高二数学期末模拟卷（湘教版选修第一册）含解析

2025-2026学年高二数学上学期期末模拟卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.测试范围：湘教版2019选修第一册（数列、平面解析几何初步、圆锥曲线与方程、计数原理）。

4.难度系数：0.7。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

I.三知直线八％7+1=。，则过乙和〃的交点且与直线3x+4y=0垂直的直线方程为（）

A.4x-3y+1=0B.3x-4），+l=0C.4x-3y-l=0D.3x-4y-l=0

2.已知实数x,y满足（X—2）2+（），一3）2=3,则）=2x的最小值为（）

A.76-1R.-2-77C.3-4iD.-Vi5-1

3.已知点42,-1）,3（3,〃?），若2,6-1],则直线AB的倾斜角的取值范围为（）

4.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，口自倍，五口织五尺，问日

织几何？’'意思是："一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女

子每天分别织布多少？”.由此推算,在这5天中.织布超过1尺的天数共有（）

A.4天B.3天C.2天D.1天

5.一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗

经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分

别排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（）

A.5760B.5660C.5642D.5472

6.分形儿何学是一门以不规则儿何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又

被称为“大自然的几何学按照如图I所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第〃

行黑圈的个数为q,白圈的个数为“，则下列结论错误的是（）

第1行

第2行

oeo4----第3行

O

图1图2

A.4二8B.4=13c.%=2。“+"D-bll+i=2an-bn

”，人为椭圆C：立+工=1的两个焦点，点P在C3

7.设O为坐标原点,上，cosNFfF]=w，则|OP|二()

96

A,坦B.叵D.叵

522

8.如图，已知0鸟是双曲线C』-£=1的左、右焦点，RQ为双曲线C上两点，满足［P〃入Q,且

内@=|用7=3国尸则双曲线C的离心率为（）

,孚

3

二、选择题：本题共3小题,每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（）

A.男生必须排在一起的坐法有576种B.女生互不相邻的坐法有1440种

C.男女生相间的坐法有72种D.男生相邻、女生也相邻的坐法有288种

10.设抛物线C：V=4工的焦点为F,M为C上一动点，项3,1）为定点，则下列结论正确的是（）

A.准线/的方程是1=-2B.|ME|+|W|的最小值为4

C.IMEI-IM用的最大值为5D.以线段MF为直径的圆与V轴相切

11.下列说法正确的是（）

A.不经过原点的直线都可以表示为土+；=1

ab

B.若直线与两坐标轴交点分别为A、B,且AB的中点为（41）,则直线1的方程为5+：=1

o2

C.过点（1,1）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为）=X或x+），=2

Wi

D.直线版-2），=4的截距式方程为Z十—2

3

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联，的促销活动，活动规则如下：将一天内购

物不少于800元的顾客按购物顺序从1开始依次编号，编号能被3除余I,也能被4除余1的顾客可以

获得春联1对，否则不能获得春联.若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得1对春联的人数

为•

13.圆f+产=4与圆f+y2-4%一4y+4=0的公共弦长为.

14.古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年一公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉

的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数且kwl）的点的轨迹是圆，

后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.己知点4-2,0）.4（2,0）,点户满足1PAi=夜|尸臼，则点P的轨迹所对应

的阿波罗尼斯圆的半径为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、注明过程或演算步聚。

15.（13分）已知直线/的方程为：（〃?+l）x+（l-2，〃）），-3=0.

（1）求证：不论加为何值，直线/必过定点M；

[2）过（I）中的点M引直线乙交坐标轴正半轴于A,B两点,求VAO8面积的最小值.

16.（15分）已如点P（KN）是知（x+2）2+y2=[上仟意一点.

⑴求尸点到直线3x+4y+12=0的距离的最大值和最小值；

（2）求工-2），的最大值和最小值：

（3）求上二1的最大值和最小值.

x-I

17.（15分）在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解.

条件①：%=2；条件②：％+%+%+，+4o=4"-2.

问题：已知（2x+〃z+l）・（3x+l），=《）+4工+%X2++4（）M"（"i£R）,若.

（1）求实数，〃的值；

⑵求*墨+・・+（-1产祟+-翡的值.

