高考物理一轮复习讲义：必修2 机械能守恒定律及其应用

第3耕机械能守恒定律及其应用

知识梳理•双基过关紧抓教材：自主落实

知识排查

知识点一重力做功与重力势能

1.重力做功的特点

(1)重力做功与路径无关,只与始、末位置的高度差有关。

(2)重力做功不引起物体机械能的变化。

2.重力势能

(1)表达式：ED=mgho

⑵重力势能的特点

①系统性：重力势能是物体和地球所共有的。

②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关,但重力势能的变化与参考平

面的选取无关。

3.重力做功与重力势能变化的关系

(1)定性关系：重力对物体做正功，重力势能就减小;重力对物体做负功，重力

势能就增大。

(2)定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量,即WG=-(EP2-

Epi)——AEpo

知识点二弹性势能

1.定义：物体由于发生弹性形变而具有的能。

2.弹力做功与弹性势能变化的关系：弹力做正功，弹性势能减小;弹力做负功，

弹性势能增加,即W=一△Eg

知识点三机械能守恒定律及应用

1.机械能：动能和势能统称为机械能,其中势能包括弹性势能和重力势能。

2.机械能守恒定律

(1)内容：在只有重力或弹簧弹力做功的物体系统内,动能与势能可以相互转化,

而总的机械能保持不变。

(2)表达式：mghi-\-2mv^=mgh2-\-2mv^°

3.守恒条件：只有重力或弹簧的弹力做功。

小题速练

1.思考判断

(1)被举到高处的物体的重力势能一定不为零。()

(2)物体在速度增大时，其机械能可能在减小。()

(3)物体所受合外力为零时，机械能一定守恒。()

(4)物体受到摩擦力作用时，机械能一定要变化。()

⑸物体只发生动能和势能的相互转化时，物体的机械能一定守恒。()

答案(1)X(2)V(3)X(4)X(5)V

2.将质量为100kg的物体从地面提升到10m高处，在这个过程中，下列说法

正确的是(取g=10m/s2)()

A.重力做正功,重力势能增加1.0X104J

B.重力做正功，重力势能减少1.0X104J

C.重力做负功，重力势能增加1.0X104J

D.重力做负功，重力势能减少1.0X104J

44

解析WG=-mg/z=-1.0X10J,AEP=-WG=1.0X10J,选项C正确。

答案C

3.如图1所示，质量为机的物体沿斜上方以速度oo抛出后，能达到的最大高度

为加，当它将要落到离地面高度为力的平台上时(不计空气阻力，取地面为参考

平面)，下列判断正确的是()

图1

A.它的总机械能大于%/沈

B.它的总机械能为mgho

C.它的动能为机g(〃o—7?)

