题型专练7函数的应用

第四部分题型专练题型专练7函数的应用1.（2025·鄞州）如图，在平面直角坐标系中，点A（－2，m）在直线y＝－2x－1上，过点A的直线交y轴于点B（0，5）.（1）求m的值和直线AB的函数解析式.解：把点A（－2，m）代入y＝－2x－1中，得m＝3，设直线AB的函数解析式为y＝kx＋b，

∴直线AB的函数解析式为y＝x＋5.类型一

一次函数的应用（2）若点P（t，y1）在直线AB上，点Q（t－1，y2）在直线y＝－2x－1上，当t取任意实数时，代数式y1＋ky2的值为定值，求k的值，并求出这个定值.解：∵点P（t，y1）在直线AB上，∴y1＝t＋5.∵点Q（t－1，y2）在直线y＝－2x－1上，∴y2＝－2（t－1）－1＝－2t＋1.∴y1＋ky2＝t＋5－2kt＋k＝（1－2k）t＋5＋k，

2.（2025·辽宁）如图，在平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，点C在线段OA上（不与点O，A重合），过点C作OA的垂线，与直线AB相交于点D，点A关于直线CD的对称点为E，连接DE.（1）求证：∠OAB＝45°；证明：由条件可知A（0，4），B（4，0），∴OA＝4，OB＝4.∵∠AOB＝90°，∴∠OAB＝45°.（2）设点C的坐标为（0，m），当0＜m＜2时，线段DE与线段OB相交于点F，求四边形COFD面积的最大值.解：∵点C的坐标为（0，m），∴OC＝m，AC＝4－m.由条件可知CE＝AC＝4－m，∠OAB＝∠CED＝45°，∴OE＝CE－OC＝4－2m.∵∠EOF＝90°，∴∠OEF＝∠OFE＝45°.∴OF＝OE＝4－2m.∵CD⊥OA，∴∠OAB＝∠CDA＝45°.∴CD＝AC＝4－m.

3.（2025·邯郸）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（－3，4），B（1，2），直线AB与直线l：y＝kx＋2k（k≠0）交于点P（m，n）.（1）求证：无论k取何值，直线l都经过定点Q（－2，0）；证明：由条件可得y＝（x＋2）k，∵无论k取何值，直线l都经过定点Q（－2，0），故x＋2＝0，解得x＝－2，∴y＝0.故无论k取何值，直线l都经过定点Q（－2，0）.（2）若m＝3，n＝1，直线l与y轴的交点为C，求直线l的解析式，并求出此时△ABC的面积；解：设直线AB的解析式为y＝tx＋b，

如图1，连接AC，BC，

（3）若直线l与线段AB有交点，直接写出k的取值范围.解：如图2，当k＞0时，无论k取何值，直线l都经过定点Q（－2，0），当直线l经过B点时，此时直线l与线段AB有交点，设此时直线l的解析式为y＝mx＋n，

当k＜0时，无论k取何值，直线l都经过定点Q（－2，0），当直线l经过A点时，此时直线l与线段AB有交点，设此时直线l的解析式为y＝px＋q，

故k的范围是k≤－4.

（1）求证：△AOB≌△DCA；解：∵CD⊥x轴，∴∠ACD＝90°＝∠BOA.

∴Rt△AOB≌Rt△DCA（HL）.（2）求k的值；

∴OC＝OA＋AC＝3.∵CD⊥x轴，∴D（3，2）.∵E是CD的中点，∴E（3，1）.

∴k＝3×1＝3.（3）△BFG和△DCA关于某点成中心对称，其中点F在y轴上，试判断点G是否在反比例函数的图象上，并说明理由.解：点G在反比例函数的图象上.理由如下：由（1）知，Rt△AOB≌Rt△DCA，∴OB＝AC＝1.∴B（0，1）.∵OA＝2，∴A（2，0）.设点G的坐标为（m，n），∵△BFG和△DCA关于某点成中心对称，∴BD与AG互相平分.

∴m＝1，n＝3.∴G（1，3）.∴1×3＝3.∴点G在反比例函数的图象上.类型三

二次函数的应用5.（2025·易门）某乡镇贸易公司开设了一家网店，销售当地某种农产品，已知该农产品成本为每千克10元，调查发现，每天销售量y（kg）与销售单价x（元）满足如图所示的函数关系（其中10＜x≤30）（1）写出y与x之间的函数解析式及自变量的取值范围；解：由图象知，当10＜x≤14时，y＝640；当14＜x≤30时，设y＝kx＋b，将（14，640），（30，320）代入，

∴y与x之间的函数解析式为y＝－20x＋920.

（2）当销售单价x为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?解：设每天的销售利润为w元，当10＜x≤14时w＝640×（x－10）＝640x－6

400，∵k＝640＞0，∴w随着x的增大而增大.∴当x＝14时，w＝4×640＝2

560（元）.当14＜x≤30时，w＝（x－10）（－20x＋920）＝－20（x－28）2＋6

480，∵－20＜0，14＜x≤30，∴当x＝28时，w有最大值，最大值为6

480.∵2

560＜6

480，∴当销售单价x为28元时，每天的销售利润最大，最大利润是6

480元.6.（2025·上城）已知二次函数y＝（x－m）2＋k（其中m，k为常数）.（1）若函数图象的对称轴为直线x＝－1，且经过点（1，0），求二次函数的解析式；解：∵函数y＝（x－m）2＋k（其中m，k为常数）图象的对称轴为直线x＝－1，∴m＝－1.∵图象经过点（1，0），∴（1＋1）2＋k＝0.∴k＝－4.∴二次函数的解析式为y＝（x＋1）2－4.（2）若该二次函数图象经过点（k，m），求k－m的值；解：∵二次函数y＝（x－m）2＋k（其中m，k为常数）图象经过点（k，m），∴m＝（k－m）2＋k.∴（k－m）2＋k－m＝0，即（k－m）（k－m＋1）＝0.∴k－m＝0或k－m＋1＝0.∴k－m的值为0或－1.（3）在（1）的条件下，若二次函数的图象上有两点（x1，y1），（x2，y2），对于x1＝t，x2