高考数学二轮复习：几何体与球切、接、截的问题（讲）解析版

第一篇热点、难点突破篇

专题15几何体与球切、接、截的问题（讲）

真题体验感悟高考

1.（2021•全国•统考高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地

球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为36000km（轨道高度是指卫星到地球表面的距

离）.将地球看作是一个球心为。，半径，•为6400km的球，其上点力的纬度是指QA与赤道平面所成用的度数.地

球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为a,记卫星信号覆盖地球表面的表面积为

S=2不/（i_cosa）（单位：kn?）,则S占地球表面积的百分比约为（）

A.26%B.34%C.42%D.50%

【答案】C

【分圻】由题意结合所给的表面积公式和球的表面积公式整理计算即可求得最终结果.

【详解】由题意可得，S占地球表面积的百分比约为：

I6400

2乃/（（一cos2）=l-cosa=6400+36000〜042=外％.

"2-2~,一

故选：C.

2.（202（）•全国•统考高考真题）己知ABC为球。的球面上的三个点，为“8。的外接圆，若。的面积

为4兀，AB=BC=AC=OOit则球。的表面积为（）

A.64几B.48兀C.367rD.32兀

【答案】A

【分所】由已知可得等边△回，的外接圆半径，进而求出其边长，得出。。|的值，根据球的截面性质，求出球

的半径，即可得出结论.

【详解】设圆a半径为，球的半径为/?,依题意，

得乃产=4凡.”=2,•••△ABC为等边三角形，

由正弦定理可得AB=2rsin60°=2行,

OQ=AB=243,根据球的截面性质00、1平面ABC,

:.OOllOiA,R=OA=yj00；+06=JOO：+产=4,

•••球0的表面积S=4不及2=644.

故选：A

3.（2022•全国•统考高考真题）已知球。的半径为1,四棱锥的顶点为O,底面的四个顶点均在球。的球面上,

则当咳四棱锥的体积最大时，其高为（）

A.-B.；C.BD.也

3232

【答案】C

【分圻】方法一：先证明当四棱锥的顶点。到底面4BC。所在小圆距离一定时，底面48C。面积最大值为2/，

进而得到四棱锥体积表达式，再利用均值定理去求四棱锥体积的最大值，从而得到当该四棱锥的体积最大时其

高的值.

【详解】［方法一］:【最优解】基本不等式

设该四棱锥底面为四边形A8CD,四边形A8C。所在小圆半径为八

设四边形ABC。对角线夹角为。，

则56力=14。3。。12414。8。&12厂2r=2/

八J八火〃222

（当且仅当四边形ABCD为正方形时等号成立）

即当四棱锥的顶点。到底面ABC。所在小圆距离一定时，底面ABCD面枳最大值为2/

又设四棱锥的高为〃，则/+犷=］,

v」.2产/=近户7争〈匹卜+八2『逑

°~ABCD33V-3^3）27

当且仅当r=2h2即力邛时等号成立.

故选：C

［方法二］：统一变量+基本不等式

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为“，底面所在圆的半径为小则「=正〃，所

2

以该四棱锥的高力=/^,

（当且仅当即/=g时，等号成立）

所以龙四棱锥的体积最大时，其高力=

故选：C.

［方法三］:利用导数求最值

由题意可知，当四棱锥为正四棱锥时，其体积最大，设底面边长为。，底面所在圆的半径为人则「二①〃，所

2

以该四棱锥的高〃=j^,V=#7p32

令/=r(0<rv2),V=-/2——，设/（/）=V――,则/'（/）=2/——,

3

0<r<^,7（/）>0,单调递增，r（/）<0,单调递减，

JJ

所以当/=:时，V最大，此时人=「工=^.

故选：C.

【整为点评】方法一：思维严谨，利用基本不等式求最值，模型熟悉，是该题的最优解;

方法二：消元，实现变量统一，再利用基本不等式求最值;

方法三：消元，实现变量统一，利用导数求最值，是最值问题的常用解法，操作简便，是通性通法.

总结规律预测考向

（一）规律与预测

（1）以几何体的结构特征为基础，考查几何体的面积体积计算为主，题型基本稳定为选择题或填空题，难度

中等以下；也有几何体的面积或体积在解答题中与平行关系、垂直关系等相结合考查的情况.

（2）与立体几何相关的“数学文化”、实际问题等相结合，考查数学应用.

