对数与对数函数（解析版）-高中数学必修第一册题型考点突破

对数与对数函数

【知识点总结】

1、对数式的运算

（1）对数的定义：一般地，如果，=N（〃＞0且〃工1）,那么数上叫做以〃为底N的对

数，记作％=log“N,读作以。为底N的对数，其中。叫做对数的底数，N叫做真数.

（2）常见对数:

①一般对数：以〃（〃＞。且。工1）为底，记为log：,读作以。为底N的对数；

②常用对数：以10为底，记为IgN：

③自然对数：以e为底，记为InN；

（3）对数的性质和运算法则：

①log：=0；log：=1：其中。＞0且4工1;

②。"二N（其中且"Hl,N＞0）；

③对数换底公式：1照加=曾肥；

log"/

④log”（MN）=log”M+log“N：

M

⑤log4—=log“"Tog"N；

⑥logbn=—logb（m,〃wR）；

mn

⑦小J〃和logj=b；

⑧=；

log/

2、对数函数的定义及图像

（1）对数函数的定义：函数），=1型/（。＞。且。工1）叫做对数函数.

值域：R

过定点（1，。），即尸1时，尸。

在（0,+8）上增函数在（0,+8）上是减函数

当Ovxvl时，yv（）,当xNl时，当Ovxvl时，）＞0,当1之1时，＞'＜0

y＞0

3、反函数的定义

设A,8分别为函数y=/（x）的定义域和值域，如果由函数y=/（x）所解得的x=*（y）也

是一个函数（即对任意的一个ye4,都有唯一的xwA与之对应），那么就称函数x=o（y）是

函数y=/@）的反函数，记作工=,尸。，），在工=,尸（丁）中，）'是自变量，工是V的函数，习

惯上改写成y=L（x）*e4,）*A）的形式.函数工=广（），）（丁€4,xeA）与函数

y=f\.x）（xeB,）*A）为同一函数，因为自变量的取值范围即定义域都是8,对应法则都

为尸.

由定义可以看出，函数y=/。）的定义域4正好是它的反函数），=/T（x）的值域；函数

y=/（x）的值域A正好是它的反函数尸尸"）的定义域.

【解题技巧】

h，

1、log“。10gz,a=1,logb'=—log“b•

"m

2、如图给出4个对数函数的图象

升一^=log/

..................

［一产logx

1=logH

则匕＞。＞1＞〃＞。＞0,即在第一象限，不同的对数函数图象从左到右底数逐渐增大.

3、对数函数y=log/（a＞0且々力1）的图象恒过点（1,0）,（/1）,（：,—1.

4、反函数的性质

①互为反函数的两个函数的图象关于直线y=”对称.

②若函数），=/。）图象上有一点（。，。），则9,。）必在其反函数图象上；反之，若S，«）

在反函数图象上，则（〃，仍必在原函数图象上.

题型一：对数运算

例1.（2023・河南•校联考模拟预测）若lgx=21g），，lg（-r+y）=lgy-lg-r,则产+^三

【答案】1

【解析】因为lgx=21g)，，lg(x+y)=lgy-lgx,所以产丁，X+y=[*>(),y>0),

则V+y=T，所以)户+)'=1.

故答案为：1

例2.(2023•四川凉山•三模)若冰84=1,则2>+4-*=.

【答案】

【解析】由题意可得：1=丁二=log43,故2乂+4-'=2*3+4-啕3=2啕4+4%；=G+L

1%43

故答案为：g+G

3

例3.(2023・天津南开•统考二模)i|-Wlog332.log49-log2-+log26.

【答案】8

2

【解析】原式=log32'•>og2：3-log2：+log,6=51og,21og23-log,^+log26

36

=5-log2-+log,6=5+log2j=5+log28=8

4

故答案为：8.

变式1.(2023・河南•校联考模拟预测)若l+lgx-lgy=lg)，。则$=

x

【答案】10

【解析】因为1+lgx-lgy=lg)l,

所以1g10+lgx=lgy2+1gy,

所以lg(10"=lgy3a>0,y>0),

则l()x=y\

所以其=10.

X

故答案为：10.

