高考数学一轮复习：椭圆及其性质

第5讲椭圆

最新考纲考向预测

椭圆的定义、标准方程、几何性

1.了解圆锥曲线的实际背景，感质通常以小题形式考查，直线与

受圆锥曲线在刻画现实世界和椭圆的位置关系主要出现在解

解决实际问题中的作用.命题趋势答题中.题型主要以选择题、填

2经.历从具体情境中抽象出椭空题为主，一般为中档题，椭圆

圆的过程，掌握椭圆的定义、标方程的求解经常出现在解答题

准方程及简单几何性质.的第一问.

核心素养直观想象、逻辑推理、数学运算

走进教材•自主回顾7//////////////////////

知识梳理温故知新

1.椭圆的定义

条件结论1结论2

平面内的动点M与平面内的两

个定点回，FiM点的£1」_包为椭圆的焦点

\MFA+\MFi\=2a轨迹为椭圆IBBI为椭圆的焦距

2a>\F\F^

2.椭圆的标准方程和几何性质

?2

标准方程

图形

A\F\Oc吵2rXF

范围一QWXWQ，—bWy&b一bWxWb»—

性对称轴：X轴、V轴

对称性

质对称中心:（0，0）

顶点A\（~a，0），A2（a»0）4（0，~a），4（0»a）

Bi（0，~b），Bz（0，b）B、(一b，0)，82s，0)

长轴A1A2的长为2a

轴

短轴BIB2的长为2b

焦距|FIF2|=2C

离心率e=^，e£（0，1）

a，b，c的关系（r=cr—b1

3.点与椭圆的位置关系

己知点P(xo，yd),椭圆1+/=l(o>力>0)，则

⑴点P(M),犷)在椭圆内㈡亲+患V1；

⑵点P(X()，和)在椭圆上㈡3+£=1:

(3)点P(M，州)在椭圆外0了+7>1.

©常用结论

椭圆的常用性质

(1)若点尸在椭圆上，尸为椭圆的一个焦点，则

①庆IOPIW4；

②a-cW|PQW〃+c.

(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长

(3)与椭圆，+1=1(〃>/»0)有共焦点的椭圆方程为言1+高1=1(»—

(4)焦点三角形:椭圆上的点P(xo，、0)与两焦点尸I，尸2构成的△PF1B叫做

焦点三角形.若「=|PA|，底=|P@|，NAPB=。，△尸B尼的面积为S，则在椭

?2

圆'+$=1(a>b>0)中：

①当门=门，即点。为短轴端点时，，最大;

②5=习尸加|尸网sin0=4）x）|，当|四|=人，即点P为短轴端点时，5取得最大

值，最大值为be；

③△PF1F2的周长为2（o+c）.

02

（5）若M（xo，然）是柿圆，+方=1（。>6>0）的弦AB（AB不平行），轴）的中点，则

有行KIAB*KiOM——^2.

9常见误区

1.若2a=\FiF2\,则动点的轨迹是线段FE；若2a<|Fi尸2|，则动点的轨迹

不存在.

2.关于离心率的取值范围问题，一定不要忘记椭圆离心率的取值范围为（0，

1）.

3.判断椭圆的两种标准方程的方法为比较标准方程形式中x2和9的分母大

小.

4.讨论直线与椭圆的位置关系时不要忽略直线斜率不存在的情形.

诊断自测易错清零

1.判断正误（正确的打“J”，错误的打“）<”）

⑴平面内与两个定点为，放的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.（）

⑵椭圆的离心率c越大，椭圆就越圆.（）

（3）椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形.（）

29

（痔+方=1（〃#历表示焦点在y轴上的椭圆.（）

/V2V2X2

（5斤+方=1S沅>。）与力+以=13>/»。）的焦距相同.（）

答案：（1）X（2）X（3）J（4）X⑸J

2.已知中心在原点的椭圆。的右焦点为尸（1，0），离心率为/，则C的方程

B.日+RI

项+?=1

yr

（2）（2021•普通高等学校招生全国统一考试模拟）椭圆万不y+^=1（机＞0）的

焦点为盾，Fi，上顶点为4，若N产/乃=—，则m=（）

A.1B.V2C币D.2

【解析】（1）记椭圆的两个焦点分别为Ft，F2，则有|PFI|+|PF2|=2〃=10，

所以m=\PF\\•|P尸2|W（四止产@）2=25，当且仅当|PFi|=|PB|=5，即点P位

于椭圆的短轴的顶点处时，等号成立.所以点P的坐标为（-4，0）或（4，0），故

选BD.

