专题1.2 椭圆的简单性质（高效培优讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册（原卷版）

27/28专题1.2椭圆的简单性质教学目标1.掌握椭圆的中心、顶点、长轴、短轴、离心率的概念，理解椭圆的范围和对称性．eq\a\vs4\al(2).掌握已知椭圆标准方程时a，b，c，e的几何意义及其相互关系.教学重难点1.重点：掌握椭圆的简单性质.2.难点：用代数法研究曲线的几何性质，在熟练掌握椭圆的几何性质的过程中，体会数形结合的思想.知识点01椭圆的简单性质（重点）1.对称性(1)在椭圆的标准方程中,用代换x(用-y代换y),方程不变,所以椭圆关于x轴(轴)对称,即是椭圆的对称轴.(2)同时以-x代换x,-y代换y,方程不变,则椭圆关于对称,这个对称中心称为椭圆的中心.2.范围因为椭圆上的点的坐标都适合不等式，，即有，，所以这说明椭圆位于由直线和所围成的矩形里,如图所示.3.顶点椭圆与它的对称轴的交点称为椭圆的顶点.如图,椭圆四个顶点的坐标分别为,.线段A1A2叫做椭圆的长轴，它的长等于；线段B1B2叫做椭圆的短轴，它的长等于；a,b分别叫作椭圆的长半轴长与短半轴长.4.离心率(1)我们规定,椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,用e表示,即.(2)因为a>c>0,所以0<e<1.【知识剖析】细解椭圆的范围和顶点1.从椭圆的方程或图形中可以直接看出它的范围.2.在画椭圆时,常利用椭圆上的点的横、纵坐标的取值范围先画出矩形，然后在矩形内画出椭圆的草图.3.椭圆有四个顶点、两个焦点，共六个特殊点，研究椭圆时一定要注意这六个特殊点的位置.4.已知椭圆的四个顶点，可以使用几何作图找出其焦点，方法是：以短轴的端点为圆心，以a为半径作弧交长轴于两点，这两点就是该椭圆的焦点.【即学即练】1.椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1与eq\f(x2,9－k)＋eq\f(y2,25－k)＝1(0＜k＜9)的()A．长轴长相等 B．短轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等2.已知椭圆的标准方程为eq\f(x2,100)＋eq\f(y2,64)＝1，则椭圆上的点P到椭圆中心|OP|的范围为()A．[6，10] B．[6，8]C．[8，10] D．[16，20]∴8≤|OP|≤10.3.求椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标．知识点02椭圆标准方程中的三个量a、b、c的几何意义椭圆标准方程中，a、b、c三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：，，且．可借助下图帮助记忆：a、b、c恰构成一个直角三角形的三条边，其中a是斜边，b、c为两条直角边．和a、b、c有关的椭圆问题常与与焦点三角形有关，这样的问题考虑到用椭圆的定义及余弦定理（或勾股定理）、三角形面积公式相结合的方法进行计算与解题，将有关线段、、，有关角（）结合起来，建立、之间的关系．【即学即练】1.已知椭圆C:x2a2+y2b2A．6 B．5 C．25 D．2．已知椭圆的左、右焦点分别为是上在第二象限内的一点，且，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．知识点03椭圆和的简单性质比较（难点）焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)对称性对称轴，对称中心范围且且顶点轴长短轴长＝，长轴长＝焦点焦距|F1F2|＝离心率e＝eq\f(c,a)(0＜e＜1)【知识剖析】离心率对椭圆扁圆程度的影响1.如图所示，在Rt△BF2O中，cos∠BF2O＝eq\f(c,a)，记e＝eq\f(c,a)则0<e<1，e越大，∠BF2O越小，椭圆越扁；e越小，∠BF2O越大，椭圆越圆．2.当且仅当a=b时,两焦点重合,图形变为圆,它的方程为,也可认为圆是椭圆在e=0时的特例.【即学即练】1.已知椭圆的方程为eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,16)＝1，则此椭圆的长轴长为()A．3B．4C．6 D．82．已知椭圆C1：eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,4)＝1，C2：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,8)＝1，则()A．C1与C2顶点相同B．C1与C2长轴长相同C．C1与C2短轴长相同D．C1与C2焦距相等题型01利用性质求椭圆的标准方程【典例1】求适合下列条件的椭圆的标准方程．(1)长轴长是10，离心率是eq\f(4,5)；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6．由椭圆的简单性质求椭圆标准方程的步骤1.确定焦点所在的位置，进而确定椭圆标准方程的形式，若焦点位置不确定，则需分类讨论.2.由条件直接确定a,b的值或建立关于a,b,c的方程（组），解出a,b的值.3.写出椭圆的标准方程.【变式1-1】设椭圆的一个焦点为，离心率为，则此椭圆的方程为（

