专题01 直线与直线的方程17大考点58题（高效培优期中专项训练）（解析版）高二数学上学期北师大版

20/34专题01直线与直线的方程考点01直线的倾斜角（共3小题） 1考点02直线的斜率(共4小题) 2考点03求倾斜角或斜率的取值范围（共5小题）（重点） 4考点04斜率几何意义的应用（共3小题）(难点) 6考点05直线的方向向量（共3小题） 8考点06直线的平行与垂直（共4小题）（重点） 9考点07求直线方程（共5小题）（重点） 11考点08直线系方程的应用（共5小题） 14考点09直线的交点问题（共3小题） 15考点10直线过定点问题（共4小题） 17考点11距离公式的应用（共3小题）（重点） 18考点12对称问题及应用（共6小题）（常考点） 20考点13直线的光学性质（共2小题） 24考点14直线与集合的交汇（共2小题） 26考点15利用直线方程解决代数问题（共3小题）（难点） 26考点16数学文化题与新定义题（共3小题）（难点） 28考点17直线方程的实际应用(共3小题)（难点） 30考点01直线的倾斜角（共3小题）1．（24-25高二下·四川广安·期中）直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】把直线方程化成斜截距式后得出直线的斜率即可求解．【详解】由，所以的斜率为，则该直线的倾斜角为．故选：B．2．（24-25高二下·上海徐汇·期中）直线的倾斜角是．【答案】/【分析】根据直线倾斜角定义可得结果.【详解】易知直线是垂直于轴的竖线，因此倾斜角是.故答案为：3．（2020高二上·浙江绍兴·竞赛）已知点，，则直线的倾斜角．【答案】/【分析】先根据斜率公式表示出斜率，再利用诱导公式化简，然后由斜率与倾斜角的关系可求得结果.【详解】因为，，所以直线的斜率为，所以，因为，所以，故答案为：.考点02直线的斜率(共4小题)4．（24-25高二下·上海浦东新·期中）如图，直线、、的斜率分别为、、，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据图象结合斜率及倾斜角的关系分别判断即可.【详解】设直线、、的倾斜角为、、，由图可知，所以，即.故选：A.5．（25-26高二上·湖北武汉·阶段练习）下列叙述正确的是（

）A．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为B．与坐标轴垂直的直线的倾斜角是或C．平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角和斜率D．若直线与轴相交，其向上的方向与轴正方向所成的角为，则其倾斜角为【答案】B【分析】根据倾斜角与斜率的关系判断各选项即可.【详解】选项A：当时，直线斜率，但直线倾斜角为，故A错误；选项B：与轴垂直的直线倾斜角为，与轴垂直的直线倾斜角为，所以选项B正确；选项C：平面直角坐标系内的任意一条直线都存在倾斜角，而倾斜角为的直线的斜率不存在，所以选项C错误；选项D：如图，当向上方向的部分在轴左侧时，倾斜角为；当向上方向的部分在轴右侧时，倾斜角为，故D错误．故选B.6．（24-25高二上·青海海南·期中）过，两个不同点的直线l的斜率为1，则实数m的值为．【答案】【分析】根据斜率公式列式求解即可.【详解】根据题意可得，解得或，当时，点A，B重合，不符合题意，舍去；当时，经验证，符合题意；综上所述：.7．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知点，，经过点作直线l，若直线l与线段总有公共点，设直线l的斜率为k，则k的取值范围是．【答案】【分析】数形结合并根据斜率计算公式即可得到答案．【详解】如图：由题意知直线的斜率分别为．直线与线段总有公共点，，故答案为：．选：B.考点03求倾斜角或斜率的取值范围（共5小题）8.（23-24高二上·河南洛阳·期中）已知直线，则l的倾斜角的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用斜率与倾斜角的正切函数关系，根据斜率取值来确定角的范围即可.【详解】当时，可知直线为，故倾斜角，当时，由直线方程可知斜率，所以，即倾斜角，综上可知：，故选：C.9．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期中）已知、，若斜率存在的直线l经过点，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用直线的斜率公式计算，；再结合图形，利用直线与线段有交点的条件建立不等式，即可得出结果.【详解】由直线的斜率公式可得：；.结合图形，要使直线l经过点，且与线段AB有交点，l的斜率需满足或.故选：C.10．（23-24高二上·广东广州·期中）已知点，若直线与线段（含端点）有公共点，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据已知条件及直线的点斜式方程求出定点，直线与线段有交点，结合图形可得直线斜率的范围，利用直线的斜率公式即可求解.【详解】由，得，所以直线的方程恒过定点，斜率为．因为，所以．由题意可知，作出图形如图所示，

