第一章 直线和圆（高效培优单元测试-提升卷）数学北师大版2019选择性必修第一册（解析版）

22/22第一章直线与圆（高效培优单元测试·提升卷）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出直线的倾斜角，从而得到直线的倾斜角及斜率，得到.【解析】因为直线的斜率，对应的倾斜角为，由题意可得，直线的倾斜角为，故其斜率，解得，故选：C．2.已知点，则以为直径的圆的方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用中点坐标公式求出圆心，利用两点间距离公式求出半径，从而得到圆的方程即可.【解析】设中点为O，则，即，设圆半径为r，则，则以为直径的圆的方程为.故选：B.3.过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先求出交点的坐标，再利用直线的方向向量求出直线的斜率，代入直线的点斜式方程写出直线的方程即可求解.【解析】联立，得交点坐标为，因为直线的一个方向向量，所以直线的斜率为，所以由直线的点斜式方程可得所求直线的方程为，即.故选：A.4.设集合，，若只含一个元素，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由两集合中，点的属性即可判断.【解析】集合表示直线上及上侧所有点，集合表示圆心在，半径为1的圆上所有的点，又与相切，所以若只含一个元素，则，故选：C．5．“太极图”形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”，图中所有曲线均为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】A【分析】记，则为直线AP的斜率，数形结合即可求出最小值和最大值，从而可得其范围.【解析】记，则为直线AP的斜率，故当直线AP与半圆相切时，k最小，此时设，故，解得或，由图可知需舍去，故．当过时，．6.若圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论.【解析】由题意，在圆中，圆心，半径为，到直线的距离为的点有且仅有个，∵圆心到直线的距离为：，

故由图可知，当时，圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于；当时，圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于；当则的取值范围为时，圆上有且仅有两个点到直线的距离等于.故选：B.7．已知圆，设其与轴､轴正半轴分别交于，两点.已知另一圆的半径为，且与圆相外切，则的最大值为（

）A．20 B． C．10 D．【答案】A【分析】分析可知，，点的轨迹方程为，整理可得，利用基本不等式运算求解.【详解】对于圆，整理可得：，可知圆心为，半径为，令，则，解得或，即；令，则，解得或，即；因为与相外切，则，可知点的轨迹为以为圆心，半径为的圆，

则点的轨迹方程为，可得，则，当且仅当时，等号成立，所以的最大值为20.故选：A.8.已知圆，直线，为上的动点．过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用圆切线的性质推得四点共圆，，从而将转化为，进而确定时取得最小值，再求得以为直径的圆的方程，由此利用两圆相交弦方程的求法即可得解.【解析】因为圆可化为，所以圆心，半径为，因为是圆的两条切线，则，由圆的知识可知，四点共圆，且，，所以，又，所以当最小，即时，取得最小值，此时的方程为：，即，联立，解得，即，所以，中点为，故以为直径的圆的方程为，即，，又圆，两圆的方程相减即为直线的方程：.故选：B.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知直线：与直线：，则下列结论中正确的是（

）A．直线与直线可能相交 B．直线与直线可能重合C．直线与直线可能平行 D．直线与直线可能垂直【答案】ABC【分析】根据给定直线方程写出它们的斜率及对应的一个点，再对各选项逐一分析即可判断作答.【解析】直线：的斜率为，过定点，直线：斜率为，过点，若直线与直线相交，则，而，即可以成立，A正确；若直线与直线重合，则，且，而，可以有，B正确；若直线与直线平行，则且，而，可以有，C正确；若直线与直线垂直，则，则，与矛盾，直线与直线不可能垂直，D错误．故选：ABC10．已知圆方程为，则下列结论正确的是（

）A．的取值范围为B．若已知在圆内，则C．若，则直线与圆相离D．若，圆关于直线对称的圆方程为【答案】BD【分析】对于A，给圆的方程配方即可求解；对于B，根据点在圆内即可列方程；对于C，比较圆心到直线的距离与半径的大小即可；对于D，只需求出圆心关于直线的对称点即可.【解析】对于A，圆的方程为，所以，得，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，当，时圆C方程为，此时圆心C到直线的距离，所以与圆相切，故C错误；对于D，当时，可得圆C的方程为，则圆心，半径为2，设圆D的方程为，由，对称圆D方程为即，故D正确.故选：BD.11．数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，其形状酷似数学符号“”，设为曲线上任意一动点，则（

