分式与分式的计算（8大题型74题）原卷版-2024八年级数学上册（鲁教版）

分式与分式的计算（8大题型74题）

题型一、分式的意义探究

题型二、分式求值问题

题型三、分式性质的应用

…/题型四、最简分式与分式的约分

题型建模•专项突破。-----------------------------

因式分解-一------------------题型五、分式的乘除法运算

题型六、分式的加减法运算

题型七、分式的化简求值

题型八、分式加减法的应用

A题型建模•专项突破

题型一、分式的意义探究

L35八年级上•海南海口•期中）要使分式占有意义，则上应满足的条件是（）

A.x>\B.x<\C.xwOD.X/1

r—7

2.（2025・贵州・中考真题）若分式V的值为0,则实数X的值为（）

x+3

A.2B.0C.-2D.-3

3.（24-25八年级下•河南南阳•期末）如果一个分式，当y=-2时分式无意义，当1时分式的值为0,则

这个分式可能是（）

y+1y-ly-1y-2

A.B.—C.D.^―-

y+2y+\y+2y-\

4.（24-25八年级卜宁夏银川•期中）已知分式/畤，当x=l时，分式没有意义：当x=6时，分式的值为

4x-b

零，则?的值为.

D

5.（24-25八年级下•河南郑州•期末）写出一个满足下列条件的分式：分式有意义时,'=±1；分式的值不

可能为0.你写的分式是—•

题型二、分式求值问题

6.（24-25七年级下•浙江台州•期末）若x+y=2即，，则分式——乙―的值为（）

xy

A.2B.3C.4D.5

7.（24-25八年级下•重庆•期中）若分式二的值为正数，则x的取值范围是（）

x+l

A.x>3B.xv-l或x23C.x<-l或x>3D.—1<x<3

8.（22-23八年级上•山东威海•期中）若分式当;的值为负数，则x的取值范围______.

x-+\

6t—3

9.（24-25八年级下•陕西西安・期中）若x取整数，则使分式一丁的值为整数的x的值有_____个.

2x4-1

10.（24-25八年级下•江苏宿迁,期中）己知分式三士，回答下列问题.

\-2x

（1）若分式的值是零，求x的值；

（2）若分式的值是正数，求x的取值范围.

11.（23-24八年级下•陕西西安•期中）分式的定义告诉我们：一般地，用力、8表示两个整式，彳+8可以

AA

表示成6的形式，如果8中含有字母，那么称有为分式.我们还知道：两数相除，同号得正，异号得负.请

BD

运用这些知识解决下列问题：

X二+1

⑴如果---->0,求x的取值范围；

X+1

（2）如果工工<0,求x的取值范围.

x-2

题型三、分式性质的应用

12.（24-25七年级下•浙江杭州•期末）下列各式从左到右的变形中，正确的是（）

XX+lx=3x-3x+2_3x+2

A.—+1=1+x2B.一.rD.

Xy歹十iN3y4y-24y-2

13.（24-25八年级下•四川眉山•期中）下列计算结果正确的是（)

-x+y.x+nimx2+y1.v63

A.——^-=-1B.-------=—C.------^—=x+yD.

x-yx+nnx+y

14.（24-25八年级下•江苏南京・期中）下列分式中，与多相等的是（）

D

a+22a2+4

A，b+2B.——c,VD.

2b2b

A

15.（22-23八年级下•江苏南京,期末）若分式:;——中的x和歹都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则

2x+y

A可能是（）

A.3x+2yB.3x+3C.2xyD.3

16.（24-25八年级下•宁夏银川•期中）把分式汉中的x和,都扩大为原来的5倍，那么分式的值（）

x-y

A.扩大为原来的5倍B.扩大为原来的10倍

C.不变D.缩小为原来的;倍

17.（24-25八年级下•河南南阳•期中）若二厂二一二，则“？”所代表的分子是

c2+lcc+7-------------

题型四、最简分式与分式的约分

18.（24-25八年级上•海南海口期中）下列分式是最简分式的是（)

m-\6n

AR盯一yRA

A.B..L・22D・—

1-m3号k+y-

19.（24-25八年级下•吉林长春•期中）下列分式中是最简分式的是（）

62aQ+1r)a+2〃

A，五B.C.

a3+\a2-\4a

20.（24-25八年级下•山西运城•期末）要将分式空三化成最简分式，应将其分子分母同时绞去的公因式

1Sxy2

为（）

A.xyB.x2yC.6x2yD.6xyz

21.（2025•湖南•中考真题）约分："=_____；

xy

22.（24-25八年级下•山西晋中•期末）若是一个最简分式，则人可以是（）

16-A

.通过查看，得知答案为三，则被污染的代数式为_____.

