高考物理一轮复习（人教版） 第11章 专项强化18 动态圆

专题强化十八动态圆

【目标要求】1.进一步掌握带电粒子在有界磁场中运动的临界、极值问题.2.会用“平移

圆”“旋转圆”“放缩圆”找出对应临界状态或极值的轨迹.3.理解“磁聚焦”和“磁发散”

模型.

题型一“平移圆”模型

粒子源发射速度大小、方向一定，入射点不同但在同一直线上的

同种带电粒子进入匀强磁场时,它们做匀速圆周运动的半径相同，

若入射速度大小为。o,则半径R=翳，如图所示

适用条件

XXXXXXX

带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在同•直线上，该直线

考L迹圆圆心共线

与入射点的连线平行

将半径为/?=黄的圆进行平移，从而探索粒子的临界条件，这种

界定方法

方法叫“平移圆”法

m|］如图所示，在X。），平面的第I、N象限内有一圆心为。、半径为R的半圆形匀强磁场,

线状粒子源从y轴左侧平行于x轴正方向不断射出质量为机、电荷量为q、速度大小为加的

带正电粒子.磁场的磁感应强度大小为对、方向垂直平面xOy向里.不考虑粒子间的相互

作用，不计粒子受到的重力.所有从不同位置进入磁场的粒子中，在磁场中运动的时间最长

为（）

TIR

A.6o（）

答案C

解析粒子在磁场中做匀速圆周运动，有qvoB=）町7,解得/•nZR,如图所示，当粒子在磁

FE

场中的运动轨迹对应的圆心角最大时，粒子在磁场中运动的时间最长，由于sina=~^,要使

圆心角a最大，正最长，经分析可知，当粒子从），轴上的。'点射入、从x轴上的&点射

OE'TL

出磁场时，粒子在磁场中运动的时间最长，有sin。|11=—--,解得==不从。'点射入磁

匹

场的粒子在磁场中运动的时间最长，且加=白竽，解得宿=襄故选C.

/兀VQJ。。

二a

f

x

三x

三rxy

x

三

X

-.

题型二“旋转圆”模型

荷子源发射速度大小一定、方向不同的同种带电粒子进入匀强

磁场时，它们在磁场中做匀速圆周运动的半径相同，若入射初

速度大小为。0,则圆周运动轨迹半径为〃=鬻，如图所示

适用条件

如图，带电粒子在磁场中做匀运圆周运动的圆心在以入射点P

为圆心、半径R一黄的圆上

XXXX

XX上工XX

轨迹圆圆心共圆

xx\xydx

XXXX

界定方法将一半径为R=翳的圆以入射点为圆心进行旋转，从而探索

出临界条件，这种方法称为“旋转圆”法

【例2】(2023•浙江温州市英才学校模拟)如图所示，竖直平面内有一平面直角坐标系，第

一、四象限中存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小记为未知).坐标原点。

处有一放射源，放射源可以源源不断向一、四象限180。范围内均匀地辐射出质量为机、电荷

量为q的正离子.在)，轴上固定一能吸收离子的收集板MMM点坐标为(0,a),N点坐标为

(0,20,当辐射的离子速率为加时离子打在收集板上的位置最远到N点，最近到M点.不计

离子的重力及离子间的相互作用的影响，求：

2a|Nxxxx

和xxxx

LXXXX

Oh*x~~x_X~~XX

XXXX

IXXXX

(1)恰好打到M点的高子在磁场中运动的时间；

(2)能打到收集板上的离子数占辐射总数的比例.

