高考物理一轮复习 第1章 专项强化2 追及相遇问题

专题强化二追及相遇问题

【目标要求】1.掌握处理追及相遇问题的方法和技巧2会用图象分析追及相遇问题3会熟练

运用运动学公式结合运动图象解决追及相遇的综合问题.

题型一追及相遇问题

1.分析思路

可概括为“一个临界条件”“两个等量关系”.

⑴一个临界条件：速度相等.它往往是物体间能否追上或两者距离最大、最小的临界条件，也

是分析、判断问题的切入点；

⑵两个等量关系：时间等量关系和位移等量关系，通过回草图找出两物体的位移关系是解题

的突破口.

2.能否追上的判断方法(临界条件法)

物体8追赶物体A：开始时，两个物体相距刈，当。8=%时，若郁>.以+为，则能追上；若

%=必+即，则恰好追上；若工8<%+即，则不能追上.

3.特别提醒

若被追赶的物体做匀减速直线运动，一定要注意判断被追上前该物体是否已经停止运旬.

4.常用分析方法

(I)物理分析法：抓住“两物体能否同时到达空间某位置”这一关键,认真审题，校掘题目中

的隐含条件，建立物体运动关系的情境图.

(2)二次函数法：设相遇时间为，，根据条件列方程，得到关于位移x与时间/的二次函数关系，

由此判断两物体追及或相遇情况.

①若△>(),即有两个解，说明可以相遇两次；

②若△=(),说明刚好追上或相遇；

③若△<(),说明追不上或不能相遇.

(3)极值法

设经过时间分别列出两物体的位移一时间关系式，得位移之差—与时间的二次函数，再

利用数学极值法求解距离的最大(或最小)值.

(4)图象法：将两个物体运动的速度一时间关系图线在同一图象中画出，然后利用图象分析、

求解相关问题.

m11一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以。=3的加速度开始加速行驶,

恰在这时一辆自行车以。=6m/s的速度匀速驶过，从后边超过汽车.则汽车从路口启动后，在

追上自行车之前经过多长时间两车相距最远？此时两车的距离是多少？

答案2s6m

解析解法一（分析法）：汽车与自行车的速度相等时相距最远，设此时经过的时间为"两车

间的距离为Ar,则有v=at

所以r—2s

%尸=6m.

解法二（极值法）：设汽车在追上自行车之前经过时间，两车相距最远，则一5尸

代人已知数据得Ax=6/一方2

由二次函数求极值的条件知：/=2s时，AA有最大值6m

所以1=2s时两车相距最远，为Ax=6m.

解法三（图象法）：自行车和汽车的。一/图象如图所示，

由图可以看出，在相遇前，八时刻两车速度相等，两车相距最远，此时的距离为阴影三角形

的面积，

所以有/i=^-=|s=2s,

v\t\6X2

Ax=^~=°m=6m.

追及与相遇问题的两种典型情况

假设物体4追物体B,开始时，两个物体相距为，有两种典型情况：

（1）初速度小的匀加速运动的物体4追匀速运动的物体当办=加时，二者相距最远.

（2）初速度大的勺减速运动的物体A追匀速运动的物体B,当内=如时，

①若已超越，则相遇两次.

②若恰好追上，则相遇一次.

③若没追上，则无法相遇.

m21（2020•甘肃城关市兰州一中高三月考）A、8两车在同一直线上向右匀速运动，8左在A

车前，A车的速度大小为必=8m/s,8车的速度大小为々=20m/s,如图1所示.当A、B两

车相距xo=28m时，8车因前方突发情况紧急刹车（刹车过程可视为匀减速直线运动），加速

度大小为〃=2m/s2,从此时开始计时，求：

图1

（1）A车追上8车之前，两者相距的最大距离；

（2）A车追上8车所用的时间；

（3）从安全行驶的角度考虑,为避免两车相撞，在题设条件下，A车在B车刹车的同时也应刹

车的最小加速度.

