高考数学专项复习：空间向量的概念与运算

§7.6空间向量的概念与运算

【课标要求】1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐

标表示2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量

积判断向量的共线和垂直3理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面

位置关系的一些简单定理.

•落实主干知识・

I.空间向量的有关概念

名称定义

空间向量在空间中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量长度相等而方向相反的向量

共线向量(或表示若干空间向量的有向线段所在的直

平行向置)线互相拉或重合的向量

共面向量平行于同一个平面的向量

2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量”，力S#0),。〃力的充要条件是存在实数2,使

⑵共而向量定理：如果两个向量。，力不共线，那么向量p与向量。，b共面的充要条件是存在唯二的

有序实数对(x,y),使p=xa+yb.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量mb,。不共面，那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得

p=xa±vb^zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底.

3.空间向量的数量积及运算律

⑴数量积

非零向量。，8的数量积

a-ga||〃|cos〈。，b).

(2)空间向量的坐标表示及其应用

设。二(4|,。2，43)，b=(bi，岳，/?3).

\

向量表示坐标表示

数量积aha也1+G力2+a迫3

。］=协，。2=劝2，

共线。二世(b于。,z£R)

色―3

ab=O

垂直々1〃|+々2历+々3历一0

"0,bWO)

a+

模Jl+«3

cos(a,b)=

cos〈a,力〉二三

同向

夹角余弦值内瓦+a2b2+。3力3

(aWO,5#0)Jal+a14-a：J*+b1+bj

4.空间位置关系的向量表示

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量〃的有向线段所在的直线与直线/平行或重合，那么称此向量

为直线/的方向向量.

(2)平面的法向量：直线/_La,取直线/的方向向量a,则称向量。为平面a的法向量.

⑶空间位置关系的向量表示

位置关系向量表示

直线八，，2的方

l\//hH\//〃2<=>〃l=2〃2a£R)

向向量分别为

〃iJ_〃2=〃r〃2=O

〃1，〃2Zll/2

直线/的方向向I//a〃_Lw?<=>〃•〃『()

量为小平面a

的法向量为小，I.Lan///n<=>w=2m(2eR)

lUa

平面a,4的法

a//pn//m<=>n=Am(2£R)

向量分别为〃，

W±7Z?<=>H-77Z=O

ma邛

B自主诊断

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打或"X”)

(1)空间中任意两个非零向量。，力共面.(V)

(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.(X)

(3)若A,B,C,。是空间中任意四点，^AB+BC+CD+D4=0.(<)

(4)若直线。的方向向量和平面a的法向量平行，则a〃a.(X)

2.如图，在平行六面体A8CD-48G。］中，AC与BD的交点为点、M,设而二〃，AD=b,再二c,则下列向

量中与不if相等的向量是()

A.-^a+/+cB.j

答案C

解析C^M=C^C+CM=C^C+-(CB+CD)=A^A+-DA+-BA=--a--b-c.

22222

3.若平面a外的直线/的方向向量为a=(l,0,-2),平面a的法向量为m=(8,-1,4),则()

A.ZlaB./〃a

C.a//mD./与Q斜交

答案B

解析根据题意，直线/的方向向量为折(1,0,-2),

平面a的法向量为7W=(8,-1,4),易得a-m=lX8-2X4=0,

又直线/在平面a外，则有/〃a.

4.已知空间向量a=(2,I,2),b=(2,A+1,>.),若a〃)，则实数2=.

答案-2

解析由a//b,可设方R),

则(2,2+1,2)=(©,4,24),

2=以，

所以2+1=

A=2/2

［x“而+AC)^(AC-AB^AAl

£而三通+京

331

思维升华用已知向量表示某一向量的三个关键点

(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.

(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.

跟踪训练1在正四面体A8C。中，尸是AC的中点，£是。尸的中点，若万5=°,~DB=b,~DC=c,则能

等于()

A.-6r-b+-e

4422

C.-a^h+-cD.-a-b+c

442

答案A

解析根据题意可得而万5+DC)=^c),DE=^DF=^(a+c),

所以丽二丽+而二-丽+~DE=-b+\a^c)=-a-b+-c.