由图象可知，或，所以实数的取值范围为．故选：B．11．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围．【详解】直线的方程可化为，由，可得，所以，直线过定点，设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则因为直线的斜率为，直线的斜率为，因为直线经过点，且与线段总有公共点，将代入方程：可得：不成立，不在直线上，所以，即，因为所以或故直线的倾斜角的取值范围是．故选：D．12．（24-25高二上·上海闵行·期中）已知坐标平面内两个不同的点，（），若直线的倾斜角是钝角，则的取值范围是【答案】【分析】由直线的倾斜角是钝角，可知直线的斜率存在,且,即可得到,求解即可.【详解】因为直线的倾斜角是钝角，所以直线的斜率存在,且,,则,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了直线的斜率与倾斜角的关系,考查了不等式的解法,考查了学生的计算求解能力,属于中档题.考点04斜率几何意义的应用（共3小题）13．（24-25高二上·山西·阶段练习）已知曲线C的参数方程为，且点在曲线C上，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由题意得曲线C是半圆，借助已知动点在半圆上动，所求式子，为半圆上动点P与点C（0，1）连线斜率，数形结合即可求解．【详解】解：因为，即，所以，其中由题意作出图形：而，令，则可看作半圆上的动点到点的连线的斜率，由题意可得当直线与半圆相切时斜率最大，如图直线与半圆相切，在直角三角形中，，由图形知，的取值范围是.则的取值范围是．故选：D．14．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，且，则，，的大小关系是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】把，，分别看作函数图象上的点与原点确定直线的斜率，结合图象即可得答案．【详解】由，得的几何意义是过点和原点的直线的斜率，画出函数的图象，如图，直线的斜率分别为，，，而，所以，，的大小关系是.故选：A15．（24-25高三上·四川绵阳·阶段练习）已知函数，若存在唯一的整数，使得成立，则所有满足条件的整数a的取值集合为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】作出的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得范围.【详解】作出的函数图象如图所示：表示点与点所在直线的斜率，可得曲线上只有一个点（x为整数）和点所在直线的斜率小于0，而点在动直线上运动，由，，，，且为整数，可得当时，至少有点两个点满足，不满足题意；当时，只有点满足，满足题意；当时，只有点满足，满足题意；当时，至少有两个点满足，不满足题意；综上所述，由a为整数，可得a的取值集合为.故选：A.考点05直线的方向向量（共3小题）16．（24-25高二上·湖北·期中）经过点两点的直线的方向向量为，则k为（

）A．2 B．4 C． D．【答案】A【分析】根据直线的斜率与方向向量关系即可求出答案.【详解】经过两点的直线的方向向量为，所以，解得故选：A17．（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知直线的倾斜角为，则该直线的一个方向向量为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据倾斜角与斜率关系得直线的斜率，再根据直线方向向量与斜率关系即可得所求.【详解】直线的倾斜角为，则斜率，所以该直线的一个方向向量为.故选：C.18．（24-25高二上·湖北·期中）已知定点，若直线过定点且方向向量是，直线过定点且方向向量是，直线在轴上的截距是，直线在轴上的截距是，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】根据的坐标以及方向向量分别求解出的方程，由此可求结果.【详解】因为，即，所以，因为，即，所以，所以.故选：A.考点06直线的平行与垂直（共4小题）19．（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，则下列结论正确的是（）A．直线可能与轴垂直 B．当时，直线的倾斜角为C．当时，直线与直线平行 D．当时，直线与直线垂直【答案】BD【分析】由直线的方程得其斜率，由点A、B的坐标得直线的斜率，逐项判断即可.【详解】因为直线的方程为，所以直线的斜率存在且为，不可能与轴垂直，A错误；当时，直线的斜率为，故其倾斜角为，B正确；，当时，直线的斜率为2，故直线与直线不平行，C错误；当时，直线的斜率为，因为，故此时直线与直线垂直，D正确.故选：BD.20.（多选）（25-26高二上·全国·单元测试）已知直线，，则下列说法正确的是（