4

变式2.（2023•全国•高三专题练习）若且41og/+31og,,a=8,则的最小

—1

值为.

【答案】5

【解析】因为41og芯+31og/=8,所以41og.力+3记已=8,解得1。8,力=?或g，

因为所以°<k）2“bvl,则loga=；,即/=心，

444r-

因为所以〃一1>0,——=4+------=a-\+-------+1224+1=5,

h--\a-\a-\

4

当且仅当1=，7,即4=3时，等号成立.

a-\

故答案为：5.

变式3.（2023・全国•高三专题练习）若10gbi2=a,14〃=5，用a,b表示log、,28=

1+“

【答案】

I+b-a

【解析】因为⑷=5,所以〃=1。&45,

I%28_1叫14+1啷2_I+“

log”28=

10gl435logl414+log145-logl42\+h-a

1

故答案为:+a

\-\-b-a

变式4.（2023・全国•高三专题练习）若3"=6,〃=唾26,则■!■+，=______________.

ab

【答案】1

【解析】因为3"=6,所以〃=1%6

所以，+；=，^+—"7=陶3+1%2=10866=1.

ablog36log,6

故答案为：1

【方法总结】

解决对数运算问题的常用方法

（1）将真数化为底数的指数哥的形式进行化简.

（2）将同底对数的和、差、倍合并.

（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、

逆用及变形应用.

题型二：对数函数的定义及图像

例4.（2023・全国,高三专题练习）写出一个具有性质①②③的函数〃力=.

①/W的定义域为（0,+oc）；

②/（x%）=/（%）+/（&）；

③当xe（O,+8）时，/f（x）＞0.

【答案】Iog3x（答案不唯一）

【解析】由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，/（x）在定义域上是增函数,

故〃X）=lOg3X符合题意，

故答案为：log31（答案不唯一）.

例5.（2023・全国•高三专题练习）若函数），=/（力的反函数尸（"=1.“'（。＞°，1工1）图像

经过点色?，则/（一；）的值为.

【答案】

【解析】本题首先可根据过点卜?）求出〃=4,然后根据两函数互为反函数得出/（工）=41

最后代入x=即可得出结果.因为函数广1（刈=1/“工（。＞0，。工1）图像经过点（8,1）,

3

1

所以5=log08,解得〃=4,/（x）=log4x,

因为函数y=/（x）与函数广।（x）=log”3互为反函数，

所以y=/（x）=4"=

故答案为：

例6.（2023•全国•高三专题练习）已知1鸣。+1隼2b=0（«＞0且〃＞0且。工1）,则

函数/（x）=（-Y与g（"=log/,x的图像可能是（）

a

【答案】B

【解析】log2fl+log2d=0,即为log2a6=0,即有必=1；

当时，OV〃V1,

函数/"）=（与与g（x）=log〃x均为减函数，四个图像均不满足,

a

当OVaVl时,〃>1,

函数数/（X）=（卜与g（力=log//均为增函数，排除ACD,

在同一坐标系中的图像只能是B,

故选：B.

变式5.（2023・全国•高三专题练习）己知函数〃x）=lo9（x-b）（。〉（）且。工1）的图像如

图所示，则以下说法正确的是（）

C.o<t/<lD.嗓船＞0

【答案】c

【解析】由图象可知/（同在定义域内单调递增，所以。＞1,

令〃力=1砥（x-b）=0,即X="1,所以函数/（力的零点为〃+1,结合函数图象可知

（）＜/?+!＜!,所以一lv〃＜0,

因此a+/）＞0,故A错误：

—ci＜（ib＜0»又因为4＞1,所以-1,因此a力＜—1不一定成立，故B错误；

因为即Lv/vi,且所以0＜犬＜1,故C正确；

aa

因为0＜网＜1,所以log』U＜log",即睡附＜0,故D错误，

故选：C.