444

题型二空间向量基木定理及其应用

例2(多选)下列说法正确的是()

A.若a与力共线，力与。共线，则a与c共线

B.若G是四面体OABC的底面的重心，则而三(瓦5+赤+泥)

C.若前丽+：灰，则A,B,C,G四点共面

D.若向量p=〃7x+〃y+奴(其中x,y,z是三个不共面的向量，"?，〃，〃£R),则称p在基底［*,y,z］卜的

坐标为(〃?，〃，A).若p在单位正交基底(a,b,c｝下的坐标为(1,2,3),则p在基底｛a-b,a+b,c｝下的

坐标为(一》『3)

答案BD

解析对于A,若斤0,则满足。与6共线，8与c共线，但是。与c不一定共线，故A错误；

对于B,由于G为四面体0A8C的底面△A8C的重心，设。为8c的中点，故而=2而，

整理得耐-65=2瓦-2诟,故30S二砺+'OC+OA,

故前=：（65+赤+说），故B正真；

对于C,由于+gr1,对于00=：04-：08+：0C,

OOOOOO

故4,8,C,G四点不共面，故C错误；

对于D,p在单位正交基底｛a,b,c｝下的坐标为（1,2,3）,即p=a+2b-3c,设p在基底｛a-〃,a+b,c｝下的

坐标为(x,y,z),贝ij满足p=x(a/)-y(a+〃)+zc=a+.y)a+G7»+zc=Q+2b+3c,

1

x+y=1,X=-2

故y-x=2,解得y=l

z=3,

z=3,

则p在基底｛。-3，a+力，c｝下的坐标为（一号，|,3）,故D正确.

思维升华应用共线（面）向量定理证明点共线（面）的方法比较

三点(P,A,8)共线空间四点（W，尸，A,8）共面

PA=XPBMP=xMA+yMB

对空间任一点0,OP=OA-^tAB对空间任一点。，OP=OM+xMA+yMB

对空间任一点0,OP=WA+(\-x)OB对空间任一点。，OP=xOM+y15+(1-x-y)0B

跟踪训练2O为空间任意一点，若而二；万而+而？，若A,B,C,尸四点共面，则实数，等于

48

（）

A.lB.-C.-D.-

884

答案C

解析因为而二而-比?,

所以丽，汤+工时+/元可化简为

48

OP^OA=-OA+-OB+tOC,

48

即罚/57+工赤+万？，

48

由于A,8,C,P四点共面，则2+口，

解得匕

O

题型三空间向量数量积及其应用

例3(1)(多选)已知空间中A(0,1,0),B(2,2,0),C(-l,3,1)三点，贝i]()

A.而'与X?是共线向量

B.与向量而方向相同的单位向量是(雪，-y,0)

C.而与左夹角的余弦值是-詈

D.平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)

答案CD

解析因为4(0,।,0),8(2,2,0),C(-1,3,1),

所以75=(2,1,0),AC=(-\,2,1),

因为不存在实数2,使得而二无化,

所以通与而不共线，故A错误；

因为|丽|二，22+12=病,

所以与向量标方向相同的单位向量是含N等，y,0),故B错误；

又近=(-3,1,1),所以近与正夹角的余弦值是搭彘「奔造j-富，故C正确；

不妨令71=(1,-2,5),则说丑=1X2+(-2)X1+5X0=0,

ACn=1X(-l)+(-2)X2+5X1=0,

即且AC,

所以”=(1,-2,5)是平面ABC的法向量，故D正确.

(2)已知圆锥SO的底面半径为2,点夕为底面圆周上任意一点,，点Q为侧面(异于顶点和底面圆周)上任

意一点，则赤•丽的取值范围为()

A.(-4.4)B.[-4,4]

C.(-2,2)D.[-2,2]

答案A

解析如图所示，延长SQ交底面圆周于点8,过点Q作QG_L底面圆于点G,

s

^^OPOQ=OP(OG4-GQ)=0P0G=2cos<0P,0G)\0G\,

由题意可知cos(OP,0G>€[-1,1],0<|OG|<2,

所以灰•丽的取值范围为(-4,4).

思维升华空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利

用坐标运算.

跟踪训练3已知空间向量。=(-2,-I,I),M3,4,5),则下列结论正确的是()

A人a+b)〃a

B.a与〃夹角的余弦值为哼

C.2a_L(5a+65)

D.4|a|=V3|/>|

答案C

解析对于A,a+b=(l,3,6),因为三毛，所以。十万与。不平行，故A错误；

136

对于B与力夹角的余弦值为芸二去鬻二停，故B错误；

对于C,2。=(-4,-2,2),5。+66=(8,19,35),贝U2伍(5。+6仍=32-38+70=0,即2。J_(5a+6b),故C正确；

对于D,4|a|=4V6,V3|/»|=V3Xx/50=5V6,故D错误.

