第三章 空间向量与立体几何（高效培优单元测试-强化卷）数学北师大版2019高二选择性必修第一册（原卷版）

2/22第三章空间向量与立体几何（高效培优单元测试·强化卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知是空间直角坐标系中一点，与点关于平面对称的点的坐标是（

）A． B． C． D．2．已知直线的方向向量是，平面的一个法向量是，则与的位置关系是（

）A． B．C．l与α相交但不垂直 D．或3．已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则（

）A．2 B．1 C． D．4．如图，在平行六面体中，若，，，与相等的是（

）A． B． C． D．5．已知向量，，，若、、共面，则等于（

）A． B． C． D．6．在平行六面体中，，，，则（

）A． B． C． D．7．中国古代数学著作《九章算术》记载了一种被称为“曲池”的几何体，该几何体的上､下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部分）.现有一个如图所示的曲池，它的高为，、、、均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则图中异面直线与所成角的余弦值为（

）A． B． C． D．8．如图，正方体的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（

）A．2 B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知点，，则（

）A．为 B．线段的中点坐标为C．点B到x轴的距离为5 D．直线的一个方向向量为10．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，11．在直三棱柱中，，点在棱上，且，是棱上的动点，则下列结论正确的是（

）A．存在点，使得 B．与所成角的正弦值为C．三棱锥的体积为一个定值 D．三棱锥的外接球表面积为第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．已知空间中三点共线，则的值为.13．空间直角坐标系中，，，，其中，，，，已知平面平面，则平面与平面间的距离为.14．在如图所示的试验装置中，两个正方形框架，的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直.活动弹子，分别在正方形对角线和上移动，且和的长度保持相等，记，则当的长最小时，平面与平面夹角的余弦值为.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。15．如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，．(1)用为基底表示向量，并求的长；(2)求的值．16．（15分）如图，在棱长为1的正方体中，为线段的中点，为线段的中点．(1)求点到直线的距离；(2)求直线到平面的距离．17．(15分)如图，在三棱锥中，，，，点E为的中点.(1)求证：；(2)若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值.18．（17分）如图，在五边形ABCDE中，四边形ABCD是正方形，是以AD为底边的等腰三角形，，，以AD为折痕，把折起，使点E到达点F的位置，得到四棱锥．(1)当时，求四棱锥外接球的表面积．(2)当时，①求的面积；②求平面与平面夹角的余弦值．19．（17分）如图，在中，是中点，、分别是、边上的动点，且，将沿折起，将点折至点的位置，得到四棱锥.(1)求证：平面；(2)若，二