第二章 圆锥曲线全章复习（高效培优讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册（解析版）

31/81第二章圆锥曲线全章复习教学目标1.通过复习理顺本章重点知识，如椭圆、双曲线、抛物线的方程及性质，直线与圆锥曲线的位置关系等.2.能综合应用本章知识解决综合性强的问题，如定点、定值、最值及参数取值范围等问题.教学重难点1.重点(1)圆锥曲线的性质；(2)直线与圆锥曲线的位置关系.2.难点(1)与圆锥曲线有关的点的轨迹问题.(2)圆锥曲线中的定点、定值、最值、求参数取值范围等问题.回顾重点知识知识点01椭圆1．椭圆的定义如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个常数，且2a>|F1F2|，则平面内满足|PF1|＋|PF2|＝2a的动点P的轨迹称为椭圆，其中两个定点F1，F2称为椭圆的焦点，两个焦点之间的距离|F1F2|称为椭圆的焦距．特别说明：其数学表达式：集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a＞0，c＞0，且a，c为常数：①若2a＞2c，则集合P为椭圆；②若2a＝2c，则集合P为线段；③若2a＜2c，则集合P为空集．2．椭圆的标准方程与几何性质标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)图形性质范围－a≤x≤a，－b≤y≤b－b≤x≤b，－a≤y≤a对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)轴长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b焦距|F1F2|＝2c离心率e＝eq\f(c,a)∈(0，1)a，b，c间的关系c2＝a2－b2知识点02双曲线1．双曲线的定义一般地，如果F1，F2是平面内的两个定点，a是一个正常数，且2a<|F1F2|，则平面上满足||PF1|－|PF2||＝2a的动点P的轨迹称为双曲线，其中，两个定点F1，F2称为双曲线的焦点，两个焦点的距离|F1F2|称为双曲线的焦距．特别说明：数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.①若a<c，则集合P为双曲线；②若a＝c，则集合P为两条射线；③若a>c，则集合P为空集．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)eq\f(y2,a2)－eq\f(x2,b2)＝1(a>0，b>0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Ry≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±eq\f(b,a)xy＝±eq\f(a,b)x离心率e＝eq\f(c,a)，e∈(1，＋∞)实虚轴实轴：线段A1A2，|A1A2|＝2a虚轴：线段B1B2，|B1B2|＝2ba，b，c的关系c2＝a2＋b23．等轴双曲线(1)定义：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线，其方程写作：x2－y2＝λ(λ≠0)．(2)性质：①a＝b；②e＝eq\r(2)；③两条渐近线y＝±x互相垂直；④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．4．共轭双曲线（拓展）（1）定义：如果一条双曲线的实轴和虚轴分别是另一条双曲线的虚轴和实轴，那么这两条双曲线互为共轭双曲线．（2）性质：①它们有共同的渐近线；②它们的四个焦点共圆；③它们的离心率的倒数的平方和等于1．知识点03抛物线1．抛物线的定义一般地，设F是平面内的一个定点，l是不过点F的一条定直线，则平面上到F的距离与到l的距离相等的点的轨迹称为抛物线，其中定点F称为抛物线的焦点，定直线l称为抛物线的准线．特别说明：其数学表达式：{M||MF|＝d}(d为点M到准线l的距离)．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)开口方向向右向左向上向下图形顶点O(0，0)对称轴x轴y轴焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))离心率e＝1准线方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R焦半径(其中P(x0，y0)在抛物线上)|PF|＝x0＋eq\f(p,2)|PF|＝－x0＋eq\f(p,2)|PF|＝y0＋eq\f(p,2)|PF|＝－y0＋eq\f(p,2)知识点04直线与圆锥曲线的位置关系1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断(1)直线与圆锥曲线的位置关系有相交、相切、相离；相交有两个交点(特殊情况除外)，相切有一个交点，相离无交点．(2)判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0代入圆锥曲线C的方程．消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有Δ＞0时，直线l与曲线C相交；Δ＝0时，直线l与曲线C相切；Δ＜0时，直线l与曲线C相离．②当a＝0时，即得到一个一次方程，则l与C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴平行或重合．2．圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝eq\r(（1＋\f(1,k2)）[（y1＋y2）2－4y1y2])，k为直线斜率且k≠0.二、熟记重要（二级）结论椭圆中的常用结论：1．焦半径：椭圆上的点与左（下）焦点与右（上）焦点之间的线段的长度叫做椭圆的焦半径，分别记作．（1）；（2）；（3）焦半径中以长轴为端点的焦半径最大和最小（近日点与远日点）．2．焦点三角形：椭圆上的点与两焦点构成的叫做焦点三角形，的面积为，则在椭圆中（1）当为短轴端点时，最大．（2），当时，即点为短轴端点时，取最大值，最大值为．（3）焦点三角形的周长为．3．焦点弦（过焦点的弦）：焦点弦中以通径（垂直于长轴的焦点弦）最短，弦长．4．为椭圆的弦，，弦中点，则（1）弦长；（2）直线的斜率．双曲线中的常用结论：1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为．2．若是双曲线右支上一点，分别为双曲线的左、右焦点，则．3．同支的焦点弦中最短的为通径（过焦点且垂直于长轴的弦），其长为；异支的弦中最短的为实轴，其长为．4．若是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，分别为双曲线的左、右焦点，则，其中为．5．若是双曲线右支上不同于实轴端点的任意一点，分别为双曲线的左、右焦点，为内切圆的圆心，则圆心的横坐标为定值．抛物线中的常用结论：设是过抛物线焦点的弦，若，则（1）；（2），，弦长（为弦的倾斜角）；（3）；（4）以弦为直径的圆与准线相切；（5）以或为直径的圆与轴相切；（6）过焦点弦的端点的切线互相垂直且交点在准线上．圆锥曲线的切线方程(1)过椭圆的切线方程为：；(2)过双曲线的切线方程为：；(3)过.圆锥曲线的切点弦方程(1)椭圆的切点弦方程为；(2)双曲线的切点弦方程为；(3)的切点弦方程为.说明：上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出，，，，.题型01利用圆锥曲线的定义求方程【典例1-1】（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，将圆的方程配方得：，圆心，半径为，圆同理化为，圆心，半径为，当动圆与圆相外切时，有①当动圆与圆相内切时，有②将①②两式相加，得动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆，故，，，.故选：A.【典例1-2】（24-25高三上·辽宁·期末）已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】延长交直线于点，连接，由条件判断且为中点，利用中位线性质得且，从而利用双曲线的定义得点在以，为焦点的双曲线上，进而利用双曲线的标准方程求解轨迹方程即可.【详解】由题意知，圆的半径，延长交直线于点，连接，因为，且，所以，且为中点，所以，且，因此，，所以点在以，为焦点的双曲线上，设的方程为，可知，所以，又，则，所以的方程为，即，又点是圆外一点，所以，即，故所求轨迹方程为.故选：B利用圆锥曲线的定义求轨迹方程当点的轨迹符合圆锥曲线的定义时，可以利用定义法求其轨迹方程.其中在用定义法求双曲线方程时，还应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线．【变式1-1】（24-25高二上·江西赣州·期中联考）已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】方法一：轨迹方程法设点，则点．连接PF，由题意知，即，整理得，则曲线的方程为．方法二：几何定义法由题意知，点到点的距离等于其到直线的距离，则点的轨迹为以点为焦点，以为准线的抛物线，则曲线的方程为．故选：B．【变式1-2】在平面直角坐标系中，点的坐标为，以线段为直径的圆与圆相切，则动点P的轨迹方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】由已知圆半径为，如图，当两圆外切时，设的中点为，即为圆心，，即，取，连接，O是中点，则，因此，当两圆内切时，记动点为，的中点为D，则，所以，因为点、分别是、的中点，所以，所以，所以动点P满足，而，所以点P轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线，，则，又，因此，双曲线方程为，故选：A.题型02利用圆锥曲线定义求距离的最值【典例2-1】已知两点的坐标分别是，动点到的距离比到直线的距离小，则的最小值为（