D.它的动能为—机g/z

答案D

膘堂互动•研透考点不同考点不同说法

考点！■机械能守恒的理解与判断

i.利用机械能守恒定律判断（直接判断）

分析动能和势能的和是否变化。

2.用做功判断

若物体或系统只有重力（或弹簧的弹力）做功，或有其他力做功，但其他力做功的

代数和为零，则机械能守恒。

3.用能量转化来判断

若物体系统中只有动能和势能的相互转化而无机械能与其他形式的能的转化，则

物体系统机械能守恒。

【例1】（多选）如图2所示，一轻弹簧一端固定在。点，另一端系一小球，将

小球从与悬点。在同一水平面且使弹簧保持原长的A点无初速度地释放，让小

球自由摆下，不计空气阻力，在小球由A点摆向最低点3的过程中，下列说法

正确的是（）

A

图2

A.小球的机械能守恒

B.小球的机械能减少

C.小球的重力势能与弹簧的弹性势能之和不变

D.小球和弹簧组成的系统机械能守恒

解析小球由A点下摆到B点的过程中，弹簧被拉长，弹簧的弹力对小球做了

负功，所以小球的机械能减少，故选项A错误，B正确；在此过程中，由于有

重力和弹簧的弹力做功，所以小球与弹簧组成的系统机械能守恒，即小球减少的

重力势能等于小球获得的动能与弹簧增加的弹性势能之和，故选项C错误，D

正确。

答案BD

|多维训练精选练透

1.如图3所示，斜劈劈尖顶着竖直墙壁静止于水平面上，现将一小球从图示位

置静止释放，不计一切摩擦，则在小球从释放到落至地面的过程中，下列说法正

确的是（）

A.斜劈对小球的弹力不做功

B.斜劈与小球组成的系统机械能守恒

C.斜劈的机械能守恒

D.小球重力势能减小量等于斜劈动能的增加量

解析不计一切摩擦，小球下滑时，小球和斜劈组成的系统只有小球重力做功，

系统机械能守恒，小球重力势能减小量等于斜劈和小球动能的增量之和，A、C、

D项错误，B项正确。

答案B

2.（多选）质量分别为机和2机的两个小球A和3,中间用轻质杆相连，在杆的中

点。处有一水平固定转动轴，把杆置于水平位置后释放，在3球顺时针转动到

最低位置的过程中（）

AB

Q•O

mO2m

图4

A.5球的重力势能减少，动能增加，3球和地球组成的系统机械能守恒

B.A球的重力势能增加，动能也增加，A球和地球组成的系统机械能不守恒

C.A球、3球和地球组成的系统机械能守恒

D.A球、3球和地球组成的系统机械能不守恒

解析3球从水平位置转到最低点的过程中，重力势能减少，动能增加，A球重

力势能增加，动能增加，A球和地球组成的系统机械能增加。由于A球、3球和

地球组成的系统只有重力做功，故系统机械能守恒，A球和地球组成的系统机械

能增加，则3球和地球组成的系统机械能一定减少，选项B、C正确。

答案BC

考点2单物体的机械能守恒问题

机械能守恒问题的各种表达形式

最适合的

形式表达式意义

研究对象

,,12

守恒mgh-r^mv=运动过程中初、末两

单个物体

形式mghr+^mv,2状态的机械能相等

转化动能的增加量等于势一个或

—

AEk=AEP

形式能的减少量多个物体

A物体增加的机械能

转移

AEA=—NEB等于5物体减少的机两个物体

形式

械能

特别提醒用“守恒形式”时，需要规定重力势能的参考平面。用“转化形式”

和“转移形式”时则不必规定重力势能的参考平面，因为重力势能的改变量与参

考平面的选取没有关系。

【例2】(2016•全国卷HI,24)如图5所示，在竖直平面内有由加弧A3和/圆

弧3C组成的光滑固定轨道，两者在最低点3平滑连接。A3弧的半径为凡BC

弧的半径为多一小球在A点正上方与A相距专处由静止开始自由下落，经A点

沿圆弧轨道运动。

图5

(1)求小球在3、A两点的动能之比;

(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。

解析(1)设小球的质量为根，小球在A点的动能为人，由机械能守恒得

E^A=mg^®

设小球在5点的动能为Eks,同理有

EkB=/ng•7②

由①②式得铲=5③

匕kA

(2)若小球能沿轨道运动到。点，小球在C点所受轨道的正压力人应满足

RGO④

设小球在C点的速度大小为oc,由牛顿第二定律和向心加速度公式有

F^+mg=nr^§)