变式6.（2023・安徽安庆•校联考模拟预测）已知函数/（耳=10氏（⑪+与缶＞0,/＞0）恒过定

点(2,0),则2+之的最小值为().

ab

A.2>/2+1B.2>/2C.3D.&+2

【答案】A

【解析】由题意可知2a+b=l,

....ib\b2a+bb2a...lb2a._pr,

贝!J-+-=-4---------=-+—+122J-•—+1=2,2+1,

abababNab

当且仅当〃=立正，b=1时，

2

”的最小值为2及+1，

ab

故选:A.

变式7.(2023•全国•高三专题练习)已知函数)，=logj-l(a>0且a"),则该函数图象恒过

定点()

A.(0,-1)B.(1,-1)C.(U)D.(1,0)

【答案】B

【解析】因为函数y=经过定点a,。)，

所以函数)，且"D的图象经过定点(卜1).

故选：B

变式8.(2023•黑龙江哈尔滨•高三哈尔滨市第十三中学校校考开学考试)已知函数

/(.v)=|lnx|.若Ovav乩且/9)=/(〃)，则。+4〃的取值范围是()

A.(4,+oo)B.[4,+co)C.(5,-boo)D.[5,+oc)

【答案】C

【解析】由/(〃)=/(〃)得IIn。Rin勿.根据函数Elnxl的图象及0<〃</九

得一lna=ln〃，()<a<\<b,所以'=/"

a

所以⑴=5.故a+4b>5,

故选：C.

变式9.(2023・湖南株洲•高三株洲二中校考阶段练习)已知函数〃耳=|1切，f(a)=f(b),

a<b,则a+20236的取值范围是()

A.[2x/2023,+o))B.(2023,位)C.(2024,”)D.(0,+“)

【答案】C

【解析】由题知0<"用旭4=旭耳,显然馆"皿，

则Tga=Igb,即lg(ab)=0,

则而=1,则〃=一,•.•a<。，BP«<—,解得Ovavl,

aa

a+2023A=〃+丝2023>设y=a+2*0^23,0<avl,

aa

令。=2吗023，解得〃=血i___直_，

a

根据对勾函数的图象与性质可知函数）=4+3在（0,1）上单调递减，

a

故其值域为（2024,—）.

故选：C.

【方法总结】

研究和讨论题中所涉及的函数图像是解决有关函数问题最重要的思路和方法.图像问题

是数形结合.它为研究函数问题提供了思维方向.

题型三：对数方程、对数不等式

例7.（2023・上海•上海市七宝中学校考模拟预测）不等式log?工<3的解集是.

【答案】（0,8）

【解析】因为函数y=log?x在（0,y）上为增函数，由Iog2”<3=log28可得0<x<8.

因此，不等式晚2工<3的解集为（0,8）.

故答案为：（0,8）.

例8.（2023・上海徐汇・位育中学校考模拟预测）方程怆（-2刈=怆（3-丁）的解集为.

【答案】{x|x=—l}

【解析】因为联―2幻=楣（3-/）,

-2x=3-x2

则<-2x>0,解得尸-1,

3-x2>0

所以方程1g（-2幻=馆（3-巧的解集为{x|x=-l}.

故答案为：{x|x=-l}

2，r<0

例9.（2023・陕西咸阳•校考一模）已知函数/.（刈=九11；］；>0,则不等式〃刈<1的解集为

【答案】（y，o）U（（e）

【解析】当时，/（A）=2V<1=2°,解得X<0,

当x＞0时，/（x）=|lnA|＜1,即一Ivlnxvl,解得，vxve,

e

综上，不等式/（x）＜l的解集为（-8,0）U（（e）.

故答案为：（f,o）U（%e：

变式10.（2023•上海•高三校联考阶段练习）不等式取@-1）＜1的解集为

【答案】（1/1）

【解析】电（工-1）＜1=1虱］-1）＜怆10=＞0＜4-1＜10=＞1＜工＜11,

所以原不等式的解集为（U1）.

故答案为：（111）

变式11.（2023•上海杨浦・统考一模）方程log//-叙-5）=log3（x+l）的解是x=

【答案】6

X*2-*454X-5＞0

【解析】由108312-41-5）=1083（1+1）得：—+1＞。,

x2-4x-5=x+l

（x+l）（.r-5）＞0

即＜x＞-1,解得：A=6.

-5X-6=（X4-1）（X-6）=0

故答案为：6.