）A．4 B．5 C． D．【答案】D【详解】根据题意可得动点到的距离与到直线的距离相等，所以动点的轨迹方程是以为焦点的抛物线，即，过作垂直于准线，垂足为，如下图所示：

易知，所以，当三点共线时，取得最小值，即为点到准线的距离；所以的最小值为6.故选：D【典例2-2】（24-25高二上·河南郑州·期中）设是双曲线上一点，，分别是两圆：和上的点，则的最大值为.【答案】8【详解】圆的圆心，半径，圆的圆心，半径，双曲线的实半轴长，半焦距，则为其左右焦点，，，要取最大值，点必在双曲线左支上，所以.故答案为：利用圆锥曲线定义破解距离和或差的最值问题1.在遇到椭圆、双曲线中线段和或的最值问题时，常利用其定义及三角形三边关系转化求解，即利用定义将到一焦点的距离化为到另一个焦点的距离，再进一步求解.2.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化．【变式2-1】（24-25高二下·安徽·阶段练习）已知椭圆的右焦点为，离心率为．若，点是上的任意一点，则的最大值为（

）A． B．6 C． D．【答案】D【详解】设的左焦点为，半焦距为，由题意得，又离心率，所以，由椭圆的定义得：，所以，当点为线段的延长线与的交点时取等号，故的最大值为.故选：D.【变式2-2】（25-26高二上·湖南长沙·阶段作业）已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为．【答案】【详解】将抛物线方程化为标准方程:，求得焦点为，准线,且．设，如图，过点作于点，则由抛物线的定义得:，所以的周长．当且仅当三点共线，即时，等号成立.题型03圆锥曲线的焦点三角形问题【典例3-1】（24-25高二下·云南曲靖·阶段练习）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，点为该椭圆上一点，且满足，若的内切圆的面积为，则的外接圆的面积为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由，得，即.设的内切圆半径为，则由的内切圆的面积为，可得其内切圆的半径.在中，根据椭圆的定义，又，由余弦定理得，解得，所以即.又，得，故，由正弦定理知的外接圆半径为，所以的外接圆的面积为.故选：D.【典例3-2】（多选）（25-26高三上·四川·开学考试）记双曲线：的左、右焦点分别为，.若，以为圆心、为半径的圆与的右支交于，两点，点为上一点，满足，则（

）A．的渐近线方程为 B．的面积为3C． D．【答案】BC【详解】由题知，解得，故的方程为，对于A，因为的方程为，其渐近线方程为，所以A错误，对于B，由双曲线定义可知，不妨令，，而，故，即，整理得到，所以的面积，故B正确，对于C，易知圆的方程为，联立，消得，解得（舍去）或，代入，可得，不妨令在第一象限，则，，显然.由B知与，不重合，而在中，，故C正确，对于D，因为，在中，由余弦定理可得，所以D错误，

故选：BC.椭圆、双曲线中焦点三角形问题的求解策略对于焦点三角形的处理，通常是从以下三个角度入手：（1）椭圆、双曲线的定义；（2）正、余弦定理；（3）整体思想..【变式3-1】（25-26高三上·河北·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，点是这两条曲线的一个公共点，则（

）A．双曲线的渐近线方程为 B．C．的面积为 D．【答案】BC【详解】由已知，抛物线的焦点坐标为，所以双曲线右焦点，即.又，所以，所以双曲线的方程为.对于A项，双曲线的渐近线方程为，故A项错误；对于B项，联立双曲线与抛物线的方程整理可得，，解得或（舍去负值），所以，代入可得，.设，又，所以，故B项正确；对于C项，易知，故C项正确；对于D项，因为，所以，由余弦定理可得，，故D项错误.故选：BC【变式3-2】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，则（