答案（l）64m（2）16s（3）0.25m/s2

解析（1）当A、8两车速度相等时，相距最远，根据速度关系得：vi=v2-ah

代入数据解得：h=6s

此时，根据位移时间的关系得：

12

XB\=V2t\—^alC

Ax,n=XB|4-X0-XA1

代入数据解得：Axm=64m

l）y

（2）3车刹车到停止运动所用时间：ro=-^=10s

发生的位移：xB2=^=l（X）m

此时：巾2=。的=80m

则：必2Vxo+初2,

可见此时A车并未追上B车，而是在8车停止后才追上8车停止后A车运动时间为：及=

Xo+xz?2-XA2,

——=6S

故所用总时间为：Z=f（）+/2=16s

（3）4车刹车减速至。时刚好追上4车时，加速度最小

V22.VI2

五十*诟

代入数据解得：^=0.25m/s2.

跟进训练

1.（避碰问题）（2020.山东烟分市模拟）一汽车在直线公路段上以54knVh的速度匀速行驶，突然

发现在其止前方14m处有一辆自行车以5m/s的速度同向匀速彳丁驶.经过0.4s的反应时司后，

司机开始刹车,则：

(1)为了避免相撞，汽车的加速度大小至少为多少？

(2)若汽车刹车时的加速度大小只有4m/s2,在汽车开始刹车的同时自行车开始以一定的加速

度匀加速行驶，则自行车的加速度至少为多大才能保证两车不相撞？

答案(1)5m/s2(2)1m/s2

解析(1)设汽车的加速度大小为初速度0a=54km/h=15m/s,

初始距离(/=14m

在经过反应时间0.4s后，汽车与自行车相距/=1一(。汽一ra)fo=lOm

从汽车刹车开始计时，

自行车的位移为：xa=vnt

汽车的位移为：x；\=v

假设汽车能追上自行车，此时有：

x汽=工q+d'

代入数据整理得：&尸一10/+10=0

要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，

即得：A=102-20^0,

解得：a^5m/s2.

汽车的加速度至少为5m/s2.

(2)设自行车加速度为a',同理可得：x汽'=v/+/

整理得：ga'+2)?-10/+10=0

要保证不相撞，即此方程至多只有一个解，

即得：N=102-20«,-80^0

解得：a'21m/s2.

自行车的加速度至少为1m/s2.

2.(体育赛事中的追及问题)2019世界田径接力赛男子4XKX)米接力赛，冠军被巴西队以38

秒U5获得.如图2所示，这是某一次接力训练.已知甲、乙两运动员经短距离加速后都能达到并

保持10m/s的速度跑完全程.设乙从起跑后到接棒前的运动是匀加速运动，加速度大小为3nVs2.

乙在接力区前端听到口令时起跑，在甲、乙相遇时完成交接棒.在某次练习中，甲以。=10m/s

的速度跑到接力区前端so=14.0m处向乙发出起跑口令.一知接力区的长度为乙=20m.

甲乙

,£________£

7\

接力区

图2

(1)求此次练习中交接棒处离接力区前端(即乙出发的位置)的距离.

⑵为了达到理想成绩，需要乙恰好在速度达到与甲相同时被甲追上，则甲应在接力区前端多

远时对乙发出起跑口令？

(3)在(2)中，棒经过接力区的时间是多少？

答案(1)6m(2)16.7m(3)2s

解析(1)设乙加速到交接棒时运动时间为/,

则在甲追及乙过程中有：并

代入数据得：h=2s,/2-4.67s(不符合乙加速最长时间包=?=竽s,故舍去)

此次练习中交接棒处离接力区前端的距离为：工=夕"|2=6m

⑵乙加速时间为：，乙=?=旨s

设甲在距离接力区前端为s时对乙发出起跑口令

则在甲追及乙过程中有：s+/(s="乙

代入数据得：SQ16.7m

(3)棒在(2)情形下以v=10m/s的速度运动，

所以有：=§=2s.

题型二图象法在追及相遇问题中的应用

1.根据两个物体的。一/图象分析追及相遇问题：

(I)利用图象中斜率、面积、交点的含义进行定性分析或定量计算.

(2)有时将运动图象还原成物体的实际运动情况更便于理解.

2.根据两个物体的运动状态作出p-z图象，再分析解答问题.根据物体在不同阶段的运动情

况，分阶段画出。一/图象，再通过定量计算分析得出结果.

利用。一，图象分析追及相遇问题更直观、简捷.

