高考数专项复习：三角函数与解三角形 （测试）解析版

第四章三角函数与解三角形（测试）

（考试时间：120分钟试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡匕写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共58分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

1.已知a,rwR,则"sina=cos尸”是“a-尸=1”的（）

A.充分不必要条件R.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】因为sina=cos内n仁-力所以a=：-夕+2E,或a+旨夕）=九+2日.

所以a+/?=；+2履，或者a-6=5+2配

故"sina=cos/?”是“a-/3=^”的必要不充分条件.

故选：B.

2.在AABC中，角4,3,C的对边分别为mb,c,若acosA+〃cosA=a,则△ABC一定是（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰或直角三角形D.等边三角形

【答案】A

【解析】由a8sB+bcosA=a,利用正弦定理,sinAcosB+cosAsin5=sinA,

即$in（A+8）=sinC=sin4、因0<4,Cv7i,贝Ij4=。或。=兀一力（不合题意舍去），

故AA8C一定是等腰三角形.

故选:A.

3.如图，d夕是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角，则tan（a+£）=（）

C.石D.1

则匕2+尸）=含£器

故选：D.

4.如图，曲线段A8是一段半径为A的圆弧，若圆弧的长度为手，则人，8两点间的距离为（)

C.GRD.2R

【答案】C

【解析】设A3所对的圆心角为

则由题意，得aR=与R.所以。二?，

JJ

所以A4=2Rsin-=2/?sin-=2/?x^=&R,

232

故选:C.

5.冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，结合中国书法的艺术形态，将悠久的中国传统文化底蕴与国际化风

格融为一体，呈现出中国在新时代的新形象、新梦想.某同学查阅资料得知，书法中的一些特殊画笔都有固定

的角度，比如在弯折位置通常采用30、45.60.90J20J50等特殊角度下.为了判断“冬”的弯折角度是否符合

书法中的美学要求.该同学取端点绘制了如图,测得A8=5,8O=6,AC=4,AO=3,若点C恰好在

边BO上，则sin/ACD的值为（）

（=>

甲

D.叵

A.1B.

966

【答案】C

AD1+BD2-AB29+36-25二5

【解析】由题意，在△A8D中，由余弦定理,cosZADB=

1ADBD2x3x6-9：

因为ZADBG（0,兀），所以sinZADB=4-cos2ADB=1-（-Y=空巳，

V19J9

ACAD

在二AC。中，由正弦定理

sinZADBsinZACD

4_3

解得sin/ACQ=巫,

所以29一sin/ACQ,

丁6

故选:C

6.在平面直角坐标系中，角夕的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点P（l,2）,则

7cos2<9-2sin26>=（）

11

C2

A.-5-B.-5-2D.

【答案】A

【解析】由题意可知:tanO=2,

7cos2。-4sinOcosO_7-4tan6?_7-4x2__l

所以7cos2"2sin2e=

sin26^+cos2G一tan26^+1-22+l~-5,

故选:A.

7.在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运

动”.在平面直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数/'（*）=Asin（3x+o）（4>0,⑷花）来表示，

则所得函数是呜0-副=2sin（2.牛-部升2可3.咤），故④错误：

综上，正确的编号是②③.

故选：B.

8.在“8C中，=p。是A8的中点，CD=B则A8+23c的取值范围为（）

A.（75,273VB.（232甸c.（2x/3,4x/3]D.倒,4句

【答案】C

因为8=g,CD=6在△BCD中，

BDBCCD逐2

由正弦定理可得sin/BCD-sinNBDC-sin/B一忑一，

万

则BD=2sin/BCD,BC=2sin4BDC,

且D是AS的中点，则AB+IBC=2BD+2BC=4sinNBC/J+4sin/BIX：，

又B」,则N8CO=2兀-N8OC,

33

则A8+28C=4sin］：7i—NBOC

+4sinZBDC

cos/BCD+-sinNBCD+sin/BCD

2

=4|-sin/BCD+—cos/BCD

22

=4>/3sin

又乙BCD

所以sin(N8CO+V3则4Gsin(4CD+^Je(2x/3,4>/3],

即AA+2BC的取值范围为（2>/5,4G].

故选：C

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得。分.

9.下列选项中，值为的是（）

A.2cos215°B.sin27°cos3°+cos27°sin3°

tan22.5°

C.2sinl50sin75°

1-tan222.5°

【答案】BCD

【解析】选项A：2温―33。。…冬故选项A不符合题意;

选项B：sin27°cos3°+cos27°sin30=sin30°=-,故选项B符合题意；

2

选项C：2sin15sin75°=2sin15°cos15°=sin30°=,故选项C符合题意;

'“Enlan22.5°12tan22.5°11―号人.

选项D：声=5,45。=5,故选项C符合题息.

故选：BCD.