变式12.（2023・上海•高三专题练习）方程1%（4'-=-3）的解为x=

【答案】2

xx

［解析】依题意lo&（4-ll）-l=log5（l-3）,

盛仔三=log5（2'-3）,

4*-11

---=2A-3>0,

5

（2V）2-5-2V+4=0,

（2x-l）（2x-4）=0,

即2』或2'=4,

解得JV=O或X=2,

当x=0时，2'-3=-2<0,不符合题意，舍去.

所以x=2.

故答案为：2

71

变式13.(2023♦全国•高三专题练习)方程*+£=31的实数解为________.

3-13

【答案】."log*

【解析】令f=3"则二+!=>，

z-133

即(1-1-=9=*/=4,/=一2舍去，BPx=log,4,

故答案为：x=logi4

【方法总结】

对数的有关运算问题要注意公式的顺用、逆用、变形用等.对数方程或对数不等式问题

是要将其化为同底，利用对数单调性去掉对数符号，转化为不含对数的问题，但这里必须注

意对数的真数为正.

题型四：对数函数的性质(定义域、单调性、最值(值域))

例10.(2023・全国•高三专题练习)己知函数〃x)=lgF，则函数g(x)=/(x—1)+伍二T

的定义域是()

A.{小>2或x<0}B.-x\-<x<2-

C.{.x>2}D.«小弓.

【答案】B

【解析】要使/(x)=lg?有意义，则手>0，

1+X1+X

即(1一力(l+x)>0,解得-1VXC1,所以函数f(x)的定义域为(T1),

要使gW=/(x-l)+岳二i有意义，则［］：：：；，解得

所以函数g(“的定义域为卜|；“<2

故选：B

例11.(2023・全国•高二专题练习)函数f(4=Jlogzd-X)的定义域是()

A.(-co,l)B.(0,-KO)C.(0,1)D.(-oo,0]

【答案】D

1-x>0fl-x>0

【解析】由《〃、、八，得।『，解得xWO,

log2(l-A：)>0[1-xNl

所以函数的定义域为(F，。].

故选：D.

例12.(2023,全国•高三专题练习)若函数/(x)=feJlnx的最小值为机，则函数

g(x)=/ecz-inx的最小值为()

A.m-\B.e〃z+lC.m+iD.e/w-1

【答案】C

【解析】若xe(0,4<o),则exe(0,+oo),

因为/(ex)=(ex)2e。-ln(ex)=x2eex+2-lnx-l,

所以g(x)=feeA2-mx=f(ex)+l,

因为函数/(x)的最小值为小，所以函数/(ex)的最小值也为小，

所以必需=/(。)而„=加+1.

故选：C.

2八

变式14.(2023・全国•高三专题练习)已知函数/(")=•：(；：；三。，若了(%)的最小值为T，

贝I」。=()

A.-IB.2C.1D.-2

【答案】B

【解析】因为当xNO时，y=ln(x+l)NO,/(力的最小值为T,

所以函数)，=/+or在(y,0)上取最小值-1,

解得。=2.

故选：B

(1-<?)x+14«,；：；；的值域为R，则实

变式15.(2023・全国•高三专题练习)已知函数)=

数。的取值范围是（）

「、「、、

A.（Fl）B,匕9，+引C,卜9»・卜,9

【答案】C

【解析】Vx>10,lgx>lg10,又函数y=<（的值域为R,

lgx,x>10

1-a>0,「9、

则[10（j）+14aNlgO解得。十川.

故选：C.

变式16.（2023•全国•高三专题练习）函数/（力=怆（4'-2向+11）的最小值是（）.

A.10B.1C.11D.lgII

【答案】B

（解析】设/=4r一2旧十11,则y=lg/,

因为/=4*-2*11=（212-22+11=（2，-1『+10210,

所以），=怆壮怆1（）=1,所以/（"=怆（4'-2川+11）的最小值为1,

故选：B

变式17.（2023・全国♦高三专题练习）已知函数/（x）=bg式/―]）,双力=4「2叫。,对于

任意不仁[0,十8）,存在<2£[-1,2]有/（苔）三8®），则实数。的取值范围是（）

A.（-<0,1]B.（―<x>,0）C.（-<o,—2]D.（—co,—8）

【答案】A

【解析】对于任意X£]&,+<»）,存在为e[T2]有/（.气）2g但）[一（内）心-[屋勺）].，

x,e[V2,+oo）,x,e[-l,2].