【例3】(多选)(2016・全国卷I・21)甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其。一/图像如图3所示.

已知两车在f=3s时并排行驶，则()

图3

A.在，=Is时，甲车在乙车后

B.在，=0时，甲车在乙车前7.5m

C.两车另一次并排行驶的时刻是/=2s

D.甲、乙车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离为40m

答案BD

解析根据。一/图像知，甲、乙两车都沿正方向运动./=3s时，甲、乙两车并排行驶，此时

v*=30m/s,。乙=25m/s,由。一，图线与时间轴所围“面积”对应位移知，0〜3s内甲车位

移Xf=J><3X30m=45m,乙车位移x乙=9x3义（10+25）m=52.5m.故/=0时，甲、乙两

车相距Axi=xG~Xr=7.5m,即甲车在乙车前方7.5m,选项B正确；0〜1s内，xJ

X1X10m=5m,xC=1x1X（10+15）m=12.5m,J—xJ=7.5m=AAi,说明

在1=1s时甲、乙两车第一次并排行驶，选项A、C错误；甲、乙两车两次并排行驶的位直

之间的距离为x=x中一x中'=45m—5m=40m,选项D正确.

【例41（2020•河北石家庄市模拟）在水平直轨道上有两列火车A和8相距x,A车在后面做初

速度为如、加速度大小为2a的匀减速直线运动，B车同时做初速度为零、加速度为。的匀加

速直线运动，两车运动方向相同.要使两车不相撞，求A车的初速度如应满足什么条件？（请

用临界法与图象法分别分析解题）

答案见解析

解析方法一图象法

利用。一/图象求解，先作出A、8两车的。一/图象，如图所示.设经过/时间两车刚好不相撞,

则对A车有VA=V'=vo-2at

对B车有。8=。'=at

以上两式联立解得/=我

经时间/两车的位移之差为原来两车间距离X,它可用图中的阴影面积表示，由图象可知

I1VoVcT

x=pH=?0.-=-

所以要使两车不相撞，4空的初速度。o应满足的条件是出或倔（

方法二临界条件法

两车不相撞的临界条件是，A车追上8车时其速度与A车相等.设从A、8两车相距x到人车

追上8车时，A车的位移为心、末速度为内、所用时间为，；B车的位移为.如、末速度为。出

运动过程如图所示.

VAVB

对A车有孙=%/+：（-2硕。八=研）+（—2。-

对B车有XB=5〃尸，VB=a：

由两车位移关系有.X=XA—XB

追上时，两车不相撞的临界条件是办=如

联立以上各式解得的=，菰

故要使两车不相撞，A车的初速度即应满足的条件是研）《，心.

课时精练

固双基巩固练

1.（多选）（2018•全国卷IIJ9）甲、乙两汽车在同一条平直公路上同向运动，其速度一时间图像

分别如图1中甲、乙两条曲线所示.已知两车在尬时刻并排行驶.下列说法正确的是（）

A.两车在人时刻也并排行驶

B.在n时刻甲车在后，乙车在前

C.甲车的加速度大小先增大后减小

D.乙车的加速度大小先减小后增大

答案BD

解析/|〜/2时间内，甲车位移大于乙车位移，且/2时刻丙车并排行驶，则力时刻甲在乙的后

面，A项错误，B项正确；由题图图像的斜率知，甲、乙两车的加速度大小均先减小后增大，

C项错误，D项正确.

2.（2020•广东深圳市第一次调研）可视为质点的甲、乙两小车分别沿同一平直路面同向行驶，/

=0时，甲在乙前方16m处，它们的。一/图象如图2所示，则下列说法正确的是（）

图2

A.甲、乙在f=2s和f=10s时刻并排行驶

B.甲、乙在/=4s和f=8s时刻并排行驶

C.在1=6s时刻，乙车在甲车前8m处

D.在f=6s时刻,乙车在甲车前18m处

答案B

12

解析由题图图象可知，甲做初速度为0,加速度为0=玄m/s2=2m/s?的匀加速运动：乙

12_6

做初速度为Oo=6m/s,加速度为〃2=~—m/s?=1m/s?的匀加速运动；两车相遇时满足：

伙），+；42户=$0+：〃1产，即6/+；X1乂产=16+；X2M,解程九=4S,r2=8s,即甲、乙在f=4s

和f=8s时刻并排行驶，选项A错误，B正确.在t=6s时，甲的位移：XI=：X2X62m=36m：

乙的位移：X2=6X6m+gx1X6?m=54m,可知此时乙在甲的前面，Ax=i2—即一s0=54m

—36m—16m=2m,选项C>D错误.