）A． B． C． D．【变式1-2】（2025河北石家庄高二上期中联考）.阿基米德不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他最早利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．若椭圆的对称轴为坐标轴，焦点在轴上，且椭圆C的离心率为，面积为，则椭圆C的标准方程为（

）A． B． C． D．【变式1-3】求满足下列各条件的椭圆的标准方程．(1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为eq\f(1,2)，焦距为8；(2)已知椭圆的离心率为e＝eq\f(2,3)，短轴长为8eq\r(5).题型02利用方程研究椭圆的性质【典例2-1】（多选）（2025·高二·四川广元·阶段练习）已知分别是椭圆C：的左､右焦点，P为椭圆C上异于长轴端点的动点，则下列结论正确的是（

）A．的周长为10 B．面积的最大值为25C．的最小值为1 D．椭圆C的离心率为【典例2-2】（多选）（2025·河南开封·三模）椭圆的焦点为，，上顶点为A，直线与C的另一个交点为B，若，则（

）A．C的焦距为2 B．C的短轴长为C．C的离心率为 D．的周长为8由椭圆方程研究其性质的步骤已知椭圆方程讨论其几何性质时，首先要将其化为标准方程，确定a,b的值，然后求解其几何性质中的其他相关量.若不能确定焦点是在x轴上还是y轴上，则需分情况讨论.【变式2-1】（多选）已知椭圆的左、右焦点分别为，点）是椭圆E上的一个动点，则下列说法正确的是（

）A．椭圆E的长轴长为5 B．椭圆E的离心率为C． D．恰好存在两个点P使得【变式2-2】已知焦点在x轴上的椭圆的焦距与长轴长的比值恰好是黄金分割数，则实数m的值为．题型03定义法求椭圆的离心率【典例3-1】（24-25高二下·河南周口·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，，P是椭圆C上任意一点．若，则椭圆C的离心率为（

）．A． B． C． D．【典例3-2】已知F是双曲线的右焦点，直线与C交于P，Q两点，若以为直径的圆经过点F，则C的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．定义法求椭圆的离心率所谓定义法，是指利用离心率的定义求解，即建立a,c的关系式，求出的值，再利用定义式求得离心率e，或整体得到.【变式3-1】（2025·江西宜春·一模）已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在该椭圆上，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【变式3-2】已知椭圆，、是的焦点，过且垂直于轴的直线截椭圆所得弦长为，是上一动点，是圆上一动点，则（

）A． B．椭圆离心率为C．圆与圆相切 D．的最大值为4题型04构造方程求椭圆的离心率【典例4】已知椭圆的左右焦点分别为，，右顶点为.过点的直线与椭圆的交点为，与轴的交点为.若，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．方程法求椭圆的离心率即根据a,c,b,e的关系，构造关于e的方程，解方程求解.【变式4-1】已知椭圆C：的焦点分别为，，过的直线与C交于P，Q两点，若，，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（2025·高二·湖北武汉·联考）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，点在上，点在轴上，，，则椭圆的离心率为．题型05求椭圆离心率的取值范围【典例5】（2024·高二·安徽安庆·阶段练习）椭圆（a＞b＞0）上存在一点P满足，分别为椭圆的左右焦点，则椭圆的离心率的范围是（