由+s）,函数/（x）=log2（f-1）,可得"（刈.=0.

•・・g（x）=4-2rH+外XG[-1,2],

令剜4）,

设〃（/）=『-2/+。，

则咐焉=硝）=-1+%

故选：A.

变式18.（2023•全国•高三专题练习）函数“力=1。821/+2夜）的值域为（）

33

A.（-co,-）B.（-co,-]

22

C.（7-,-Ko）D.[―

22

【答案】B

【解析】由于OC-W+2&W2近,且），=臃2”在（。，+的上递增，

r-33

2

log22V2=log,2=-,

所以/（X）的值域为（-8,g.

故选：B

变式19.（2023・全国•高三专题练习）已知/。）=2+1%工，工叩⑼，则丁=[/（切2+/（巧

的值域为（）

A.[6,23]B.[6,13]C.[4,11]D.[4,20]

【答案】B

【解析】因为/。）=2+183儿XG[1,9],

所以二口3丁+/，）的定义域为11献9'

解得1瓢3,所以该函数的定义域为[1,3]；

所以阚ogjX1，

22222

所以>=[/（X）]+/（X）=（2+log,x）+（2+log3x）=（Iog3x+3）-3

/=log3x（（^ij1）,所以），=（1+3）2一3（怎1,1）,

当，=0时，y=6,当」=1时,y=13,

所以6缴13；

所以函数）'的值域是[6,13].

故选：B.

变式20.（2023・全国•高三专题练习）若函数〃力=『呼的值域为[T-8）,

[—+2x,0KxK3

则。的取值范围是()

A.[-e\0)B.C.-e\-^D.

【答案】C

【解析】当0WxW3时，/(x)=-V+2x=—*—i)2+ie[_3,l]

当时，f(x)=-in(-v)e[-ln(-6/),-Ko)

要使/(x)的值域为[-3,十竺)

贝ij-3W-ln(-a)<1,/.-e3<a<一一

e

故选：C

变式21.（2023・全国•高三专题练习）设函数/（%）的定义域为。，若函数/'（%）满足条件：

存在［a句£。，使小）在［。，句上的值域为,则称〃x）为“倍缩函数”.若函数

/（x）=log2（2^+r）（其中年0）为“倍缩函数”，则/的取值范围是（）

A.0>—B.（0>1）C.0»~D.—,+oo^

【答案】A

【解析】由已知可得，

“X）在,，句上是增函数；

地式2。+7可

A

log2（2+/）=^

a

2“+1=2万

即一

2h+t=22

:a»〃是方程2,-2$+f=0的两个根，

设〃?=2鼻=也、则"】>0,此时方程为/=0即方程有两个不等的实根，且两根都

大于0;

（-1）2-4/>0

“9

t>0

解得：0<V，

.•・满足条件/的范围是（0，；）.

故选：A

变式22.（2023・重庆渝中高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数）'=腕」（-7-2）的单调

4

递区间为（）

A.-8,g）B.（e,-1）C.D.（2,4-00）

【答案】B

【解析】函数）'=（公一工一2）的定义域为（y>,T）=（2,田），

4

令/=/一彳_2,又）'=1°€『在定义域内为减函数，

4

故只需求函数7—2在定义域（YO,7）52,+8）上的单调递减区间，

又因为函数/=dr-2在（y,“）上单调递减，

二.y=logjf一工一2）的单调递区间为（…，一］）

4

故选：B

（3«-l）x+4«,x<1

变式23.（2023・全国•高三专题练习）若函数/'（x）=〈同…“对任意•私都有

"a一/⑺肛则实数。的取值范围是（）

修"

A.（0,1）B.0,1

C.（~A］D.

