2,化简得/+〃?2=202.

己知弓=£=3自，设〃="X，c=2x,代入/+加=2/得7/+/=8/,解得〃?=x.

ci7

双曲线G的离心率^,=-=—=2,故选项B正确.

inx

对于选项C,由片+>=2。2,则丁+丁=2.

弓气

I]2

根据均值不等式2==+三之一:所以当且仅当0=刍=血时取等号，

1

qe2e,e2”

，椭圆和双曲线离心率不可能取等，故选项C错误.

对于选项D,设△片尸居的内切圆半径为L

根据三角形面积公式，S*咕=?(s+f+2c»=gsf.

22

22

又s+f=2a，s-t=2fn,可得s=aT〃z,t=atnyst=a-ni.

22

SFPF=—(2«+2c)r=—(a-nz),r=———.

产崂222(a+c)

设E(m,O),/的横坐标为/，七=%!氏孕"(九，八为F\,F2的横坐标)，

s+t+2c

5(-c)+tc_(a-/?J)(-C)+(a+m)c

因为£(一。,0),K(C,O),=m，所以/Elx轴，选项D正确.

s+t+2c2a+2c

故选：ABD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.随机变量4的分布列如下：

若碓）=1,则。（/=.

2

【答案】j

211

【详解】由题意知〃+%=石（切=〃+28=1,解得4=q力=3，

所以。团=（0—1八；+（|—lfx；+（2—l『x；=g.

9

故答案为：­.

13.若（2-力9的展开式中二项式系数和为A,所有项系数和为8,则A+8=.

【答案】513

【详解】解：设/（外二（2-”工则展开式中二项式系数和为4=2%

所有项系数和为8=/⑴=（27）9=1,所以A+3=29+1=513.

故答案为：513

14.过抛物线）/=4x上一动点尸作圆（78-4）2+旷2=产=>0）的两条切线,切点分别为A3,^\AB\\PC\

的最小值是12,则「=.

【答案】任

【详解】设P（%,y。），则需=4.%,圆C的圆心C（4.0）,半径为r,

由PAP8切圆。于点A4,得PC_LA氏PA_LAC,P3_L8C,

%

=2/小*-4/+16—1=2T(X。一24+12—1>2小2-产,

当且仅当々=2时，等号成立，

可知\AB\-\Pd[的最小值为2rV12^7=12,

整理可得/—]2/+36=0,解得r=6,

且r>（）,所以r=-76>

故答案为：瓜.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.（13分）氮氧化物是〜种常见的大气污染物，下图为我国2015年至2023年氮氧化物排放量（单位:

万吨）的折线图,其中年份代码1〜9分别对应年份2015〜2023.

Ely。51800.

/=!

（1）可否用线性回归模型拟合）'与/的关系？请分别根据折线图和相关系数加以说明.

（2）若根据所给数据建立回归模型-138/+2O25,可否用此模型来预测2024年和2034年我国的氮氧化物

排放量？请说明理由.

附：相关系数「二

【详解】(1)从折线图看，各点落在一条直线附近，因而可以用线性回归模型拟合y与/的关系，

由题意知7=/+2+3+4+5+6+7+8+9)=5,------------------------------------------------2分

9_

期51800-5x120008200八八）

相'《系数/,=/_X---------------=------n-0.97

仙人尔型区TJ-T7.7x11008470-----------------------6分

故可以用线性回归模型拟合y与/的关系.......................................................7分

(2)可以预测2024年的氮氧化物排放量,但不可以预测2034年的氮氧化物排放量.............9分

理由如下：

①2024年与所给数据的年份较接近，因而可以认为短期内氮氧化物排放量将延续该趋势，故可以用此模型

进行预测；

-------------------------------------------------------------------------------------------11分

②2034年与所给数据的年份相距过远，而影响氮氧化物排放量的因素有很多，这些因素在短期内可能保持

不变，但从长期看很有可能会变化，因而用此模型预测可能是不准确的..........................13分

16.(15分)某工厂打算购买2台设备，该设备有一种易损零件，在购买设备时可以额外购买这种易损零

件作为备件，价格为每个2()0元.在设备使用期间，零件损坏，备件不足再临时购买该零件，价格为每个320

元在使用期间，每台设备需要更换的零件个数7的分布列为

T4567

P0.30.20.40.1

X表示2台设备使用期间需更换的零件个数，〃代表购买2台设备的同时购买易损零件的个数.

(1)求X的分布列；

(2)以购买易损零件所需费用的期望为决策依据，试问在〃=10和〃中，应选择哪一个？

【详解】(1)由题意,X的可能取值为8,9,10,11,12,13,14,-----------------------1分

则P(X=8)=0.3x0.3=0.09,

=9)=2x03x0.2=0.12,

p（X=10）=2x0.3x0.4+0.2x0.2=0.28,

P(X=11)=2x03x0.1+2x0,2x0.4=0.22,

P(X=12)=2x0.2x0.14-0.4x0.4=0.2,

P(X=13)=2X0.4X0.1=0.08,

=14)=0.1x0.1=0.01,

4分

则X的分布列为：

X891011121314

P0.090.120.280.220.20.080.01

---------------------------------------------------------------------------------------------6分

(2)记X为当〃=10时购买零件所需费用，X的可能取值为2000,2320,2640,2960,3280,——7分

则P化=2000)=P(X<10)=0.09+0.12+0.28=0.49,〃(％=2320)=P(X=11)=0.22,

P(Yy=2640)=P(X=12)=0.2,

尸(匕二2960)=P(X=13)=0.08,

P(Yi=3280)=P(X=14)=0.01,...........................-..............................9分

