湖南省2026届高考第二次模拟考试数学模拟试题（原卷及解析）

湖南省2026届高考第二次模拟考试数学模拟试题（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（），A． B． C． D．2．已知，则（

）A． B． C． D．3．已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．4．已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（

）A． B． C． D．5．函数，的部分图象可能是（

）A．B．C．D．6．已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．7．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．8．已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，都是复数，下列正确的是（）A若，则 B.若，则若，则 D.若，则10.已知函数，下列说法正确的是（）A.当时，B.是周期函数，且最小正周期为C.不存直线与曲线相切D.若，，，则11.已知点Q在圆上，，动点P满足：在中，．则（）A.记P的轨迹方程为轨迹： B.的最大值为C.的最小值是 D.（点O为坐标原点）的最小值为7三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列中，，，则数列的前项和的最大值等于__________.13.函数的最小正周期为_____________.14.对于任意的不等式且恒成立，则的取值范围是_____________．四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求；（2）若为边上一点（异于端点），，求的取值范围.16.如图，在四棱锥中，棱平面，底面四边形是矩形，，点为棱的中点，点在棱上，.（1）求证：；（2）已知平面与平面的交线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值.17.三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，．点P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点．（1）求PB与平面PCE所成角的正弦值；（2）设AB靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线AB的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面PBC？若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由．18．（本小题满分17分）某企业监控汽车零件的生产过程，现从汽车零件中随机抽取100件作为样本，测得质量差（零件质量与标准质量之差的绝对值）的样本数据如下表：质量差（单位：）5458606364件数（单位：件）52545205(1)求样本质量差的平均数；假设零件的质量差，其中，用作为的近似值，求的值；(2)已知该企业共有两条生产汽车零件的生产线，其中第1条生产线和第2条生产线生产的零件件数比是3:1．若第1、2条生产线的废品率分别为0.004和0.008，且这两条生产线是否产出废品是相独立的．现从该企业生产的汽车零件中随机抽取一件．（ⅰ）求抽取的零件为废品的概率；（ⅱ）若抽取出的零件为废品，求该废品来自第1条生产线的概率．参考数据：若随机变量，则，，19.“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：单位：人学历使用情况合计经常使用不经常使用本科及以上6535100本科以下5050100合计11585200（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？（2）某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了、、三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由组先发起竞赛，组挑战组、组的概率均为，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和；若竞赛发起权在组，则挑战组、组的概率分别为和.①经过3次挑战赛后，求竞赛发起权在组的次数的分布列与数学期望；②定义：已知数列，若对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正整数，使得当时，（是一个确定的实数），则称数列为“聚点数列”，称为数列的聚点.经过次竞赛后，竞赛发起权在组的概率为，证明数列为“聚点数列”，并求出聚点的值.附：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

湖南省2026届高考第二次模拟考试数学模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（），A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，，则，所以．故选：A.2．已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意知，,所以,故选：C3．已知，且在方向上的投影向量为，则与的夹角为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】在方向上的投影向量为，由已知可得，因为，所以，又，所以，又，所以与的夹角为.故选：D.4．已知正三棱台的下底面边长为，侧棱长为2，侧棱与底面所成的角为，则该三棱台的体积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】将正棱台补全为一个棱锥，为底面中心，如下图示，所以，则，而棱台的高，所以，则该三棱台的体积为.故选：D