）A．的充要条件为或B．若，则C．若直线不经过第四象限，则D．若，则将直线绕坐标原点按逆时针方向旋转，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为【答案】BCD【分析】利用两直线平行的结论结合充要条件的定义可判断A；.根据两直线垂直的结论可判断B；由直线方程，求得斜率与截距，建立不等式组，求解即可判断；先得到逆时针旋转后的直线方程，再根据左右平移求出平移后的直线方程，即可判断D.【详解】对于A，显然直线的斜率存在，若，则，解得或，经检验时，这两条直线重合，所以，故充要条件不是“或”．故A不正确；对于B，若，则，解得．故B正确；对于C，若直线不经过第四象限，则，解得．故C正确；对于D，若，则直线，将其绕坐标原点按逆时针方向旋转，得到直线，再向右平移一个单位长度，所得直线方程为，故D正确.故选：BCD21．(多选)（25-26高二上·全国·期中）已知直线：，直线：，则（

）A．当时，与的交点是B．直线与都恒过C．若，则D．，使得【答案】ABC【分析】将代入，联立两直线方程即可求得交点，则A可解；由直线过定点问题可求B；由直线垂直的条件可判断C；由直线平行的条件可判断D.【详解】对于A，当时，直线，直线，联立，解得，所以两直线的交点为，故A正确；对于B，将点代入的方程，两方程对任意参数都成立，所以直线与都恒过，故B正确；对于C：若，则，解得，故C正确；对于D，假设存在，使，则，解得或，当，，，两直线重合，舍去，当时，，即，，即，两直线重合，舍去，所以不存在，使，故D错误.故选：ABC.考点07求直线方程（共5小题）22．（24-25高二上·河北廊坊·阶段练习）过点且方向向量为的直线方程为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，求得直线的斜率，结合直线的点斜式方程，即可求解.【详解】由直线的方向向量为，可得直线的斜率为，又因为直线过点，所以所求直线方程为，即.故选：A.23．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知点，，则线段的垂直平分线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出线段的中点，以及直线的斜率，进而利用点斜式求出方程即可.【详解】由题意可得，线段的中点为，直线的斜率为，则线段的垂直平分线的斜率为，则其方程为，即.故选：B24．（25-26高二上·河南新乡·阶段练习）已知直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形，则直线l的方程为（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】依次分析直线的斜率不存在、斜率小于零、斜率等于零或斜率大于零四种情况，可得到满足题意的直线方程.【详解】如图，设，直线过和．①当直线垂直于轴时，方程为，直线、直线与轴围成的三角形是，不是等腰三角形，所以直线的斜率存在；②当直线的斜率小于零时，设关于轴的对称点为，当直线过两点时，，是等腰三角形．又由直线知其斜率为，所以，所以为等边三角形，所以直线的斜率小于零时只有这一种情况，此时直线的倾斜角为，斜率为，方程为，即；③当直线的斜率为零时，直线平行于轴，不能与直线及x轴围成三角形.所以直线的斜率不为零；④当直线的斜率大于零时，只有如图一种情况可使直线l过点，且与直线及x轴围成等腰三角形.设直线与轴负半轴相交于点，则，因为直线的斜率为，倾斜角为，可得，所以，所以直线（即直线）的斜率为，对应方程为，即．综上所述，直线的方程为或．故选:A．25．（2025高二上·全国·专题练习）已知直线.(1)求经过点且与直线垂直的直线方程；(2)求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程.【答案】(1)(2)或【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解；（2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解.【详解】（1）由直线可得斜率为，所以根据垂直关系可设所求直线方程为，则依题意有，解得，所以所求直线方程为，整理得；（2）联立，解得，即直线与的交点为，当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为，代入得，此时；当直线的截距都不为0时，设直线方程为，依题意，解得，此时直线方程为，综上所述：所求直线方程为或.26．（25-26高二上·甘肃白银·阶段练习）已知直线．(1)若直线l与x轴的交点的横坐标与其在y轴上的截距相等，求k的值；(2)若直线l交x轴的负半轴于点A，交y轴的正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．【答案】(1)或(2)最小值为16，此时直线l的方程为【分析】（1）先分别求出直线l与x轴交点的横坐标和在y轴上的截距，再根据二者相等列方程求解k的值；（2）先求出两点的坐标，进而得到的面积表达式，然后利用基本不等式求出面积的最小值，最后根据面积取最小值时k的值确定直线l的方程．【详解】（1）当时，直线l的方程为，与x轴无交点，不符合题意；当时，直线l的方程为，令，则，令，则，由题意得，即，即，解得或，经检验，均成立．综上，k的值为或．（2）由题可知，由（1）知A，，故,当且仅当，即时取等号，故S的最小值为16，此时直线l的方程为．考点08直线系方程的应用（共5小题）27．（2025高三·全国·专题练习）已知是直线上一点，是直线外一点，则方程所表示的直线与的关系是．【答案】平行【分析】由题意有可得，根据当两直线方程的一次项系数相等，但常数项不相等时，两直线平行，得出结论．【详解】由题意可得，则方程，即，它与直线的一次项系数相等，但常数项不相等，故表示与平行的直线，故答案为：平行．28．（19-20高二上·上海浦东新·期中）在平面直角坐标系内，设，为不同的两点，直线l的方程为，，下面四个命题中的假命题为（