JJJJ

。

18.（17分）已知数列几｝的首项q=5，且满足。向=言2,

4n

（1）证明：数列＜，-1｝为等比数列；

⑵若'+,+'+…+'＜2024,求满足条件的最大整数n.

4%%an

19.（17分）已知椭圆。:捺+£=1（。＞力＞0）的离心率为手，左、右顶点分别为A、B,点入。为椭

圆上异于A、区的两点，APAB面积的最大值为2.

。）求椭圆C的方程；

（2）设直线4,、8。的斜率分别为占、k2t且3K=5&.

①求证：直线经过定点.

②设△PQA和△名"的面积分别为，、邑，求IR-Szl的最大值.

2024-2025学年高二数学上学期期末模拟卷

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，

用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写

在本试卷上无效。

3.测试范围：湘教版2019选修第一册（数列、平面解析几何初步、圆锥曲线与方程、计数原理）。

4.难度系数：0.7。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

I.三知直线4：x-y+1=。，4：2x-y-l=0,则过乙和的交点且与直线3x+4），=o垂直的直线方程为（）

A.4x-3y+1=0B.3x-4)，+l=0C.4x-3y-l=0D.3x-4y-l=0

【答案】A

x=2

【解析】由l：X7+l=O,l：2x-y-\=O,联立方程可得：,

2[y=3

34

乂直线3x+4y=0的斜率为-l，所以所求的直线斜率为；，

43

4

故直线方程为)=3=5(x-2),艮(4x—3)，+l=0.

故选:A.

2.已知实数x,y满足(x—2)2+(y—3)2=3,则尸2x的最小值为()

A.>/6-1B.-2-77C.3-夜D.-V15-1

【答案】D

【解析】由(x-2)2+(y-3)2=3,

x=2+6cos0

则可设〈怜为参数,04。＜2兀），

,y=3+6sin，

故/-2x=3+石sin夕-4-2>/Jcos£=bsin，-2>ZJcos〃-l=ViSsin(6+8)-l,其>卜tan(p=-2.

当sin（e+Q）=-l时，）」2x取得最小值，最小值为-厉-1.

故选：D.

3.已知点42,-1）,仅3,⑼，若,〃则直线AB的倾斜角的取值范围为（）

兀3兀［-「八兀］「3兀1「「八九］「2兀、-「冗兀［「3兀）

A.B.（X-kj—,nC.0,-—,nD.—,n

［34JL3j14）L4」［3）［32）4）

【答案】B

【解析】由题设砥8=整=机+”［-1,G］,则直线AB的倾斜角的取值范围为卜斗，力.

3-2L3」L4）

故选：B.

4.《九章算术》是我国古代数学名著，书中有如下的问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日

织几何？’'意思是："一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每

天分别织布多少？由此推算，在这5天中，织布超过1尺的天数共有（）

A.4天B.3天C.2天D.I天

【答案】C

【解析】设这女子每天分别织布为尺,

则数列伍“）是等比数列，公比夕二2.

则”卓=5,解得4=^.

1・231

数列｛"/的通项公式为=/2"7,

540

当〃=4时，则包=与x2i=/>1,

<QA

当〃=5时，则％=2"|=方>1,

故超过1尺的天数共有2天.

故选：C.

5.一位语文老师在网上购买了四书五经各一套，四书指《大学》《中庸》《论语》《孟子》，五经指《诗

经》《尚书》《礼记》《周易》《春秋》，他将9本书整齐地放在同一层书架上，若四书，五经必须分别

排在一起，且《大学》和《春秋》不能相邻，则不同方式的排列种数为（）

A.5760B.5660C.5642D.5472

【答案】D

【解析】四书、五经必须分别排在一起，共有A；A：A；=5760种,

若《大学》和《春秋》相邻，则不符合条件，共有A；A：A；=288种,

则共有5760-288=5472种.

故选：D.

