专题1.5-1.6 两直线的交点坐标平面直角坐标系中的距离公式（高效培优讲义）数学北师大版2019高二选择性必修第一册原卷版

27/28专题1.5-1.6两条直线的交点坐标，平面直角坐标系中的距离公式教学目标1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标;2.掌握平面直角坐标系中两点间的距离公式、点到直线的距离公式，并能简单应用;3.能准确求出两平行直线间的距离;4.会用解析法证明几何问题.教学重难点1.重点(1)会求两条相交直线的交点坐标，并利用解方程组法判断两直线位置关系；(2)能灵活运用各种距离公式解决问题．2.难点(1)理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系；(2)会用解析法证明几何问题．知识点01两条直线的交点坐标（重点）1．两条直线的交点坐标(1)两条直线的交点坐标

一般地，将两条直线的方程联立，得方程组若方程组有唯一解，则两条直线，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线；若方程组有无穷多解，则两条直线.(2)两条直线的位置关系与方程组的解的关系设两直线l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0)，方程组的解一组无数组无解直线l1和l2的公共点个数一个____________直线l1和l2的位置关系相交_____________【知识剖析】求两直线的交点坐标实际上就是解方程组，看方程组解的个数．【即学即练】1.（24-25高二上·全国·课后作业）直线3x+2y−18=0和−2x+5y−7=0的交点坐标为（

）A．−4,−3 B．4,3 C．−4,3 D．3,42.（2025·高二·广东惠州·期中）已知两条直线和相交，则这两条直线的交点坐标为；3.（2025·高二·广西玉林·期中）若直线经过两直线和的交点，则.知识点02两点间的距离公式（重点）两点间的距离公式为．【知识剖析】此公式与两点的先后顺序无关,也就是说公式也可以写成|AB|=(x【即学即练】1．已知A(－1,0)，B(5,6)，C(3,4)，则eq\f(|AC|,|CB|)的值为()A.eq\f(1,3)B.eq\f(1,2)C.3 D.22.（2025山东济南高二上联考）若x轴的正半轴上的点M到原点的距离与点(5，－3)到原点的距离相等，则点M的坐标为()A.(－2,0)B．(1,0)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，0))D．(eq\r(34)，0)3.（2025贵州贵阳高二上联考）直线2x＋my＋2＝0(m≠0)与两坐标轴的交点之间的距离为________．知识点03点到直线的距离公式（重点）点到直线的距离为．【知识剖析】（1）点到直线的距离为直线上所有的点到已知点的距离中最小距离；（2）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；【即学即练】1.（2025·高二·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（

）A． B．2 C． D．12.(2025·高二·云南玉溪·期中）若点，到直线的距离相等，则（

）A．4 B． C．4或 D．或知识点04两平行线间的距离公式（重点）两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(A2+B2≠0,C1≠C2)间的距离公式为(A2+B2≠0).【知识剖析】（1）两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；（2）利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中，的系数分别是相同的以后，才能使用此公式．【即学即练】1．（24-25高二上·四川自贡·期末）已知直线，，两直线之间的距离为（

）A．1 B．2 C．3 D．42.（2025·高二·内蒙古呼和浩特·期中）直线与直线间的距离为（

）A． B． C． D．3.直线与直线间的距离为（

）A． B． C． D．1知识点05过两直线交点的直线系方程（拓展）1.过两相交直线交点的直线系方程设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2(A1,B1不同时为0,A2,B2不同时为0),则过l1,l2的交点的直线系方程为(其中m,n为参数,且m2+n2≠0).当m=1,n=0时,此方程即为直线l1的方程;当m=0,n=1时,此方程即为直线l2的方程.上面直线系方程也可以改写为A1x+B1y+C1+γ(A2x+B2y+C2)=0(其中γ为参数).γ=0时表示直线l1,但无论γ取什么实数,都不能表示直线l2.如果要包括直线l2,则可改写为A2x+B2y+C2+λ(A1x+B1y+C1)=0(其中λ为参数),但是此直线系不包括直线l1.2.直线过定点问题因为直线A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ)表示过直线A1x+B1y+C1=0和直线A2x+B2y+C2＝0的交点的直线，所以含参数的直线过定点问题，常先将直线方程转化为f(x,y)+λg(x,y)=0的形式，再令f(x,y)=0且g(x,y)=0，则该方程组的解即为直线所过定点的坐标.【即学即练】1.经过点和两直线；交点的直线方程为.2．经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程为．题型01求两直线的交点坐标【典例】（24-25高二上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）直线l1:3x−4y+5=0与l2A．2,3 B．73,3 C．3,7求两条直线的交点坐标,一般将两条直线的方程联立,若方程组有唯一解,则两条直线相交(含垂直相交),此解就是交点坐标.【变式1】（24-25高二上·全国·课后作业）已知直线l1经过A1,−1,B2,−2两点，则直线l2:x−4y−13=0A．1,−1 B．5C．135,−13【变式2】已知直线l1:x+2y+1=0与直线l2:4x+ay−2=0垂直，则l1A．15,−35 B．−353．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）若直线经过两直线和的交点，则（

）A．2 B．4 C．6 D．8题型02判断两直线的位置关系——方程组法【典例】判断下列各组直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标.(1)l1:x-y=0,l2:3x+3y-10=0;(2)l1:3x-y+4=0,l2:6x-2y-1=0;(3)l1:3x+4y-5=0,l2:6x+8y-10=0.利用方程组法判断两条直线的位置关系的具体策略为：第一步：列方程组，将两条直线的方程联立,得到方程组QUOTE；第二步：解方程组；第三步：根据方程组解的个数进行判断，若方程组有唯一解,则两条直线相交(含垂直相交),此解就是交点坐标;若方程组无解,则两条直线平行;若方程组有无数组解,则两条直线重合.【变式1】（2025·高二·上海宝山·开学考试）已知直线及与函数图像的交点分别为A，B，与函数图像的交点分别为C，D，则直线与（