）A． B． C． D．求椭圆的离心率的取值范围的策略利用题设条件或问题中的隐含条件构建关于a,b,c,e的不等关系，进而转化为关于离心率e的不等式（组），通过解不等式（组）求出离心率e的取值范围.求解的同时要注意椭圆的离心率e【变式5-1】（2024·高二·四川内江·阶段练习）已知点A、B为椭圆的长轴顶点，P为椭圆上一点，若直线PA，PB的斜率之积的范围为，则椭圆的离心率的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式5-2】（2025·高二·江苏盐城·阶段练习）已知椭圆上有一点P，是椭圆的左、右焦点，若使得为直角三角形点P有8个，则椭圆的离心率的范围是（

）A． B． C． D．题型06由椭圆的离心率求参【典例6】（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知椭圆的离心率，则的值为（

）A．12 B． C．12或 D．或由椭圆的离心率求参问题求解策略这类问题一般根据椭圆的离心率列出关于参数的方程，解之即得所求.但求解时还需注意椭圆焦点所在的位置，有时要分焦点在x轴还是y轴讨论求解.【变式6-1】（2025·湖南湘潭·三模）已知椭圆的离心率为，则的短轴长为（

）A． B．1 C．2 D．3【变式6-2】（24-25高二下·湖北·期中）若焦点在轴上的椭圆的离心率为，则的值为（

）A． B．9 C． D．12题型07椭圆对称性的应用【典例6】已知椭圆的方程为，其中依次将椭圆的下半部分分成10等份，若是椭圆的右焦点，则（

）A．10 B．16 C．20 D．12椭圆对称性的应用策略椭圆关于x轴、y轴，原点对称.应用时，可利用对称简化问题：求对称点坐标，将非第一象限内的点转化到第一象限来分析；处理弦中点、对称点问题时，用对称性质减少计算，结合椭圆的性质高效解题.【变式7-1】（多选）已知直线被椭圆截得的弦长为8，则下列直线中被椭圆截得的弦长也为8的有（

）A． B． C． D．【变式7-2】已知椭圆的中心为原点，焦点为，，以为圆心，为半径的圆交椭圆于、两点，且，则椭圆的方程是（

）A． B． C． D．题型08利用椭圆上点的范围求解最值问题【典例8-1】已知曲线，圆，若A，B分别是M，N上的动点，则的最小值是（

）A．2 B． C．3 D．【典例8-2】（2025·高二·辽宁·期中）已知是椭圆上一点，，则的最小值为.利用椭圆上点的范围解决最值问题的策略这类问题往往与椭圆上动点坐标有关，可以将所求最值的量用椭圆上点的坐标表示，从而建立关于椭圆上点的横坐标或纵坐标的函数，借助函数思想及点的坐标范围求得最值.【变式8-1】设P为椭圆上任意一点，其中，为它的一个焦点，则的最大值为，最小值为．【变式8-2】（2025·高二·上海普陀·期中）过椭圆的中心的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值为．题型09几何法求解椭圆的最值问题【典例9】（24-25高二下·湖南永州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别，，椭圆的长轴长为，短轴长为2，P为直线上的任意一点，则的最大值为.几何法求解椭圆的最值问题若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决,这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义,并能借助相应曲线的定义及对称知识求解.【变式9】（2025·山东日照·二模）已知与x轴相交于C，D两点，点，以AB为直径的圆与⊙O内切，则△BCD面积的最大值为．题型10椭圆简单性质的实际应用【典例10】某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（