2

由④⑤式得mgW加■天■⑥

对全程应用机械能守恒定律得

R1DC

mg--^=^mvc

由⑦⑧式可知，vc=vc',即小球恰好可以沿轨道运动到。点。

答案(1)5：1(2)能，理由见解析

方法技巧|

应用机械能守恒定律解题的基本思路

单个物体

对研究对象进行受力和做功情况分析

研究对象的机械能是否守恒

Eki+Ep产Ekz+Ep*或AEk=-AEp

联立方程求解

I多维训练精选练透

1.(2018・武汉调研)如图6所示，用两根长度均为I的轻绳将一重物悬挂在水平

的天花板下，轻绳与天花板的夹角为仇整个系统静止，这时每根轻绳中的拉力

为兀现将一根轻绳剪断，当小球摆至最低点时，轻绳中的拉力为7。。为某一

值时，疆大，此最大值为（）

m

图6

954

AqB.2C.3y]r2—2D.^

解析剪断轻绳之前：2Tsin9=/ng；剪断轻绳后，摆到最低点时：^mv2=mgl（l

、v-T

-sin0）,由牛顿第二定律：P—mg=my；联立解得了=6sine—dsin2仇由数学

9

知识可知，此比值的最大值为彳，故选项A正确。

答案A

2.（2018•唐山一中月考）如图7所示是跳台滑雪的示意图，雪道由倾斜的助滑雪

道A3、水平平台BC、着陆雪道CD及减速区DE组成，各雪道间均平滑连接，

A处与水平平台间的高度差力=45m,CD的倾角为30。。运动员自A处由静止滑

下，不计其在雪道ABC滑行和空中飞行时所受的阻力。运动员可视为质点。（g

取10m/s2）

——

图7

（1）求运动员滑离平台BC时的速度大小；

（2）为保证运动员落在着陆雪道。上，雪道CD长度至少为多少？

⑶若实际的着陆雪道CD长为150m,运动员着陆后滑到。点时具有的动能是着

陆瞬间动能的80%,在减速区DE滑行s=100m后停下，则运动员在减速区所

受平均阻力是其重力的多少倍？

解析（1）从A到C过程中，机械能守恒，有

mgh=^mvi

解得vc=y/2gh=30m/s

(2)设落点距抛出点C的距离为L,由平抛运动规律得

Leos30°=vet

Lsin30°=；g-

解得L=120m

(3)运动员由A运动到落点过程中，由机械能守恒定律得mg(h+Lsin30°)=1mr2

设运动员在减速区减速过程中所受平均阻力是重力的左倍，根据动能定理得

1

—kmgs=09

根据题意有^mvb=0.80X^mv2

解得Z=0.84

答案(1)30m/s(2)120m(3)0.84倍

考点3连接体的机械能守恒问题

连接体问题一般可分为三种

⑴速率相等的连接体：如图甲所示，两物体在运动过程中速率相等，根据系统

减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。

(2)角速度相等的连接体：如图乙所示，两球在运动过程中角速度相等，线速度

大小与半径成正比，根据系统减少的重力势能等于系统增加的动能列方程求解。

(3)某一方向分速度相等的连接体：如图丙所示，A放在光滑斜面上，3穿过竖直

光滑杆PQ下滑，将3的速度沿绳的方向和垂直于绳的方向分解，如图丁所示，

其中沿绳子方向的速度“与A的速度大小相等，根据系统减少的重力势能等于

系统增加的动能列方程求解。

【例3】(多选)(2015•全国卷H)如图8所示，滑块八6的质量均为机，。套在

固定竖直杆上，与光滑水平地面相距力，方放在地面上，a、人通过较链用刚性轻

杆连接，由静止开始运动，不计摩擦，心6可视为质点，重力加速度大小为g。

则（）

A.。落地前，轻杆对6一直做正功

B.。落地时速度大小为吸以

C.。下落过程中，其加速度大小始终不大于g

D.a落地前，当a的机械能最小时，6对地面的压力大小为mg

解析由于刚性轻杆不可伸缩，滑块。、6沿轻杆方向的分速度相等，滑块。落

地时，速度方向竖直向下，沿轻杆方向的分速度为0,故此时滑块人的速度为0,

滑块。的初速度为0,所以轻杆对6先做正功，后做负功，选项A错误；以滑块

a、方及轻杆为研究对象，系统的机械能守恒，当a刚落地时，则加g%=3m尾+0,

即为=4幅，选项B正确；a、6的先后受力如图所示。

由。的受力图可知，a下落过程中，其加速度大小先小于g后大于g,选项C错

误；当。落地前人的加速度为零（即轻杆对人的作用力为零）时，6的机械能最大,

a的机械能最小，这时6受重力、支持力，且Rw=/ng,由牛顿第三定律可知，

b对地面的压力大小为/ng,选项D正确。

答案BD

I多维训练精选练透

1.如图9所示，可视为质点的小球A、3用不可伸长的细软轻线连接，跨过固

定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为3的两倍。当3位于地面上时,

A恰与圆柱轴心等高。将A由静止释放，3上升的最大高度是()

c5R-2R

A.2RB.可D.-j-

解析设3球质量为根,A球刚落地时，两球速度大小都为。，根据机械能守恒

2

定律2mgR—"琢7?=3(2根+m)02得"

,B球继续上升的高度A=y-=v,B

Ng。

4

球上升的最大高度为/z+H=甲，故选项C正确。

答案C

2.(2019•江苏泰州一模)如图10所示，在倾角为30。的光滑斜面上，一劲度系数

为^=200N/m的轻质弹簧一端连接在固定挡板C上，另一端连接一质量为m=

4kg的物体A,一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端与质量也为加

的物体3相连，细绳与斜面平行，斜面足够长。用手托住物体3使绳子刚好没

有拉力，然后由静止释放。求：

图10

(1)弹簧恢复原长时细绳上的拉力；

(2)物体A沿斜面向上运动多远时获得最大速度;

