第19讲全等三角形

全等三角形第19讲

三角形判定定理的运用思路分析

已知两边分别相等找⑨

→运用SAS找⑩

→运用SSS找⑪

→运用HL

已知两角分别相等找⑫

→运用ASA找⑬

→运用AAS两边的夹角第三边直角两角的夹边任意一角的对边

已知一角一边分别

相等找角的另一边→运用⑭

⁠找边的另一个邻角→运用⑮

⁠找边的对角（非邻角）→运用

⑯

⁠SAS

ASA

AAS

考情分析

全等三角形是证明线段相等和角相等的一种重要方法，全等三

角形的性质与判定在河南中考题中单独出现较少，往往在综合性的

题目中出现，常在简答题中与圆的相关知识结合进行考查，在类比

探究问题中与相似、四边形等知识相结合进行综合考查.对于全等三

角形的判定问题，常与实际应用相结合，审清题意，找出条件成为

解决问题的关键点.考点1

全等三角形的性质例1如图，△ABC≌△DEC，点A和点D，点B和点E分别是对应点，

过点A作AF⊥CD，垂足为点F，若∠BCE＝65°，则∠CAF的度数

为（

B

）A.

30°B.

25°C.

35°D.

65°B名师点拨

本题主要考查了全等三角形的对应角相等，结合直角三角形的两锐

角互余即可解决问题.跟踪训练

如图，在4×4的正方形网格中，∠α＋∠β＝

⁠°.45

跟踪训练A.80°B.90°C.100°D.110°变式训练变式训练

（2025厦门模拟）如图，已知△CAD≌△CBE.

若∠A＝

20°，∠C＝60°，则∠CEB的度数为（

C

）C考点2

全等三角形的判定例2

（2021河南）下面是某数学兴趣小组探究用不同方法作一个角的平

分线的讨论片段，请仔细阅读，并完成相应的任务.

小明：如图1，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE

＝OF（点C，E不重合）；（2）分别作线段CE，DF的垂直平分线l1，l2，交点为P，垂足分别为点G，H；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线.图1

图2简述理由如下：由作图知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以

Rt△PGO≌Rt△PHO，则∠POG＝∠POH，即射线OP是∠AOB的

平分线.小军：我认为小明的作图方法很有创意，但是太麻烦了，可以改进如

下：如图2，（1）分别在射线OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF

（点C，E不重合）；（2）连接DE，CF，交点为P；（3）作射线OP，射线OP即为∠AOB的平分线.……图1

图2任务：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依据是

.（填序号）①SSS

②SAS

③AAS

④ASA

⑤HL（2）小军作图得到的射线OP是∠AOB的平分线吗？请判断并说明

理由.⑤

解：（2）射线OP是∠AOB的平分线.理由如下：如题图2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF，∴△DOE≌△COF（SAS）.∴∠PEC＝∠PFD.

∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，∴△CPE≌△DPF（AAS）.∴PE＝PF.

∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF，∴△OPE≌△OPF（SAS）.∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB.

∴射线OP是∠AOB的平分线.跟踪训练

（2025山西）如图，小谊将两根长度不等的木条AC，BD

的中点连在一起，记中点为O，即AO＝CO，BO＝DO.

测得C，D

两点之间的距离后，利用全等三角形的性质，可得花瓶内壁上A，B两

点之间的距离.图中△AOB与△COD全等的依据是（

B

）A.SSSB.SASC.ASAD.HLB跟踪训练变式训练

（2024南充）如图，在△ABC中，点D为BC边的中点，过

点B作BE∥AC，交AD的延长线于点E.

变式训练（1）求证：△BDE≌△CDA；

（2）若AD⊥BC，求证：BA＝BE.

证明：（2）∵点D为BC边的中点，AD⊥BC，∴AD所在直线为线段BC的垂直平分线.∴BA＝CA.

由（1）可知，△BDE≌△CDA，∴BE＝CA.

∴BA＝BE.

变式训练

1.

（2024遂宁）如图1，△ABC与△A1B1C1满足∠A＝∠A1，AC＝

A1C1，BC＝B1C1，∠C≠∠C1，我们称这样的两个三角形为“伪全等

三角形”.如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在线段BC上，且

BE＝CD，则图中共有“伪全等三角形”（

D

）图1

图2A.1对B.2对C.3对D.4对D【解析】由题意知，满足两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形

是“伪全等三角形”.在△ABC中，通过全等可以证明AD＝AE.

∴△ABD和△ABE，△ABD和△ACD，△ACD和△ACE，△ABE和

△ACE，共4对“伪全等三角形”.故选D.

图1名师点拨

本题考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质及等腰三角形的

性质.熟知三角形全等的判定与性质及理解“伪全等三角形”的定义是

解题的关键.素养落地

抽象能力、几何直观、推理能力、应用意识2.王老师布置的作业中有这么一道题：如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC＝3，AD＝4，则AB的长不可能是（

）A.5B.7C.8D.9甲同学认为AB，AC，AD这条三边不在同一个三角形中，无法解答，

老师给的题目有错误；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利

用全等的知识解决；丙同学认为没必要借助全等三