）A．存在唯一的实数δ，使点N在直线上B．若，则过M，N两点的直线与直线l平行C．若，则直线经过线段M，N的中点；D．若，则点M，N在直线l的同侧，且直线l与线段M，N的延长线相交；【答案】A【分析】根据题意对一一分析，逐一验证．【详解】解：对于，化为：，即点，不在直线上，因此不正确．对于，，则，即过，两点的直线与直线的斜率相等，又点，不在直线上，因此两条直线平行，故正确；对于，，则，化为，因此直线经过线段的中点，故正确；对于，，则，则点，在直线的同侧，故正确；故选A【点睛】本题考查了直线系方程的应用、平行直线的判定、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．29．（24-25高二上·安徽·阶段练习）若点是直线和的公共点，则相异两点和所确定的直线方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据点与直线的位置关系即可求解.【详解】因为是直线和的公共点，所以，且，所以两点和都在同一条直线上，故直线的方程是.故选：A.考点09直线的交点问题（共3小题）30．（河北省保定市大数据应用调研阶段性联合测评2025-2026学年高二上学期9月月考数学试题）已知三条直线，，，设，，，则是（

）A．以为直角顶点的等腰直角三角形B．以为直角顶点的非等腰直角三角形C．以为直角顶点的等腰直角三角形D．等边三角形【答案】A【分析】分别求出三条直线的斜率以及的坐标，进而可得出三条直线的位置关系及三角形三边之间的大小关系，即可得解.【详解】由题意得，所以，所以，即，联立，解得，即，联立，解得，即，联立，解得，即，则，所以，所以是以为直角顶点的等腰直角三角形.故选：A．31．(多选)（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知过定点A的直线与过定点B的直线相交于点，则下列选项正确的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由直线方程可得直线恒过定点可判断AB；由两直线垂直的充要条件可判断C；由基本不等式可判断D.【详解】对于A，直线恒过定点，故A正确，对于B，因为，所以直线恒过定点，故B错误；对于C，又因为，所以，故C正确；对于D，因为，所以，在直角三角形中，由勾股定理可得：，所以，当且仅当时取等，故D正确.故选：ACD.32．（23-24高二上·湖南·期中）已知，是直线（为常数）上两个不同的点，则关于和的方程组的解的情况，下列说法正确的是（

）A．无论，，如何，总是无解B．无论，，如何，总有唯一解C．存在，，，使是方程组的一组解D．存在，，，使之有无穷多解【答案】B【分析】先得到，从而得到方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；再假设是方程组的一组解，得到，在直线，与两点在上矛盾，C错误.【详解】直线的斜率存在，∴，由题意，则，故：与：相交，∴方程组总有唯一解，A，D错误，B正确；若是方程组的一组解，则，则点，在直线，即上，但已知这两个点在直线上，而这两条直线不是同一条直线，∴不可能是方程组的一组解，C错误.故选：B.考点10直线过定点问题（共4小题）33．（22-23高二下·重庆南岸·期中）已知直线：过定点，则点到直线：距离的最大值是（

）A．1 B．2 C． D．【答案】D【分析】本题首先求出，然后发现直线：恒过定点，由图可得点到直线：距离的最大值可转化为点与点的距离.【详解】由题意知，直线：恒过定点，直线：恒过定点，如图所示，过作的垂线段，垂足为，那么必有，当且仅当与重合时取等号，从而的最大值为，即点到直线：距离的最大值是.故选：D.