（3）几何体的表面积与体积是主要命题形式,有时作为解答题的一个构成部分考查几何体的表面积与体积，有

时结合面积、体积的计算考查等积变换等转化思想.几何体与球的切、接、截问题，往往是知识考查的载体.

（4）以选择题、填空题的形式考杳线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理，对命题的真假进行判断，

属于基础题.空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第（1）问，第

（2）问则考查几何体面积、体积的计算.

（二）本专题考向展示

c

当点C位于垂直于而AOB的直径端点时，三棱锥。-ABC的体枳最大，

设球。的半径为R,

23

此时%加、=%AOR=-X-X—RXR=^-R=6,

<?-rto（.C-AUri322]2

故N=24g,

则球。的体积为V=也叫=32X/3TT,

3

故选:C.

典例2.（2022秋・河南•高三信阳高中校联考期末）如图，已知长方体A8CO-A8£A的体积为16,

AB=2AAi=2BCf与人。相交于点E,则三棱锥E-ACD的外接球的表面积为（）

C.207rD.367r

【答案】C

【分析】根据已知线面关系，判断三楂锥£-AC。的外接球球心的位置并计算出求得半径，从而得外接球的表

面积即可.

【详解】解：方法一:

设A6=2AA=2BC=2x,则由长方体的体积公式，得21・XJ=16,解得x=2,

所以(48=244,=2BC=4,

由题可知，四边形AORA为正方形，所以AE_LO£，

所以△E4£）外接圆的圆心为A。的中点，记为点M,如下图:

又△48是宜角三角形，同理“IC。外接圆的圆心为AC的中点，记为点M

过点M,N分别作平面ADE与平面ZC。的垂线，两条垂线的交点为AC的中点M

所以三棱雉七-AC。的外接球的球心是4c的中点N.

又4c=2有，所以外接球半径/?=34。=石，所以外接球的表面积为4M2=20联

故选：C.

方法二：设48=244=28。=2不，则由长方体的体积公式，得2rx・x=16,解得x=2,所以忙=2石.

由题章得，四边形A。。,为止方形，所以AE_LOE，AE=DE.

如图，将三棱锥E-ACD补充为正四棱柱EAF。-骂8£C,

则三棱锥的外接球，即为正四棱柱以尸。-石/耳。的外接球，AC为外接球的直径.所以外接球的半径

R=-AC=>/5

ct

乙

所以外接球的表面积为4兀配=20兀.

故选；C.

典例3.（2022・四川资阳•统考二模）已知O是边长为3的正三角形A8C的中心，点P是平面A8C外一点，PO1

平面A8C,二面角P-A3-C的大小为60。，则三棱锥P-A8c外接球的表面积为.

【答案】:49汽

4

【分圻】根据题意分析可得二面角P-A3-C的平面角为/叨。=60。，进而可得相关长度，再结合球的性质可

得MC2=MO2+OC?2,可得球的半径，即可得结果.

【详解】:。是正三角形人8C的中心，则。4=08=0。,

・•・PA=PB=PC、

取A8的中点。，连接9,8,则PO_LA8,CO_LA8,即二面角P-AB-C的平面角为NPDC=60。，

由正三角形A8C的边长为3,则OC=2OD=5PO=|,

三棱维P-A8C为正三棱锥，则三棱锥P-A8C的外接球的球心M在直线尸。I'.,设三棱锥P-ABC的外接球

的半径为代，

rQY7

MC2=MO2+OC2,则夫2=——R+3,解得R=T，

24

,49

，三棱锥尸-由外接球的表面积S3”丁

【点睛】结论点睛：球的相关性质:

①球的截面均为圆面;

②球心与截面圆心的连线垂直于该截面.

【规律方法】

1.空间几何体的外接球是高中数学的重难点.我们可以通过对几何体的割补或寻求几何体外接球的球心两大策

略求解此类问题.

2.关键在于利用几何体的结构特征确定球的球心，利用球的截面的性质，球心和球的截面的中心连线垂直于截

面.结合相关几何鼠之间的数鼠关系可确定球心.

考向二空间几何体的内切球

【核心知识】

1.确定锥体内切球球心的方法

（1）内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.

（2）正多面体的内切球和外接球的球心重合.

（3）正棱锥的内切球和外接球的环心都在高线上，但不一定重合.

2.多面体的内切球可利用等积法求半径.

