拓展专题11 斜棱柱、不规则几何体建系的十大技巧10大考点22题（高效培优期中专项训练）（原卷版）高二数学上学期北师大版

PAGE拓展专题11斜棱柱、不规则几何体建系的十大技巧考点01斜棱柱垂面型建系(共2小题) 3考点02斜棱柱垂线法建系（共2小题） 3考点03棱锥垂面型建系（共2小题） 4考点04斜面棱锥建系（共2小题） 5考点05平行六面体型建系（共3小题） 6考点06等角射影角平分线型建系（共2小题） 7考点07台体建系（共2小题） 8考点08不规则几何体型建系（共2小题） 8考点09翻折型建系（共2小题） 9考点10无垂面垂线型（共3小题） 10 【重要方法归纳】类型策略斜棱柱垂面型从以下几方面思考：垂面如果是菱形，多是60°角菱形，则可以通过菱形分割成两个等边三角形，再借助“等边三角形的中线就是高”，寻找建系的z轴垂面如果是一般梯形，可以借助梯形的中线（等腰梯形）或者直角梯形的直角腰建系.斜棱柱垂线型建系如果存在垂线（投影型）斜棱柱，则可以直接借助垂线作为z轴建系，下底面，可以寻找或者做出一对垂线作为xy轴.这类建系，主要难点是分析“空中”的点的坐标.空中点坐标可以有以下思维：让空中点垂直砸下来（落下来，寻找投影），投影点坐标以及下落的高度借助向量相等，寻找空中点所在线段的向量对应的底面相等向量，即可计算出空中点的坐标棱锥垂面型建系棱锥型垂面相对而言较简单，棱锥型垂面，一般垂面多是等腰三角形较多，可以直接用中线来作为z轴.如果是任意三角形，则借助三角形正余弦定理求出高度.z轴可以选择合适的底面垂线组处斜面型棱锥建系斜面型棱锥建系斜面型棱锥，不容易找到垂面和垂线，多采用投影法来建系：从棱锥顶点向下底面做垂线，通过题中条件，寻找并计算出三棱锥的高.再在垂足处，构造或者寻找一对互相垂直的线作为x、y轴来建立坐标系.平行六面体型建系平行六面体建型，一般情况下，平行六面体具有特殊性：平行六面体的测棱和底面两边所成的角度相等，此时，侧棱在底面射影是底面相邻边所成角度的角平分线（可证明），可以选侧棱上合适的点做底面投影以作为z轴建系.等角射影平分线型建系如果一条线和一个角的两边所成角度相等，则该线在角度所在平面射影是角平分线.此时，这个模型也满足“三面角余弦定理”：大题解答时，需要简单的证明才能使用台体建系型正棱台型，建系较简单，一般是正多边形中心作为原点，上下底面连线作为z轴.2.非正棱台型，如有垂面或者垂线，则可以垂面垂线型建系，无垂面垂线，则可参考三棱锥斜面建系思维.不规则几何体型建系不规则几何体建系型思维：多是有垂面，可以垂面建系，难点在于需要寻找“空中点坐标”.如有垂线，则可以垂线型建系.无有垂线和垂面，则可以通过选择合适几个点，“切割出”三棱锥，转化为斜面型三棱锥来建系设点.翻折型建系翻折型几何体，寻找翻折前和翻折后的“变与不变”的点线面关系.翻折前翻折后在同一平面内的点线，数量关系不变.翻折后，一般情况下是存在垂直的平面，可以利用垂面法建系计算翻折后，可以构造三棱锥，利用三棱锥斜面建系法来建系计算考点01斜棱柱垂面型建系(共2小题)1.（24-25高三下·浙江金华·阶段练习）如图，在三棱柱中，是边长为2的正三角形，侧面是矩形，．(1)求证：三棱锥是正三棱锥；(2)若三棱柱的体积为，求直线与平面所成角的正弦值．2．（24-25高二上·广东东莞·期中）如图，在斜三棱柱中，已知为正三角形，四边形是菱形，，是的中点，平面平面．(1)若是线段的中点，求证：平面；(2)若是线段的一点（如图），且，二面角的余弦值为，求的值．考点02斜棱柱垂线法建系（共2小题）3．如图，在三棱柱中，平面，点为棱的中点，.

