二次根式（13大题型）原卷版-2024八年级数学上册（沪教版五四制）

二次根式（13大题型）

区又

单元目标聚焦•明核心

1.能熟练、准确地进行二次根式的化简、乘除、加减及混合运算，提高运算的速度和正确率。

2.在解决二次根式相关问题时，能运用类比、转化等数学思想方法，将新问题转化为己学过的问题。

3.能运用二次根式的知识解次实际生活中的问题，如测显、计算等，体会数学与生活的密叨联系。

4.能准确辨析二次根式运算中的常见错误，如忽略被开方数的取值范围、运算顺序错误等，提高对知识的理

解和掌握程度。

工区

知识图造梳理•固基础

知识点01口欠根式及其性质

知识点02二^根式的运算

题型一二次根式有意义的条件

题型二利用二^根式的性质化简

题型三最简二次根式

题型四同类二次根式

题吗二欠根确乘法

题型在二;欠根式的除法

题型七二次根式的乘除混合运算

题型八二次根式的加减运箕

题型九会母有理化

题型十三次根式的混合运算

题型十一二次根式的化简求值

题型十二陵二次根式的大小

题型十三二次根式的应用

基础巩固通关测

分层阶梯训陈

能力提融懦

教材要点精析•夯重点

知识点01二次根式及其性质

1.二次根式的概念

二次根式的定义：形如G的代数式(其中。为有理式)叫作二次根式.

2.二次根式有意义的条件

在实数范围内，负数没有平方根，所以如Q6s<o)这样的式子没有意义，右有意义的条件是代数式。

的值不小于0,即

3.二次根式的性质

性质I：(G)=a(a>0)；

性质2：y[a^=|a|：

性质3：\[ab=\fax>/b(a>0,b>0)；

性质4：器=%(a>0,b>0).

4.最简二次根式

(1)被开方数中各因式的指数都为1；

(2)被开方数不含分母.

我们把满足上述两个条件的二次根式，叫作最简二次根式.

知识点02二次根式的运算

1.同类二次根式

几个二次根式化为最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫作同类二次根式.

2.二次根式的加法和减法

1.法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合

并，合并方法为系数相加减，根式不变.

2.步骤：

①如果有括号，根据去括号法则去掉括号.

②把不是最简二次根式的二次根式进行化简.

③合并被开方数相同的二次艰式.

3.合并被开方数相同的二次根式的方法：

二次根式化成最简二次根式，如果被开方数相同则可以进行合并.合并时，只合并根式外的因式，即

系数相加减，被开方数和根指数不变.

3.二次根式的乘法和除法

二次根式相乘：4a'4b=\/ab；

二次根式相除：

4.分母有理化

1.分母有理化：把分母中的根号化去的过程称为分母有理化.

分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘同一个适当的代数式，使分母不含根号.

2.有理化因式：两个含有二次根式的非零代数式相乘如果它们的积不含有二次根式，那么就说这两个代

数式互为有理化因式。

又a

考点题型突破•拓思维

题型一二次根式有意义的条件

【例1】（24-25八年级上•上海宝山•期中）当x时，二次根式有意义.

【变式函数y=£的定义域为.

【变式1-2］（24-25八年级上•上海•阶段练习）等式第三成立的条件是

2

【变式］（八年级上•上海杨浦•阶段练习）当有意义时，的取值范围是

1-324-25\lx-yj3X

题型二利用二次根式的性质化简

【例2】（24-25八年级上•上海•期中）化简何的结果是.

【变式2・1】（23-24八年级上•上海•期末）化简：传=.

【变式2-2］（24-25八年级上•上海嘉定•期中）设〃、虫。分别是三角形三边的长，则

^（a-6-c）2+JS-c-qf-------------•

【变式4-3]（24-25八年级上•上海闵行•期中）如果最简二次根式。-折^与〃是同类二次根式，那么6的

值等于.

题型五二次根式的乘法

【例5】（24-25八年级上•上海嘉定•阶段练习）计算：/丽・瓜.

【变式5-1]（24-25八年级上•上海宝山•期中）计算：V0?75x

\12

【变式5-2]（23-24八年级上•上海青浦•期中）计算：（&+6广”.（灰-6广”=.

题型六二次根式的除法

【例6】（24-25八年级上•上海松江・期末）计算：724-73=.

【变式6-1]（24-25八年级上•上海•期中）假设长方形的面积为S,相邻两边长分别为。，b,已知S=2,

a=Vl?,则b=.

【变式6-2]（24-25八年级上•上海浦东新•期中）计算：（布+闻）+6.

题型七二次根式的乘除混合运算

【例7】（24-25八年级上•上海闵行•期中）计算：3旧+乎x旧.

【变式7-1]（24-25八年级上♦上海嘉定•期中）计算：6x《+3必.:历.

（24-25八年级上•上海崇明•期中）计算：马嘉.

【变式7-2】("0).

b

题型八二次根式的加减运算

【例8】（24-25八年级上•上海•期中）计算:

【变式8・1】（24-25八年级上•上海・期末）计算：与而+x?&6xg.

【变式8-2】（24-25八年级上•上海长宁・期末）计算：历+

题型九分母有理化

【例9】（24-25八年级上•上海•期中）写出工工的一个有理叱因式.