题型四向量法证明平行、垂直

例4如图，在四棱锥P-A8C。中，底面"C。是边长为。的正方形，侧面PAO_L底面"CD,且

PA=PD=^AD,设E,尸分别为PC,8。的中点.求证:

(1)石尸〃平面PAD；

(2)平面P48_L平面PDC.

证明⑴如图，取AO的中点0,连接OP,0E

因为PA=PD,

所以P01AD.

又侧面PA。，底面ABCD,平面PAOn平面A8CQ=AO,POu平面PAD,

所以平面4比7）.

又O，尸分别为AD,3。的中点，所以SB.

又四边形A8CQ是正方形，所以OF_LAD

因为PA=PD=^AD,

所以,OP=OA=^.

如图，以。为坐标原点，0A,0尸，0尸所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A仔，0,0）,F（0,0）,。（冶，0,0）,P（0,0,,C（-pa,0）.

因为E为PC的中点，所以E（—3（；）.

易知平面PAO的一个法向量为5?=（0,/0）,

因为前=（%0,V），

OF-EF=（0,0,-^）=0.

且平面PAD,所以EV〃平面PAD.

⑵因为刀=6，0,一）

CD=（0,-a,0）,

所以正•而=G，0,-^）（0,-a,0）=0,

所以q_1而,

所以PAJ_CD

又PA±PD,PDC\CD=D,PD,S=平面PDC,

所以PAJ_平面PDC.

又PAu平面PAB,所以平面PA81平面PDC.

思维升华（1）利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系（尽可能利用垂直条件，准确写

出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素）.

（2）向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.

跟踪训练4如图，己知44」平面ABC,AB=AC=3,BC=2644尸近，BB尸2由，点E

和为分别为8C和4c的中点.求证:

（阳〃平面A山山A；

⑵平面AEA」平面BCBi.

证明因为AB=AC,E为8c的中点，

所以AEJ_BC

因为；L4i_L平面ABC,A4I〃88I,

所以过E作平行于B片的垂线为z轴，EC,E4所在直线分别为x轴、y轴，

建立如图所示的空间直角坐标系.

因为4B=3,BE=y[5,

所以AE=2,

所以E(0,0,0),C(V5,0,0),

40,2,0),B(-V5,0,0),Ai(0,2,近)，贝ijF(y,1,y).

(1癖若,1,y),AB=(-V5,-2,0),

丽WO,0,V7).

设平面A^BA的一个法向量为〃心，)，，z),

中&所以篦L

(X=-2,

取(y=倔所以”(-2,V5,0).

U=0,

因为茄〃考X(-2)+IX通+,又0=0,

所以而JL〃.

又EP。平面AiBiBA,

所以E/7〃平面A田山A.

(2)易证ECJ_平面AEAi,

所以由=(6,0,0)为平面AE4的一个法向量.

同理易证£4J_平面BCB\,

所以瓦5=(0,2,0)为平面8c场的一个法向量.

因为衣•瓦5=0,所以正_1_瓦5,

故平面AE4」平面BCBi.

课时精练

［分值:90分］

阈知识过关

一、单项选择题(每小题5分，共3()分)

I.在空间四边形A88中，E,尸分别为AC,CO的中点，则而微(而+彳？)等于()

A.-E?R.BDC.FFD,前

答案C

解析在空间四边形ABCQ中，E为8c的中点，则四+配=2荏，

所以通尚(AB+AC)=AF-AE^EF.

2.已知。=（1,〃?，3）,b=（2f4,n）,且o〃b,则机+〃等于（

A.4B.6C.8D.10

答案C

解析因为。〃方，

所以存在实数t,使得a=tb,

又a={\,m,3),b=(2,4,〃)，

所以(1,,3)=/(2,4,n)=(2t,4/,nt),

所以m=4t,解得

(3=nt,1=6,，

所以m+n=2+6=8.

3.设加为实数，若直线/垂直于平面。，且/的方向向量为2,4),平面a的法向量为(2,4,8),则〃7

的值为()

A.lB.2C.-20D.-10

答案A

解析因为直线/垂直于平面a,

所以直线/的方向向量(〃？，2,4)与平面a的法向量(2,4,8)平行，

即詈卜：,解得=l.

