拓展专题10 利用基向量法破解立体几何八大题型8大考点24题（高效培优期中专项训练）（原卷版）高二数学上学期北师大版

PAGE拓展专题10利用基向量法破解立体几何八大题型考向01解决点共线或点共面问题(共4小题) 1考点02求线段长（向量模长）（共3小题） 3考点03空间平行、垂直的判定(共4小题) 3考点04求异面直线所成的角(共2小题) 5考点05求线面角(共2小题) 6考点06求二面角或两平面的夹角(共2小题) 7考点07求空间距离（共4小题） 7考点08解决新定义问题（共3小题） 9 考向01解决点共线或点共面问题(共4小题)1.如图，在平行六面体中，，．(1)求证：、、三点共线；(2)若点是平行四边形的中心，求证：、、三点共线．2.（24-25高二上·辽宁沈阳·阶段练习）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且．(1)用向量表示向量；(2)求证：共面.3．（2025高二上·全国·专题练习）已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证：(1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面；(2)；(3)三点共线．4．（2025高二·全国·专题练习）如图1，已知在空间四边形中，，分别是，上的动点．(1)若，求证：；(2)如图2，若，，，分别为，，，的中点，求证：，，，四点共面．考点02求线段长（向量模长）（共3小题）5．如图，在平行六面体中，，，则（

）A．1 B． C．9 D．36．如图在一个的二面角的棱上有两点，线段分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱垂直，若，，，则的长为（

）.A．2 B．3 C． D．47．如图，在四棱锥中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD的夹角都等于60°，M是PC的中点，设，，.（1）求证；（2）求BM的长.考点03空间平行、垂直的判定(共4小题)8．如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点．(1)若为的中点，用向量法证明：；(2)若，问是否存在点使得，并说明理由．9.如图，在平行六面体中，分别是的中点，请选择恰当的基底向量证明：(1)平面(2)若该平行六面体为一正方体，则⊥平面EFG.10.（24-25高二上·山东枣庄·期中）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.(1)求证：共面；(2)当为何值时，.11．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.

(1)求证：共面；(2)当为何值时，；(3)若，且，求的长.考点04求异面直线所成的角(共2小题)12．（多选）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且，下列选项正确的是（

）A．长为B．异面直线与所成角的余弦值为C．D．13．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中以顶点A为端点的三条棱长均为1，且它们彼此的夹角都是.(1)求证：；(2)求异面直线与所成角的余弦值.考点05求线面角(共2小题)14．正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，所有棱长都相等．它有4个面，6条棱，4个顶点．正四面体ABCD中，E，F分别是棱AD、BC中点．求：（1）AF与CE所成角的余弦值；（2）CE与底面BCD所成角的正弦值．15.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面内的射影为的中心.(1)求异面直线与BC的夹角;(2)求侧棱与底面所成角的正弦值.考点06求二面角或两平面的夹角(共2小题)16．如图，平行六面体中，，，，(1)求对角线的长度；(2)求二面角的余弦值.17.（25-26高二上·浙江·开学考试）如图，在三棱锥中，且的中点分别为，且．(1)证明：平面；(2)证明：平面平面；(3)求二面角的余弦值．考点07求空间距离（共4小题）18.（24-25高三下·江西·阶段练习）如图，四棱柱中，.

(1)若四边形为菱形，.①证明：平面；②若四边形的面积为，证明：四棱柱的体积；(2)若，求点到平面的距离.19．（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）在平行六面体中，，，(1)求证：直线平面．(2)求到平面的距离.20．（23-24高三下·湖南长沙·阶段练习）如图，在平行六面体中，，．(1)若空间有一点P满足：，求点P到直线BD的距离；(2)求平面与平面所成夹角的余弦值．21．（25-26高三上·河南商丘·开学考试）在平行六面体中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱的长为2，且，求：(1)的长；(2)直线和所成角的余弦值；(3)平行六面体的体积．考点08解决新定义问题（共3小题）22．（23-24高二上·贵州·开学考试）正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体､正六面体､正八面体､正十二面体､正二十面体.已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，MN为球O的一条直径，点为正八面体表面上的一个动点，则的取值范围是.23．（24-25高一下·浙江·期中）向量作为一种重要的数学工具，在代数与几何中发挥着重要桥梁作用，不仅在平面几何学中有着广泛的应用，在空间中、物理学、工程学和计算机科学等领域也同样发挥着重要的作用．它们通过向量的运算，使得我们能够描述和分析现实世界中的各种现象和问题．其中数量积的运算就很好的解决了物理中做功的概念，其运算结果是一个实数．向量在空间中还有一种运算，其运算结果仍是一个向量，即向量的叉积（外积），记作：．规定：①为同时与，垂直的向量，且与为相反向量；②（为向量与的夹角）；(1)证明：；(2)如图，已知棱长均为1的平行六面体，且，计算的值，并解释其几何意义．(3)有一正四面体的四个顶点分别在四个平行平面，，，上，且两相邻平行平面距离为1，求该四面体的棱长．24.（24-25高二上·上海崇明