1

（

【变式9-1]24・25八年级上•上海•期末）化简:V3-2"—

11

【变式9-2]（24-25八年级上•上海・期中）计算

6+&y/3-l

题型十二次根式的混合运算

【例10]（24-25八年级上•上海普陀•阶段练习）计算:

1

【变式10-1】（24-25八年级上•上海闵行•阶段练习）计算:V12+V0^-3

2

【变式10-2】（24-25八年级上•上海•阶段练习）计算:+（如-3卜石+

V3-1

题型十一二次根式的化简求值

【例⑴（2口八年级上•上海浦东新・期中）先化简’后求值：荒力+事/’其中〃1，

b=2.

【变式11-1］（24-25八年级上•上海•期中）已知x=3,y=^t求

河»—+=3的但

【变式11-2］（22-23八年级上•上海虹口•期中）先化简，再求值，已知噌,y=~y==,求代数

J3+J2V3--72

Ax2-2xy+y2的值;

-\lb

【变式11-3］（24-25八年级上•上海•阶段练习）已知：a+b=3ab=1且a>匕，求的值.

4a+ylb

题型十一比较一次根式的大小

【例12］（24・25八年级上•上海・期中）比较大小:

【变式12-1］（24-25八年级.t?上海,阶段练习）比较大小力-痴2丘-不

【变式12-2］（24-25八年级上•上海长宁•阶段练习）解不等式：2&x+2>3x.

题型十三二次根式的应用

【例13】（23-24八年级上•上海黄浦・期中）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为.忽略空气阻力的

影响，高空抛物的物体所在高度力（单位：m）和下落的时间/（单位：s）近似满足自由落体公式。=gg/,

其中g=9.8m/s2,那么从50m高空抛物到落地的时间4与从200m高空抛物到落地的时间？之比44的值

为（）

A.1B.7C.—D.—

24249

【变式13-1]（24-25八年级上•上海浦东新•阶段练习）我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了

一种求三角形面积的求法——“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积.若设三角形的

三条边长分别为。、b、c,三角形的面枳为S,则工、।已知在中，

AB=8，AC=B8C=逐，那么。的面积为.

【变式13-2]（22-23八年级上•上海青浦•期中）观察下列各式及其验证过程：

验证:2。得后手摩鼻尾

（1）按照上述等式及其验证过程的基本思路，猜想4后的变形结果并进行验证;

（2）按照上述规律，直接写出用〃（〃为任意自然数，且〃22）表示的等式.

分层阶梯训练•提能力

基础巩固通关测

1.（24-25八年级上•上海浦东新期末）下列二次根式中，最简二次根式是（）

A.JfiC.126abD.&-2x+l

2.（24-25八年级上•上海•期末）下列二次根式中与百是同类二次根式是（）

A.79B.V12C.V03D.屈

7

3.（24-25八年级上•上海长宁•阶段练习）实数〃、方在数轴上的位置如图所示，师庙'-〃化简的结

果是（）

-J----1—>

0b

A.bB.~bC.-2a-bD.2a+b

4.（24-25八年级上•上海长宁•阶段练习）下列各式从左到右一定正确的是（）

A.\ja~+bz=a+bB.J（一4）•（-/））=4a-4b

C.J—a'=—ay/—aD."q?=2a

5.（24-25八年级上•上海•阶段练习）二次根式匚工有意义的条件是__________

Vx-2

6.（24-25八年级上•上海•期中）已知">0,那么病涓前可化简为.

7.（24・25八年级上•上海,期中）计算：J（3—兀）2=______.

8.（24-25八年级上•上海•阶段练习）代数式后:中，则x的取值范围是

9.（22-23八年级上•上海青浦・期中）计算：扃茄々也=.

10.（24-25八年级上•上海・期末）二次根式6-2的有理化因式可以是

（24-25八年级上•上海宝山•期中）计算：12标'+3病x

11.

2

12.（24-25八年级上•上海・期中）计算:

能力提升进阶练

1.（24-25八年级上•上海•期中）化简：y]\2x2y（x<0）=—.

2.（24-25八年级上•上海闵行期中）化简：内嬴'（〃<（））=.

3.（24-25八年级上•上海•阶段练习）已知2<〃<3,化简J（a—3）+42—/=.

4.（24・25八年级上•上海,阶段练习）已知y=j2x—1+发1—2x+2,则2x+y=.

5.（24-25八年级上•上海长宁•阶段练习）已知。=++则而=.

6.（24-25八年级上•上海•阶段练习）已知=2,则。的取值范围是一.

7.（24-25八年级上•上海阶段练习）化简：J3P、6pq+3q2（p>0,q>0）=.

8.（24-25八年级上•上海•阶段练习）若J亨1有意义，则x的取值范围是.

9.（24-25八年级上•上海长宁•阶段练习）当。时，G7有意义;若戈三有意义，则x必须满足

x-2

10.（24-25八年级上•上海闵行•期中）不等式.”1>应工的解集是.

11.（23-24八年级上•上海长宁•期中）比较大小：V5-V3_____VB-VH.（埴“<”、""或"=”）

12.（24-25八年级上•上海•阶段练习）计算：何-忌+而?_2丫-一二.

13.(24-25八年级上•上海•期中)已知实数。、力使等式(四-1)2+|6-2|=0成立，清化简代数式

a\[b-by/b,4ab+4b

—―----+1-，并求代数式的值.

7ab-b

V5-V3_V5+V3

14.(24-25八年级上•上海宝山•期中)已知:尸石W求：3/-5孙+39的值.

15.(23-24七年级下•上