(2)由题可知‘cr=ivr-\-1，b2=nr.

因为，所以N4O=30°，所以cosN乃AO=z，即cos3（r=

7词;］，解得机=/或m=一小（舍去）.故选C.

【答案】（I）BD（2）C

陶窟四

椭圆定义的应用技巧

椭圆定义的应用主要有两个方面：一是明确平面内与两定点有关的轨迹是否

为椭圆；二是当尸在椭圆上时，与椭圆的两焦点B，色组成的三角形通常称为

“焦点三角形”，利用定义可求其周长，利用定义和余弦定理可求|PR|•\PF2\，

通过整体代入可求其面积等.

1.设为，乃为楙圆瓦+彳=1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF\的

yJ

中点在），轴上，则耦的值为（）

55

-

A.9

14

解析：选D.如图，设线段PFi的中点为M，因为。是FiB的中点，所以

513\PF^\5

OM//PF1，可得PF1X轴，可求得|P6|=彳，|PFi|=2tz-|PF2|=-r,借］=言

2\JLJLIIXwz

故选D.

2.已知点R，乃分别为椭圆C：彳+左=1的左、右焦点，若点P在椭圆C

上，且NQPF2=60°，则S4FiPF?=.

222

解析：由|PQ|+|PB|=4»|PFI|+|PF2|-2|PFI|•\PF2\•cos60°=|FIF2|，

得3|PFi|•|PF2|=12，所以|PB|・|尸产2|=4，则SAFIPF2=||PFI|・|PB|

=1x4sin60°=小.

答案：事

2

椭圆的标准方程

[例R（1）（多选）已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点Fl，乃在y轴上，短轴

长等于2，离心率为坐，过焦点F^作），轴的垂线交椭圆C于尸，。两点，则下

列说法正确的是（）

A.椭圆。的方程为1+f=l

B.椭圆C的方程为与+），2=1

c.闻|=¥

D.△PBQ的周长为4馅

29

（2）（一题多解）过点（市，一小），且与椭圆总+]=1有相同焦点的椭圆的标

又片=庐+才'解得/=3.

所以椭圆方程为f+1=1.

如图.

2b222s

，△PBQ的周长为4〃=44.

所以俨。1=下=忑=3

故选ACD.

（2）方法一（定义法）：椭圆点+"=1的焦点为（U，-4），（0，4），即c=4.

由椭圆的定义知»2a=，（馅—0）2+（—小+4）2+

勺（小一0）2+（一/一4）2，解得4=2小.

由c2=a2—b2»可得〃2=4.

92

所以所求椭圆的标准方程为・+?=1.

方法二（待定系数法）:

27

设所求椭圆方程为&+占=1依9）’

将点（小，一小）的坐标代入，可得，2式]—+=1'

解得左=5或k=21（舍去），

所以所求椭圆的标准方程为导+[=1.

27

方法三（待定系数法）：设所求椭圆方程为，+$=1（〃乂＞0）.由题意得

A+A=1,(cr=20

a~h解得心一

a2—b2=\6»I-,

22

所以所求椭圆的标准方程为记十W

【答案】（l）ACD（2）C

陶窗般

⑴用定义法求椭圆的标准方程

先根据椭圆的定义确定〃2，序的值，再结合焦点位置求出椭圆的方程.其中

常用的关系有:

①〃=/一，;

②椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和等于2〃；

③椭圆上一短轴顶点到一焦点的距离等于长半轴长4.

⑵用待定系数法求椭圆的标准方程的步骤

根据条件判断椭圆的焦点是在X轴匕还是在y轴

作判断一

上，还是在两个坐标轴上都行可能

根据上述判断设方程:%/l（a>b>0）或宗\=1

(a>6>0)或mx2+ny2=l(m>0,n>0.RmWn)

找关系「根据已知条件，建立关于。也c或的方程组

得方程_:解方程组，将解代人所设方程，即得所求

V-yr-

［提醒］当椭圆焦点位置不明确时，可设为1=1（心030，m大〃），也

可设为Ax1-\-By^=KA>0，B>0，且AW8）.

圆掘于葡U般可

1.已知动点M到两个定点4（一2，0），BQ，0）的距离之和为6，则动点M

的轨迹方程为（）

A.5+y=iB.^-+j=l

C.,^+x2=1D.方+全=1

解析：选D.由题意有6>2+2=4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆、

72

则2〃=6，c=2，故/=9,所以b2=a2—c2=5'故椭圆的方程为吉"+为=1.故选

JJ

D.