【答案】D

［解析］由/"2）一八为）<0得,/（x）在R上是减函数,

X2~X\

0<"1

则有、3〃-1<。,解得六

3a-\+4a>log"

故选：D.

变式24.（2023・全国•高三专题练习）若函数〃x）=log"卜3/+4⑪-1）有最小值，则实数。

的取值范围是（）

B.(1,73)

D.(V3,+oo)

【答案】A

【解析】依题意a«0,l）U（L*o）且+4ar-l>0,所以A=16a2-12>0,解得苧或

a<~~~»综上可得a£(V，l)u(l'+co),

令一3/+4"一1=0的根为毛、々且\<彳2，w(x)=-3r+4av-l,y=logow,

若〃w（1,—）,则y=lcg“〃在定义域上单调递增，〃（“）=-3A-21在卜J上单调递

增，在上单调递减,

IJ7

根据复合函数的单调性可知，/*）=log“

上单调递减，函数不存在最小值，故舍去;

则y=log,〃在定义域上单调递减,上单调递

增，在（彳,％）上单调递减，

21）在卜，等）上单调递减，在（看，与）

根据复合函数的单调性司.知,/(x)=logd(-3x+4av-

上单调递增,所以函数在1二丁取得最小值，所以“W

故选：A

【方法总结】

研究和讨论题中所涉及的函数性质是解决有关函数问题最重要的思路和方法.性质问题

是数形结合.它为研究函数问题提供了思维方向.

题型五：对数函数中的恒成立问题

例13.（2023・全国•高三专题练习）若关于x的不等式在工£（（），上恒成立,

则实数。的取值范围是

【答案】勺）

【解析】由题意可知只需求出9，-1。儿彳的最大值，再解不等式即可，当a>l时，xf（）时,

由指数，对数函数图像可

知，夕->1,-log“xf+%所以9、-log&x->+8,则歹一1084/工］在文上恒成立

不符，舍去：

-嗔〃在工《0,单调递增，所以9,-log/

当O<a<10寸，因为9,在单调递增,

在（。1单调递

增，即当x=；时，（9'—log“x）2=3—log,1,KiJ3-）ogtl<|,解得:则实数〃的

取值范围为4，1）.

4

故答案为：《」）

例14.（2023・全国•高三专题练习）已知函数/G）=log“（9-“）g（x）=log“（x2-ar）,若对

任意引以12,存在W以3,4］使得/（西号屋/）恒成立，则实数”的取值范围为

【答案】（04）U（L3）

【解析】根据题意可得只需/6）.&之8（髭）2即可，由题可知〃为对数底数且

9-/>0=0<a<I或1<。<3.当0<〃<1时，此时/*），g（x）在各自定义域内都有意义，由

及合函数单调性可知八幻在［L2］上单调递减，g*）在［3,4］上单调递减，所以

/a）min=〃2）=l°g，，（9TJ），g（x2）m=g（4）=k）ga（16-4a），所以

222

loga（9-a）^logfl（16-4a）=>9-a^16-4a,B|Ja-4«+7>0,可得Ovavl；当1<。<3时，由

复合函数单调性可知"r）在［1,2］上单调递减，g（x）在［3,4］上单调递增，所以

/（司工加=〃2）=嘀（9-&，？（工2）』=8闭=噫（9-3。），所以

22

logd（9-（/）>logH（9-3a）=>9-a>9-3a,即，『一？〃"。，可得lva<3.综上：«G（0,l）kJ（l,3）.

故答案为:（O,1）U（L3）.

例6（2。23・全国•高三专题练习）已知函数/⑺寸小+力一。—,若关于、的不等式

f（x）K奴+。-g在/?上恒成立，则实数〃的取值范围是.

