【 数学】认识证明(第2课时)课件 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

第七章

证明7.2认识证明(2)1.理解公理、定理以及证明等概念，了解八条基本事实；2.掌握对顶角相等、三角形两边之和大于第三边等常用定理；3.理解证明的一般思路，掌握基本的书写格式，能对推理论证有初步的

认识；4.在学习证明的过程中，培养严谨的学习习惯和勇于探索、大胆尝试的

意志品质。学习目标哦……那可怎么办？用我们以前学过的观察、实验、验证特例等方法。

这些方法往往不可靠。能不能根据已经知道的真命题证实呢？那已经知道的真命题又是如何证实的？情境引入我们知道举一个反例就可以说明一个命题是假命题，那么如何证实一个命题是真命题呢？古希腊数学家欧几里得(Euclid，公元前3世纪)的著作《原本》：你知道吗原名：某些挑选出的数学名词称为原名。公理：公认的真命题称为公理。证明：除了公理外，其它真命题的正确性都需要通过演绎推理的方法证实。

演绎推理的过程称为证明。定理：经过证明的真命题称为定理。注意：每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。1.两点确定一条直线。2.两点之间线段最短。

3.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。4.两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。

(简述为：同位角相等，两直线平行)5.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行。6.两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。

7.两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。

8.三边分别相等的两个三角形全等。

你知道吗

本套教科书选用九条基本事实作为证明的出发点和依据，我们已经认识了其中的八条，它们是：补充：9.平行线分线段成比例。

此外，数与式的运算律和运算法则、等式的有关性质，以及反映大小关系的有关性质都可以作为证明的依据.

例如，如果a=b，b=c，那么a=c，这一性质也可以作为证明的依据，称为“等量代换”。你知道吗

又如，如果a＞

b，b＞

c，那么a＞

c，这一性质同样可以作为证明的依据。从这些基本事实出发，就可以证明已经探索过的结论了。怎样进行证明？1.根据命题的条件写出已知(往往需要结合图形)；想一想2.根据命题的结论写出求证；3.证明：写出演绎推理的过程。试一试证明下面的定理：定理：同角(或等角)的补角相等。①已知:∠1与∠2互补,∠1与∠3互补。求证：∠2=∠3。证明：∵∠1与∠2互补，

∴∠1＋∠2=180°，

即∠2=180°－∠1。

∵∠1与∠3互补，∴∠1＋∠3=180°，即∠3=180°－∠1。∴∠2=∠3。②已知:∠1与∠2互补,∠3与∠4互补,∠1=∠3。求证：∠2=∠4。证明：∵∠1与∠2互补，

∴∠1＋∠2=180°，

即∠2=180°－∠1。

∵∠3与∠4互补，∴∠3＋∠4=180°，即∠4=180°－∠3。∵∠1=∠3，∴∠2=∠4。你能证明定理：同角(或等角)的余角相等吗？练一练证明下面的定理：定理2：同角(或等角)的余角相等。证明：∵∠1与∠2互余，

∴∠1＋∠2=90°，

即∠2=90°－∠1。

∵∠1与∠3互余，∴∠1＋∠3=90°，即∠3=90°－∠1。∴∠2=∠3。证明：∵∠1与∠2互余，

∴∠1＋∠2=90°，

即∠2=90°－∠1。

∵∠3与∠4互余，∴∠3＋∠4=90°，即∠4=90°－∠3。∵∠1=∠3，∴∠2=∠4。①已知:∠1与∠2互余,∠1与∠3互余。求证：∠2=∠3。②已知:∠1与∠2互余,∠3与∠4互余,∠1=∠3。求证：∠2=∠4。试一试证明下面的定理：定理:三角形的任意两边之和大于第三边。已知:如图△ABC。求证：AB＋AC＞BC，AB＋BC＞AC，BC＋AC＞AB。ABC证明：∵点B和点C之间的最短距离是线段BC的长，∴AB＋AC＞BC。(两点之间线段最短)同理：AB＋BC＞AC，

BC＋AC＞AB。例题学习已知：如图，直线AB与直线CD相交于点O，∠AOC与∠BOD是对顶角。求证：∠AOC

=∠BOD。例证明:∵直线AB与直线CD相交于点O，∴∠AOB和∠COD都是平角(平角的定义)。

∴∠AOC＋∠AOD

=180°，

∠BOD＋∠AOD

=180°(补角的定义)。

∴∠AOC

=

∠BOD。(同角的补角相等)定理：对顶角相等。公理是不需要推理证实的真命题；可以作为判断其他命题真假的根据。1.对于公理：2.对于定理：(1)定理都是真命题，但真命题不一定都是定理；(2)定理可以作为推理论证其他命题的依据。课堂小结(1)根据题意，画出图形；(2)根据条件和结论，结合图形写出已知和求证；(3)经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明过程。3.证明的一般步骤：4.假命题的判断：

判断一个命题是假命题，只要举出反例来说明即可。

证明的意义：演绎推理的过程称为证明，每个定理都只能用公理、定义和已经证明为真的命题来证明。

随堂检测1.下列说法错误的是

（

）

A.所有的命题都是定理；

B.定理是真命题；

C.公理是真命题；

D.“画线段AB

=

CD”不是命题。A2.下列所学过的真命题中，不是公理的是 (

)A．对顶角相等；B．同位角相等，两直线平行；C．两角及夹边分别相等的两个三角形全等；D．两点确定一条直线。A

3.在修建公路时，有时需要将弯曲的道路改直，这样做的根据是

(

)A．两点确定一条直线；

B．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；C．两点之间线段最短； D．垂线段最短。C

4.写出下面命题的已知、求证，并完成证明过程。

命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

(简称：“等角对等边”)。

已知：如图，_____________________。求证：________。在△ABC中，∠B

=∠CAB

=

AC证明：如图，过点A作AD⊥BC于点D，

∴∠ADB

=∠ADC

=

90°(垂直的定义)。

∵在△ABD和△ACD中，

∠ADB

=

∠ADC,

∠B

=

∠C,

AD

=

AD,

∴△ABD≌△ACD（AAS）。

∴AB

=

AC(全等三角形对应边相等)。随堂检测ABC5.已知：如图，若∠1=∠2，EB⊥NM，FD⊥MN。

求证：AB∥CD。随堂检测证明：∵EB⊥NM，FD⊥MN(已知)，∴∠EBN=∠FDN=90°(垂直定义)。

∴∠1＋∠ABN=90°，∠2＋∠CDN=90°。∵∠1=∠2，∴AB∥CD(同位角相等，两直线平行)。∴∠ABN=∠CDN(等角的余角相等)，2．如图，AB∥CD，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠AEF，

∠EGF=35°，求∠EFG的度数。随堂检测解:∵AB∥