覆215x-y

32.（24-25八年级下•陕西咸阳・期中）试说明分式+生的值与x的取值无关.

X"+2x+lX+1

33.（24-25八年级下•陕西安康•期中）甲、乙两个工程队合修一条公路.己知甲工程队每天修（9-9.，

乙工程队每天修（x+3）?m（其中x>3）,则甲工程队修1000m所用时间是乙工程队修80（）m所用时间的多少

倍？

34.（24-25八年级下•四川眉山•期中）计算：

(1)舛+(兀-3.14)0-+(-1)2°25

<2,

题型六、分式的加减法运算

35.（24-25八年级下•江苏泰州•期中）己知％=>〃2=丁匚9=1二十.吗=丁’一，则「的取值范围为

\-a2\-an_x

（）

A.xwOB.xwlC.且xwlD.xwO且xwl

36.（24-25八年级下•河北张家口期中）如图，一个正确的运算过程被盖住了一部分，则被盖住的部分

是.

✓----------------------------、

V----'4+1。+1

、____________________________，

15x-l4

37.（24-25八年级下•江苏宿迁•期中）下列三个分式充----的最简公分母是

38.（24-25八年级下•四川宜宾•期中）若工+!=3,则空丝的值为_.

aban

39.（23-24八年级下,江苏宿迁•期中）通分:

。宣1K2

ii

(2)--r,———.

x~-y~+xy

40.(24-25八年级下•江苏无锡・期中)计算:

八、3〃？+1

⑴---+---7；

m-1m—I

2r2

(2)---r+1.

x+\

L3Ia--I

41.（2024八年级上•全国・专题练习）化简：

42.（22-23七年级上・上海黄浦•期中）已知含湍=3+己+匕是恒等式,请分别求°、”勺值.

43.（24-25八年级下•福建福州•期中）小张和小王的加油习惯不同，小张每次都说：“师傅，帮我把油箱加

满！'而小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油！”（油箱未加满）.现实生活中油价常有变动，现以

两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱.设小张和小王第•次加油油价为X

元/升，第二次加油油价为N元/升.

（1）用含孙p的代数式分别表示小张和小王两次所加油的平均单价；（结果化成最简）

小张两次所加油的平均单价：；

小王两次所加油的平均单价：.

（2）小张和小王的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由.

44.（24-25七年级下•安徽蚌埠•期中）我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小

]r+1

于分母的次数时，我们称之为“真分式”，如：---；当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称

XX~-X

之为“假分式”，如：生口，生.类比分数，我们可以将假分式写成一个整式与一个真分式的和的形式.例

xx+4

,x+2x2,2

如：----=—+—=1+—.

XXXX

请根据上述材料，解答下列问题：

⑴填空：①分式三是分式（填“真”或“假”）；

x-2

②把下列假分式化成一个整式与一个真分式的和（差）的形式：/三二;

（2）当x>2时，随着x的增大，分式巴—的值无限趋近于一个数，请写出这个数，并说明理由；

（3）洛一个两位数的十位数字的2倍放到这个两位数的最右边，得到一个三位数，若这个三位数的平方恰好

是这个两位数的整数倍，求这个两位数.

45.（23-24九年级上•湖南长沙•期中）先化简，再求值:

46.（24-25九年级下•福建泉州•期中）先化简，再求值:

题型七、分式的化简求值

47.（24-25八年级下•河南开封•期中）计算.

⑴-41（-2）°+3m.

⑵先化简，再求值：7y片+1,其中x=2.

\x-l7Jx~-\

（1Ax-2

48.（24-25八年级下•江苏南京•期中）先化简，再求值：1―;卜一「，选择一个你喜欢且不大于3的

Ix-\）x-\

.正整数作为X的值代入求值.

49.（24-25八年级下•河南周口•期中）先化简，再求值：fx-2--,其中工=。?|一乃。.

5（）.（24-25八年级下•四川成都•期中）先化简（X+I-RL\,再从-1,0,1中选择一个恰当的

数代入求值.

51.（23-24八年级上•广西桂林•期中）先化简"二6"9,然后从—④＜工＜石的范围内选取一

个合适的正整数作为X的值代入求值.