3.（2020・湖南永州市高三三模）在某个恶劣天气中，能见度很低，甲、乙两汽车在一条平直的

单行道上，甲在前、乙在后同向行驶.某时刻两车司机听到前方有事故发牛.的警笛提示，同时

开始刹车，两车刹车后的v—f图象如图3所示，下列说法正确的是（）

:工|y/（ms''）

0244（）48r/s

图3

A.甲车的加速度大于乙车的加速度

B.若f=24s时两车未发生碰撞，则此时两车相距最远

C.为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为乙8m

D.若两车发生碰撞，则可能是在开始刹车24s以后的某时刻发生的

答案C

解析甲车的加速度大小的=詈=||m/s2=1m/s2

乙车的加速度大小S=笑济=3

所以甲车的加速度小于乙车的加速度，故A错误；

/=24s时，两车速度相等，开始时，甲在前、乙在后同向行驶，所以若/=24s时两车未发

生碰撞，则此时两车相距最近，故B错误；

16+8

0〜24s内，甲车的位移笛=——X24m=288m

2（）+8

乙车的位移X2=~X24m=336m

两者住移之差即=48m

所以为避免两车发生碰撞，开始刹车时两车的间距至少为48m,故C正确：

l=24s时，两车速度相等，若两车速度相等时没有相撞，则速度相等后，甲车的速度比乙车

的大，两车不可能相撞，故D错误.

4.（多选）（2020•河北衡水中学高三月考）甲、乙两物体从同•地点同时开始做直线运动的v-t

图象如图4所示.根据图象提供的信息可知（）

y/(ms_|)

..........

68〃s

图4

A.6s末乙追上甲

B.在乙追上甲之前，甲、乙相距最远为10m

C.8s末甲、乙两物体相遇，且离出发点32m

D.在。〜4s内与4〜6s内甲的牛均速度相等

答案BC

.——4+8

解析根据题图图象可知，在0〜4s内甲的平均速度pi=>—m/s=6m/s,在4〜6s内甲

—8+0——

的平均速度。2=F~m/s=4m/s,D错误；在。〜6s内，甲的位移x甲=oiX4s+。2乂

2s=32m,乙的位移x乙=6X4m=24m,因此6s末乙太追上甲，A错误：当两者速度相等

4+84+8

时，距离最远，即5s木距离最远，此时X，=fX4m十二一XIm=30m,xj=5X

4m=20m,最远距离AA'=10m,B正确：6s以后，甲物体停止运动，因此相遇时，距离

r32

出发点32m,所用时间r=—r=千s=8s,C正确.

Vc4

5.（2020•江西重点中学协作体第一次联考）甲、乙两车在平直公路上沿同一方向做直线运动，f

=0时刻，甲车在乙车前20m处，它们的。一［图象如图5所示，下列说法正确的是（）

A.甲车启动的加速度大于乙车启动的加速度

B.甲车启动15s时，乙车落后甲车的距离最大

C.乙车启动时，甲在乙车前方50m

D./=25s时，乙车正好追上甲车

答案B

解析由。一/图象斜率表示加速度可知，甲车启动时的加速度小于乙车启动时的加速度，A

错误；10〜15s时间内，乙车在后，较慢，甲车在前，较快，在/=15s时，两车速度用等，

则此时两车距离最大，B正确；，=10s时，乙车启动，在。〜10s内，通过。一,图象中图线

与时间轴所因“面积”表示位移可得，甲车的位移Xf=；X10X10m=50m,，=0时两车相

距20m,故乙车启动时两车相距(50+20)m=70m,故C错误；0〜25s内，甲车的总住移：

x/=50m+10X(25-10)m=200m,乙车运动的总位移：=1x10X20m+20X(25

-20)m=200m,此时x/+20m>x乙'，甲车在乙车的前方，故D错误.