［答案］/

【解析】画出函数的图像，如图所示:

关于x的不等式+在R上恒成立，等价于函数），=/。）的图像恒在直线

y=or+a的图像的下方，

又直线y=ax+a-4恒过定点

当直线与y=ln（x+l）,x＞。相切时，设切点。（及』【】（%+1））,

求导炉二々，可得1「心。+1）+1

X+题+1』+1

解得：则直线斜率为即q—eW

人0c・cu-C

当直线与丁=-/-2工一2,上40相切时，此时由ax+a—3=―/一2工一2

整理得：x2+（a+2）x+a^=0,

2

令A=（4+2）2-4C.6=0,解得a=&或a=-0（舍去）

所以由图像可知，实数。的取值范围是cTwaw

故答案为：」昊4K无

变式25.（2023・全国•高三专题练习）若不等式V-log/vO在（0《）内恒成立，则。的取值

范围是（）

^-<a<\

A.B.—<67<1C.0<«<—D.0<fl<—

16161616

【答案】A

【解析】当时，由%£（（）1）,可得log&x<。，则Tog“"0,

又由f>o,此时不等式/-108,修<0不成立，不合题意；

当0<a<1时，函数y=logaX在（0,；）上单调递减，

此时函数y=-log”X在（0,；）上单调递增，

乂由y=Y在（0,1）上单道递增，

要使得不等式/-1，〃工<。在（0，）内恒成立，

可得（!）2-log，K0,解得二<〃<1.

2216

故选：A.

【方法总结】

（1）利用数形结合思想，结合对数函数的图像求解；

（2）分离自变量与参变量，利用等价转化思想，转化为函数的最值问题.

（3）涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，借助同构思想构造函数，利用

导数探求函数单调性、最值是解决问题的关键.

题型六：对数函数的综合问题

例16.（2023•全国•高三专题练习）已知/（x）=l。g］（x2-ar+a）的值域为R,且/（x）在（_3,一l）

2

上是增函数，则实数〃的取值范围是（）

A.2WaW0B.」WaW0或。24

2

C.-2<tz<0pg«>4D.0^a<4

【答案】B

【解析】因为函数/（幻二心8^/一如+幻的值域为R,

2

所以f-at+a取得一切正数，

即方程/一依+。=0有实数解，

得△=/一4。20,解得或。之4；

又函数/“）=l°g］（/一，次+。）在（-3,-1）上是增函数，

2

所以函数1y=/-奴+a在（-3,-1）上是减函数，且f一ax+a>0在（-3,-1）上恒成立，

则，'2一,解得a2-；,

1+a+a20

综上，实数〃的取值范围为-gwaW。或a24.

故选：B

例17.（2023.全国•高三专题练习）已知实数〃的取值能使函数=的值域为

（0,+8）,实数〃的取值能使函数g（x）=log2（f-加+3）的值域为［l,+oo）,则片+从二（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】B

【解析】依题意知：y=（a-l）f—X+1的值域为R,则4=1,若函数g（x）=log2（V-/*+3）的

值域为则,=/-灰+3的最小值为2,令4x3—-=2,解得:从=4

4

a2+h2=5.

故选：B

例18.（2023•辽宁大连•大连二十四中校考模拟预测）若实数力满足4"+log.a=8“+3lcg27/?,

则（）

3〃3/?

A.a<—B.a>—C.a>D.a</?'

22

【答案】A

【解析】由题意知：a>Q,Z?>0,

2a3fe

•.,4"=2?"，8"=2M，3log^b=log3b,/.2+log3a=2+log3b,

2a3/>

2+log3a+log32=23"+log3/?+log32,BR22a+log?2a=2+log32b,

y=logzx在（0,+8）上单调递增,/.log32b<log33b,

2a3A

/.2+log32«<24-log33/?；

设/（力=2、+1唯尸，贝丫（2。）</（33，

•.•），=2、与），=陛31在（0,冲）上单调递增，\/（x）在（0,+“）上单调递增，

3b

2a<3b,即。V—.

故选：A.

