拓展专题07 玩转解析几何中切线与切点弦的十大问题10大考点37题（高效培优期中专项训练）（原卷版）高二数学上学期北师大版

PAGE拓展专题07玩转解析几何中的切线、切点弦的十大问题考点01圆的切线与切点弦问题（共3小题） 2考点02椭圆的切线与切点弦问题（共4小题） 3考点03双曲线的切线与切点弦问题（共4小题） 3考点04抛物线的切线与切点弦问题（共4小题） 4考点05两曲线的公切线问题(共3小题) 5考点06切线、切点弦与离心率的综合（共3小题） 5考点07切线、切点弦过定点问题（共3小题） 5考点08与切线、切点弦有关的面积问题（共3小题） 6考点09与切线、切点弦有关的定值问题（共4小题） 7考点10与切线、切点弦有关的最值、范围问题（共5小题） 8【重要方法与结论】1．二次曲线（圆、圆锥曲线）的切线和切点弦(1)切线方程：过二次曲线（圆、圆锥曲线）Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0(A、C不全为0)上的点M(x0,y0)的切线的方程为.(2)切点弦方程：当M(x0,y0)在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，过这两个切点的弦所在直线的方程为：.上述两条为一般结论.特别地：(1)过圆.=2\*GB2⑵椭圆+=1(a>b>0)，其上有一点M(x0,y0)，则过该点作切线得到的切线方程.当M在椭圆外时，过M引两条切线得到两个切点，则过这两个切点的直线方程为.=3\*GB2⑶更为一般地，当二次曲线有交叉项时，即形式为Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0(B≠0)时，过点M(x0,y0)有对应的一条直线为；当M在原二次曲线上时，这条直线为过M的切线；当M在曲线外时，过M可引该二次曲线的两条切线，这条直线为过这两个切点的弦的直线.2．圆锥曲线的切线和切点弦的相关结论切线方程：(1)过圆上任意一点的切线方程为.(2)过椭圆的切线方程为：；(3)过双曲线的切线方程为：；(4)过.切点弦方程(1)过圆外一点的切点弦方程为.(2)过椭圆+=1外一点Px0,y0(3)过双曲线的切点弦方程为：；(4)过.说明：上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出，，，，).考点01圆的切线与切点弦问题（共3小题）1．（24-25高二下·贵州黔西·期末）过原点且与圆相切的直线的方程为（

）A． B．C． D．2．（25-26高二上·全国·单元测试）已知圆的圆心为，且经过点，过点作圆的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（

）A． B．C． D．3．（25-26高三上·安徽阜阳·开学考试）过点与圆相切的直线方程为.4．（25-26高二上·四川内江·开学考试）过点的圆的两条切线，切点为，求：(1)求切线的方程；(2)求切线段的长度．考点02椭圆的切线与切点弦问题（共4小题）5．（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）经过点P(1,32)且与椭圆xA．x+23y−4=0 C．x+23y−2=0 6．（24-25高二上·江西吉安·期末）已知过圆锥曲线x2m+y2n=1上一点Pxo,yo的切线方程为x0A．x−y−3=0 B．x+y−2=0C．2x+3y−3=0 D．3x−y−10=07．（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知椭圆M：y2a2(1)求椭圆M的标准方程；(2)若直线l1与椭圆M相切，且直线l1与直线l：x−y−328．（25-26高三上·河北沧州·阶段练习）已知椭圆C：的离心率，短轴长为2，是椭圆外一点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若，过点P作直线l与椭圆C相切，求直线l的方程；(3)若过点P作椭圆C的两条切线互相垂直，求点P的轨迹方程.考点03双曲线的切线与切点弦问题（共4小题）9．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）过点可以作双曲线的两条切线，则点坐标可以是（

）A． B． C． D．10．（2025高二·全国·专题练习）过点作双曲线：的两条切线，切点分别为，求直线的方程．11．（24-25高二上·山西·期中）已知左、右焦点分别为的双曲线，其实轴长为8，其中一条渐近线的斜率为．(1)求双曲线的标准方程；(2)若点为双曲线右支上除顶点外的任意一点，证明：双曲线在点处的切线平分．12．（2024·广东汕头·一模）已知点为双曲线上的动点.(1)判断直线与双曲线的公共点个数，并说明理由；(2)（i）如果把（1）的结论推广到一般双曲线，你能得到什么相应的结论？请写出你的结论，不必证明；（ii）将双曲线的两条渐近线称为“退化的双曲线”，其方程为，请利用该方程证明如下命题：若为双曲线上一点，直线：与的两条渐近线分别交于点，则为线段的中点.考点04抛物线的切线与切点弦问题（共4小题）13．（2025·甘肃临夏·一模）过点P(−1,2)作两条直线与抛物线C:y2=4x相切于点A，B，则弦长|AB|A．8 B．6 C．4 D．214．（24-25高三上·北京·阶段练习）已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为（