*TOfn

4.已知。二(1,0,2),6=(3,-2,1),c=(-l,m,3),若a,b,c三个向量共面,则实数加等于()

A.-lB.2C.3D.5

答案B

解析•・•”,h，。三个向量共面，

二・存在唯一有序实数对(A,4),使c=Aa+4b,

即(-1,m,3)=2(1,0,2)+〃(3,-2,1),

p+3〃=-1,a=2,

即一2〃=m,=-1,

24+〃=3(m=2.

5.已知平行六面体ABCEMiBQOi中，44尸2,BD=3,彳耳反-彳豆近=4,则cos〈福，丽〉等于()

A.-B.--C.-D.--

3344

答案B

解析因为砧•沆-3瓦*•尻=(而+AA^)-AB-(AB+AA^YAD

=AD^AB+A＞；.而-48.而-44；.而二AA；.(而-而尸.丽=4,

所以苑•前=4,

西，丽〉AA^BD_-4_2

\AA^\\BDr2x3--3*

6.(2025・日照模拟)已知棱长为1的正方体ABCDA山Ci。，以正方体中心为球心的球。与正方体的各条棱

相切，若点P在球。的正方体外部(含正方体表面)运动，则而•丽的最大值为()

A.2B.-C.-D.-

444

答案B

解析取A3的中点E,

可知E在球面上，可得而=-丽=］瓦5,

所以阴・丽=(而+EA\(PE+EB)=PE2-EA2=PE2--,

4

点尸在球O的正方体外部(含正方体表面)运动，当尸E为直径时，I瓦jmax-或，

所以可•丽的最大值为马

4

二、多项选择题(每小题6分，共12分)

7.下列命题正确的是()

A.平面a,夕的法向量分别为〃尸(0,1,3),n2=(b2,6),则。〃£

B.直线/的方向向量为a=(l,-1,2),直线〃?的方向向量为力=(2,1,—：)，贝h与〃2垂直

C.直线/的方向向量为a=(0,1,-1),平面a的法向量为〃=(1,-1,-1),则/〃a

D.平面a经过A(l,0,-1),8(0,1,0),C(-l,2,0)三点，向量〃二(1,〃，f)是平面以的一个法向量,则

«+/=!

答案BD

解析对于A,向量m=(0,1,3)与〃2=(1,2,6)不共线，平面a与夕不平行，A错误；

对于B,由昕(1,・1,2),力二(2,1,一3,得a仍=1X2-1X1+2X(-3=O,/与〃?垂直，B正确；

对于C,e〃=lX(・l)+(-l)X(-l)=O,则/ua或/〃a,C错误；

对于D,BA=(\,-1,-1),BC=(-\,1,0),

由〃=(1,〃，。是平面a的一个法向量，得［丝-n=l-u-t=0,解得〃+0，口正确.

8.下列说法正确的是()

A.在空间直角坐标系Oxyz中，点(3,-4,5)关于平面对称的点为(3,-4,-5)

B.对空间任意一点。与不共线的A,B,C三点,若诃=x而+)，而+z5J,其中x,y,z£R且廿y+z=l,则

P,A，B,C四点共面

C.已知用(0,1,1),MO,0,-1),则。在〃上的投影向量为(0,0,-1)

D.向量p在基底｛跖Dc｝下的坐标为(4,2,3),则向量p在基底｛a+4a-b,c｝下的坐标为(3,1,3)

答案ABD

解析对于A，点(3,-4,5)关于平面对称的点应满足横、纵坐标不变，竖坐标变为相反数，即为(3,

-4,-5),故A正确；

对于B,因为x+y+z=l,贝ijz=\-x-y,Pfi^OP=xOA+yOB^(1-x-y)OC,WOP-OC=xOA-xOC+)^OB-yOC,所以

CP=xCA+y^CB,所以PtAtB,C四点共面，故B正确；

对于C,由投影向量定义可得。在方上的投影向量为偿人?上功=((),0,1),故C错误；

|o|1

对于D,设向量p在基底｛aI〃,a-6,c｝下的坐标为(x,y,z),

则p=x(a+b)+y(a-b)+zc,

又向量p在基底｛a,b,c｝下的坐标为(4,2,3),

则p=4a+2b+3c,

所以4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc

=(x+)M+(x-y)力+zc,

x+y=4,(x=3,

所以x-y=2,解得y=1,

z=3,\z=3,

所以向量p在基底｛a+8,a-b,c｝下的坐标为(3,1,3),故D正确.