【典例分析】

典例4.（2022秋♦四川巴中•高三南江中学校考阶段练习）一个圆锥的侧面展开图是半径为1的半圆，则此圆锥的

内切球的表面积为（）

c兀一九c兀

A.兀B.-C.-D.-

234

【答案】C

【分圻】由侧面展开图的半圆弧长等于圆锥底面圆周长可构造方程求得圆锥底面半径，由此可确定圆锥轴截面

为正三角形，求得正三角形内切圆半径即为所求内切球半径，代入球的表面积公式即可得到结果.

【详解】设圆锥底面半径为〃，则2b=；x2兀xl=*解得：r=；；

圆锥的轴截面是边长为1的正三角形，

•••此正三角形内切圆的半径为，*不不=且，即圆锥内切球半径R=立，

366

1jr

・•・圆惟内切球的表面枳S=4兀店=4TTX—=-.

123

故选：C.

典例5.（2022秋・山东・高三利津县高级中学校联考阶段练习）已知三棱柱48C-A4G中，A.A1BC,

4

平面A8C1平面AAf,AC=5,若该三棱柱存在体积为§乃的内切球，则三棱锥A-ABC体积为（）

个4

A.4B.-C.2D.4

33

【答案】D

【分析】由已知条件可证得三棱锥为底面是直角三角形的直三棱柱，根据三棱柱内切球的体积可计算得三棱柱

的高，设底面直角三角形的边长，则可列关系式62="+,2,。+。-6=2即可找到岂角三角形的两边长，用体

积转爽的方法求得体积.

【详解】如图所示，

因为CC^AC,AA_LBC=GC_LBC,ACC\BC=C,所以CG，平面ABC,又因为平面人乃。1平面AAB,

平面ABCc平面A\B=AB,过点A作AE_L,则Af_L平面\BC,则AELBC,又因为8C1BB｛，所以BC1

平面AAB,/Wu平面A8用A，所以AB_Z8C.设A8=c,4C=A8C=a，则〃=/+。2,又因为三棱锥内切球

c+a—b

的体积为；4不，则；4笈二；4笈/?a3,则R=l,R=:,即C+4—匕=2,则｛+c~=r25，解得ac=12,棱柱

3332[a+c=l

的高等于内切球直径2,所以匕…C=L1T8c=gx；xl2x2=4,故三棱锥A-A8C的体积为4.

故选：D

典例6.（2022秋・广东•高三校联考阶段练习）已知圆台上底面半径为1,下底面半径为3,球与圆台的两个底面

和侧面均相切，则该圆台的侧面积与球的表面积之比为（）

A.-B.C.-D

6312-I

【答案】D

【分析】作图，找出图中的几何关系，求出母线长和球的半径即可.

上图是该几何图形的正视图，由切线长定理可知：DE=DF、CH=CF,

设圆台的上底面半径为「，卜底面半径凡母线长为/,球的半径为凡，

则有ED=r,HC=R,EH=2%,过点。作8c的垂线，垂直是G,则有CG=R-r,

：.l=CD=DF+CF=r+R=\+3=^,在RsDGC中，

OG?=（2%『=CD2-CG2=（R+r）2-（R-r）\:.R^=Rr=3,

Si,।7r（r+/?）•/乃（1+3）x44

・•・圆台的侧面积与球的表面积之S比表为4匕兀&/4：乃xV3=3'；

故选：D.

【总结提升】

空间几何体与球接、切问题的求解方法

（1）确定球心的位置，弄清球的半径（直径）与几何体的位置和数量关系.

（2）求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、

切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解.

（3）补成正方体、长方体、正四面体、正棱柱、圆柱等规则几何体.

考向三几何体与球切、接、截综合问题

【核心知识】

正四面体与球常用的结论

设正四面体的棱长为a,则

（1）正四面体的高为如〃.

3

（2）正四面体的外接球和内切球的球心均是正四面体的中心，半径分别为迈。和逅〃.

412

【典例分析】

典例7.（多选题）（2022秋•湖北•高三校联考阶段练习）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直

的四棱锥称为阳马.已知四棱锥P-A8C。为阳马，底面A8CD是边长为2的正方形，其中两条侧棱长都为3,

贝IJ（）

A.该阳马的体积为述B.该阳马的表面积为10+2石

3

C.该阳马外接球的半径为如D.该阳马内切球的半径为避二1

2

【答案】ABD

【分圻】根据相等的两条棱，求出四楂锥的高，可得其体积和表面积；然后再分析发现其外接球球心为PC中

点，内切球的大圆半径其实是的内切圆半径.