题型八、分式加减法的应用

52.（23-24八年级上•湖北武汉•斯末）绿化队原来用漫灌方式浇绿地，。天用水，〃吨，现改用喷灌方式，可

使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水吨数是（）

mm一tnm-mm_mm

A.-------------B.-------------C.-------------D.-------------

a〃+3Q+3aaa-3a-3a

53.（24-25八年级下•广东佛山•期中）列式计算:

（1）当把甲、乙两种饮料按质量比三:V混合在一起，可以调制成一种混合饮料.调制10kg这种混合饮料需

kg甲种饮料？

（2）小敏用电脑打字的速度相当于手写速度的4倍，设她手写速度为。字/h,那么她用电脑打3000字比手抄

少花多长时间？

（3）甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修（，/-4）米，乙工程队每天修（a-2f米（其中

。＞2）,则甲工程队修900米所用时间是乙工程队修600米所用时间的多少倍？

54.（24-25八年级上•福建莆田•期末）某物流公司自主研发智能配送机器狗，将在一楼仓库和二楼分拣中心

执行配送任务.如图，公司东侧设置单向上行电动扶梯，西侧设置单向下行电动扶梯，电动扶梯的长度均

为sm,其运行速度均为vm/s（v＜0.4）当扶梯静止时，机器狗上行、下行的速度分别为0.4m/s,0.6ruls.规

定：①工作期间电动扶梯始终处于运行状态：②机器狗只可选择•侧的扶梯，并在•楼和二楼间进行•次

往返，视为完成一次配送任务.

下行扶梯上行扶梯

西W东

（1）假如机器狗选择西侧扶梯运行时完成一次配送任务，求所需时间；（用含S,V的代数式表示）

（2）请你判断一楼仓库设置在公司哪一侧，使得机器狗的配送效率更高？并说明理由.

55.（24-25八年级下江苏淮安期中）某工程队接到24丁米的道路施工任务后，列出如下两种施工方案:

方案计划12千米按每天施工。千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，预计完成施工任务所

A需的时间为“天.

方案设完成施工任务所需的时间为打天，其中一半时间每天完成施工。千米，另一半时间每天完成施工

Bb千米.

备注力、8两种方案中的a,b均为正整数，且

⑴按方案力施工需要的天数，［=;按方案8施工需要的天数4=；（用含。、6的式子来表示）

（2）若要尽快完成施工任务，该工程队应选择上述哪种方案？请说明你的理由.

56.（24-25八年级下•辽宁辽阳•期中）数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水

实验''也能验证些数学结论.

（I）糖水实验

现有〃克糖水，其中含有。克糖（b>a>0）,则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为g加入〃

b

克水，则糖水的浓度为生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡.由此可以写出一个不等式，

我们趣称为“糖水不等式

（2）糖水实验二：

将“糖水实验一”中的“加入〃?克水”改为“加入“克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式

（3）请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设。、〃、。是三边的长，求证：+-^-<2

a+ba+cb+c

57.（23-24八年级下•辽宁本溪•期中）【生活观察】甲、乙两人买菜，甲习惯买一定质量的菜，乙习惯买一

定金额的菜，两人每次买菜的单价相同，例如：

菜价3元/千克

第一次

质量金额

甲2「克6元

乙2千克6元

菜价2元/千克

第二次

质量金额

甲2千克元

乙______千克6元

（1）完成上表;

（2）计算甲两次买菜的均价和乙两次买菜的均价.（均价=总金额+总质量）

（3）数学思考：设甲每次买质量为2千克的菜，乙每次买金额为6元的菜，两次的单价分别是。元/千克、b

元/千克，用含有力的式子，分别表示出甲、乙两次买菜的均价高、工,并比较高、“的大小.

菜价2元/千克

质量金额

甲2千克2元

乙3千克6元

58.（23-24八年级下•山东潍坊•期中）（阅读理解）

我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而比较两个数或代数式的大小一般

要进行转化，其中“作差法''就是常用的方法之一.其依据是不等式（或等式）的性质：若则

x*；若x-y=O,贝”=y；若x-yvO,则-«九

例：已知M=N=ab-b',其中。工人，求证：M>N.

222

证明：\f-N=a-ab-ab+b=ia-b）f

因为方，所以（a-，）？>0,故M>N.

【新知理解】

（1）比较大小：2x-2P（填,，，“=，，,”<，，）

【问题解决】

(2)甲、乙两个平行四边形，其底和高如图所示(。＞0),其面积分别为»邑，请比较£，邑的大小关系.