34．（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段练习）已知直线，则直线恒过定点（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】变形给定的直线方程，再解方程组求出定点.【详解】直线，由，解得，所以直线恒过定点.35．（2022·安徽合肥·二模）已知直线过定点，直线过定点与的交点为，则面积的最大值为(

)A． B． C．5 D．10【答案】C【分析】先求定点，然后判断两个直线的位置关系，然后计算面积，利用基本不等式判断即可.【详解】由题可知，,直线，所以,，所以，所以的面积为，当且仅当时等号成立.故选：C36．（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值为（

）A． B． C．5 D．10【答案】C【分析】根据给定条件，求出点的坐标，再由两条直线的位置关系可得，进而利用基本不等式求解即得.【详解】直线过定点，直线，即过定点，又，即直线与直线垂直，因此，则，当且仅当时取等号，所以的最大值为5.故选：C考点11距离公式的应用（共3小题）37．已知点到直线的距离等于1，则等于（）A．B．C．D．或【答案】D【详解】因为点到直线的距离等于1，所以，即，所以，所以或.38．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）直线与直线上各有一动点、，那么最小值为（

）A．0 B．1 C． D．【答案】B【分析】根据两直线方程得出两直线的斜率相等，从而得出两直线平行，则的最小值即为两直线间的距离，再利用两平行直线间的距离公式计算求解．【详解】直线，，直线，即，，，显然两直线不重合，，即最小值即为两直线间的距离，由两平行直线间的距离公式可得，即最小值为1．故选：B．39．（25-26高二上·安徽亳州·阶段练习）直线与之间的距离为，则实数等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据平行直线间距离公式直接构造方程求解即可.【详解】直线方程可化为：，可知直线与平行，两条直线之间的距离，解得：或，又，.故选：B.考点12对称问题及应用（共6小题）40．（23-24高二上·吉林长春·期中）关于直线的对称点为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设关于直线的对称点为，根据题意列方程组即可求解.【详解】设关于直线的对称点为，则，解得.故选：A.41．（多选）（2025高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在直线上，则（

）A．存在点，使得B．存在点，使得C．的最小值为D．若，则的最小值为1【答案】BC【分析】对于A，设，分，和且三类情况，利用斜率判断与是否垂直即可；对于B，设，通过将坐标代入等式，利用方程有实根即可判断；对于C，通过作点关于直线的对称点，利用三点共线时线段和最短即可判断；对于D，通过消元后化成二次函数，利用其性质求得最小值即可判断.【详解】对于A：依题意，设，当时，，此时轴，但，此时与不垂直；同理当时，，此时与不垂直；而当且时，由，可得该方程无实数解，此时与不垂直.综上可知，不存在点，使得，故A错误；对于B：设，由，，可得，化简得，因，则方程有解，故存在点，使得，故B正确；对于C：如图设关于直线的对称点为，则，解得，即，所以，当且仅当三点共线时取等号（在两点之间），故C正确：对于D，因，则，当时等号成立，故的最小值为2，故D错误.故选：BC.42．（2025高三·全国·专题练习）已知点与点关于轴对称，点与点关于轴对称，点与点关于直线对称，则点的坐标为．【答案】【分析】根据点关于轴对称分别得出的坐标即可求解.【详解】点与点关于轴对称，则；点与点关于轴对称，则；点与点关于直线对称，则．43．（25-26高二上·全国·期末）将一张坐标纸折叠一次，使点与重合，则折痕所在直线的方程是.【答案】【分析】设，，则折痕所在直线是线段AB的垂直平分线，故先求出AB中点坐标，又因为折痕与直线AB垂直，进而求出折痕所在直线的斜率，然后用点斜式求出折痕所在直线方程.【详解】设，，则线段AB的中点坐标为，又，所以折痕所在直线的斜率为1，故折痕所在直线的方程为，即.44．（25-26高二上·全国·单元测试）已知P，Q是直线：上两动点，且，点，则的最小值为．【答案】/【分析】依题意，设点在点的左下方，推得点，利用两点间距离公式计算，利用距离公式将其转化成两定点与一条定直线上的点的距离之和的最小值问题解决．【详解】不妨设点在点的左边，因为直线的倾斜角为，且，所以点的坐标为，则．记，则可将理解为直线上一动点到的距离之和，如图，作出点关于直线的对称点，则，连接，交直线于点，则即的最小值，且，故的最小值为．