6.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又

被称为“大自然的几何学按照如图I所示的分形规律，可得如图2所示的•个树形图.若记图2中第〃行

黑圈的个数为七,白圈的个数为4,则下列结论错误的是()

第1行

第2行

O•O第3行

H1图2

A.4=8B.4=13C.an+i=2an+bnD.bll+l=2afl-bn

【答案】D

【解析】已知％表示第〃行中的黑圈个数，设5表示第〃行中的白圈个数,

则由于每个白圈产生下一行的一白一黑两个圈，一个黑圈产生下一行的一个白圈2个黑圈,

a“+i=2a“+b“，bn+l=alt+bn,故C.正确，D错误;

又q=0,4=1,

所以4=1,打=1，

4=2xl+l=3,"=1+1=2,

aA=2x3+2=8,/?4=3+2=5,

a5=2x8+5=21,b5=8+5=13,故A、B正确.

故选：D.

7.设O为坐标原点，不写为椭圆C：上+1=1的两个焦点，点P在C上，cosNZP6=],则|OP|=()

965

13B.萼D.当

A.—

5

【答案】B

【解析】方法一：设/£。❷=2a0〈0〈弓，所以Sp"2=/『tan岑弓="tanO,

乙N

cos■<9-sm-01-tair03缶〃汨.1

由cosNF、PF=cos10=------L=------解得：1加。Q=7,

2cos-^+sin_01+tair052

由椭圆方程可知,M=9,3=6,/=。2=3,

所以，5"内=；刈耳用即=Jx2gx|%|=6x；,解得：£=3,

乙乙乙

故选：B.

方法二：因为|P用+|P周=2〃=6①，|防『+伊周2-2|百便周/月夕行=忻用2,

2

即附（+|P/7|,1|P/7||P/7|=12②，联立①②，

解得：附疗国=*四广+归用2=21,

而户。=3仍4+PF2）,所以|OP|=|PO|=[PE+PF^

即I。。卜#片+P同=；JM?+2以.PF?+0用2=#1+2乂|吟考.

故选:B.

方法三:因为|P用+|P周=24=6①，|P用2+归闯2―2|尸用仍用8SNE%=|耳周2,

即|哺+|尸入『一热片附上12②，联立①②，解得：|P<+M2=21,

由中线定理可知，（2|OP|『+田用2=2仅用2+俨用2）=42,易知忻周=26，解得：|0P|=半.

故选：B.

8.如图，已知匕，居是双曲线cE-£=1的左、右焦点，P，Q为双曲线C上两点，满足大。〃居Q,且

1a~b~

()

「拒

L•---D.眄

5232

【答案】D

【解析】延长。亮与双曲线交于点P,

因为耳p〃gp,根据对称性可知悔"=|鸟P|,

设怛可=用“=/,则怩"=|顼2|=3匕

可得优HT£H=2f=勿,即，=。,

t

所以/。=中=4〃，则侬|=网+勿=5%\FiP\=\F2P\=3a,

即pQ『+阳产『二|0用2,可知/月产，。=/匕夕用=90,

在"有用中，由勾股定理得代Pf+|甲邛=归用2,

即/+（3a）2=4c。解得6=5=孚.

故选：D.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.现有4名男生和3名女生并坐一排，下列说法正确的是（）

A.男生必须排在一起的坐法有576种B.女生互不相邻的坐法有1440种

C.男女生相间的坐法有72种D.男生相邻、女生也相邻的坐法有288种

【答案】ABD

【解析】对于A：由题意，可以把四名男生作为一个元素，和3名女生共有四个元素全排列，

再排4个男生的内部顺序，共有A：A：=576种结果，故A正确；

对「B：由题意，可以先将男生全排列，再用插空法排女生，共有A：A；=1440种结果，故B正确；

对于C：男女生相间，则必定为男、女、男、女、男、女、男的顺序，故共有A：A；=144种排法，故C错误；

对FD：由题意，可以将四名男生作为一个元素，三名女生作为一个元素，两个元索的排列共有A；种，

再排他们内部的顺序,有A：A；种结果，

根据分步计数原理，共有A：A；A；=288种结果，故D正确.

故选:ABD.