5．函数，的部分图象可能是（

）A．B．C．D．【答案】A【详解】由题意知，该函数为偶函数，所以,则关于对称，又故排除B项；，则，即，只有A中图象符合，6．已知椭圆的离心率为分别为的左、右顶点，为的上顶点．若，则椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】显然离心率，解得，即，分别为C的左右顶点，B为上顶点，则，，于是，而，即，又，因此联立解得，所以椭圆的方程为.7．函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】，如图所示，要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需.故选C.8．已知定义域为R的函数满足：为偶函数，，且，则（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【解析】由题意知定为域为R的函数满足：为偶函数，即，即，结合，得，即，故，即，则，故8为函数的一个周期，由于，，故令，则，结合，令，得，对于，令，则，故，故选：B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知，都是复数，下列正确的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】AD【解析】【分析】根据共轭复数的定义及复数的乘法运算即可判断A；举出反例即可判断BC；根据复数的乘法运算及复数的模的计算公式即可判断D.【详解】设，对于A，若，则，故，故A正确；对于B，当时，，故B错误；对于C，当时，，故C错误；对于D，若，则，所以，，同理，所以，所以，故D正确.故选：AD.10.已知函数，下列说法正确的是（）A.当时，B.是周期函数，且最小正周期为C.不存在直线与曲线相切D.若，，，则【答案】AD【解析】【分析】求导，构造函数可判断A选项，根据三角函数的周期性可判断B选项，根据导数的几何意义可判断C选项，计算即可判断D选项.【详解】由函数，，所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以，即，当且仅当时等号成立；又函数，恒成立，函数单调递减，所以当时，，所以，A选项正确；由，周期为，故B选项错误；令，方程有解，故C选项错误；，且在单调递增，因此，所以，所以，，故D选项正确；故选：AD.11.已知点Q在圆上，，动点P满足：在中，．则（）A.记P的轨迹方程为轨迹： B.的最大值为C.的最小值是 D.（点O为坐标原点）的最小值为7【答案】ACD【解析】【分析】根据题意作出示意图，设点坐标，然后表示出，，即可建立方程，求得的轨迹方程，判断A；设点在一象限，化简，由基本不等式求得的最值，从而得到角的范围，判断B；由抛物线的性质化简得，由的范围求得结果判断C；由图可知当在圆与轴的左交点处时，此时，同时取最小，即可判断D.【详解】由题意可知，设，过点P作轴于点N，如图：对于A，则，∴，即，∴，A选项正确；对于B，由对称性可假设点P在一象限，则，∵，当且仅当，即时取等号，所以∴，∴最大值为，当AQ与圆F相切时，，∴的最大值，∴，B选项错误；对于C，，∴，C选项正确；对于D，当Q在圆与x轴的左交点处时，此时同时取最小，，∴的最小值为7，D选项正确．故选：ACD．三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知数列中，，，则数列的前项和的最大值等于__________.【答案】【解析】【分析】分析可知，数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，求出该数列的前项和，结合二次函数的基本性质可求得的最大值.【详解】当时，，且，所以，数列是首项为，公差为的等差数列，则数列的前项和为，因，故当或时，取得最大值.故答案为：.13.函数的最小正周期为_____________.【答案】##【解析】【分析】根据二倍角的余弦公式可得，结合公式计算的周期即可求解.【详解】，因为的最小正周期为，故的最小正周期为.故答案为：14.对于任意的不等式且恒成立，则的取值范围是_____________．【答案】【解析】【分析】原不等式转化为，构造函数，利用导数研究其单调性，从而得，令，利用导数求解最值求得，即可得解.【详解】不等式对恒成立，当时，，取，此时，不符合题意，因此，此时有，即，当，即时，，不等式恒成立，当，即时，令，于是，且，而时，，即函数在上单调递增，此时，所以要使不等式恒成立，只需时，即，令，求导得，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，，所以，解得，所以a的取值范围是.故答案为：四、解答题（本大题共5个小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.在中，内角的对边分别为，且满足.（1）求；（2）若为边上一点（异于端点），，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理角化边，再结合余弦定理求解角度即可.