甲乙

【拓展应用】

(3)小亮和小莹同去一家水果店购买苹果，两人均购买了两次，两次购买苹果的单价不同，两人的购货方

式也不同.小亮每次购买1千克，小莹每次花10元钱购买.设两人第一次购买苹果的单价均为加元/千克,

第二次购买苹果的单价均为〃元/千克(利，〃是正数，且〃?工〃)，试分析小莹和小亮谁的购货方式更合算？

59.(2024七年级下•浙江・专题练习)阅读材料:

在处理分数和分式的问题时，我们采用分离常数法，此法在处理分式或整除问题时颇为有效.将分式分离

常数可类比假分数变形带分数的方法进行，

如：/―2X+3「(X—1)T+3=X+_(X-l)+2=_］+J_,这样，分式就拆分成了一个分式二与一个

x-\x-\x-1x-\X-\

整式x・1的和的形式.根据以上阅读材料，解答问题：

(1)瘠下列分式化为一个整式和一个分式(此分式的分子为整数)的形式：

①与②

x+4x-2

(2)利用分离常数法，求分式专2的最大值.

厂+1

(3)已知：2=x+2,设y=2-若X，y均为非零整数，求中的值.

x+2P12

60.(24-25八年级上•山东青岛期中)【提出问题】

已知〃?＞〃＞(),a＞0,分式己的分子、分母都加上。后，所得分式4二%的值与4相比是增大了还是减小

min+am

了？

【观察发现】

观察下列式子：9＜汽弓＜?彳，彳＜泊，彳＜2，-对于真分数彳，当分子、分母同时加上同一个大于

33+133+233+333+43

0的数。时，所得分数的值变大，即］

【探究验证】

(1)对于］＜等，我们可以用"作差法''进行证明：

33+。

22+a2(3+a)-3(2+。)—a

3-3+^=3(3+«)=3(3+4)，

-a<(),3(3+“)>O.

-a<0,Bp2_2+a

<0.

3(3+。)33+a

22+a

-<----

33+a

（2）由（1）我们可猜想a与*的大小关系是：-_____—,请你用“作差法”证明你的结论;

mm+amm+a

【拓展思考】

（3）若〃>m>0,。>0时，（2）中的不等式是否依然成立？若不成立，请写出正确的式子；

【方法应用】

（4）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为看、匕，水流速度为

Voh>v2>vo>0）,两船同向航行1小时后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为人、请比较L，，2

的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由.

61.（24-25八年级下•江苏盐城•期中）根据以下素材，探索完成任务.

老师:比较力+1与2。的大小.

小明：本题的两个整式比较大小可采用“作差法解答如下

素•.•/+1-2。=（"1）2之0,

材

*,,+122a•

1老师：分式的大小比较能用"作差法''吗？如1：

右a>b>0,〃?>0,M,N,试比较M与N的大小.

hb+m

甲、乙两人买大米，甲习惯买一定质量的大米，乙习惯买一定金额的大米，两人每次买大米

的品种、单价均相同，例如：

第一次

素

大米单价6元/千克

材

质量

2金额

甲10千克60元

乙10千克60元

第二次

大米单价4元/千克

质量金额

甲10千克▲元

乙▲千克60%

设甲每次买质量为加千克的大米，乙每次买金额为〃元的大米，两人每次买大米的单价相

材

同，两次的单价分别是。元/千克、8元/千克

素

生活中，无论油价如何变化，有人习惯按相同金额给汽车加油，有人习惯按相同油量给汽

材

车加油.

4

任

务解答素材1中老师提出的第二个问题：

1

任

务求出素材2中甲、乙两人两次买大米的均价分别为一元/千克、______元/千克；

2

任

根据素材3,若你平时也有甲、乙两人买大米的习惯，你准备选择甲、乙两

务确定方案

人中哪一种购买方案，并说明理由；

3

任

结合任务3的计算结果，建议有素材4中习惯的人按相同____加油更合算（填

务问题解决

“金额”或"油量

4

62.（24-25八年级上•辽宁大连期末）【类比学习】

在数学的奇妙世界里，分式与分数有着紧密的联系，就像我们从分数的基本性质类比出分式的基本性质一

样，分数的大小比较的方法也能给分式的大小比较带来启发.我们知道在分数中，当分子和分母都大于0

时,有：

1.当分子相同时，分母越小，分数的值越大.如3]<[3;

2.当分母相同时，分子越大，分数的值越大.如,＜去

3.当分子、分母都不相同时，一般来说，分子越大且分母越小，分数的值越大.

7

例如：从3、5、7中选两个数组成分数，w是最大的，它的分子是所选数字中的最大数，分母是所选数字

中的最小数.

【问题呈现】

小明和小强一起做分式的游戏，他们各自有三张牌，如下图所示.小明的牌分别是x+1、x+3、X+5,小

强的牌分别是“-1、x-3、x-5.他们各自选两张牌组成分式，并且约定工是大于5的正整数，然后比较

他们组成的分式值的大小，值大者胜.