盟能力提升练

6.(2019.广东中山市模拟)甲、乙两车从同一地点沿相同方向由静I卜开始做直线运动,它们运

动的加速度随时间变化图象如图6所示.关于两车的运动情况，下列说法正确的是()

A.在。〜4s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做匀减速直筏运动

B.在0〜2s内，两车间距逐渐增大，2〜4s内两车间距逐渐减小

C.在，=2s时，甲车的速度为3m/s,乙车的速度为4.5m/s

D.在7=4s时，甲车恰好追上乙车

答案C

解析根据题图图象可知，在。〜4s内，甲车做匀加速直线运动，乙车做加速度逐渐减小的

加速直线运动，故A错误：加速度一时间图象的图线与时间轴所围的面积表示速度的变化量，

当1=4s时，两图线与/轴所困的面枳相等，即该时刻两辆车的速度相等，此时两车的间距

最大，故B、D错误：在，=2s时，乙车的速度为r乙=]X(1.5+3)X2m/s=4.5m/s,甲车速

度为。甲=1.5X2m/s=3m/s,故C正确.

7.(2020•河南高三二模)自动驾驶汽车依靠人工智能、雷达，监控装置和全球定位系统协同合作，

让电脑可以在没有任何人操作的情况下，自动安全地操作机动车辆.如图7所示，某平直公路上一

辆自动驾驶汽车正以n=40km/h的速度匀速行驶，某时刻其右前方一小狗以6=5m/s的速度垂

直车道方向匀速跑入公路，当汽车传感器探测到小狗时，小狗到汽车右侧所在直线的距离Li=5m,

到汽车前沿所在直线的距离“=8m.已知汽车的车长4=5m、车宽4=2m,汽车加速时的加速

度大小0=4m/s2,刹车时的加速度大小s=5m/s?.为了避免与小狗发生碰撞，汽车的自动驾

驶系统该作出的正确判断是()

图7

A.汽车应保持原速通过

B.汽车应刹车减速

C.汽车应加速通过

D.不论汽车是加速还是刹车均不能避免与小狗发生碰撞

答案C

解析小狗走过L距离的时间为o=与=£S=1S

V23

汽车的速度S=40km/h*l1.1m/s,若保持原速行驶，

则在h时间内的位移为即=功力=11.1m

因为L2~^~d\>x]>L2

则小狗会与车相撞，选项A错误;

若汽车刹车减速，则在/|=1s内的位移X2=。四一342力2=8.6m>L2,

则汽车也会与小狗相撞，选项B错误：

若汽车加速通过，则在/|=1S内的位移

X3=Vit\^-^a\ti2=13.1m>L2+di=13m

则可避免车与小狗相撞，选项C正确，选项D错误.

8.在一大雾天，一辆小汽车以30m/s的速度行驶在高速公路上，突然发现正前方30m史有一

辆大卡车以10m/s的速度司方向匀速行驶，小汽车紧急刹车，刹车过程中刹车失灵.如图8〃、

b分别为小汽车和大卡车的。一/图线，以下说法正确的是()

A.因刹车失灵前小汽车已减速，故不会追尾

B.在f=5s时追尾

C.在r=3s时追尾

D.由于初始距离太近，即使刹车不失灵也会追尾

答案C

解析根据。一，图线与时间轴所围“面积”表示位移可知，两车速度相等时"=5s),小汽车

相对于大卡车的位移为35m>30m,所以会追尾，选项A错误；在/=3s时，小汽车相对于

大卡车的位移等于30m,此时发生追尾，选项C正确，B错误；若刹车不失灵，在/=2s时

两车速度相等，小汽车相对于大卡车的位移等于20m,小于开始时的距离30m,所以刹车

不失灵时不会追尾，选项D错误.

9.(2020•广东汕头市质检)某一长直的赛道上，一辆FI赛车前方200m处有一安全车正以

10m/s的速度匀速前.进，这时赛车从静止出发以2m/s2的加速度追赴.

⑴求赛车出发3s末的瞬时速度大小；

(2)求赛车何时追上安全车？追上之前与安全车最远相距多少？

(3)当赛车刚追上安全车时，赛车手立即刹车，使赛车以4m/s2的加速度做匀减速