）A．0 B．1 C．-2 D．-115．（24-25高二上·吉林·期末）已知抛物线：的准线与轴相交于点，(1)求抛物线的方程；(2)若过点的直线与抛物线相切，求直线的方程.16．（24-25高三上·贵州遵义·阶段练习）已知抛物线的焦点为，且F与圆上点的距离的最小值为2．(1)求；(2)已知点，，是抛物线的两条切线，，是切点，求．考点05两曲线的公切线问题(共3小题)17．（2025高三·全国·专题练习）已知椭圆，圆，则椭圆与圆的公切线段长的最大值为（

）A．1 B．2 C． D．18．（24-25高二上·云南楚雄·期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是19.（2025·全国·模拟预测）写出与椭圆x245+y220=1考点06切线、切点弦与离心率的综合（共3小题）20.（2025高三·全国·专题练习）简化北京奥运会主体育场“鸟巢”的钢结构俯视图，如图所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆，由外层椭圆顶点向内层椭圆引切线．设内层椭圆方程为，则外层椭圆方程可设为．若直线与的斜率之积为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．21.(2024高三·全国·专题练习）过双曲线上一点作双曲线的切线，若直线OP与直线的斜率均存在，且斜率之积为，则双曲线的离心率为．22．（24-25高三上·浙江杭州·期末）过点能作双曲线的两条切线，则该双曲线离心率的取值范围为.考点07切线、切点弦过定点问题（共3小题）23．（25-26高二上·河南·阶段练习）已知直线与圆交于两点，且．(1)求．(2)过上且在圆外的一动点作圆的两条切线，切点分别为．（i）当点的坐标为时，求点的坐标；（ii）证明：直线过定点．24．（24-25高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且.(1)求的方程；(2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点.25.（2025高三·全国·专题练习）如图，过抛物线内部一点作抛物线的中点弦（为中点），两条切线、交于点，过点作直线，且，点是直线上的动点，过点作抛物线的两条切线、，求证：直线过定点．考点08与切线、切点弦有关的面积问题（共3小题）26．（2025高三·全国·专题练习）过点作抛物线的两条切线，与y轴分别交于点C，D，则外接圆的面积为（

）A． B． C． D．27．（2025·湖北武汉·模拟预测）已知椭圆E：的左焦点为F，过点分别作E的切线、，切点分别为A、B，则面积最大值为（

）A． B． C．2 D．28．（23-24高二上·辽宁·期末）过双曲线上一点作两条渐近线的垂线，垂足分别为，且.(1)求双曲线C的标准方程；(2)若动直线的斜率存在，且与双曲线相切，切点为与双曲线的两条渐近线分别交于点，设原点O关于点的对称点为，求四边形的面积.考点09与切线、切点弦有关的定值问题（共4小题）29．（24-25高三上·广东揭阳·期末）如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则.30．（23-24高三上·浙江·期中）已知双曲线：（，）过点，且离心率为2，，为双曲线的上、下焦点，双曲线在点处的切线与圆：（）交于A，B两点.(1)求的面积；(2)点为圆上一动点，过能作双曲线的两条切线，设切点分别为，，记直线和的斜率分别为，，求证：为定值.31．（24-25高三上·广东深圳·期末）在平面直角坐标系中，过拋物线焦点的直线l，交于两点，且.(1)求的方程：(2)若在M，N处的切线交于点，设切线GM，GN的斜率分别为.（i）证明：为定值：（ii）求面积的最小值.32.(2025·江西萍乡·二模）已知椭圆的焦距为，离心率为，点在上．(1)求椭圆的标准方程；(2)若点在椭圆上，点在圆上，直线为和的公切线，求线段的长度；(3)直线交椭圆于两点，交轴于点．为直线上一点，满足，其中为坐标原点，过点作直线的垂线交于点，问是否存在一点，使得的长度为定值？若存在，求出点的坐标和该定值；若不存在，请说明理由．考点10与切线、切点弦有关的最值、范围问题（共5小题）33．（2025高三·全国·专题练习）点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上.在中，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．34．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知点，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，则（）A． B． C． D．35．（24-25高二上·江苏徐州·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，实轴长是虚轴长的2倍，且过点.(1)求的标准方程；(2)若直线与相切于第一象限内的点，且与轴相交于点，①证明：平分；②过坐标原点作的垂线（垂足为），与相交于点，求面积的最大值.36．（2025·湖南·三模）已知抛物线E:y2=2