(1)求证：；(2)若，求直线与平面所成角的正弦的最大值.4.如图，在斜三棱柱中，，M为AC的中点，．(1)证明：．(2)若，BB1=4，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值.考点03棱锥垂面型建系（共2小题）5.（25-26高三上·云南·阶段练习）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的正方形，为等边三角形，平面平面．点是线段的中点，．(1)证明：平面；(2)求平面与平面的所成角的余弦值．6.（25-26高三上·江苏南通·开学考试）如图，在三棱锥中，平面平面，底面是等边三角形，侧面是等腰直角三角形，，，点是的中点.(1)证明：；(2)设点，，，均在球的球面上.①证明：点O在平面内；②求直线与平面所成角的正弦值.考点04斜面棱锥建系（共2小题）7.如图，在三棱锥中，为等腰直角三角形，，．

(1)求证：；(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值．

8.（25-26高三上·广西·开学考试）如图，在四棱锥中，平面，，E为棱的中点，，.(1)证明：平面；(2)若，，求二面角的正弦值.考点05平行六面体型建系（共3小题）9．（2025·浙江·二模）如图，平行六面体中，底面是边长为2的菱形，，(1)求平行六面体的体积；(2)求平面与平面夹角的余弦值.10．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）如图，在平行六面体中，．(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值．11.如图，平行六面体的体积为6，截面的面积为6．

(1)求点到平面的距离；(2)若，，求直线与平面所成角的正弦值．考点06等角射影角平分线型建系（共2小题）12.如图，在四棱柱中，(1)求证：平面平面；(2)设为棱的中点，线段交于点平面，且，求平面与平面的夹角的余弦值.13.如图，在三棱柱中，，，．(1)求证：；(2)若为线段的中点，求直线与平面所成角的正弦值．考点07台体建系（共2小题）14．（25-26高三上·湖南·阶段练习）已知四棱台，底面是边长为2的菱形，平面，，，E是的中点.

(1)证明：平面；(2)求平面与平面夹角的余弦值.15．（24-25高一下·四川绵阳·期末）如图，在三棱台中，点D，E分别为，的中点，，，，．(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)点M在侧面内，且平面，当线段最短时，求平面与平面所成的二面角的正弦值．考点08不规则几何体型建系（共2小题）16.如图所示，在多面体中，底面为直角梯形，，，侧面为菱形，平面平面，M为棱的中点．(1)若点N为的中点，求证：平面；(2)若，，求平面与平面夹角的余弦值．17.如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形为平行四边形，对角线和相交于点H，平面⊥平面，，，G是线段上一动点（不含端点）．

(1)当点G为线段BE的中点时，证明：平面；(2)若，且直线与平面成角，求二面角的正弦值．考点09翻折型建系（共2小题）18.（2025·辽宁·二模）如图1在梯形ABCD中，，且为AB中点，为BC上一点，且．现将该梯形沿AC折起，使得点折叠至点的位置（如图2），且二面角的平面角大小为.(1)求证：；(2)求直线CE与平面PEF所成角的正弦值.19.（25-26高二上·宁夏·阶段练习）立德中学积极开展社团活动，在一次社团活动过程中，一个数学兴趣小组发现《九章算术》中提到了“刍甍（méng）”这个五面体，于是他们仿照该模型设计了一道数学探究题，如图1，分别是边长为4的正方形三边的中点，先沿着虚线段将等腰直角三角形裁掉，再将剩下的五边形沿着线段折起，连接就得到了一个“刍甍”（如图2）.(1)若是四边形对角线的交点，求证：平面；(2)若二面角的大小为，求直线与平面所成角的正弦值；(3)在（2）的条件下，在棱上是否存在点，使得平面与平面所成的二面角的正切值为？若存在，求出点的位置，若不存在，请说明理由.考点10无垂面垂线型（共2小题）20.如图，在三棱柱中，侧面是矩形，，，分别为棱的中点，为线段的中点．(1)证明：平面．(2)求二面角的正弦值．21.（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在四棱锥中，．平面．

(1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值