(3)物体A的最大速度的大小。

解析(1)弹簧恢复原长时

对3有mg—Fi=ma

对A有Fy—mgsin30°=ma

解得Fr=30N。

(2)初态弹簧压缩xi="gs2300=。1nl

当A速度最大时mg=te+mgsin30°

瑞等准上mS-mgsm30°

弹簧伸长工2—卜—0.1m

所以A沿斜面上升XI+X2=0.2mo

(3)因％1=X2,故弹性势能改变量AEp=0,

由系统机械能守恒

mg(xi+x2)—mg(xi+x2)sin30°X2mv2

得v=lm/So

答案(1)30N(2)0.2m(3)1m/s

课时作业

（时间：40分钟）

基础巩固练

1.在2018年雅加达亚运会上，我国跳水运动员司雅杰摘得女子10米台金牌，

彭建峰收获男子1米板冠军。如图1所示，跳水运动员最后踏板的过程可以简化

为下述模型：运动员从高处落到处于自由状态的跳板（A位置）上，随跳板一同向

下做变速运动到达最低点（3位置）。对于运动员从开始与跳板接触到运动至最低

点的过程，下列说法中正确的是（）

图1

A.运动员一直处于超重状态

B.运动员所受重力对其做的功在数值上小于跳板弹性势能的增加量

C.运动员的机械能守恒

D.运动员的动能一直在减小

解析运动员在此过程中受到重力与跳板弹力的作用，弹力从零开始增大，故运

动员先加速后减速，即先失重后超重，动能先增大后减小，A、D错误；由系统

的机械能守恒知，运动员所受重力对其做的功在数值上等于跳板弹性势能的增加

量与运动员初末动能之差，B正确；因有弹力对运动员做负功，故其机械能减少,

C错误。

答案B

2.（201841月浙江选考）奥运会比赛项目撑杆跳高如图2所示，下列说法不正确

的是（）

A.加速助跑过程中，运动员的动能增加

B.起跳上升过程中，杆的弹性势能一直增加

C.起跳上升过程中，运动员的重力势能增加

D.越过横杆后下落过程中，运动员的重力势能减少动能增加

解析加速助跑过程中运动员的速度增大，动能增大，选项A正确；起跳上升

过程中，杆的形变量先变大，后变小，故弹性势能先变大后变小，选项B错误;