10.设抛物线C：V=4x的焦点为F,M为。上一动点，23,1）为定点，则下列结论正确的是（）

A.准线/的方程是x=-2B.IMEI+IM/I的最小值为4

C.的最大值为5D.以线段MF为直径的圆与丁轴相切

【答案】BD

【解析】由抛物线C：V=4%,贝!其焦点为21,0）,准线为x=-I,A错，如下图示，

其中MA_L准线于A,则故IMEI+IM用二|ME|+|M4|,

当且仅当£M，A共线时|ME|+|M用最小，为上到准线距向4,B对；

由||ME\-\MF||<|E7"=石=一石<|ME\-\MF|<亚,

当且仅当££“共线时取等号，其最大值为6,C错；

由加（中,加），则中点坐标为（包产，2

而|Mr|=J（$一1尸+二='+1，故等=号1，

所以，以线段MF为直径的圆与了轴相切，D对.

故选；BD.

11.下列说法正确的是（）

A.不经过原点的直线都可以表示为土+；=1

ab

B.若直线与两坐标轴交点分别为A、B,且44的中点为（41）,则直线1的方程为5+5=1

o2

C.过点（1,1）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线方程为）或x+y=2

二+上=]

D.直线3x-2），=4的截距式方程为q_2

3

【答案】BCD

【解析】对于A,与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A选项错；

对于B,AB的中点为（4,1）,则有&8,0）向0,2）,则直线1的方程为梳+与=1，故B选项对：

o2

对于c,直线过点（1,1）且过原点时，直线为y=x,直线过点（1,1）且不过原点时，直线为x+y=2,故C选

项对;

对于D,方程3x-2y=4可化为«+—2一，为直线的截距式方程，故D选项对.

3

故选：BCD.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.2024年春节前夕，某商城针对顾客举办了一次“购物送春联”的促销活动，活动规则如下：将一天内购

物不少于80（）元的顾客按购物顺序从I开始依次编号，编号能被3除余1,也能被4除余I的顾客可以获得

春联I对，否则不能获得春联.若某天符合条件的顾客共有2000人，则恰好获得I对春联的人数为.

【答案】167

【解析】将能被3除余I且被4除余I的正整数按从小到大排列所得的数列记为｛%｝,

则％一既是3的倍数，也是4的倍数，

故％一为12的倍数，所以｛4-1｝是首项为0,公差为12的等差数列，

所以g=12〃—11,

9（）1I

令14凡02000,KP1<12/7-11<2（XX）,且〃WN*,解得黄，

且又167〈答〈168,所以恰好获得1对春联的人数为167.

13.圆Y+丁=4与圆f+）,2一4%一4）,+4=0的公共弦长为.

【答案】2&

（解析】圆A-2+炉=4①与圆x2+y2-4.r-4y+4=0②，

①一②得4x+4.y_4=4,即公共弦方程为x+y-2=0,

又圆X2+r=4的半径为r=2,圆心为0(0,0),

圆心ao,o)至|J直线x+y-l=0距离4=^^^=应，

所以公共弦长为2\1/-f=274^2=272-

14.古希腊数学家阿波罗尼斯(约公元前262年一公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉

的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数收%＞。且女工1)的点的凯迹是圆，后

人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点4-2,0),以2,0),点尸满足|附|=五|P8|,则点P的轨迹所对应的阿

波罗尼斯圆的半径为.

【答案】4V2

【解析】设P(x”)，因为|E4|=、£|Q8|,J(X+2)2+)，2=可。-2¥+丫2，

化简得到圆«：(x-6)2+V=32,是以(6,0)为圆心，4夜为半径的圆.

故答案为：4&.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.(13分)已知直线/的方程为：(〃2+l)x+(l—2"?)y—3=O.

(1)求证：不论〃，为何值，直线/必过定点M；

(2)过(1)中的点M引直线4交坐标轴正半轴于A,B两点,求VAO"面积的最小值.

【解析】(1)由(，〃+l)x+(l—2/%)y—3=0,可得〃?(x-2y)+(1+y—3)=0,..................(2分)

x-2y=0(x=2..