）A．曲线与直线有个公共点 B．曲线上任意两点距离最大值为C．的最大值为 D．曲线所围成图形面积为【答案】BCD【分析】联立曲线与直线的方程，根据公共解的个数判断A选项；求出曲线与轴的交点坐标，数形结合可判断B选项；利用圆的参数方程结合三角函数的有界性可判断C选项；求出曲线在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积，结合对称性可计算判断D选项.【解析】曲线的方程可化为，当，时，曲线的方程可化为，在曲线上任取一点，则该点关于轴的对称点为，因为，即点也在曲线上，所以，曲线关于轴对称，同理可知，曲线关于轴、原点对称，作出曲线的图形如下图所示：对于A选项，由，得，所以，即，可得或（舍去），故，所以曲线与直线只有个公共点，A错；对于B选项，在曲线的方程中，令，可得，解得或，所以，曲线交轴于点、、，结合图形可知，曲线上任意两点距离最大值为，B对；对于C选项，当取最大值，则必有，，此时点必在第一象限或两坐标轴正半轴上，设，，其中，由可得，所以，所以，因为，则，故，故，即的最大值为，C对；对于D选项，设圆的圆心为，该圆的半径为，因为，故是边长为的等边三角形，所以圆在第一象限的圆弧与轴围成区域的面积为，所以曲线所围成图形面积为，D对.故选：BCD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知点，线段的垂直平分线在轴上的截距为.【答案】3【分析】依题意，求出线段的中点和它的中垂线斜率，即得垂直平分线方程，即可求得.【解析】直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为，线段的中点为，故线段的垂直平分线方程为，令时，解得，即线段的垂直平分线在轴上的截距为3.13.已知分别为圆与圆上一点，则的最小值为.【答案】2【分析】首先根据两个圆的方程判断两个圆的位置关系，从而确定点之间距离的最小值.【解析】因为圆，圆，所以圆心，圆的半径为1；圆心，圆的半径为1.两圆心之间的距离为，所以两圆相离.所以的最小值为.14．如图所示，第九届亚洲机器人锦标赛中国选拔赛永州赛区中，主办方设计了一个矩形坐标场地（包含边界和内部，为坐标原点），长为10米，在边上距离点4米的F处放置一只电子狗，在距离点2米的处放置一个机器人，机器人行走速度为，电子狗行走速度为，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点，那么电子狗将被机器人捕获，点叫成功点．在这个矩形场地内成功点的轨迹方程是；若为矩形场地边上的一点，电子狗在线段上总能逃脱，则的取值范围是.

【答案】，【分析】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，由题意得，利用两点间的距离公式即可求出点的轨迹方程；根据三角函数得到临界值时点的横坐标，即可得到的取值范围.【解析】分别以，为轴，轴建立平面直角坐标系，则，，设成功点，则，即，化简得，因为点在矩形场地内，所以，所以点的轨迹方程是.

当与圆相切时，则有，所以，所以，又，若电子狗在线段上总能逃脱，则点的横坐标取值范围为，所以的取值范围是.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15.（本小题满分13分）已知直线与直线的交点为，(1)直线经过，且与直线垂直，求直线的方程：(2)直线经过，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.【分析】（1）联立两直线方程解得交点坐标，再由垂直关系可得斜率，利用点斜式方程可得结果；（2）分别讨论截距是否为0，代入点坐标计算可得结果.【解析】（1）联立，解得，即，由与直线垂直可得其斜率为，所以直线的方程为，即.(6分)（2）当在两坐标轴上的截距均为0时，易知此时方程为；当在两坐标轴上的截距不为0时，可设直线的方程为，因为，且，所以，（10分）故此时直线的方程为；综上可知，直线的方程为或.（13分）16．（本小题满分15分）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点.(1)求BC边所在直线的一般式方程；(2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标.【分析】（1）利用直线方程的点斜式求出方程，再化成一般式即可.（2）利用三角形面积求出点到直线的距离，再结合已知建立方程组求解.【解析】（1）直线的斜率，直线的方程为，所以BC边所在直线的一般式方程为.（5分）（2）依题意，，设点到直线的距离为，由的面积等于2，得，解得，（9分）于是，解得或，（14分）所以点的坐标为或.（15分）17.（本小题满分15分）已知圆C：及直线l：．(1)求过点的圆的切线方程；(2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交；(3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程．【分析】（1）由两直线垂直求出斜率，再由点斜式求出直线方程可得；（2）将直线方程整理为关于的方程，再解方程组可得顶点；由定点在圆内可证明；（3）弦长最短时利用斜率关系求出斜率，点斜式得到直线方程，再由几何法求弦长可得.【解析】（1）由题意可得圆心，由点在圆上，所以设切线斜率为，则，所以直线方程为，即.（5分）（2）变形为，令，解得，所以直线l恒经过点，因为，所以点在圆内部，所以直线l与圆C恒相交.（10分）（3）当直线l被圆C截得的弦长最短时，此弦与过圆心和点所在的直线垂直，设弦的斜率为，则，弦方程为，即，所以圆心到直线的距离为，所以弦长为.（15分）18.（本小题满分17分）在平面直角坐标系中，已知圆和圆．(1)求圆O与圆C的外公切线的长；(2)过圆C上的任意一点P作圆O的两条切线，切点分别是A，B，设．①求的值；②求圆心C到直线AB的距离的取值范围．【分析】（1）求解两圆的半径和圆心，即可根据外公切线的性质，结合勾股定理求解，（2）①根据两点距离公式，即可代入化简求解，②根据相切求解经过切点的圆，即可两圆方程相减得相交弦方程，即可根据点到直线的距离公式，结合对勾函数的性质求解.【解析】（1）圆心，半径为,圆心，半径为，故，所以外公切线长为．（4分）（2）①设点，则满足，得，所以，而，得，所以．（10分）②设点，以为直径的圆方程为，即，所以两圆的公共弦所在的直线方程为．圆心到直线AB的距离为，又因为点在圆上，即，，所以，（14分）设，且，由对勾函数在单调递减，在单调递增，得的最小值为，，,最大值为，所以的取值范围为．（17分）19．（本小题满分17分）已知圆以及圆.(1)求过点（1，2），并经过圆M与圆C的交点的圆的标准方程；(2)设，过点D作斜率非0的直线，交圆M于P、Q两点.（i）过点D作与直线l1垂直的直线l2，交圆M于EF两点，记四边形EPFQ的面积为S，求S的最大值；（ii）设B(6，0)，过原点O的直线OP与BQ相交于点N，试讨论点N是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由.【分析】（1）联立两圆求交点，根据几何法求圆心和半径，可得答案；（2）（i）由题意设出直线方程，利用弦长公式，求得弦长，利用基本不等式，可得答案；（ii）利用圆与直线的方程，写出韦达定理，利用两直