45．（25-26高二上·河南驻马店·阶段练习）已知直线和点．(1)在直线l上求一点P，使的值最小；(2)在直线l上求一点P，使的值最大；(3)若点B的坐标变为，再分别求（1），（2）问中的结果．【答案】(1)P点坐标为(2)P点坐标为(3)当P点坐标为时，的值最小；当P点坐标为时，的值最大【分析】（1）求出点A关于直线l对称点坐标，根据三点共线时，的值最小，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案.（2）因为点A、B在直线l同侧，分析可得当三点共线时，的值最大，求得直线AB方程，与直线l联立，即可得答案.（3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，当三点共线时，的值最小，求出直线AB方程，与直线l联立，即可得答案；由（1）可得点A关于直线l的对称点的坐标，分析可得当三点共线时，的值最大，求出直线的方程，与直线l联立，即可得答案.【详解】（1）设点A关于直线l对称点为，则，解得，即，因为点P在直线l上运动，所以，当且仅当三点共线时等号成立，此时的最小值等于，即点P为直线与直线l的交点，因为，，易得直线的方程为，联立，解得，所以交点（2）因为点A、B在直线l同侧，且点P是直线l上一点，所以，当且仅当三点共线时等号成立，此时的最大值为，即P为直线AB与直线l的交点，因为，所以，所以直线AB方程为，联立，解得，故所求点P的坐标为（3）若点B的坐标变为，此时A、B在直线l的两侧，且P为直线l上一点，所以，当且仅当三点共线时等号成立，即点P为直线AB与直线l的交点，因为，所以，所以直线AB的方程为，即，联立，解得，故使的值最小时，P点坐标为.由（1）可知点A关于直线l的对称点为，且P为直线l上一点，所以，当且仅当三点共线时，等号成立，此时取得最大值，即点P为直线与直线l的交点，因为，，易得直线的方程为，所以，解得，所以交点考点13直线的光学性质（共2小题）46．（2024高二上·江苏·专题练习）已知：，，，，，一束光线从点出发射到上的点经反射后，再经反射，落到线段上（不含端点）.则斜率的取值范围是（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】先作出关于的对称点，再作关于的对称点，因为光线从点出发射到上的点经反射后，入射光线和反射光线都经过关于直线的对称点点，又因为再经反射，反射光线经过关于直线的对称点，所以只需连接､交与点，连接､分别交为点､，则，之间即为点的变动范围.再求出直线，的斜率即可.【详解】∵，，，∴直线方程为，直线方程为，如图，作关于的对称点，∵，∴，再作关于的对称点，则，连接､交与点，则直线ME方程为，∴，连接､分别交为点､，则直线方程为，直线方程为，∴，.连接，，则，之间即为点的变动范围.