10.已知函数/（K）=Asin（5+/）+《A:>0e>0.网的图象如图所示，下列说法正确的是（）

B.I2

lini

AiO2A.v

C.将函数g*）=2cosx+l的图象上所有点的横坐标缩短到原来的再向右平移专个单位长度，可得

到函数/（X）的图象

D.函数f*)在xw(O")上有5个零点，则。的取值范围为丁，,

56

【答案】ABC

【解析】由题图可知，＜=段-三=1，所以T=兀二空，所以。=2,

212122co

由2乂;+尹=5，得尹二g,

A+5=3A-2re

由葭+8=—1解得所以/(x)=2sin(2x+w)+l.

"=1.5

对于A,令工=一号，则2"+5=一%/(一今)=1,故A正确；

对于B,r*)=4cos(2x+[),r，1入'+5)一/(511,。兀、1,“兀兀、一故B正确;

3lim---------乙-------=—/(―)=—x4cos(2x—+—)=-1

22©22223

对于C,函数变换后的解析式为y=2cos(2x-f+l,因为

6

2cos(2.r--)+1=2cos[(2x+-)--]+!=2sin(2x+—)+1,即为函数f(x),故C正确；

6323

对于D,因为xe(O,a),得2x+1e(],2a+1),令/(x)=0,则sin(2x+])=-；,由正弦函数图象可知，

31兀3兀，35兀£”/口29兀，11冗...

-<2a+-<—,<d<—,故D错误.

故选：ABC.

11.如图，以8。的角A4,C所花的边分别为a/,c,73(acosC+ccosA)=2bsinB,且NCA8=],若点。

在,/3。外，DC=\,DA=3,则下列说法中正确的有()

D.四边形A8CD面枳的最大值为生+26

【答案】ABC

【解析】因为6(优05。+8084)=2^访3,由正弦定理得G(sinAcosC+sinCcosA)=2sin'B,

即、万sin(A+C)=V3sinB=2sin*,

因为8G(0.2,可得sin5>0,所以sin3=立，

2

又因为NC48=g,可得8w(0,?),所以B=所以5BC为等边三角形，

3JJ

7T7T

可得乙48C=1,ZACB=~,所以A、B正确；

设/ADC=夕(0,兀),

在IACD中，由余弦定理得Mq2=|Qq，|D4|2-2|OC||D4|cos6=10-6cosg,

i13

且SACD=|^|s*n=—x1x3sin0=—sin0,

可得5,诋=£|八。『=5,_3,cose，

所以四边形的面积为S=SA8C+SACD=¥-手cose+[sin<9=^+3sin(e-1),

当8-三=[时，四边形48co的面积最大，最大值为辿+3,所以C正确，D错误.

322

故选：ABC.

第二部分（非选择题共92分）

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.tan200+tan40°+>/3tan20otan40o=

【答案】6

【解析】因为1皿60。=1的（20。+40。）=辛*嚓=力

l-tan200tan40°

所以6-6tan20°tan40°=tan20°+tan40°,

所以tan20°+tan400+£tan200tan40°=6

故答案为：百.

13.在_A8C中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=M\/5sinC+cosC）,则角3二

【答案】y/30

0

【解析】因为a=〃(\/5sinC+cosC),由正弦定理sin人=sin8(\/3sinC+cosC),

即sinA=Gsin8sinC+sin8cosc,

又因为sinA=sin(Z?+C)=sin5cosC+cos/?sinC,

可得sin8cosc+cosBsinC=>/3siiiZ^sinC+sin13cosC，、

所以cos6sinC=VSsin6shic，

因为Cw(0,冗),可得sinC>0,所以cos4=JSsin3,即tan4=,

3

又因为8e(O,7i),所以8=今

故答案为：

6

14.已知函数尸&sin(x-3)在区间KM,|0M+3上的值域均为［-1向，则实数。的取值范围是

44

___37c5兀

【答案】丁二

44

【解析】当X£［0，。］时，当人00,〃+?］时，才一白卜1人

444444

因为函数V=&sin（x-£）在区间[OM],[OM+£I上的值域均为【T/1,

44

而、6sin（一二）=一1.V2sin^=-1,所以〃=

44

又因为近sin（-今=-1,V2sin^=-1,

44

兀71

所以J,解得当《公”，即实数〃的取值范闱是考考].

,5兀4444

a<—

4

故答案为：仔，当.

44

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。

15.（13分）

如图，在平面坐标系xQv中，第二象限角a的终边与单位圆交于点A,且点A的纵坐标为*

（2）求sin'a-sinacosa的值.

3

【解析】（1）由题知sina=：,

4

因为sin?a+cos2a=1,所以cosa=±1.

J

4

又。为第二象限角，所以cosa=-《，

J

-sina3,一八、

可得tana=-------=-一.（8分）

cosa4

G•2・⑶23（4）21小公、

（2）sma-sincosa=-一一x一一=一.（13分）

⑸5\5）25

16.（15分）

在4ABe中,角AB,C所对的边分别为名已知a=7,c=8.

4

（1）若$足。=亍，求角A的大小；

（2）若2=5,求4。边上的高.