）A．若，则的面积为B．存在点，使得C．若直线交椭圆于另一点，则D．使得为等腰三角形的点共有4个【答案】BC【详解】由题意知，，，，对于A，由焦点三角形面积公式得，A错误；对于B，当点位于椭圆的上顶点或下顶点时，(为坐标原点)，则为直角，B正确；对于C，由焦半径性质可得，，C正确；对于D，焦半径范围为，即．若是以为顶角顶点的等腰三角形，点位于椭圆的上顶点或下顶点，满足条件的点有2个；若是以为顶角顶点的等腰三角形，则，则满足条件的点有2个；同理，若是以为顶角顶点的等腰三角形，满足条件的点有2个；故使得为等腰三角形的点共有6个，D错误．故选：BC.题型04求圆锥曲线的标准方程【典例4-1】已知直线3x-y+6=0经过椭圆=1(a>b>0)的左焦点F1,且与椭圆在第二象限的交点为M,与y轴的交点为N,F2是椭圆的右焦点,且|MN|=|MF2|,则椭圆的方程为()A．=1 B．+y2=1 C．+y2=1 D．=1【答案】D【详解】由题意得直线与x轴、y轴分别交于点，因此，所以．又,于是,从而,故椭圆方程为.故选D．【典例4-2】已知双曲线的中心在原点，两个焦点分别为和，点在双曲线上，且，的面积为1，则双曲线的方程为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】不妨设点在第一象限.设，，根据题意：，所以，即，所以，，所以双曲线的方程为：.故选：D求标准方程的一般方法：（1）待定系数法（2）定义法（3）几何性质法.【变式4-1】已知抛物线C：的焦点为F，为C上一点，且．(1)求p；(2)若点在椭圆T：上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程．【详解】（1）根据题意可知，解得．故的值为.（2）由（1）可得，则直线的斜率，则直线的方程为，与椭圆联立，得．因为直线与椭圆相切，所以，化简得．①因为点在椭圆T上，所以．②由①②解得，，所以椭圆T的标准方程为.【变式4-2】求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)与椭圆有公共焦点，且过点；(2)焦点在y轴上，焦距为8，渐近线斜率为；(3)经过点，且一条渐近线的方程为．【详解】（1）∵椭圆的焦点（0，±3），∴由题意设所求双曲线为，∵双曲线过点，∴，整理得，解得或（舍去），∴所求双曲线方程为．（2）设双曲线的标准方程为（a，b＞0），则渐近线为，

∵焦距为8，渐近线斜率为，∴，，又，所以，，∴双曲线的标准方程为，（3）因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以设双曲线方程为，又双曲线过点，所以，解得，所以双曲线方程为．题型05圆锥曲线的几何性质考向1椭圆、双曲线的离心率问题【典例5-1】（25-26高三上·河北衡水·开学考试）过双曲线的顶点作双曲线的一条渐近线的垂线，垂线与轴交于点，若线段的长度等于双曲线的焦距的一半，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．2【答案】B【分析】设点在轴的正半轴上，由已知可得点，根据直线与渐近线垂直可得，即可求解双曲线的离心率.【详解】设双曲线的焦距为，为坐标原点，不妨设点在轴的正半轴上，，有，可得点，直线的斜率为，又由直线与渐近线垂直，有，可得，可得双曲线的离心率为.故选：B.考向2双曲线的渐近线问题【典例5-2】（辽宁省大连市部分高中学校2025-2026学年高三上学期适应性演练一数学试题）已知双曲线C的离心率为2，焦点在x轴上.圆A的方程为圆A与双曲线C的一条渐近线l：y=kx(k>0)相切，则a的值为（

）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】先由椭圆的离心率求出渐近线方程为，再由点到直线距离公式解关于方程即可.【详解】由题意得则则所以渐近线方程为又因为圆的圆心为恒在直线上，半径为2，由圆与渐近线相切可得解得故选：B.考向3抛物线的焦点弦问题【典例5-3】（25-26高三上·重庆·开学考试）设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于两点，为的准线，则（

）A． B．C．以为直径的圆与相切 D．的面积为【答案】ACD【详解】对于A，由题意，在直线中，令，可得，所以抛物线的焦点为，则，，故A正确；对于B，设，，联立得，则，，故B错误；对于C，，设中点为，则，，到直线的距离，以为直径的圆的半径，由于，所以以为直径的圆与相切，故C正确；对于D，到的距离，则的面积为，故D正确.故选：ACD.考向4圆锥曲线上点的范围问题【典例5-4】（24-25高二上·甘肃酒泉·期末）设椭圆的右焦点为，过原点的动直线与椭圆交于、两点，那么的周长的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】在椭圆中，，，，的周长，又因为、两点为过原点的动直线与椭圆的交点，所以、两点关于原点对称，椭圆的左焦点为，易知为的中点，所以，四边形为平行四边形，所以，，所以，又因为、、三点不共线，不妨设点，则，其中，且，可得，所以，，所以的周长的取值范围为，故选：A. 圆锥曲线中的几何性质问题求解策略1.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a－c)，过焦点垂直于长轴的通径长等．(2)设椭圆上任意一点P(x，y)，则当x＝0时，|OP|有最小值b，这时，P在短轴端点处；当x＝a时，|OP|有最大值a，这时P在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P(x，y)(y≠0)与两焦点F1(－c,0)，F2(c,0)构成的△PF1F2称为焦点三角形，其周长为2(a＋c)．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a是斜边，a2＝b2＋c2.2．已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a、b，利用c2＝a2＋b2求出c，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．3.在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c和a的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建立关于参数c、a、b的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用解题.【变式5-1】如图，设，分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使得线段的中垂线恰好过焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（

）

A． B． C． D．【答案】B【详解】解法一：因为线段的中垂线恰好过焦点，所以，由焦半径的范围可知，即，则且，解得，又，可得．故选：B．解法二：设，则线段的中点坐标为，，可得线段的中垂线所在的直线方程为，把点代入得，从而得到，则或（舍去），因为，所以，则且，解得，又因为，得，故选：B．【变式5-2】已知双曲线的方程为，，分别为其左、右焦点，为右支上一点，的平分线交轴于点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】C【详解】由题意有，解法1：，同理，．又，进而得，所以，又，所以当且仅当时等号成立．故选：C．解法2：由角平分线的性质可知，点到直线和的距离相等．因为，，所以，解得，所以，又，所以当且仅当时等号成立．故选：C．【变式5-3】（25-26高三上·陕西咸阳·阶段练习）已知为抛物线的焦点，为上的两个动点，则下列命题正确的是（

）A．若点的坐标为，则的最小值为3B．若，则线段的中点到轴的最小距离为2C．若线段的中点的横坐标为3，则的最大值为8D．若直线过点，则（为坐标原点）的斜率之积为定值【答案】BCD【详解】由题意知，所以，故的方程为，设，则，所以，所以当时，，故A错误；过分别作准线的垂线，垂足分别为，则的中点到轴的距，当且仅当过点时等号成立，故B正确；由于，当且仅当过点时等号成立，故C正确；