2.设椭圆壬+5=1（心0，心0）的右焦点为（2，0），离心率为平，则此椭圆

的方程为.

解析：椭圆的右焦点为（2，0），所以"尸一〃2=4，，所以m=2y［2，

?2

代入加2—/=4，得"=4,所以椭圆方程为之+-=1.

o4

答案：

3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点（一,，|），（3，

小），则椭圆方程为.

［（3V/5丫

人.-7团+7〃=1'

解析：设椭圆方程为，〃厂+"=1（"?）〃＞°，〃孑〃）.由八'3

3〃z+5〃=I，

解得"?='，

所以椭圆方程为迸=1.

答案:m+6=1

考点3

椭圆的几何性质

角度一求椭圆离心率的值（范围）

72

他呵（1）（2020・四川资阳二诊）已知椭圆，+卓=1（。＞比＞0）的左顶点为A，上顶

点为B，且|。4=#|0用（0为坐标原点），则该椭圆的离心率为（）

A"*C啦D近

/＞•3D.32I-/•3

2?

（2）（2020•东北三校第一次联名）己知椭圆也十方=1（。》＞0）的右焦点为F（c，

0），上顶点为A（0，份，直线上存在一点P满足（苏+前）・9=0，则椭圆的

离心率的取值范围为（）

a=y13b，即〃=孝。.又c=yja2-b2=

【解析】（1）依题意可知

所以该椭圆的离心率6=；=坐故选B.

（2）取AP的中点Q，则成=；（而+或），所以（存+前）•办=2苑办=0.所

以FQYAP，所以为等腰三角形，即|胡|=|FP|，且|物|=4。2+02=〃.因为

2222

点户在直线工=《上，所以尸尸|2、一c，即a^~~c»所以“21，所以e?+e

cccc

—12（），解得e》，21或~当一.又0<e<l5故，?&卜<1*故选C.

【答案】（1）B（2）C

明圈窗

求椭圆离心率或其取值范围的方法

（1）求出。"或。，。的值，代入i=/=一滔一=1一1/直接求.

（2）先根据条件得到关于a，…的齐次等式［不等式），结合〃=/一，转化

为关于。，c的齐次等式（不等式），然后将该齐次等式（不等式）两边同时除以。或

a2转化为关于e或/的方程（不等式），再解方程（不等式）即可得e（e的取值范围）.

角度二与椭圆性质有关的最值问题

国画己知点尸（0，1），椭圆］+>2=,〃（〃》1）上两点A，B满足舒=2而，则

当"7=时，点B横坐标的绝对值最大.

-XI=2x2，

【解析】设4幻，》），8。2，户），由份=2两，得<一,、即

I—yi=2（V2—1），

x\——2x2，)“=3-2yi,

苧+(3-2”)m

213

得--

因为点A，B在楙圆上，所以44

手+)另=〃2，

A=m—(3—lyi)1——；，层+1/n—

=-4(〃L5)2+4W4，

所以当〃?=5时，点8横坐标的绝对值最大，最大值为2.

【答案】5

阅窗麴

求解最值、取值范围问题的技巧

（1）与椭圆几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使画不出图形，思

考时也要联想到一个图形.

（2）椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如，一oWxW。，-

bWyWb，0<evl，在求椭圆的相关量的范围时，要注意应用这些不等关系.

（3）最值问题，将所求列出表达式，构造基本不等式或利用函数单调性求解.

跟踪训练】

1.已知椭圆的一个焦点是圆/+）［—6Y+X=O的圆心，且

短轴长为8，则椭圆的左顶点为（）

A.（-3，0）B.（-4，0）

C.（-10，0）D.（-5，0）

解析：选D.因为圆的标准方程为（工一3）2+），2=1，

所以圆心坐标为（3，0），所以c=3.又/?=4，

所以4=4序+O2=5.因为椭圆的焦点在X轴上、所以椭圆的左顶点为（一5»

0）.

X2

2.（多选）（2020•山东4月全真模拟）已知P是椭圆C：7+产=1上的动点，

Q是圆。：（x+l）2+），2=：上的动点，则（）

B.C的离心率为率

A.。的焦距为小

D.|PQ|的最小值为坐

C.圆。在C的内部

解析：选BC.依题意可得c=&=1=小，

岑2设P（x，y）（~；WxW#），由题意知D（一

则。的焦距为2小

441

1，o)，则ip，|2=a+i)2+y=a+i)2+i+/亍号,所以圆。在C

里故选BC.