4

【解析】（1）由正弦定理，-£-=-£-,即c；nA_asinC_7x^_।,

sinAsinCsinA=----------=---=—

c82

因故A<C,即A是锐角，故A==；（7分）

(2)

如图，由余弦定理，3。=告二若产j（9分）

/--------4L

知角C是锐角，WiJsinC=Vl-cos2C=-V3,

作3〃J.ACr点，，在中，^H=t/sinC=7x-^=4T5,

7

即4c边上的高是4月.（15分）

17.（15分）

在“8c中，角A,B,C的对边分别为。，b,c,已知c=4/=3.

（1）若85。=一1,求。的值和A8C的面枳；

4

（2）在（1）的条件下，求cos卜C+g）的值；

（3）若A=28,求〃的值.

【解析】（1）在丁WC中，由余弦定理得cosC='+二一），即a、9-16=」

2ab2x3xa4

化简得2a2十3“-14=0,解得。-2或a=-g（舍），.\a-2,

Ce（0,n）,cosC=_：,；.sinC=\/l-cos2C=~^~，

：^.ABC的面积S=i«Z?sinC=—x2x3x.（5分）

2244

iV7

cos2C=2cos-C-1=2x——-1=——，

I4；8

八人叫寸7t7171f岳163百—7

..cos2C+—=coszCcos——sin2Csin—=——x——-----x——=--------（10分）

I3）33828J216

（3）在工8C中，由止弦定理得三二工，

sinAsmB

V/1=2B,.-.—^―=—=---,化简得cos8=g,

sin2Bsin/?2sin8cos86

由余弦定理得cosB="a=,

lac2x4x〃

£+16-9,解得〃=历（负值舍去），

2x4xa6

所以〃=用.（15分）

18.（17分）

在「48C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a：+4ccos8+〃ccos八=//+ac.

⑴求角B的大小；

（2）若。=2,且./8C为锐角三角形，求.工的周长的取值范围;

⑶若从=ac,且一ABC外接圆的半径为2,圆心为O,P为圆0上的一动点，试求PbP3的取值范围.

【解析】(1)依题意a2+accosB+beconA=b~+ac,

所以由余弦定理有/+4小

2ac2bc

/+/一〃)]_

整理得a2+c2—h2=ac.故cos/?=

2ac2

因为0<3<4，所以8=1.（5分）

(2)因为a=2,4=g

J

2b

b

所以由正弦定理,即sinAJ3—-AV

sinAsinBsinC—sin

23)

2nIT

①6"A,_>/3cosA+sinAl+\/3cos4,

b=----,c=----

sinAsinAsinAsi114

2

..2cos—石

所以a+/?+c=3+V5x----=3+75x--------工z=3+

疝认2sin^cosA

tan—

222

又一48C为锐角三角形，所以有=>AE162（9分）

「2兀.71

C=--Ae|0,—

2

、兀

2tan-

r।A（71rt）冗71n

则六应力又由嗔=——12_=V3=>lan2L=2,^f

26l-tan2A312

12

所以哈（2g）,所以3+壬（3+36+2月,

2

故"BC的周长的取值范围为（3+6,6+26）.（11分）

⑶由正弦定理知白=2R,得〃=25则g*⑵

又由a?+/一。2=〃c="+/=24,则a=c=2>/J，

则../$C为等边三角形，取AB的中点M,如图所示,

c

p

则PAPB=(PM+PM+M4)=(PM+M^PM-MA)

=PM2-MA1=PM2-3^

由O/,=2.OM=1,则PMe[l,3],

则尸4-PB=PM2-3W[-2,6].(17分)

19.(17分)

“费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题.该问题是：“在一个三角形内求作一点，

使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”意大利数学家托里拆利给出了解答，当上8C的三个内角均小

于120。时，使得/428=/8/。=/。巳4=120。的点2即为费马点；当有一个内角大于或等于120。时，

最大内角的顶点为费马点.在一A8c中，内角A,B,C的对边分别为。，b,c.

tanAtanC

(1)若cos(A-C)+cosB=

tanAtanC-1

①求8；

②若/3C的面积为白，设点P为工8C的费马点，求PAPC的取值范围；

(2)若」WC内一点。满足NRW=NP8C=NPC4=。，且尸8平分NA3C,试问是否存在常实数/,使

得/=sc，若存在，求M常数/；若不存在，请说明理由.

【解析】(1)①因为cos(A—C)+cos4=snAtanC,RA+B+c=Jlf

tan4tanC-1

所以cos(A-C)-cos(A+C)=1JnA'ar>°

tany4tanC-1

所以cosAcosC+sinAsinC-(cosAcosC-sinAsinC)=-------sin"sinC--------

sinAsinC-cosAcosC

sinAsinC

ti|J2sinAsinC—

-cos(A+C)

因为AW(0,TI),Ce(O.n),所以sinAwO,sinC/O,

所以cosB=；,

因为Be(0m),所以B=］；(5分)

②因为48C=m，所以/BC的内角均小于日,

JJ

所以点尸在58C的内部，且NAP8=N8PC=NCPA=,

由S瓯=；acsinB=g,得。。=4,

设ZA3P=<9,(),g,则=

\3)J

PA2

在.8中，由正弦定理得病二诲ri'即抬"耳曲血

PC

--------2

在一尸8C中，由正弦定理得sinf--6^sinZ