若过点，设其方程为，代入的方程并整理，得，设，则，所以，所以，故D正确，故选：BCD．题型06直线与圆锥曲线的位置关系【典例6-1】（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定【答案】C【详解】因为直线过点，而为椭圆的右端点和上端点，故直线与椭圆相交.故选：C.【典例6-2】点，定义，如图为双曲线及渐近线，则关于点、、，下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】设点、、，则双曲线的两条渐近线方程为，点在直线的上方，则，则，即点在直线的上方，则，则，所以，，点在双曲线的外部，则，在直线的上方，则，可得，点在直线的下方，则，可得，所以，，即；因为点在双曲线的内部，则.综上所述，.故选：D.直线与圆锥曲线位置关系的判断方法1．直线y＝kx＋m与椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的位置关系，判断方法：联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋m，,\f(x2,a2)＋\f(y2,b2)＝1，))消y得一元二次方程．当Δ>0时，方程有两解，直线与椭圆相交；当Δ＝0时，方程有一解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程无解，直线与椭圆相离．2．把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2＋bx＋c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式．(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点．(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点．(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点．当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点．3、设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个交点；当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个交点；当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点．(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．【变式6-1】（多选）（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的离心率为C．直线与双曲线只有一个公共点D．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点【答案】AC【详解】由题意，可知两个焦点，，双曲线上一点，则，，，则，则，故A正确，B不正确；因为双曲线C中，，则，则双曲线C的渐近线方程为，所以直线与双曲线C的渐近线平行，则直线与双曲线C只有一个公共点，故C正确；因为直线与轴交点在双曲线右顶点右侧，且其斜率大于渐近线斜率，所以直线与双曲线C的右支有两个交点，故D不正确．故选：AC.【变式6-2】（多选）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（

）A．直线l过定点B．当时，直线l与抛物线C相切C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点D．当直线l与抛物线C无公共点时，或【答案】BD【详解】选项A，因为，因此不是直线所过定点，A错；选项B，时，直线方程为，代入抛物线方程得，解得，从而，又直线与抛物线的对称轴不平行，所以直线与抛物线相切，切点为，B正确；选项C，时，直线方程为，它与抛物线的对称轴平行，直线与抛物线只有一个公共点，C错；选项D，由得，，由，得或，D正确．故选：BD．题型07圆锥曲线中的弦长问题【典例7】若椭圆的弦AB的中点则弦长（

）A．4 B． C．2 D．【答案】D【详解】设，，因为为AB的中点，所以，，又A，B两点在椭圆上，则，，两式相减，得，所以，所以，所以，即有直线AB的方程为，即为，代入椭圆方程，可得，可得或4，即有，，则故选：D.求圆锥曲线中弦长的方法1.交点法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．2.根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).3.焦点弦长,利用焦半径公式求解,如：设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.【变式7-1】已知是双曲线的右顶点，则该双曲线的一条渐近线被以为圆心且过原点的圆截得的弦长为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，所以，，且圆的半径为，可得双曲线的一条渐近线方程为，即，圆心到直线的距离为，所以截得的弦长为.故选：D.【变式7-2】倾斜角为的直线过抛物线的焦点，且与交于，两点.(1)求抛物线的准线方程及焦点坐标；(2)求弦长.【详解】（1）由题意抛物线可知，则抛物线准线方程为，焦点;（2）过焦点且倾斜角为的直线的方程为，联立可得，设，则,故.题型08圆锥曲线的中点弦问题【典例8】（1）过点的直线与椭圆相交于两点，若为线段的中点，求直线的方程．（2）已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于，且点是线段的中点？若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由．【详解】（1）设直线与椭圆的交点为．因为，所以点在椭圆内，为的中点，．又两点在椭圆上，则，两式相减得，于是，，即，故所求直线的方程为，即．（2）设存在被点平分的弦，且，则，，两式相减，得，故直线．由，消去得，．这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线．解决圆锥曲线中点弦问题的两种方法(1)根与系数关系法：联立直线方程和圆锥曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决；(2)点差法：利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标分别代入圆锥曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.(3)椭圆、双曲线中点弦的斜率公式：①已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上的两个不同的点，M(x0，y0)是线段AB的中点，则kAB＝－eq\f(b2x0,a2y0).=2\*GB3②设为双曲线弦（不平行轴）的中点，则有kAB＝eq\f(b2x0,a2y0).【变式8-1】（多选）（24-25高三下·黑龙江齐齐哈尔·阶段练习）已知为坐标原点，经过点的直线与抛物线交于、两点，直线是线段的垂直平分线，且与的交点为，则下列说法正确的是（