答案(嗑或骡谤

解析(1)由题意可知，沿X轴正方向出射的离子，经半国到达N点，

由此可得，•=〃，可知通过M点的离子有两个出射方向，如图甲，一个轨迹转过的圆心角为

60°,即力=您另一个轨迹转过的圆心角为30()。，即亥=，离子做匀速圆周运动，周期7

=吗即丁=如,解得/尸詈，殳=察

Vo,如‘PI3%'3%

(2)如图乙所示，由动态圆分析结果可知，能打到收集板上的离子分布在速度方向与x轴正方

向成60。角的范围内，因为放射源均匀打出离子，因此打到收集板上的离子数占辐射总数的

比例为搞吾

乙

题型三“放缩圆”模型

粒子源发射速度方向一定，大小不同的同种带电粒子进入匀强

适用条件磁场时，这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随

速度的变化而变化

如图所示（图中只画出粒子带正电的情景），速度。越大，运动半

径也越大.可以发现这些带电粒子射入磁场后，它们运动轨迹

的圆心在垂直初速度方向的直线PP'上

XXXXXX

轨迹圆圆心共线pr

X~x\xX

XXXXXX

以入射点?为定点，圆心位于PP直线上，将半径放缩作轨迹

界定方法

圆，从而探索出临界条件，这种方法称为“放缩圆”法

m3]（2020•全国卷in・18）真空中有一匀强磁场，磁场边界为两个半径分别为a和3〃的同轴

圆柱面，磁场的方向与圆柱轴线平行，其横械面如图所示.一速率为u的电子从圆心沿半径

方向进入磁场.已知电子质量为〃?，电荷量为e,忽略重力.为使该电子的运动被限制在图

中实线圆围成的区域内，磁场的磁感应强度最小为（）

答案C

解析磁感应强度取最小值时对应的临界状态如图所示，设电子在磁场中做圆周运动的半径

0

为r,由几何关系得“2+户=（3。-r）:根据牛顿第二定律和圆周运动知识得"8="7，联立

解得B=嗯，故选C

m4］（多选）如图所示，正方形出口/区域内有垂直于纸面向里的匀强磁场，。点是cd边的

中点.若一个带正电的粒子（重力忽略不计）从0点沿纸面以垂直于“边的某一速度射入正方

形内，经过时间fo刚好从C点射出磁场.现设法使该带电粒子从0点沿纸面以与Od成30。

角的方向，以各种不同的速率射入正方形内，那么下列说法正确的是（）

A.该带电粒子不可能刚好从正方形的某个顶点射出磁场

B.若该带电粒子从时边射出磁场，它在磁场中经历的E寸间可能是m

C.若该带电粒子从反边射出磁场，它在磁场中经历的时间可能是%）

D.若该带电粒子从cd边射出磁场，它在磁场中经历的时间一定是*o

答案AD

解析带电粒子以垂直于M边的某一速度射入正方形内，经过时间而刚好从c点射出磁场，

则知带电粒子的运动周期7=2h该粒子从O点以与Od成30。角的方向射入磁场，随着粒子

速度逐渐增大，轨迹由①一②一③一④依次渐变，由图可知粒子在四个边射出时，射出范围

分别为OG、FE、DC、%之间，不可能从四个顶点射出，故A正确.由上述分析知粒子运

动周期为2/o,由图分析可知，从必边射出的粒子所用时间不可能为卜，从床边射出的粒子

所用时间不超过：7=华，所有从cd边射出的粒子圆心角都是300。，所用时间为票=修，故

B、C错误，D正确.

题型四“磁聚焦”与“磁发散”模型

1.带电粒子的会聚

如图甲所示，大量同种带正电的粒子，速度大小相等，平行入射到圆形磁场区域，如果轨迹

圆半径与磁场圆半径相等（/?=，•），则所有的带电粒子将从磁场圆的最低点B点射出.（会聚）

证明：四边形OAO'3为菱形，必是平行四边形，对边平行，。8必平行于40'（即竖直方

向），可知从人点发出的带电粒子必然经过8点.

2.带电粒子的发散

如图乙所示，有界圆形磁场的磁感应强度为以圆心为。，从P点有大量质量为小、电荷量

为夕的正粒子，以大小相等的速度。沿不同方向射入有界磁场，不计粒子的重力，如果正粒

子轨迹圆半径与有界圆形磁场半径相等，则所有粒子射出磁场的方向平行.（发散）

证明：所有粒子运动轨迹的圆心与有界圆圆心0、入射点、出射点的连线为菱形，也是平行

四边形，OA、。2氏。3。均平行于尸。，即出射速度方向相同（即水平方向）.

m51（2021・湖南卷・13）带电粒子流的磁聚焦和磁控束是薄膜材料制备的关键技术之一.带电

粒子流（每个粒子的质量为〃八电荷量为+”以初速度。垂直进入磁场，不计重力及带电粒子

之间的相互作用.对处在K。），平面内的粒子，求解以下问题.