变式26.(2023・广西•高三校联考阶段练习)已知函数在卜力］上单调递减，

=y=为偶函数，当xW—2,—1］时，/(x)=r—1,若，=/

b=)(ln2),c=/(log31458),则&b,c的大小关系是()

A.b<c<aB.c<b<aC.a<b<cD.a<c<b

【答案】A

【解析】因为函数y=1)为偶函数，得y=/(x)的图象关于直线4-1对称，

且/(-X-1)=/(X-1),由+1)=-/(-力得/(x+2)=-/(-x-1),

所以小+2)-1),即f(x+3)=-〃x),则〃x+6)=-f(x+3)=fa),

所以函数y=/(X)的一个周期为6,则c=/(log,1458)=/(6+log32)=/(log32),

当工目―2,—1］时，/(.r)=-x-l,又y=/(x)的图象关于直线厂-1对称，

所以〃=/—¥)=/一2+¥)=—(—2+乎)-1=1一害>0,

IAI

由/(工+1)=-/(一力得/5=0,y=/(x)的图象关于点(亍0)对称，

上单调递减，所以函数/(X)在［0,1］上单调递减,

所以〃=/。“2)</(1(吩2)=/(1(唱31458)=仁<0,

所以b<c<a.

故选：A

变式27.(2023.陕西宝鸡校考模拟预测)已知函数"x)=|log2|jM|,若函数

鼠刈=尸(刈+4(刈+北有6个不同的零点，且最小的零点为x=-l,则加+8=().

A.6B.-2C.2D.-6

【答案】B

【解析】由函数尸1吗上.的图象，经过翻折变换，可得函数)，=1唱区的图象，

再经过向右平移1个单位，可得)=1隰卜-l|=log2bx的图象，

最终经过翻折变换，可得y=|iog2|i-M|的图象，如下图：

则函数y=/（x）的图象关于直线x=l对称，

令，=/（力

因为函数廉司=/2（力+沙（力+3最小的零点为x=T,且〃-1）=1,

故当〃力=1时,方程g（x）=O有4个零点,

所以，要使函数g（x）=r（»+4（”+%有6个不同的零点，且最小的零点为1=-1,则

/（x）=0,或/（x）=l,

所以，关于/方程产+々+沙=（）的两个实数根为0」

所以，由韦达定理得"=T，〃=。，2a+b=-2

故选：B

3.1

16+/,x<一

4

变式28.（2023・江西•统考模拟预测）已知函数/*）=],若/(X)存在最大值,

logjX,A>-

彳4

则实数，的取值范围是（）

A.3-2]B.(-oo,0]c.y,o〕D.|0,+oo)

【答案】B

-1

16+1,xv—

4|

【解析】因为/（》）=1,当时/")=16'+/函数单调递增,

logi

彳4

当W时"）=叫、函数单调递减,

要使函数““存在最大值，则最大值一定是在工=；处取得,

即/("a"logj=2,此时16：+叱2，解得Y。，

24一

即实数，的取值范围是（F，。］.

故选：B

变式29.（2023•广西南宁南宁三中校考一模）若3"+Iog3a=27、310g2*,则（）

A.〃v3〃B.n>3b

C.a>b'D.a<b~

【答案】A

【解析】设/(力=3'+1隰乩>0)，则，(%)为增函数,

因为3"+log,a=27〃+31%7方=3劝+log3b,

所以/⑷—/(3〃)=3"+log3々一(3而+log，3〃)=33、log@—(3劝+log33^)=log31<(),

所以/(a)〈/(3b),所以〃<3/九所以A正确，B错误：

2

f(a)-f(b)=3"+log3〃-(3屏+log3/r)=3初+log3f+log3/r)=3劝-吸-log,b,当

1=1时,/{«)-/(/r)=24>0,此时/(4)>/(〃)，有千>从,当b=3时,

2

f(a)-f(b)=-l<0f此时/(0)</(〃)，有"〃2,所以c、D错误.

故选：A.

变式30.(2023•内蒙古赤峰•校联考三模)已知函数/3=—+1幅(4，+4),若方程/")=)

有解,则实数〃的取值范围是()

A.(-<x>,log25)B.(-co,log25]C.[2,+co)D.(F,2)

【答案】C

r

【解析】/(x)=—x+log2(4+4)=log22)+log2(4'+4)

x

=log2(2+42-')

4

=log2(2^-)

4

^log24=2(当且仅当2'=9也即x=l时取等号)

・,•22,

故选：C.

题型七：比较指数式、对数式大小

例19.（2023•北京通州・统考三模）设a=ln0.2,b=02,c=e02,则()

A.a<b<cB.a<c<b

C.c<b<aD.b<c<