如图，不妨E4_L底面ABC。，=两两互相垂直,

4）1平面PA3,AS工平面"。，，又BCHAD,AB/iCD,

:.PB1BC、PD^CD.

由对称性：PB=PD=yJPA2+AB232=VPA2+2?,24=石,

所以=$2'2乂石=4,,A对：

S=2X2+2X4X2X6+2X,X2X3=10+26,B对；

22

△PCBqPDCmPAC都是以PC为斜边的直角三角形，所以RA及C，。都在以PC为直径的球上,

d=，2，+2?+5=厄C错:

分析易知：内切球的大圆半径其实是△Q48的内切圆半径，根据内切圆半径公式可得：

2x石币-1

,D对;

2+3+62

故选：ABD

【点睛】与球有关的组合体问题，•种是内切，•种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，

确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正力体，切点为正力体各个面的中心，正力体

的楂长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.

典例8.（2022・云南昆明,昆明一中校考模拟预测）在三棱锥P-A8C中，AB=BC=AC=g,AP=PB=PC=\,则以

点尸为球心，以名为半径的球被平面ABC截得的图像的面积为.

【答案】［乃##?

JJ

【分析】求出尸点到平面48C的距离，由勾股定理可得截面圆半经，从而得面积.

【详解】由题意三棱锥P-ABC是正三棱锥，设G是底面融。的中心，如图，则PGJ_平面ABC,AG<z平面

ABC,则以G_LAG,

AG=：x,xx/i=半，PG=d-4G：=Jl-（半:=与，

平面A8c截球得截面圆，设其半径为，则,•=

Q

圆面积为5=乃产=§%.

Q

故答案为：

p

43AM■

B

典例9.（2023・全国•高三专题练习）棱长为1的正方体A8CQ-A8£A的8个顶点都在球。的表面上，E,尸分

别为棱A8,AA的中点，则经过E,尸球的截面面积的最小值为

【答案】声##1

【分圻】先求得外接球的半径，利用勾股定理求得截面面积最小的圆的半径，进而求得截面面积的最小值.

【详解】因为正方体内接于球，所以2R_4+12+T_5/?=，，

过球心。和点E、尸的大圆的截面图如图所示，

则直线被球截得的线段为QR,过点。作OP^QR,垂足为点尸，EF4,OF泻,

。7争-不邛，所以，在金。中，QP=J（当2_（2^?=乎.

所以所求经过E、尸的平面截球。所得的截面的面积的最小值是：兀.（乎）2=］兀.

故答案为：'兀

O

典例10.（2022♦广西统考一模）已知棱长为8的正方体中，点七为棱4c上一点，满足说=!",

4

以点E为球心，M为半径的球面与对角面4QQ蜴的交线长为.

【答案】谑九

3

【分所】过点E作9于。，随定P的轨迹是以。为圆心，2灰为半径的圆的•部分，计算得到答案.

【详解】如图所示：过点E作EO_L8。于。，尸为球面与对角面8。2瓦的交线|：•点,

。2_1平面48。。，OEu平面AB8,故OR_LO£,EO1BD,

且8。0。2=。，8。,。口＜=平面8。/）4，故EO_L平面8。£）声,

BE=^-BC=2,故。七=0,PE=^,则。==，0-2=2加,

4

故P的轨迹是以。为圆心，2&为半径的圆的一部分，如图所示：

OB=&，ON=20，故NNOB=1,交线长为：-7tx2V2=—7t.

333

故答案为：逑兀

3

典例1L（2022秋•四川绵阳•高三绵阳中学校考阶段练习）如图为某公园供游人休息的石凳，它可以看做是一个

正方为截去八个一样的四面体得到的，它的表面是由正三角形和正方形组成，设被截正方体的棱长为2m若球

O以该几何体的中心为球心，且与正三角形表面相切，则该球被其中一个正方形表面截得的截面面积为

【答案】

【分所】由题意，建立空间直角坐标系，根据球的性质，求得半径，利用勾股定理，结合圆的面积计算公式,

可得答案.

【详解】如图建系，0（。,。,。），A\2ayay2a）,8（&0,2«）,M（北,0,a）,

OA=OB=（）M=AB=AM=13M=丘a，

四面体OABM为正四面体，0到平面ABM距离R=如•缶=①,

33

易知球心。到正方形A8C。所在平面的距离为。，

2

球被正方体4B