令，+二3=0=]=〃所以直线/过定点M(2,l)..................(6分)

(2)由(1)知，直线《恒过定点M(2,l),由题意可设直线6的方程为

)，-1=心-2)伏＜0),..................(8分)

设直线4与X轴，y轴止半轴交点为A,B,令x=0,

得以=1-2&；令)，=0,得4=2-!，...................(10分)

k

(12分)

当且仅当-4%=4,即&=一时，V408面积最小值为4

(14分)

-k2

16.（15分）已知点P（x,y）是圆（x+2）2+y2=l上任意一点.

⑴求。点到宜线3x+4y+12=。佗距离的最大值和最小值.

⑵求的最大值和最小值.

⑶求言的最大值和最小值

【解析】（I）圆心C（-2,0）到直线3x+4y+12=0的距离为

」|3x（-2）+4x0+12|6

公R行....................（2分）

・・・P点到直线版+4），+12=0的距离的最大值为d+r=《+l=£,....................................（4分）

最小值为〃一厂=9-1=1........................................（6分）

55

（2）解法一：设，=x—2y,则直线x—2yT=0与圆。+2）2+炉=］有公共点.........“分）

I-2-/1

••・不一r"，解得-石—2WfW的一2,....................................（8分）

V1+2--

则4皿=逐一2,濡=一2-石，即工一2），的最大值为石-2.......................................（9分）

最小值为-2-乔....................（10分）

解法二：设x=­2+cosay=sin8.............................（7分）

则x-2y=-2+cosO-2sin夕=一2—x/^sin（e-Q）,其中tan/=g,....................................（8分）

・••得-2-石4x-2）W-2+石，即x-2.y的最大值为右一2,....................................（9分）

最小值为一2-6........................................（10分）

（3））三表示圆上的点P（x,y）与点A（l,2）连线的斜率为3....................................（11分）

X—1

设匕^=k，即丘-）~k+2=0,直线区-丁-女+2=0与圆（x+2）2+y2=］有交点，.............（12分）

x-1

没公嬖等解得学4心书....................（13分）

则乎，...................（14分）

即行的最大值为二8,最小值为匕叵....................（15分）

x-\44

17.（15分）在下面两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并对其求解.

10

条件①：旬=2；条件②：«1+a,+++«10=4-2.

问题：已知(2x+〃z+l>(3x+l)”=《)+4工+%工2++4(3"("?£R),若.

（1）求实数阳的值;

⑵求彳告+•,•+（-1严祟+-金的值.

JJJJ

【解析】（1）因为（2工+〃?+1）-（34+1）9=佝+4工+。2/+.+4（/°，.................................（2分）

若选条件①：令工=0,可得％=那+1=2,解得帆=1：.................................（4分）

若选条件②：令x=0,可得4=皿+1,（4分）

令5=1,可得/+%+/+%++4o=(〃?+3)d,（6分）

则4+/+/+'+々]0=(〃?+3>4'一(“Z+1)=一2,解得〃7=]........................(8分)

(2)由(1)可知：(2x+2)・(3x+l)9=4)+々/+/£++4<)"°，且旬=2,.............(9分)

令…;,可得4)一?+*■-+(-1)号++翁=0,.................................(10分)

-J-J7W-*

则吟+卷-+（7）号++蔚=。-2=一2.....................................（12分）

所以会卷++（-1广净+苧“KA叁一+（-）号++剽"...........（15分）

18.（17分）已知数列｛q｝的首项4=不，且满足〃川=2品。.

（1）证明：数列为等比数列；

⑵若'+,+,++—<2024,求满足条件的最大整数n.

a\"2“3an

2alt1a„+\I11

【解析】（1）由得一=『=3——+弓，..................（2分）

。”+1。川2q2an2

贝lj-—1=?---1，1=1x0,.................................（4分）

“2gJ4

所以数列是首项为‘7=1,公比为:的等比数列..................（6分）

%《2

(2)由⑴得-=i+fiy'

（8分）

4V2Jan\2)

।\n-l

所以LLL+—=n+\+-++

4生/%22;

（12分）

数列他｝是单调递增数列,

z-\2323

当”=2022时，包024=2024——<2024..................（13分）

<2J

当〃=2023时，HO25=2O25-[JJ＞2024,................（14分）

所以满足条件的最大整数为2022.................（15分）

19.（17分）已知椭圆C:J