的内部，且|PQ|的最小值为

3.（2020•福建龙岩质量检查）已知椭圆C5+方=1（。>〃>0）的左焦点为F，

上顶点为A，右顶点为B，若4AFB是直角三角形，则椭圆C的离心率为（）

A范

XX.2D.2

小一1

。2

解析：选D.如图所示，尸（一c，0），4（0，份'B（a，0）.因为/\ABF是直角三

角形,所以,所以淳•法=（）,又因为屈=（-c，~b），AB=（a»~b），

所以一。。+序=0，又因为b2=a2—c2、所以a2—ac—c2=0，又因为e=~，所以

二^，故选D.

e2+e~I=0，所以e=针匕，又因为0<e<l，所以e=

乙

[A级基础练]

92

1.（202（）■河北唐山一中月考）已知椭圆C：，+1=1的一个焦点为点（1，0），

则椭圆C的离心率为（）

AAB.g

C坐D平

92

解析：选B.由椭圆C:卞+]=1的一个焦点的坐标为（1，0），得/—3=1，

解得6/=2（负值已舍去）.所以椭圆。的离心率为《='=:故选B.

2.曲线高+若=1与曲线潟三+京三=1伏<144）的（）

A.长轴长相等B.短轴长相等

C.离心率相等D.焦距相等

解析：选D.曲线“：/1=1中4=169—攵一（144一攵）=25，所以c

169一k144—K

=5，所以两曲线的焦距相等.

3.(2020•山西大同开学考)在平面直角坐标系犬0)，中，椭圆C的中心为原点，

焦点RB在犬轴上：离心率为乎.过点Fi的直线/交椭圆。于4，8两点，且

乃的周长为16，那么椭圆C的方程为(

解析：选D.因为△ABB的周长为16，所以乃|+|4乃|+|8乃|+依「||=16.

由椭圆的性质，得4〃=16，解得〃=4.又椭圆的离心率为坐，即。=孚，所以〃

=y/2c=4，解得c=2啦，所以序=/一<?=8.所以椭圆。的方程为京十1=1.故

选D.

4.(202()•昆明市诊断测试)已知Q，乃为椭圆C5+/=im>">°)的左、右

焦点，B为C的短轴的一个端点，直线BFi与C的另一个交点为A，若4BAF?

为等腰三角形，则震!=()

A?B2

2

C.gD.3

解析：选A.如图，不妨设点3在y轴的正半轴上，根据椭圆的定义，得BFN

+|8乃|=2〃，|AR|+|A/2|=2a，由题意知|AB|=|AB|，所以|BFi|=|BFz|=a，AF\\

_a_l.3〃彳…』A二|1-3人

-2"ABI-2♦所以一3,故选A.

与椭圆交于A，3两点，贝ij()

A.|4F|+|BF|为定值

B.△ABF'周长的取值范围是［6，12］

C.当根=当时,为直角三角形

D.当机=1时，△AB”的面积为加

解析：选ACD.设椭圆的左焦点为尸，则依用=|BA，所以|AF|+|3F|=H/1

+|4尸|为定值6，A正确；△AB尸的周长为|4B|+|AF］+|BF］，因为|AF|+|3F］为定

值6,易知|AB|的范围是（0,6）’所以aABF周长的取值范围是（6，12），B错误;

将y=坐与椭圆方程联立，可解得A—，堂），，孚又易知F（、R，

（）），所以由滋=（加+叫］加一鸣+（一季一

=0，所以△A8/7为直角三角形,

C正确；将＞=1与椭圆方程联立，解得4（一加，1），8（加“），所以

乙

X1=^/6，D正确.

r2V2

6.若椭圆C：1（。乂＞0）的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为

解析：由题意可得b=c»则b2=a2—c1=c25a=y/2c，

c、历

故椭圆的离心率^=~=2.

套案.也

口•2

7.己知两圆Ci：（x—4）2+）2=169，Ci：（X+4）2+）2=9，动圆M在圆Ci

内部且和圆G相切，和圆。2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为.

解析：设圆M的半径为r，则|MC1|+|MC2|=（13-r）+（3+r）=16»|CIC2|=8»

所以M的轨迹是以G，Ci为焦点的椭圆，且2〃=16，2c=8，故所求的轨迹方

程为各若=，

处案.上+£=1

口外.64481

8.（2020•昆明市三诊一模）己知椭圆M：，+最=1（〃＞/»（））的左顶点为八，O

为坐标原点田，。两点在M上，若四边形。A8C为平行四边形，且NO48=45°,

则椭圆M的离心率为.