）A．若，则 B．若，则C． D．【答案】CD【详解】如图由题意，斜率存在且为，所以，联立得：，由韦达定理得，所以，代入得，代入得，则，又因为，则，.由以上可得CD均正确；对于A选项，代入，可得，故A错误；对于B选项，不符合与的关系，故B错误；故选：CD.【变式8-2】已知曲线是平面内到和的距离之和为的点的轨迹．（1）求曲线的方程；（2）斜率为1的直线与曲线相交于点，，弦长，求直线的方程；（3）求斜率为1的直线交曲线的弦的中点的轨迹方程．【详解】（1）由题知，曲线满足椭圆的定义，且，，则，曲线的方程为，（2）设直线方程为，，，联立，化简得，由韦达定理知，，则弦长，解得，故直线的方程为，；（3）设，则由（2）知，，，则的轨迹方程为，且该轨迹应在椭圆内部，即.题型09圆锥曲线的切线、切点弦问题【典例9】（2025·湖南长沙质检）过抛物线外一点作抛物线的两条切线，切点分别为，另一直线与抛物线交于点，与直线交于点，求证：(1)点处的切线与直线平行；(2).【分析】（1）根据顶点在原点，开口向上的抛物线在点处的切线方程公式，得到抛物线在点处的切线方程，并得到抛物线在处和在处的切线方程，将代入得直线方程，对比两直线斜率即可求证.（2）联立抛物线方程和直线方程，根据韦达定理求得中点的横坐标，与点横坐标一致，即可得证.【详解】（1）如图，建立平面直角坐标系，由题意可得，对于抛物线，，，该抛物线在点处的切线方程为，即，则抛物线在点处的切线方程为，即，所以抛物线在点处的切线斜率为4，设，，则，，即，，将点坐标代入直线的方程得，得，所以直线的斜率为4，即抛物线在点处的切线斜率和直线的斜率均为4，故点处的切线与直线平行.（2）联立，得，设，，根据韦达定理有，则中点的横坐标为，又因为点在线段上且，所以点即线段的中点，.1.求圆锥曲线的切线方程方法有:(1)判别式法.即设出切线的斜率k，联立直线与二次曲线的方程，消元转化为一元二次方程，通过△=0求出k,从而得切线方程，对于切线的斜率不存在的情形，则一般画图观察求解，此法为通法.(2)切线公式法.常见的切线公式有：①过圆上的点的切线方程为+②椭圆、双曲线与抛物线的切线方程（见知识预备）(3)几何性质法.对于圆而言，常利用圆的几何性质“圆心到切线的距离等于圆的半径(即d=r)”来速求其切线方程.2.双切线（切点弦）问题求解策略过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题。这类问题一般的处理步骤是：(1)设切线的斜率为，写出切线的方程；(2)将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程；(3)由方程满足判别式，建立关于的一元二次方程，两切线的斜率为方程的两根；(4)结合韦达定理，计算等，并将之用于其他量的计算。【变式9】（24-25高二下·江西南昌·期末）已知曲线和曲线.(1)若曲线上两个不同点A、B的横坐标分别为，求证：直线的方程：；(2)若直线与曲线相切，求证：；(3)若曲线上任意点向曲线引两条切线交于另两点为，求证：直线与曲线相切.【详解】（1）设，，因为A，B在曲线上，所以有：，易知，所以直线AB的斜率.根据点斜式方程，直线AB过点，则直线AB的方程为.将代入上式得：，展开可得：,化简得，即，得证.（2）将直线：代入曲线，可得：，展开并整理得：.因为直线l与曲线相切，所以此一元二次方程的判别式.则展开得：，化简可得，得证.（3）设P，Q，R三点横坐标分别为，，，结合（1）可知直线PQ的方程：，直线PQ与曲线相切，再结合（2）中得：.整理得：再整理：.同理可得，所以直线既过点又过点即直线QR的方程：.再次结合（2）可推算：,所以，直线QR与曲线相切.题型10圆锥曲线中的面积问题【典例10-1】设为坐标原点，直线与抛物线交于两点，与的准线交于点．若，点为的焦点，则与的面积之比为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】如图，分别过点作抛物线的准线的垂线，垂足分别为，则，，抛物线的焦点，直线过定点，因为，，所以，所以.故选：B.【典例10-2】如图，已知椭圆C：的短轴端点分别为B1，B2，点M是椭圆C上的动点，且不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.（1）求动点N的轨迹方程；（2）求四边形MB2NB1面积的最大值．【详解】（1）设N(x，y)，M(x0，y0)(x0≠0)．由题知B1(0，－3)，B2(0，3)，所以kMB1＝，kMB2＝.因为MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，所以直线NB1：y＋3＝－x，①直线NB2：y－3＝－x，②①×②得y2－9＝x2.又因为，所以y2－9＝x2＝－2x2，整理得动点N的轨迹方程为＋＝1(x≠0)．（2）由（1），设MB1为可得得直线NB1：y＝－x－3，①直线NB2：y＝2kx＋3，②联立①②解得x＝，即xN＝，故四边形MB2NB1的面积S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|)＝3×＝＝≤，当且仅当|k|＝时，S取得最大值.圆锥曲线中的面积问题求解策略1.对于三角形的面积问题，常利用以下策略求解：(1)利用弦长公式求出三角形的某条底，再由点到直线的距离公式求高.(2)以三角形被坐标轴所截得的线段为底，则高为|x1-x2|或|y1-y2|2.对于四边形的面积，则常分割成三角形的面积求解.3．多个图形面积的关系的转化：关键词“求同存异”，寻找这些图形的底和高中是否存在“同底”或“等高”的特点，从而可将面积的关系转化为线段的关系，使得计算得以简化4.面积的最值问题：通常利用公式将面积转化为某个变量的函数，再求解函数的最值，在寻底找高的过程中，优先选择长度为定值的线段参与运算。这样可以使函数解析式较为简单，便于分析.【变式10-1】已知双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，点P在C上，的内心为I.若，，的面积满足，则C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如图，设圆I的半径为r，由，得，化简可得，即，得，即C的渐近线方程为.故选：C.【变式10-2】已知顶点在坐标原点，焦点在坐标轴上的抛物线过点．(1)求抛物线的标准方程及其准线方程；(2)过点作直线交抛物线于另一个交点（在第四象限），设直线的斜率分别为，若，求的面积．【详解】（1）根据题意，当抛物线开口向右时，设抛物线方程为，将点代入方程可得，解得，此时抛物线的标准方程为，准线方程为；当抛物线开口向上时，设其方程为，将点代入方程可得，解得，此时抛物线的标准方程为，准线方程为.综上，抛物线的标准方程为，准线方程为或，准线方程为.（2）根据题意，因为点在第四象限，所以抛物线的标准方程为，准线方程为.画出图象为：由题意可知存在，，因为，所以.设点，所以，解得（舍去）或.直线的方程为，即.所以点的坐标为.所以的面积为.题型11圆锥曲线中的最值或范围问题【典例11-1】若椭圆的左、右焦点分别为、，点P为椭圆C上一动点，则下列说法中不正确的是（

）A．当点P不在x轴上时，的周长是6B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为C．存在点P，使D．的取值范围是【答案】C【详解】由椭圆方程可知，，从而．对于选项A；根据椭圆定义，，又，所以的周长是，故选项A正确；对于选项B：设点，因为，则．因为，则面积的最大值为，故选项B正确；对于选项C：由椭圆性质可知，当点为椭圆短轴的一个端点时，为最大．此时，，又，则为正三角形，，所以不存在点，使，故选项C错误；对于选项D：由椭圆的性质可知，当点为椭圆的右顶点时，取最大值，此时；当点为椭圆的左顶点时，取最小值，此时，所以，故选项D正确．故选：C.求圆锥曲线中最值、范围问题的方法(1)定义法：利用定义转化为几何问题处理．(2)数形结合法：利用数与形的结合，挖掘几何特征，进而求解．(3)函数法：探求函数模型，转化为函数的最值问题，借助函数的单调性、基本不等式等求解，注意范围．【变式11-1】已知F是抛物线的焦点，A，B是抛物线C上不同的两点，且满足，设A，B到抛物线C的准线的距离分别为，，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【详解】由抛物线的定义知，，，，所以在中，由余弦定理得，所以，又因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，故，所以的最大值为故选：A【变式11-2】已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．

(1)求椭圆的方程；(2)若分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足：，连接交椭圆于点为坐标原点，证明：为定值.(3)若点为圆上的动点，点，求的最小值．【详解】（1）由题意离心率为椭圆上一动点，面积的最大值为2．所以，又，所以解得，所以椭圆的方程为.（2）由（1）椭圆的方程为.