起跳上升过程中，运动员的重心升高，重力势能增加，选项C正确；越过横杆

后下落过程中，运动员的重力做正功，重力势能减少，动能增加，选项D正确。

答案B

3.一轻质弹簧，固定于天花板上的。点处，原长为3如图3所示，一个质量

为机的物块从A点竖直向上抛出，以速度。与弹簧在3点相接触，然后向上压

缩弹簧，到C点时物块速度为零，在此过程中无机械能损失，则下列说法正确

的是（）

A.由A到C的过程中，动能和重力势能之和不变

B.由3到C的过程中，弹性势能和动能之和不变

C.由A到C的过程中，物块m的机械能守恒

D.由3到C的过程中，物块与弹簧组成的系统机械能守恒

解析物块由A到C的过程中，只有重力、弹簧弹力做功，因此物块与弹簧组

成的系统机械能守恒，由A到3的过程中，弹性势能不变，物块动能与重力势

能之和不变，但物块由3到C的过程中，弹性势能增大，物块的机械能减小，

重力势能增大，弹性势能与动能之和减小，故只有D项正确。

答案D

4.如图4所示，由光滑细管组成的轨道固定在竖直平面内，A3段和段是半

径为R的四分之一圆弧、8段为平滑的弯管。一小球从管口。处由静止释放，

最后能够从A端水平抛出落到地面上。关于管口。距离地面的高度必须满足的

条件是（）

C.大于2R且小于|尺D.大于

解析细管轨道可以提供支持力，所以到达A点的速度大于零即可，即机gH—

mg-2R>0,解得H>2R,故选项B正确。

答案B

5.最近，一款名叫“跳一跳”的微信小游戏突然蹿红。游戏要求操作者通过控

制棋子（质量为㈤脱离平台时的速度，使其能从一个平台跳到旁边的平台上。如

图5所示的抛物线为棋子在某次跳跃过程中的运动轨迹，不计空气阻力。贝U（重

力加速度为g）（）

图5

A.棋子从起跳至运动到最高点的过程中，机械能增加m

B.棋子离开平台时的动能为机g/z

C.棋子从离开平台至运动到最高点的过程中，重力势能增加机g/z

D.棋子落到平台上的速度大小为同

解析由于棋子起跳后只受重力作用，机械能守恒，A错误；棋子在最高点具有

水平方向的速度，所以离开平台时的动能大于mgh,落到平台上的速度要大于

回，故B、D错误；棋子从离开平台至运动到最高点的过程中重力做功为WG

=-mgh,所以重力势能增加冽g/z,故C正确。

答案C

6.一小球以一定的初速度从图示6位置进入光滑的轨道，小球先进入圆轨道1,

再进入圆轨道2,圆轨道1的半径为R,圆轨道2的半径是轨道1的1.8倍，小

球的质量为m,若小球恰好能通过轨道2的最高点B,则小球在轨道1上经过A

处时对轨道的压力为（重力加速度为g）（）

A.2mgB.3mgC.4mgD.5mg

解析小球恰好能通过轨道2的最高点3时，有〃吆=咛筋，小球在轨道1上

经过A处时，有=根据机械能守恒定律，有通=5出,

解得F=4mg,由牛顿第三定律可知小球对轨道的压力F'=F=4mg,选项C正

确。

答案C

综合提能练

7.（2019•湖北武汉东湖区联考）如图7所示，有一条长为1m的均匀金属链条，

有一半长度在光滑的足够高的斜面上，斜面顶端是一个很小的圆弧，斜面倾角为

30°,另一半长度竖直下垂在空中，当链条从静止开始释放后链条滑动，则链条

刚好全部滑出斜面时的速度为(g取10m/s2)()

A.2.5m/s

C.^/5m/s

解析链条的质量为2m,以开始时链条的最高点为零势能面，链条的机械能为

E=EP+Ek=2机g4sin。一]*2加g]+0

=—^mgL(l+sinff)

链条全部下滑出后，动能为Ek'=；X2机"

重力势能为EP'=-2mg-^

由机械能守恒可得E=Ek'+EP'

即一：mgL(l+sin0)=mv2—mgL

解得0=^\]gL(3—sin6)=^X[lOXlX(3—0.5)m/s

=2.5m/s

故A正确，B、C、D错误。

答案A

8.高楼发生火灾时，消防水枪喷口不能到达着火窗口等高处，消防员调整水枪

出水角度，如图8所示，使水流恰能水平射入着火窗口，水枪喷口与着火窗口高

度差为力，重力加速度为g,不计空气阻力，由已知条件判断下列说法正确的是

图8

A.可求出水枪喷口处出水的速度大小

B.可求出从水枪喷口到着火窗口前水柱的总体积

C.水柱在空中各处的粗细程度相同

D.水枪沿垂直于墙壁的方向由A向3水平移动，且水枪喷口处出水的速度大小

不变，无论怎样调整水枪喷水方向，水流都不能水平射入着火窗口

解析水柱做斜抛运动，将其逆向等效为平抛运动。若已知水柱在最高点的速度

大小为0,则由根?力=5《03—3加0可求出水枪喷水的初速度大小0o=y/2gh+v2,

因水柱在最高点的速度大小未知，故不能求出水枪喷口处出水的速度大小，A错

误；水柱在空中不均匀，水柱中的水从喷口到着火窗口的运动时间为/='仟，

设喷口处水柱的截面面积为S,则从水枪喷出到着火窗口前水柱的总体积为V=

voSt=voS-^l^-,由于喷口处水柱的截面面积和喷口处水流速度未知，故不能求

出从水枪喷出到着火窗口前水柱的总体积，B错误；水流连续时，相同时间内通

过任意截面的水流流量相等，有SlVlAt=S2V2At,则水流速度大时，水柱的截面

面积小，C错误；水枪由A向3水平移动时，则水流在空中运动的时间不变，

喷口处出水速度不变，水平位移不变，水流不能水平射入着火窗口，故D正确。

答案D

9.在竖直平面内，某一游戏轨道由直轨道A3和弯曲的细管道BCD平滑连接组

成，如图9所示。小滑块以某一初速度从A点滑上倾角为。=37。的直轨道A5,

到达B点的速度大小为2m/s,然后进入细管道BCD,从细管道出口。点水平飞

出，落到水平面上的G点。已知3点的高度历=1.2m,。点的高度//2=0.8m,

D点与G点间的水平距离L=0.4m,滑块与轨道A3间的动摩擦因数〃=0.25,

sin37°=0.6,cos37°=0.8o