三、填空题(每小题5分，共10分)

9.在空间直角坐标系中，已知A(l,1,0),3(-1,0,2),点C满足元=3荏，则点C的坐标为.

答案(-5,-2,6)

解析设C{x,y,z),

则而二(-2,-1,2),AC=(x-l,y-\,z)

=3AB=(-6,-3,6),

%-1=-6,(x=-5,

故y-1=-3懈得y=—2,

z=6,\z=6.

故点。的坐标为(-5,-2,6).

10.已知三棱锥P-A8C的体积为6,M是空间中一点，丽=-白甫+卷方定，则三棱锥A-MBC的体

A3XOJL〉

积是.

答案4

解析前二」而+三厢+上无，故3丽二f而+之丽+g丽，

151515555

B

不妨今丽=3月而，

则而:工闷+-PB+-PC,

555

又-；+：+91,故H,A,8,C四点共面，

OOO

22

故V三棱锥M-ABC=-V三棱值P-ABC=-义6=4.

JJ

四、解答题（共27分）

11.（13分）如图，四棱锥P-A8CO的底面为正方形，侧棱尸AJ_底面A8CD,fiPA=AD=2,E,F,”分别是

线段PA,PD,A8的中点.求证：

（l）P8〃平面E尸”；（5分）

（2户。_1平面4"£（8分）

证明（1）V£：,H分别是线段PA,A8的中点，

:,PB〃EH.

•・・PBQ平面EFH,且E”u平面EFH,

・・・/W平面EFH.

(2)因为PA_L平面A8CO,四边形A8CO为正方形，

则AB,AD,AP两两垂直，以A为坐标原点，

建立如图所示的空间直角坐标系.

则4(0,0,0),D(0,2,0),P(0,0,2),F(0,1,1),//(I,0,0).

PD=(0,2,-2),AH=(\,0,0),AF=(0,1,1),

，丽・万=0X0+2X1+(-2)X1=0,

PD-AH=0X1+2X0+(-2)X0=0.

：.~PD±AF,'PD±AH,

：.PDLAF,PD1.AH.

*：AHC\AF=A，且4"，AFu平面AHF,

・・・PO_L平面

12.(14分)如图所示,在三棱柱ABC-A山C中，CA=CB=CCi，CA=a,CB=b,鬲=c,Q,b>=<«,c)

号，⑸c〉gN是A8的中点.

(1)用a,b,c表示向量41M(5分)

(2)在线段G8上是否存在点M,使AM_L4N?若存在，求出M的位置，若不存在，请说明理由.(9分)

解⑴《阴千+AN=C^C+^AB=-CC^+*而-丽=微吗-c.

(2)假设存在点M,使4MJ_A|N,

设可?力瓦瓦士，1]），

显然4M=44]+力I。14-C1M=c-a+Ab.

因为AM_LA|N,所以丽?•而心0,

即(c-a+劝)•(-[a+[b-c)=0,

所以-：ca+：c・力-c'ja?二a力+ca-%•力+：262-4bc

222222

=-ca-(--A)cZ>-c2+-a2-f-+为)4/凸〃二()

2\2J2\22J2

iS.CA=CB=CC\=\,

又〈《,。〉=〈a,c〉二?,〈。，c〉=5,

J/

所以:C℃2+》-G+勿M),

22\2272

222

gplx1X1x(-1)-l+|x1-(1+1A)XIX1X(-1)+l=0,

解得A=5,

所以当GM=|C18|时，AMJ_A|N.

10能力拓展

13题5分，14题6分，共II分

13.1941年中国共产党在严重的困难面前，号召根据地军民，自力更生，艰苦奋斗，尤其是通过开展大生

产运动，最终走出了困境.如图就是当时缠线用的线拐子，在结沟简图中线段A6与CD所在直线异面垂直,

E,产分别为A8,CO的中点，且石凡LAB,EFLCD,线拐子使用时将丝线从点A出发，依次经过。，B,

C又回到点A,这样一直循环，丝线缠好后从线拐子上脱下，称为“束丝”.图中A8=以三C