由题意，因为，所以设，则直线的方程为，将其与椭圆方程联立得，消去并整理得，，当时，，所以解得，即，所以，所以.（3）

设交圆于点，由三角形三边关系得等号成立，当且仅当三点共线，即点重合时，由椭圆定义有，所以，等号成立当且仅当点重合时，且点重合，其中点是与椭圆的交点，综上所述，的最小值为.题型12圆锥曲线中的向量问题【典例12】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线的方程；(2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：．【详解】（1）设椭圆的长半轴为，短半轴为，半焦距为，，又，，该椭圆的右焦点为，又抛物线的焦点为，所以，解得，故抛物线的方程为．（2）直线过点且与抛物线交于不同的两点，故直线的斜率不为，设直线的方程为，联立，得，即，方程的判别式，设，，则，，由根与系数的关系得，因为，，所以，.圆锥曲线中的向量问题求解策略(1)建系转化：设圆锥曲线标准方程，将点坐标化，向量用坐标表示，转化为代数问题.(2)利用性质：结合圆锥曲线定义（如椭圆定义）、焦点弦等性质，简化向量关系。(3)韦达定理：联立直线与曲线方程，用韦达定理处理向量数量积、共线等条件。(4)参数法：设参数（如椭圆参数方程），将向量关系转化为三角函数式求解。(5)几何意义：借助向量几何意义（如垂直、中点），结合圆锥曲线几何性质解题。【变式12-1】已知椭圆的离心率为，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形的面积为4．(1)求椭圆的标准方程：(2)记椭圆的左顶点为，右顶点为，过点作不垂直于坐标轴的直线交椭圆于另一点，过点作的垂线，垂足为，且，求直线的方程．【详解】（1）由题意：，所以，又因为，所以，，即椭圆的方程：．（2）由题意，设直线的方程为，设点坐标为，由，可得，由韦达定理得：，所以，代入直线方程可得：．过点与垂直的直线方程为，由，设交点坐标为，可得，，因为，所以法一：，所以，解得，所以直线的方程：或．法二：，所以，解得，所以直线的方程：或．【变式12-2】设焦点在轴上的椭圆，，是的右顶点.(1)若离心率，求椭圆的标准方程；(2)在（1）的条件下，椭圆上存在一点，满足，求；(3)若的中垂线的斜率为2，与交于、两点，是否存在这样的椭圆，使得，若存在求的取值，若不存在请说明理由.【详解】（1）依题意，在椭圆中，，由离心率，得，解得，所以椭圆标准方程为：.（2）由（1）知，，设，由，得，解得，由点在椭圆上，得，解得，所以.（3）由线段的中垂线的斜率为2，得直线的斜率为，由，得，直线过线段的中点，直线的方程为，即，显然直线过椭圆内点，则直线与椭圆恒有两不同交点，设，由消得，，，由，得，而，则有，即，即，解得，所以存在这样的椭圆，使得，.题型13圆锥曲线中的定点问题【典例13】（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点.(1)求的标准方程；(2)若线段的中点为，求直线的方程；(3)若（不在直线上），证明：直线过定点.【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程；（2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案；（3）设直线的方程为，联立方程组消元得到通过韦达定理有，，结合，化简得，解得或，当和时，分别分析直线的方程，进而求得定点；【详解】（1）因为，，所以，故的标准方程为·（2）设，，根据题意易得.因为是上的两点，所以两式相减得，即因为，所以所以直线的方程为经检验，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为.（3）证明：依题意可设直线的方程为.由，得则，，，由（2）知，因为，所以即即即，得，解得或.当时，直线，直线过点，不符合题意，舍去；当时，直线，满足，则直线过定点故直线过定点直线过定点问题的常见解法(1)用参数表示出直线的方程，根据直线方程的特征确定定点的位置．(2)从特殊点入手，先确定定点，再证明该定点符合题目条件．提醒：求出直线方程是判断直线是否过定点的前提和关键．【变式13】已知椭圆的离心率为，长轴长为4，抛物线的焦点F与椭圆C的上顶点重合．(1)求椭圆C和抛物线E的方程；(2)设点M是抛物线E准线上一个动点，过点M作抛物线E的两条切线，切点分别为A，B．求证：（i）直线AB过定点，并求该定点的坐标；（ii）以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M．【详解】（1）由题，解得，∴椭圆的方程为，其上顶点坐标为，∴，即．∴抛物线的方程为．（2）由（1）知，抛物线的准线方程为，∴可设，（i）由得，且．又，∴抛物线在处的切线方程为，即．在切线上，①，同理可得②，由①②得直线的方程为，令，则，所以直线恒过抛物线的焦点．（ii）联立得，∴，则线段AB的中点为，，又，∴MN与抛物线E的准线垂直，且，故以线段AB为直径的圆与抛物线E的准线相切于点M．题型14圆锥曲线中的定值问题【典例14】（2025·福建三明·模拟预测）已知椭圆的左顶点为，上顶点为，离心率为，的面积为．(1)求椭圆的方程；(2)直线（存在且不等于0）与椭圆交于，两点，直线与轴交于点，直线与直线交于点，判断是否为定值并证明．【分析】（1）根据椭圆几何性质以及面积列方程组计算可得椭圆方程；（2）设，由，关于原点对称得，联立得，然后求出，，利用两点斜率公式并化简得为定值，即可得解.【详解】（1）由题意，解得，故椭圆的方程为；（2）设，由对称性可知，，两点关于原点对称，即，由（1）可知，，联立，得，所以，直线的斜率存在，其方程为：，令得，即，直线的斜率存在，其方程为：，令得，即，所以，所以为定值.