∵直线方程为，直线FH的斜率为，∴斜率的范围为.故选：D.47．（21-22高一下·四川达州·期末）如图，一束光线从扇形OAB的弧上的C点出发，经该扇形半径两次反射用时后第一次回到C点.已知，如果光源C沿顺时针移动后到达点，那么光线从出发再经该扇形半径两次反射后第一次回到所用的时间为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】作出辅助线，得到圆弧上任意一点C经过该扇形半径两次反射后回到原来C点，光线所走的距离长度为定值，从而得到正确答案.【详解】设扇形的半径为R，圆弧上任意一点C经过该扇形半径两次反射后回到原来C点，光线所走的距离长度为定值，理由如下：过点C作CE垂直OA，垂足为M，且CM=ME，过点C作CD⊥OB于点N，且CN=DN，连接OE，OD，DE，则OD=OE=R，且，则∠DOE=60°×2=120°，故，因为点C具有任意性，所以光线从出发再经该扇形半径两次反射后第一次回到所用的时间也是，故选：C考点14直线与集合的交汇（共2小题）48．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知集合}，若，则k的值为.【答案】或【分析】集合中的元素都是直线上的点，可将“交集为空集”转化成“两条直线没有交点”，根据两直线间的位置关系可求得结果.【详解】由题意，集合中，可整理成，所以，集合表示直线上的点集，集合表示直线上的点集.因为，所以直线与直线平行或有一个交点，当两直线平行时，；当两直线交点为时，.故答案为：或.49．（24-25高二上·上海·阶段练习）已知集合，，且，则实数的值为【答案】1【分析】将两集合交集为空集转化为两直线无公共点，即两直线平行，列出关系式求解即可.【详解】由，可得直线与平行，故，解得，故答案为：考点15利用直线方程解决代数问题（共3小题）50．（25-26高三上·黑龙江·阶段练习）函数的最大值为．【答案】【分析】采用数形结合的方法求函数的最大值.【详解】因为，所以问题可转化为求动点与点，的距离之差的最大值．如图：因为，当且仅当，，三点共线时等号成立，所以，此时．51．已知函数，给出下列四个判断：①函数的值域是；②函数的图像时轴对称图形；③函数的图像时中心对称图形；④方程有实数解.其中正确的判断有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据的几何意义分析即可.【详解】由题的几何意义为到的距离差的绝对值.其中在轴上运动.对①,由图像可知,当在处取得最小值,当往两边运动时,无限接近2,但.故①错误.对②,易得当往两边运动时,关于对称.故②正确.对③,由②有③错误.对④,由①可知,.由图易得在内单调递减,故,故有解.故④正确.故选：B52．（23-24高二上·湖北荆门·期末）若恰有三组不全为0的实数对满足关系式，则实数t的所有可能取值的和为.【答案】【分析】对已知变形为，然后转化为仅有三条直线满足和到直线（不过原点）的距离t相等，然后对进行分类讨论求解即可.【详解】由已知得，，整理得，看成有且仅有三条直线满足，和到直线（不过原点）的距离t相等；由，（1）当，此时，易得符合题意的直线l为线段的垂直平分线以及直线平行的两条直线.（2）当时，有4条直线l会使得点和到它们的距离相等，注意到l不过原点，所以当其中一条直线过原点时，会作为增根被舍去；设点A到l的距离为d，①作为增根被舍去的直线l，过原点和A，B的中点，其方程为，此时，，符合；②作为增根被舍去的直线l，过原点且以为方向向量，其方程为，此时，，符合；综上，满足题意的实数t为，，，它们的和为.故答案为：考点16数学文化题与新定义题（共3小题）53．（24-25高二上·云南·期中）数学家欧拉于1765年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点为、、，则其欧拉线的一般式方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出的重心和外心后可得欧拉线的方程.【详解】的重心坐标为即，中垂线的方程为：，中垂线的方程为：，故外心坐标为，故欧拉线的方程为：，整理得到：，故选：C.54．(多选)（24-25高二上·重庆·期中）古代数学问题——“将军饮马”，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设将军的出发点是．军营所在位置为，河岸线所在直线的方程为，若将军从出发点到河边饮马，再回到军营（“将军饮马”）的总路程最短，则（

）A．将军从出发点到河边的路线所在直线的方程是B．将军在河边饮马的地点的坐标为C．将军从河边回军营的路线所在直线的方程是D．“将军饮马”走过的总路程为【答案】BD【分析】求出点关于直线的对称点为，直线的方程为即为从出发点到河边的路线所在直线方程，可得A错误；联立直线方程可解得交点坐标即为饮马地点的坐标为，可得B正确；直线的方程为即为从河边回军营的路线所在直线方程，可得C错误；由各路段长度总和即可求出“将军饮马”走过的总路程为，可知D正确.【详解】由题可知在的同侧，设点关于直线的对称点为，如下图所示：则，解得，即.对于A，将军从出发点到河边的路线所在直线即为，又，所以直线的方程为，即，故A错误；对于B，设将军在河边饮马的地点为，则即为与的交点，联立两直线方程解得，故B正确；对于C，将军从河边回军营的路线所在直线为，又，所以直线的方程为，即，故C错误；对于D，总路程，所以“将军饮马”的总路程为，故D正确.故选：BD.55．（24-25高二上·全国·课后作业）（多选）“曼哈顿距离”是十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创词汇，用以标明两个点在标准坐标系上的绝对轴距总和，其定义如下：在直角坐标平面上任意两点的曼哈顿距离，则下列结论正确的是（

）A．若点，则B．若点，则在轴上存在点，使得C．若点，点在直线上，则的最小值是3D．若点在上，点在直线上，则的值可能是4【答案】ACD【分析】利用“曼哈顿距离”的定义计算判断AD；结合绝对值的意义判断B；作出图形，借助几何意义求解判断C.【详解】对于A，由曼哈顿距离的定义知，A正确；对于B，设，则，B错误；对于C，作轴，交直线于，过作，垂足为，如图①所示