（2）利用正弦定理结合角平分线定理将目标式利用三角函数表示，结合正切函数的性质求解取值范围即可.【小问1详解】在中，因为，所以，得到，据正弦定理可得，则，由余弦定理得，因为，所以.【小问2详解】在中，因为，所以，则，由正弦定理得，则，又因为，所以，则，结合函数性质可得，故取值范围为.16.如图，在四棱锥中，棱平面，底面四边形是矩形，，点为棱的中点，点在棱上，.（1）求证：；（2）已知平面与平面的交线与直线所成角的正切值为，求二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线线垂直证线面垂直，再由线面垂直的性质证线线垂直即可；（2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量求二面角即可.【小问1详解】因为平面，平面，所以，又因为四边形是矩形，所以，因为平面，所以平面，因为平面，所以.因为为中点，，所以，因为，所以平面，因为平面，所以.【小问2详解】在矩形中，，平面，平面，所以平面.又平面，平面平面，所以.所以与直线所成角即为.在中，，，所以.以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，，所以，.设平面的法向量为，则，取，可得.又为平面的一个法向量，所以.由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.17.三棱锥中，底面为等腰直角三角形，，．点P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点．（1）求PB与平面PCE所成角的正弦值；（2）设AB靠近B的四等分点为F，D是平面ABC内的动点，且C，D在直线AB的两侧，满足．试探究是否存在点D使得平面平面PBC？若存在，请求出DE的长度；若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）连接PE，证得，求得，过B作，证得平面，得到为与平面所成角，在中，求得，利用面积相等法，求得，再直角中，即可求得与平面所成角的正弦值；（2）假设存在点D满足要求，得到二面角和二面角和为，取AB中点O，过O作于点N，证得平面和平面，得到为二面角的平面角，为二面角的平面角，以O为原点，平面直角坐标系，求得D点轨迹方程，结合椭圆的性质，即可求解.【小问1详解】解：连接PE，因为P在底面ABC上的射影E是线段AB靠近点A的四等分点，可得平面，因为平面，所以，在直角中，可得，又因为平面PEC，所以平面平面，且交线为，过B作于点，连接，因为平面，由面面垂直的性质，可得平面，故为与平面所成角，在中，，，，由余弦定理得，所以，又由，所以，在中，由，所以，即直线与平面所成角的正弦值为．【小问2详解】解：假设存在点D满足要求，则二面角为直二面角，即二面角和二面角和为．取AB中点O，连接CO，过O作于点N，连接CN，因为为等腰直角三角形，且，所以，又因为平面，且平面，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，因为且，平面，所以平面，所以为二面角的平面角，在直角中，因为，可得，过D作DH垂直AB于点H，过H作HQ垂直PB于点Q，连接DQ，同理可得为二面角的平面角，所以，在平面中，以O为原点，OB为x轴正方向，CO为y轴正方向建立平面直角坐标系，根据题意，点D点轨迹为以E，F为焦点的椭圆，其标准方程为，设D点横坐标为，则，，，所以，解得，故假设成立，此时．18．(1)(2)（ⅰ）；（ⅱ）【分析】（1）先求出，再利用正态分布曲线的对称性求解；（2）（ⅰ）利用全概率公式求解；（ⅱ）利用条件概率公式求解.【详解】（1）由题意可知:，则，所以（2）（i）设事件表示“随机抽取一件该企业生产的该零件为废品”，事件表示“随机抽取一件零件为第1条生产线生产”，事件表示“随机抽取一件零件为第2条生产线生产”，则，，，，所以；（ii）因为，所以，所以．19.“你好！我是DeepSeek，很高兴见到你！我可以帮你写代码，读文件，写作各种创意内容，请把你的任务交给我吧”，DeepSeek从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋，好助手”，AI大模型正在改变着我们的工作和生活的方式.为了解不同学历人群对DeepSeek的使用情况，随机调查了200人，得到如下数据：单位：人学历使用情况合计经常使用不经常使用本科及以上6535100本科以下5050100合计11585200（1）依据小概率值的独立性检验，能否认为DeepSeek的使用情况与学历有关？（2）某公司组织“AI模型”知识应用竞赛，将参与活动的员工分成了、、三组进行，其规则：竞赛发起权在哪一组，该组都可向另外两组发起竞赛，则下一次竞赛发起权移交给被挑战的那组.首先由组先发起竞赛，组挑战组、组的概率均为，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组，若组挑战组，则下次竞赛发起权在组；若竞赛发