）A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆解决椭圆的实际应用题的一般思路根据题意得到几何图形，建立适当的平面直角坐标系，与椭圆知识相联系，找出题目中已知量和隐含条件的关系，求出椭圆方程.【变式10-1】（2025·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【变式10-2】（2024·高二·福建福州·期中）“嫦娥四号”探测器实现历史上的首次月背着陆，如图是“嫦娥四号”运行轨道示意图，圆形轨道距月球表面千米，椭圆形轨道的一个焦点是月球球心，一个长轴顶点位于两轨道相切的变轨处，另一个长轴顶点距月球表面千米，则椭圆形轨道的焦距为千米.【变式8-3】（2025·高二·湖北武汉·期末）在对表面为曲面的工件进行磨削时应当选用尺寸适当的圆形砂轮，如果砂轮半径太大，则磨削时工件与砂轮接触处附近的那部分会磨去太多．现有一工件，其截面内表面是一长轴长为4，离心率为的椭圆，在对其内表面进行抛光时，所选用砂轮的半径最大为．练基础1．椭圆25x2＋9y2＝225的长轴长、短轴长、离心率依次是()A．5，3，eq\f(4,5) B．10，6，eq\f(4,5)C．5，3，eq\f(3,5) D．10，6，eq\f(3,5)2．焦点在x轴上，长、短半轴长之和为10，焦距为4eq\r(5)，则椭圆的方程为()A.eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,16)＝1 B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,36)＝1C.eq\f(x2,6)＋eq\f(y2,4)＝1 D.eq\f(y2,6)＋eq\f(x2,4)＝13．（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知椭圆的离心率为，短轴长为2，则（

）A． B． C．1 D．4．（24-25高二下·云南丽江·阶段练习）若椭圆的焦距为，则该椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．5．（24-25高三下·云南昆明·开学考试）已知椭圆和椭圆有相同的离心率，则（

）A． B． C．或4 D．或46．（24-25高二上·山西·阶段练习）下列四个椭圆中，形状与圆更接近的一个是（

）A． B．C． D．7．（24-25高二上·浙江台州·期末）已知椭圆的标准方程为，下列说法正确的是（

）A．椭圆的长轴长为2B．椭圆的焦点坐标为C．椭圆关于直线对称D．当点在椭圆上时，8.（多选）（2025·贵州·二模）已知椭圆：，：，则（

）A．与的离心率相等 B．与的焦距相等C．与的长轴长相等 D．的短轴长是的短轴长的两倍9．(多选)（24-25高二上·山东临沂·期末）椭圆：的左、右焦点分别为，，点为上的任意一点，则（

）A．椭圆的长轴长为3 B．椭圆的离心率为C．的最大值为5 D．存在点，使得10．（24-25高二上·宁夏银川·阶段练习）若椭圆：的短轴的一个端点为，则椭圆的长轴长为11.已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e≤eq\f(\r(3),2).则长轴长的取值范围为________．12．（2025·江西新余·二模）已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为.13．已知椭圆x2＋(m＋3)y2＝m(m＞0)的离心率e＝eq\f(\r(3),2)，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标．14．如图，椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1.(1)若|PF1|＝2＋eq\r(2)，|PF2|＝2－eq\r(2)，求椭圆的标准方程；(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.练提升15．（24-25高二上·天津·期中），是椭圆的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则的最大值是（

）A．4 B．5 C．2 D．116．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积．已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为12，则四边形面积的最大值为（

）A． B． C． D．17.（24-25高二下·广东广州·期中）已知直线与椭圆交于A，B两点，椭圆E右焦点为F，直线AF与E的另外一个交点为C，若，若，则E的离心率为（

）A． B． C． D．18.（多选）（24-25高二下·海南海口·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，，P是C上任意一点，则（

）A．C的离心率为 B．的周长为12C．的最小值为3 D．的最大值为1619．（多选）（24-25高二下·内蒙古·期末）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，点在上，，且为上一个动点，则（

）A．B．的长轴长为4C．的最小值为D．的最大值是20．如图，椭圆的中心在坐标原点O，顶点分别是A1，A2，B1，B2，焦点分别为F1，F2，延长B1F2与A2