（1）如图（a）,宽度为2n的带电粒子流沿x轴正方向射入圆心为A（0,n）,半径为小的圆形匀

强磁场中，若带电粒子流经过磁场后都汇聚到坐标原点0,求该磁场磁感应强度Bi的大小：

（2汝口图（a）,虚线框为边长等于2r2的正方形，其几何中心位于C（（），-r2）.在虚线框内设计

一个区域面积最小的匀强磁场，使汇聚到O点的带电粒子流经过该区域后宽度变为并

沿x轴正方向射出.求该磁场磁感应强度&的大小和方向，以及该磁场区域的面积（无需写

出面积最小的证明过程）；

（3）如图（b）,虚线框I和H均为边长等于心的正方形，虚线框山和IV均为边长等于/年的正方

形.任I、H、HI和IV中分别设计一个区域面积最小的勾强磁场，使宽度为2r3的带甩粒子

流沿x轴正方向射入I和n后汇聚到坐标原点。，再经过III和N后宽度变为2r4,并沿x轴正

方向射出，从而实现带电粒子流的同轴控束.求I和inn磁场磁感应强度的大小，以及H和

IV中匀强磁场区域的面积（无需写出面积最小的证明过程

答案⑴”⑵”垂直于纸面向里兀川

mvrnvI°1,

©正获（那一1心（p-Drr

解析（1）粒子垂直y轴进入圆形磁场，在坐标原点。汇聚，满足磁聚焦的条件，即粒子在磁

场中运动的半径等于圆形磁场的半径〃，粒子在磁场中运动，洛伦兹力提供向心力，0/九=

解得丛=处

qr\

（2）粒子从。点进入下方虚线区域，若要从聚焦的O点飞入然后沿x轴正方向飞出，为磁发

散的过程，即粒子在下方圆形磁场运动的筑迹半径等于磁场半径，粒子轨迹最大的边界如图

甲中所示，图中圆形磁场印为最小的匀强磁场区域

磁场半径为r2,根据qvR?=痔］

可知磁感应强度为B?="

2

根据左手定则可知磁场的方向为垂直纸面向里，圆形磁场的面积为S2=7cr2

（3）画出磁场区域面积最小时的情形，如图乙所示.

在【、II区域的磁场中，由几何关系可知带电粒子运动的轨迹半径以=门，由洛伦兹力提供

向心力有半外=*］解得丛=黄，II中磁场区域的面枳51=2乂&门2一义川卜作一1卜2.

在in、N区域的磁场中，由几何关系可知带电粒子运动的航迹半径以=r4,由洛伦兹力提供

向心力有解得B4=氏，IV中磁场区域的面积S4=2XI，•上

课时精练

y基础落实练

1.（多选）如图所示，在I、I【两个区域内存在磁感应强度大小均为4的匀强磁场，磁场方向

分别垂直于纸面向外和向里，AD.AC边界的夹角/D4C=30。，边界AC与边界MN平行，

H区域宽度为d.质量为机、电荷量为+9的粒子可在边界A。上的不同点射入，入射速度垂

直AO且垂直磁场，若入射速度大小为警，不计粒子重力，则（）

A.粒子在磁场中运动的半径为苧

B.粒子在距4点0.5"处射入，不会进入II区域

C.粒子在距A点1.5d处射入，在1区域内运动的时间为翳

D.能够进入II区域的粒子，在H区域内运动的最短时间为品

答案CD

解析带也粒子在磁场中的运动半径/•=券=〃，选项A错误；设从某处上进入磁场的垃子，

其轨迹恰好与AC相切（如图所示），则E点、与A点、的距离为AO-EO=2d-d=d,粒子在距人

点0.5d处射入，会进入II区域，选项B错误；粒子在距A点L5d处射入，不会进入II区域，

在I区域内的轨迹为半圆，运动的时间为/=弓=黑，选项C正确；进入H区域的粒子，弦长

ZC{K

最短时的运动时间最短,且最短弦长为乩与半径相同.故对应圆心角为60°,最短时间为/min

*魏，选项D正确.