小明

（1）小明组成的分式中值最大的分式是

小强组成的分式中值最大的分式是一

（2）小强思考了•下说：“虽然我是三张带减号的牌，但最终我•定是胜者”，小强说的有道理吗？请你通过

计算加以证明.

综合攻坚•能力跃升

63.（24-25九年级下•江苏镇江•期中）定义：如果两个实数〃?，〃满足2•+■!■二:，则称机，〃为一对“互助

mn2

数”.已知a,6为实数，且。―人是一对“互助数”.若f=p-3,则p的值可以为（）

159

A.—B.26C.-D.3

22

64.（24-25八年级上•河北邯单上开学考试）根据分式的性质，可以将分式八='一,2〃?+1（〃?为整数）进行

如下变形：M=m'~^m+l=—=（m+l）~2=1-——,其中〃?为整数.

结论I：依据变形结果可知，M的值可以为0；

结论n：若使”的值为整数，则”的值有3个.

A.I和II都对B.I和n都不对C.I不对II对D.I对n不对

65.（24-25八年级下•重庆•期中）已知分式M满足下列表格中的信息:

X的取值0123

分式的取值・.・无意义0・.・

则分式M有可能是（）.

x+\x-\八x-2x-3

A.——B.——C.——D.——

x-\x-2x-lx

66.（24-25八年级下.•河南驻马店期中）当x=2时，分式」：无意义，则一次函数y=米+1的图象不经过

x+k

第象限.

67.（24-25八年级下•重庆•期中）一个三位数若它的各个数位上的数字均不为0,且满足百位数字的

平方等于十位数字与个位数字之积的A倍（々为整数），则称"为“攵百数”，例如：三位数629,

••・6；=2x2x9,二629为“2百数”；将M去掉个位数字剩余的两位数记为,去掉百位数字剩余的两位数

记为,规定F（M）=此+%+4,则最小的“5百数”为：若一个“女百数”N的十位数字是2,且尸（N）

能被8整除，则满足条件的所有N的和为.

68.（2023•广东广州•中考真题）已知。＞3,代数式：/=2/-8,B=3a、6a,C=a3-4a2+4a.

⑴因式分解4

（2）在4B,C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式.

69.（24-25七年级下•浙江台州•期末）我们定义两种运算“㊉”和“0”,对于任意两个数。有，通力=。2+/，

aQb=2ab.

（1）因式分解：（。㊉9―（aO〃）=；

/小在a㊉81-4X3tz2-lab+3b1

（2）^——=1,求一；----------的值：

aOba2+ab+b2

⑶若（。㊉匕）。2=”㊉。。2）,求。，〃之间满足的数量关系.

70.（24-25八年级上•云南昆明・期末）著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变

换它的结构，宜到发现有价俏的东西，这是数学解题的一个重要原则

【阅读材料】类比分数学习分式

在分子式中，对于只含有一个字母的分

在分数中，分子比分母小的数叫做式，当分子次数小于分母的次数时，

“真分数”：分子比分母大，或者类比

我们称之为“真分式”.当分子的次数

分子与分母同样大的分数，叫做

大于或等于分母的次数时，我们称之

“假分数”.

为“假分式”.

假分数［■可以化成1+年

假分式也可以化为带分式的形式.

类比.

(广5)+33

（即带分数的形式.如:

x-5x-5

我们将分式拆分成一个整式与一个真分式的和（差）的形式，称为分离常数法，此法在处理分式的整除问题

时颇为有效.

通过阅读上述材料，解决下列问题:

3

(1)分式2是（填“真分式”或“假分式

x

（2）假分式史瑞化为带分式的形式为；

x+2024

（3）如果分式工^的值为正整数，求满足条件的整数x的值.

x+l

71.（24-25八年级下•江苏连云港,期中）某数学兴趣小组探究了分式的值与字母取值的变化关系，请你帮助

完成相关问题:

（1）①当x=2,y-1时，分式；一）［的值为.

x+y

②当x=4,y=2时,分式号的值对

（2）当分式电其中x,y的取值都扩大为原来的左倍时，分式的值如何变化？为什么？

x-y

（3）若分式孕;中x,y的取值都扩大为原来的k倍，分式的值将变为原来的多少倍？为什么?

*-y

72.（24-25八年级下•江苏无锡•期中）阅读理解

材料1：小学时常常会遇到将一个假分数写成带分数的问题，在这个过程中，先计算分子中包含几个分母,

求出整数部分