解析：由题意如4一〃0).因为四边形0ABC为平行四边彩，所以04〃BC，

且|0A|=|8C|=a，又NOAB=45°，所以雄，土?，代入椭圆方程，得:+薪=

1,所端弓，所以e七不鸣曹.

较合*安•，3

9.已知椭圆的长轴长为10，两焦点尸।，尸2的坐标分别为(3，0)和(一3，0).

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若尸为短轴的一个端点，求△BPB的面积.

o2

解：⑴设椭圆的标准方程为，+本=1(原＞小＞0)，

2a=10，

依题意得，因此a=5，〃=4，

c=3，

所以椭圆的标准方程为3+£=1.

ZJ1O

(2)易知|yp|=4，又c=3，

所以SAFiPFi=^yp\X2c=1x4X6=12.

x2v2

10.如图所示，已知椭圆了+乒=1(〃＞/»())，Fi，B分别为椭圆的左、右焦

点，A为椭圆的上顶点，直线A乃交椭圆于另一点B.

(1)若NnAB=90°，求椭圆的离心率；

(2)若椭圆的焦距为2，旦/2=2疫，求椭圆的方程.

解：(1)若NFiA3=9()°，则△AO22为等腰直角三角形.所以有|。4|=|。尸2|，

-5

即b=c.所以a=y[2c，e=^=2~'

3

(2)由题知A(0，b),乃(1，0)，设B(x，y)，由A@=2助，解得x=^，y=—

9或

b\r-44Q1

5.代入F+”=l,得"!+yi=1.即1丁+公=1，解得。2=3,所以"=2，所以椭圆

92

方程为5+5=1.

[B级综合练]

11.（综合型）设椭圆：，+1=1（。＞比＞0）的右顶点为A，右焦点为尸，3为椭

圆在第二象限内的点，直线B0交椭圆于点。，。为原点，若直线B/平分线段

AC，则椭圆的离心率为（）

A.：B.|C.；D.1

解析：选B.如图：设点M为AC的中点，连接0M，则0M为△ABC的中

位线,于是AOFMsAAFR,且陶=甯=;,即一^=:，解得《=£=「攵选

\rA\]AD\2a—c2a3

B.

12.（多选）（2020•山东潍坊期末）已知P是椭圆E：氐+，=1上一点，人，6

为其左、右焦点，且△APB的面积为3，则下列说法正确的是（）

A.P点的纵坐标为3

Ji

B.ZFiPF2＞y

C.△BPF2的周长为4（g+1）

D.△QPB的内切圆半径为|（啦—1）

解析：选CD.由已知条件得a=2y[2，/?=2，c=2.不妨设P（m»/?），/〃＞（），心0,

图

332

/团

--得

则SAFiPF2=1x2cXn=3，解得〃2284

解得〃尸手（负值已舍去），所以用用,斗.所以|PF||2=（乎+21+'=学4

2^14,|P时=（半一2）+.=学一，所以|PF"|P冏2-QC）2=*2-16

7IPFIF+IPBF—（2c）2n

j>0

=2>0，所以cosZFiPF2=~~2|嬴|:|夕乃|一，所以NQPB〈2，所以B

错误.由椭圆的定义，得△FiPB的周长为2a+2c=4g+4=4（g+l），所以C

i3

正确.设△BPB的内切圆半径为厂，则SZkFiPR2=5r<4啦+4）=3，所以r=7（地

乙1

-1），所以D正确.故选CD.

22

13.（2020•高考全国卷H）已知椭圆G：了+6=1（。乂>0）的右焦点厂与抛物

线C2的焦点重合，G的中心与Ci的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交G

4

于A，B两点，交C2于。。两点，且|。。|=手叫.

（1）求。的离心率：

（2）若G的四个顶点到C2的准线距离之和为12，求Ci与C2的标准方程.

解：（1）由已知可设。2的方程为），2=4CX，其中C=d〃2—尻

不妨设A，。在第一象限，由题设得A，^的纵坐标分别为号，-pC，D

的纵坐标分别为2c，-2c，

2/?2

^k\AB\=~»\CD\=4c.

48/?2c（c¥cc1

由|CO|=Q|AB|得4c=打，即3X-=2-2-.解得:=一2（舍去），.所以

JJL-</v«CtL

Cl的离心率为

o2

⑵由⑴知4=2c，b=y^c，故Cl：券+色=1•所以Cl的四个顶点坐标分

别为（2c，0）»（—2c，0）»（0，巾c），（0，—y[3c）»Ci的准线为x=