则E(X)=2000x0.49+2320x0.22+2640x0.2+2960x0.08+3280x0.0l=2288.---------------10分

记X为当〃=时购买零件所需费用，八的可能取值为2200,2520,2840,3160,---------11分

则P(X=2200)=P(X<\1)=0.09+0.12+0.28+0.22=0.71,P(Y2=2520)=P(X=⑵=0.2,

P(Y2=2840)=P(X=]3)=0.08,

P(K=3160)=P(X=14)=0.01,------------------------------------------------------------13分

F(K)=2?.mx0.71+25?.0x0.2+?R4Ox0.0R+3160x0.0l=2324.X,----------------------------14分

显然E(X)<E化)，

所以应选择〃=10.-----------------------------------------------------------------------------15

分

17.（15分）已知椭圆。鼻+《=1伍>8>0）的左、右焦点分别为6，6，且田闻=2式，动直线/与

椭圆交于〃，。两点：当直线/过用时，△PQ石的周长为8.

（I）求椭圆C的方程;

⑵若直线/过点石（1,0）,椭圆的左顶点为4,当△AP。面积为丽时，求直线/的斜率％.

【详解】（1）由题意得：2。=2&,4。=8,即<?=&,。=2,贝!6’=2,.........-.......3分

所以椭圆。的方程为：工+《=1.--------------------------------------------------------------5分

42

（2）由题意知：直线/斜率不为0,可设/：x="+l,------------------------------------------6分

7分

贝则IJAA=4户产+1122（/+2）=16rr++2244>>00,,........................8分

2/3

设户（耳,凹）,。（电，%）,则%）'2=-^77,•一9分

可得E-*1--忌齐三-邛字

--------------------------H分

又因为4（一2,0）,则|Aa=1一（一2）=3,----------------------------------------------------12分

所以S”o二g|石外|y「），2|=Tx^!|^=屈，解得：，=±1............................14分

所以直线/的斜率&=；=±1.-------------------------------------------------------------------15分

18.（17分）如图，在四棱锥尸-八3。。中，四边形48。。为正方形，AB=6,PC=PD=#j，二面的P-CD-A

（1）证明：平面尸/仍J_平面A8CO.

（2）求四棱锥〃一ABCD的体积.

⑶若点例在线段P。上，且平面做ACJL平面ABC。，求直线/W与平面所成角的正弦值.

【详解】（1）设A用C。的中点分别为G,4,连接PG,G”,PH.

在△尸CD中，由PC=PD,所以PHLCD.

由8=3，所以PH=』PC?-CH?=4\/5，---------------------------------------------------1分

因为G"J_C。，所以二面角P—CO—A的平面角为NPHG、NPHG=5,

则PG=JPH?+GH?-2PHGHcos/PHG=2G•----------------------------------------2分

因为G“nP”="，GH,PHu平面尸G”，所以CD_L平面尸G”，

由PGu平面PG”，所以CD_L尸G,则A8_LPG,---------------------------------------3分

所以/8="?G2+/G2=后.

又Plf+BC?=PC；所以P8_LBC.-----------------------------------------------4分

又因为A8_L8C,A8c/6=8,A氏mu平面/B，

所以6C_L平面24B,因为8Cu平面A8C。，...........-...........-...................5分

所以平面P48_L平面A3CO.-------------------------------------------------------------6分

（2）因为平面R4B_L平面A5CD,平面EABc平面AB8=A5,

PGLAB,PGu平面左4,-------------------------------------------------------------7分

所以PG平面ABC。，即四棱锥的高为PG,---------------------------------------------8分

所以四棱锥产一ABCD的体积为V=：尸G.S正方形八8m=gx6x6x2>/5=24丛.---------------9分

JJ

（3）以G为坐标原点，G丛G”,GP所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系,

贝I」A（—3,0,0）,8（3,0,0）,C（3,6,0）,D（-3,6.0）,P（0,0,2x/3）.-----------------------------------10分

记G"cAC=O,!JliJO（0,3,0）,OP=（0,-3,2x/3）.连接OM,BO.

^?/V7=ZP/5（O</l<l）,

--------------------------------------------------------------------------11分

则PD=（-3,6,-2x/J）,两=%丽=（-32,64-26/1）,

OA?=OP+PA/=(-3A,-3+62,2^-2x/3A),BD=(-6,6,0)......................................12分

因为平面PGMAC_L平面ARCD.平面MACc平面ABCD=AC,BDA.AC,

BOu平面ABC。，所以B。上平面

MAC.-----------------------------------------------------------13分

因为。Mu平面MAC,所以8O1QM,

贝IJ丽•西=-6x(-3/l)+6(-3+6/)=0,解得4=(,-------------------------------------------14分

则PM.=-1,2,-苧).又丽二卜,0,2e).

________’.八、_

所以丽7=而+两=2,2,卷-,厢=(3,0,-2⑹辰二(0,6,0).------------------------------15分

\7

设平面PBC的法向最为沅=(%y,z),

则由［流.上=0,得［?一yz=0，取z=G，得利=(2,0,6).----------------------------------16分

.8C=0,16y=0,17

设直线AM与平面PBC所成的角为。，

.Q/„ElMM2师

'/I网|画35

所以直线4W与平面尸6c所成角的正弦值为名,-----------------------------------------17分

35

19.(17分)阿波罗尼斯是古希厝著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，

他研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数刖/1>0且2。1),那么点尸的轨迹为圆，这就是

著名的阿波罗尼斯圆.在平面直角坐标系中，已知R(-l,0),Q(0,及)直线4：仪-)，+2/+3=