圆锥曲线中的定值问题的常见解法(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．【变式14】（25-26高三上·广东湛江·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记点的轨迹为.(1)求的方程；(2)若直线与曲线交于，两点，与曲线的两条渐近线分别交于，两点，证明：“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”.【详解】（1）因为，所以轨迹是以，分别为左、右焦点的双曲线.设的方程为.由，可得，所以，所以的方程为.（2）证明：设，，，的坐标分别为，，，.由消去得.因为直线与双曲线相交，所以，化简得，所以，.由消去得，所以，，所以，则与的中点重合，所以，为线段的三等分点等价于.又，同理可得，所以，即，所以，显然当时，.故“，为线段的三等分点”的充要条件是“，两点的横坐标之积为”.题型15圆锥曲线中的定直线问题【典例15】已知椭圆，点，分别是椭圆短轴的端点，椭圆的焦点也是抛物线的焦点，且.过点且斜率不为0的直线交椭圆于，两点.(1)求椭圆的方程；(2)轴上是否存在定点，使得?若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由；(3)若点是定直线上任意一点，求证：三条直线，，的斜率成等差数列.【详解】（1）∵椭圆的焦点也是抛物线的焦点∴，又，∴是等腰直角三角形∴，∴所以椭圆的方程为：.（2）假设轴上存在定点，使得，设，，直线的方程为，将直线与椭圆方程联立，消去整理得到：，∴，，由题意，，则直线，的倾斜角互补，所以，设，则，，∴，将，代入上式，整理得：，∴将，，代入上式整理得：，由于上式对任意实数都成立，所以，即存在点使得.（3）证明：设，要证直线，，的斜率成等差数列，只需证，只需证，只需证只需证只需证只需证，只需证，只需证由（2）可知，，，代入上式显然成立，故原命题得证.圆锥曲线中的定直线问题的常见解法圆锥曲线中的定直线问题求解策略，150字以内=1\*GB2⑴特殊探路：取特殊点（如顶点、焦点）或特殊位置直线，求出可能定直线，再验证一般性.=2\*GB2⑵参数表达：设含参数的直线/曲线方程，联立后利用韦达定理，消参推导直线方程，确定定直线.=3\*GB2⑶性质关联：结合圆锥曲线性质（如椭圆中点弦、抛物线焦点弦），利用向量、斜率关系推导定直线.=4\*GB2⑷极点极线：若问题涉极点与极线，可通过极线方程判定是否为定直线，简化运算.【变式15】已知抛物线，过点的直线与交于两点，设为坐标原点，当轴时，的周长为.(1)求抛物线的焦点坐标；(2)若点为抛物线上异于原点的一动点，且直线与直线的交点恒在定直线上.证明：过点与抛物线相切的直线平行于直线.【详解】（1）当时，，不妨取，则，，由的周长为得，，解得，故抛物线的焦点坐标为.（2）由（1）可知，抛物线，设直线的方程为，则直线与直线交于点，所以的方程为，联立，解得，则，所以，易知过点与抛物线相切的直线的斜率存在，设其方程为，代入得，整理得，则，整理得，则，所以，故过点与抛物线相切的直线的斜率为，又的斜率为，故过点与抛物线的相切的直线平行于直线.题型16圆锥曲线中的探索性问题【典例16】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，且.(1)求抛物线的方程；(2)若动点在抛物线上，为抛物线的焦点，线段的中点为，求点的轨迹方程；(3)试探究:抛物线上是否存在点使得？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.【详解】（1）已知点在抛物线上代入得所以抛物线方程为（2）易知抛物线焦点为，设动点，中点的坐标为显然；且，；即点的轨迹方程为；（3）设点在抛物线上，则直线的方程为，如下图：联立，解得，；所以，因此依题意可得可得整理可得，即，解得或或或；显然当或时，与重合，不合题意；所以存在，满足题意.圆锥曲线中探索性问题的常见解法=1\*GB2⑴假设存在法：先假设满足条件的点、直线等存在，设其方程或坐标，代入曲线方程推导，若有解则存在，无解则不存在.=2\*GB2⑵特殊值法：取特殊位置（如对称轴、顶点）或特殊参数值，探索可能结论，再验证一般情况.=3\*GB2⑶代数推导法：联立方程，用韦达定理、判别式等，结合条件（如垂直、中点）列方程，分析解的情况判断存在性.=4\*GB2⑷几何直观法：借助圆锥曲线几何性质（如对称性、焦点特性），初步判断是否存在，再代数验证.【变式16-1】已知双曲线的左顶点为，离心率为，过点作直线与交于，两点，当直线的斜率为时，的面积为．(1)求双曲线的标准方程；(2)若，求直线的方程；(3)若直线，分别与直线交于，两点，试探究在直线上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出定点的坐标和定值；若不存在，请说明理由．【详解】（1）因为当直线的斜率为时，的面积为．所以的面积为，由对称性得，点坐标为，则结合，得，，所以双曲线的标准方程为．（2）因为双曲线的左顶点为，则，因为直线斜率不存在时不满足题意，所以设直线，，的斜率分别为，，，直线的方程为，则，双曲线，即，所以，则，所以，即，所以，设，，则，若，则，则直线的方程为，即．（3）设直线：，令，得，则，同理可得，假设存在点满足题设，则为定值，所以，所以，且，即存在定点，使得为定值．题型17圆锥曲线的实际应用【典例17】1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（