2.如图，虚线所示的圆形区域内存在一垂直于纸面的匀强磁场，P为磁场边界上的一点，大

量相同的带电粒子以相同的速率经过P点，在纸面内沿不同的方向射入磁场，若粒子射入速

率为白，这些粒子在磁场边界的出射点分布在六分之一圜周上；若粒子射入速率为。2,相应

的出射点分布在三分之一圆周上.不计重力及带电粒子之间的相互作用，则立：功为（）

A.小:2B.A/2：1

C.小：1D.3：也

答案C

解析根据作图分析可知，当粒子在磁场中运动半个圆周时，打到圆形磁场边界的位矍距P

点最远，则粒子射入的速率为0,轨迹如图甲所示，设圆形磁场半径为R,由几何知识可知，

粒子运动的轨迹半径为;"IURCOS60。=,/?;若粒子射入的速率为内，轨迹如图乙所示，由几

何知识可知，粒子运动的枕迹半径为「2=RCOS30°=坐R;根据轨迹半径公式厂=患可知，

。2：=/2：门=小：I,故选项C正确.

3.（多选）如图所示，纸面内有宽为£、水平向右飞行的带电粒子流，粒子质量为机、电荷量为

-q（q>0）、速率为次>,不考虑粒子的重力及粒子间的相互作用，要使粒子都会聚到一点，可

以在粒子流的右侧虚线框内设计一匀强磁场区域，则磁场区域的形状及对应的磁感应强度可

以是下列选项中的（其中仇=等，A、C、D选项中曲线均为半径为心的J圆弧，B选项中曲

线为半径为f的圆）（）

带电粒子流

AB

4.如图所示，在x轴的上方0，20）存在着垂直于纸面向里的匀强磁场（未画出），磁感应强度大

小为R在原点。有一个离子源向x轴上方的各个方向发射出质量为〃?、带电荷量为q的正离

子，速率都为。.对那些在xQy平面内运动的离子，在磁场中可能到达的位置中离x轴及y轴

最远距离分别为（）

答案A

解析若让沿工轴正方向射出的离子的觥迹圆绕0点缓慢转动（如图所示），不难得出离），轴

最远为|x|=2r=i万，离x轴最远为y=2r=1万，所以A项正确.

5.（多选）如图所示，平行线MMPQ间有垂直纸面向外的匀强磁场，磁场的磁感应强度大小

为从MN、户。间的距离为L.在上的。点有一粒子源，可以沿垂直于磁场的各个方向射

入质晟为/〃、电荷量为q的带负电的粒子，且这些粒子的速度大小相等.这些粒子经磁场偏

转后，穿过尸Q边界线的最低点为8点.已知。是PQ上的一点，“c垂直于PQ,c、力间的

距离为与，则下列说法正确的是（）

M

at7

\h

NQ

A.粒子在磁场中做圆周运动的半径为3

B.粒子在磁场中运动的速度大小为鬻

C.粒子从P。边射出的区域长为L

D.沿斜向下与MN夹角为30。方向射入的粒子恰好从c点射出磁场

答案BC

5

解析作出一些粒子的运动枕迹如图所示，根据几何关系有改=1一/?）2+（32,-

8

A项错误；由手必="点得粒子做圆周运动的速度大小。=噂=啜々B项正确：设粒子从

PQ射出区域的上端〃点到C点的距离为S,根据几何关系有/?2=（—/?）2+$2,求得因

此bd=L,C项正确；从c点射出磁场的粒子，在。点时速度与MN的夹角〃满足2Rcos〃=

L,可得cos9=0.8,则JW30。，D项错误.

立能力综合练

6.（2020.全国卷IJ8）—匀强磁场的磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外，其边界如

图中虚线所示，益为半圆，W、ZW与直径"共线，4c间的距离等于半圆的半径.一束质量

为〃?、电荷量为贝，/＞。）的粒子，在纸面内从c•点垂直于ac射入磁场，这些粒子具有各种速率.不

计粒子之间的相互作用.在磁场中运动时间最长的粒子，其运动时间为（）

、/

、6qB*，4qB-3qB52M

答案C

解析粒子在磁场中运动的时间与速度大小无关，由在磁场中的运动轨迹对应的圆心角决

定.设轨迹交半圆孤于e点，ce中垂线交加于。点，则。点为轨迹圆的圆心，如图所示.圆

心角0=兀+2/7,当夕最大时，〃有最大值，由几何知识分析可知，当ce与茄相切时，尸最大,

此时夕=30。，可得。=右，则1=景=鬻，故选C.

7.如图所示，真空中垂直于纸面向里的匀强磁场只在两个同心圆所夹的环状区域存在（含边

界），两圆的半径分别为R3R,圆心为O.一重力不计的带正电粒子从大圆边缘的尸点沿尸。

方向以速度。射入磁场，具运动轨迹如图，轨迹所对的圆心用为120。.当将该带电粒子从。

点射入的速度大小变为6时，不论其入射方向如何，都不可能进入小圆内部区域，则。

至少为（）

A.B.小D.2小

答案B

解析粒子在磁场中做匀速圆周运动，由几何知识得"=舄磊=小心洛伦兹力提供向心

力,由牛顿第二定律得8由=/：,解得6=隼"，粒子竖直向上射入磁场，恰好不能进

入小圆区域时粒子的就迹半径/2=A，洛伦兹力提供向心力，由片顿第二定律得夕。23=”;~,

解得6=簪，则S:6=小,B项正确.

8.（2023•广东佛山市模拟）如图所示，宽为"的混合粒子束由速率为3八4八5。的三种带正

电的离子组成.所有离子的电荷量均为外质量均为m,当三种速率的离子水平向右进入匀

强磁场，磁场方向垂直纸面向外.在入口处，紧靠粒子束的下边缘竖直放置一个长度为2d

的薄吞噬板MM忽略离子重力及离子间相互作用，若使这些离子都能打到吞噬板MN上，则

磁感应强度大小的取值范围是（）

混合粒

子束a

吞噬板

2J

N

16〃?。Swu

A.T<B<

qdqd

5mv6nivSmv10/w

D

答案C

解析由分析可知，粒子束上边缘进入速率为v\=3v的离子到达吞噬板上边缘时，半径最小,

磁感应强度最大，根据/|8|=〃卷，由几何关系得Ri=，，可得81=^粒子束下边缘进

必

入速率为V2=5V的离子到达吞噬板下边缘时，半径最大，磁感应强度最小，此时0282="京,

&=",得仪=今今所以磁感应强度大小的取值范围为第1故C正确，A、B、D

错误.

9.（多选）（2023•湖南省模拟）在电子技术中，科研人员经常通过在适当的区域施加磁场控制带

电粒子的运动.如图所示，圆心为。、半径为R的圆形区域内存在垂直纸面的匀强磁场（图中

未画出），PQ、七产是两条相互垂直的直径，圆形区域左恻有一平行£尸、关于PQ对称放置的

线状粒子源，可以沿平行于PQ的方向发射质量为〃?、电荷量为q、速率均为加的带正电的

粒子，粒子源的长度为小R,从粒子源上边缘发射的粒子经磁场偏转后从/点射出磁场.不

计粒子重力及粒子间的相互作用.下列说法正确的是（）

A.匀强磁场的方向垂直纸面向里

B.粒子源发射的粒子均从尸点射出磁场

c.匀强磁场的磁感应强度大小年嘿西

D.粒子在磁场中运动的最短时间喏

答案BD

解析带正电的粒子向下偏转，根据左手定则可知勺强磁场的方向垂直纸面向外，故A错误;

如图甲所示，设粒子的运动半径为r,根据几何关系可得"=当宠一（，•一当R）?+（务=户,

2

解得,•=/?,根据洛伦兹力提供向心力，有如。8=〃乎，解得B=写,故C错误：所有粒子

rqK

在磁场中运动半径都相等，运动的圆弧越短，在磁场中运动的时间越短，如图乙所示,

11.

由几何关系可得sin/HO2F=5,解得/"Q/nSO。，粒子在磁场中运动的周期7=乎，则粒

OMO-n

子在磁场中运动的最短时间京皿二石》「二丽，故D正确；

任意一点射入磁场，粒子