）A．卫星向径的取值范围是B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小【答案】C【分析】由题意可得卫星向径是椭圆上的点到焦点的距离，可得向径的最大值最小值，即可判断A，运行速度的意义又是服从面积守恒规律，即可判断BD，根据即可判断C.【详解】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确；根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确；卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误．因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小，所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确；故选：C．圆锥曲线的实际应用题求解策略(1)建模转化：分析实际场景（如卫星轨道、光学反射），确定圆锥曲线类型（椭圆、抛物线等），建立直角坐标系，设标准方程.(2)数据代入：提取题目中几何量（如长轴、焦距、准线距离），代入方程求参数，确定曲线方程.(3)问题求解：将实际问题（如距离、位置）转化为曲线方程中的坐标、距离计算，结合曲线性质（如范围、对称性）求解.(4)验证回归：检验结果是否符合实际意义，确保答案与实际场景一致.【变式17-1】（23-24高一上·江苏·期中）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为（

）

A．40米 B．30米 C．25米 D．20米【答案】A【分析】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，用待定系数法求得外侧抛物线的解析式，则可知点C、D的横坐标，从而可得CD的长．【详解】以底部所在的直线为x轴，以线段CD的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系：

，，设抛物线的解析式为，将代入，得：，解得：，∴抛物线的解析式为，将代入得：，解得：，∴C（-20，150），，，故选：A【变式17-2】（24-25高二上·北京西城·期末）某地出土一古铜斧文物，如图，铜斧纵截面左右两边呈双曲线形状.由于年代久远，顶部斧刃处两端有缺口，现小明测得铜斧纵截面最窄处AB宽4cm，底部CD宽5cm，，底部离最窄处垂直高度为3cm，斧高12cm.请利用所学知识，帮小明算算，若原斧刃与AB平行，则其长度为cm.【答案】【详解】以所在直线为轴，垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，如图所示：由题意，，所以，因双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的方程为，又点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线方程为，因为斧高12cm，令，得，所以，解得，所以，所以.题型18圆锥曲线中的新定义题【典例18】（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线．(1)求的两条渐近线的夹角；(2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值；(3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积．【分析】（1）写出渐近线方程即可判断夹角；（2）设，再根据两点间距离公式化简，求解一元二次函数的最值即可；（3）设为好点，则根据好点定义求出，再根据好点定义求出直线与双曲线交于同一支时得出，即时，即可求出，求出四边形面积即可.【详解】（1）渐近线，夹角为．（2）设，或，则，当即时，令，最小值为；当即时，令，最小值为．（3）设为好点，考虑、需满足的充要条件．若直线的斜率存在，设直线，，将与联立，得．（*）则，，，而，①当直线与的左右两支都有公共点，即时，，当时有最小值．这说明，；②当直线与的左支有两个公共点或与右支有两个公共点时，需满足的条件为：且（*）式的判别式．此时可得：．这说明时，判别式条件不能成立．即时，．当时，，解得．另一方面，当时，．两边平方后即得．若直线斜率不存在，假设直线与双曲线存在交点，则，则，，则，显然与好点矛盾；因此，为好点当且仅当，于是所有好点对应的区域为，即由构成的正方形，故所求面积为．圆锥曲线的新定义题求解策略=1\*GB2⑴紧扣新定义，提取核心条件（如距离关系、比例等）；=2\*GB2⑵结合圆锥曲线标准定义（椭圆/双曲线/抛物线），建立联系；=3\*GB2⑶设点坐标，用代数法（距离公式、坐标代入）转化条件；=4\*GB2⑷化简方程，对比标准式确定曲线类型；5.利用几何性质（焦点、准线等）辅助求解，注意定义域限制.【变式18】（2025·重庆沙坪坝·模拟预测）某同学利用导数方法求出了过椭圆上一点的切线的方程为.事实上，法国数学家笛莎格在《圆锥曲线论稿》中给出了这样的结论：给定一点和一条直线，将点和直线分别称为椭圆的极点和极线.一般地，当点在椭圆上时，极线为椭圆在点处的切线；当点在椭圆外时，极线为过从点作椭圆的两条切线的切点的弦所在的直线；当点在椭圆内时，极线在椭圆外且与椭圆没有公共点.请利用这些结论解决下列问题：(1)已知点和直线分别为椭圆的极点和极线，①求极线的方程；②若为极线上任意一点，过点作椭圆的割线交椭圆于两点，记所在直线的斜率依次为，求证：.(2)给定椭圆和点，过点作斜率为的直线和椭圆相交于两点，分别连接交于点，记和轴的交点依次为，，求证：为线段的中点.【详解】（1）①因为，故在椭圆外，故极线为即直线的方程为.②设，设直线的方程为：，又椭圆方程可化为，故，由得：，设，则（★）故为（★）的两个解，所以因为过，故，故，故.（2）由（1）可得椭圆的以点为极点的极线方程为，故点在极线上，同样记，连接，由（1）中的结论可知，，且，故即三点共线，如图所示，设，则，由（1）中②知，故，故，故为线段的中点.单选题1．（25-26高二上·全国·单元测试）抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】依题意得，所以，所以，又抛物线开口向左，所以抛物线的准线方程为．故选：B.2．（24-25高二下·河南洛阳·阶段练习）双曲线的焦点到它的一条渐近线的距离为（

）A．1 B． C．2 D．【答案】B【详解】，，焦点坐标为，，渐近线方程为，，所以焦点到渐近线的距离.故选：B.3．（24-25高一上·重庆·期末）国家体育场（鸟巢），位于北京奥林匹克公园中心区南部，为2008年北京奥运会的主体育场.某近似鸟巢的金属模型，其俯视图可近似看成是两个大小不同，扁平程度相同的椭圆，已知小椭圆的短轴长为，长轴长为，大椭圆的长半轴长为，则大椭圆的短轴长为（

）A． B． C．20cm D．【答案】C【详解】由于小椭圆的短轴长为，长轴长为，故小椭圆的离心率为，故大椭圆的离心率也为，设大椭圆的短轴长为，则，解得，故短轴长为20.故选：C4.直线与曲线（）的公共点的个数是5（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【详解】取，原方程变为，两个椭圆与直线有4个公共点，故选：D5．抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和水壶食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面的反射后，集中于它的焦点.已知一束平行于轴的入射光线的一束光线与抛物线的交点为，则反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】因为点在抛物线上，所以，解得，所以抛物线的方程为，则焦点为，又因为反射光线经过点及焦点，，所以反射光线的方程为，联立抛物线方程得，解得或，所以反射光线与抛物线的交点为，由两点间距离公式可得，所以反射光线所在直线被抛物线截得的弦长为.故选：C.6．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知实数满足，则的最小值为（

）A．96 B．81 C． D．【答案】D【详解】设，则P为双曲线上任意一点，M为圆C：上任意一点，，根据圆的性质可知，，又，所以，又或，所以根据二次函数性质可知，当时，，所以，所以.7．（24-25高二下·浙江温州·开学考试）已知点，点P为圆上任意一点，线段AP的垂直平分线与CP相交于点Q，则面积的最大值为（

）A． B． C．8 D．【答案】B【详解】如图，Q是线段AP的垂直平分线上的点，则，则，所以Q点轨迹是以，为焦点的椭圆，设其标准方程为，其中，则，标准方程为，面积为，显然，当时，最大，则面积的最大值为.故选：B8．（2025金太阳高三全国大联考）设为抛物线Γ：的焦点，过且倾斜角为的直线交Γ于两点（在第一象限），O为坐标原点，过作Γ的准线的垂线，垂足为，则（

）A． B． C．2 D．3【答案】D【详解】由题意得，Γ的准线方程为，过且倾斜角为的直线方程为，所以，得，设，，，则，，故，，所以，，故，，，故．故选：D.

多选题9．（25-26高二上·全国·单元测试）已知两椭圆和，则（

）A．两椭圆有相同的焦点 B．两椭圆的离心率相等C．两椭圆有相同的顶点 D．两椭圆有相同的对称轴和对称中心【答案】BD【详解】设椭圆，，，则；设椭圆，，，则.A（×）椭圆的焦点分别在轴上.B（√）的离心率，的离心率.C（×）椭圆的顶点为，，椭圆的顶点为，.D（√）两椭圆都关于轴对称，关于原点中心对称，即它们有相同的对称轴和对称中心.故选：BD10．（24-25高二上·广东河源·期末）已知直线，抛物线与