）A．相交，且交点在坐标原点 B．相交，且交点在第一象限C．相交，且交点在第二象限 D．相交，且交点在第四象限【变式2】两条直线与的交点坐标就是方程组的实数解，给出以下三种说法：①若方程组无解，则两直线平行；②若方程组只有一解，则两直线相交；③若方程组有无数多解，则两直线重合．其中说法正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．0【变式3】曲线与的交点的情况是（

）A．最多有两个交点 B．两个交点C．一个交点 D．无交点题型03求过交点的直线方程【典例】若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为．（1）经过两直线，的交点的直线方程为(除直线)，其中是待定系数；结合已知条件求出，即可得解.（2）联立两直线方程，求出交点坐标，结合已知条件设出所求直线方程，代入点即可得解.【变式1】（2025·高二·四川成都·期中）已知点，和直线l：（），直线l与线段AB有公共点，则m的取值范围是.【变式2】经过直线3x－2y＋1＝0和直线x＋3y＋4＝0的交点，且平行于直线x－y＋4＝0的直线方程为．【变式3】（24-25高二上·重庆九龙坡·月考）经过直线和的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为.题型04三条直线的交点问题【典例1】（多选）（24-25高二上·浙江台州·月考）已知三条直线将平面分为六个部分．则满足条件的m可以是（

）A． B． C． D．0【典例2】（23-24高二上·安徽·月考）已知三条直线交于一点，则实数=（

）A． B．1C． D．1.三条直线相交于一点、两点的破解策略.(1)证明三条直线共一点时，只要将其中两条直线的交点代入第三条直线方程，方程成立即得证.(2)已知三条直线交于一点，要求直线方程中的参数，只需求出其中两条直线的交点，再将交点坐标代入第三条直线的方程，便可得到关于参数的一个方程，解方程即得所求.(3)若三条直线相交于两点，则必有两条直线互相平行，且均与第三条直线相交,以上述结论为出发点进行思考即可.2.三条直线相交于三点的破解策略(1)若三条直线有三个不同的交点，则需满足两个条件：①其中两条直线的交点不在第三条直线上；②三条直线斜率不同．(2)一类常见题型是三条直线构成三角形求参数的取值范围,此时往往用补集思想求解.【变式1】（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值集合为（

）A． B．C． D．【变式2】（24-25高二上·湖北·期中）设a为实数，若直线，，两两相交，且交点恰为直角三角形的三个顶点，则这样的，，有（

）A．2组 B．3组 C．4组 D．5组【变式3】（多选）（23-24高二上·河南焦作·月考）若三条直线，，交于一点，则a的值可为（

）A． B．3 C．1 D．题型05恒过定点问题【典例】求证:无论m为何实数,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5都过定点.解含有参数的直线过定点问题的方法:(1)特殊值法:任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是含参数的直线所过的定点,从而问题得解.(2)分离参数法：将直线方程分项整理,含参数的并为一项,不含参数的并为一项,整理成等号右边为零的形式,然后令含参数的项和不含参数的项分别为零得方程组,方程组的解即为所求定点的坐标.【变式1】求证:无论m取什么实数,直线(2m-1)x+(m+3)y-(m-11)=0都经过一个定点,并求出这个定点的坐标.【变式2】已知直线方程为，.（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.题型06对称问题【典例】已知直线，点.求:(1)点A关于直线l的对称点的坐标;(2)直线关于直线l的对称直线m'的方程;(3)直线l关于点对称的直线l'的方程.1.直线关于点对称设直线l1与l2关于点P对称,这时其中一条直线上任一点关于点P对称的点在另一条直线上,并且l1//l2,点P到直线l1,l2的距离相等.2.直线关于直线对称直线l1与l2关于直线l对称,它们具有以下几何性质:①若l1与l2相交,则直线l是l1,l2夹角的平分线所在直线;②若l1与l2平行,则直线l在l1,l2之间且到l1,l2的距离相等;③若点A在l1上,则点A关于直线l的对称点B一定在l2上,此时AB⊥l,且线段AB的中点M在l上(即l是线段AB的垂直平分线).充分利用这些性质,可以得出多种求直线l2的方程的方法.【变式1】直线l:y=3x+3关于点A(3,2)的对称直线的方程为.【变式2】如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是.【变式3】在等腰直角三角形ABC中，，点P是边AB上异于A，B的一点，光线从点P出发经BC，CA反射后又回到点P，若光线QR经过的重心，则的周长是.题型07利用两点间的距离公式求线段的长【典例】（2025·高二·天津红桥·期中）已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为．若已知两点间的距离及两点的坐标,并且坐标中含有参数,则可利用两点间的距离公式列方程求出参数.【变式1】已知，且，则．【变式2】（2025·高二·天津红桥·期中）已知点，，若在轴上存在一点满足，则点的坐标为．题型08利用两点间的距离公式判断多边形的形状【典例】已知的三个顶点坐标是，，．则的形状为；的面积为.（1）三角形形状的判断：利用两点间的距离公式计算出各边的长度,根据边相等可以判断是等腰或等边三角形,根据勾股定理的逆定理及其推广可以判断是锐角三角形、直角三角形还是钝角三角形.（2）四边形形状的判断：利用两点间的距离公式计算各边的大小，再结合各边斜率之间的关系，便可判断各边是否平行或垂直，对边、邻边是否相等，从而得到该四边形的形状.【变式1】（24-25高二上·河南许昌·期中）已知四边形的四个顶点为，，，，则四边形ABCD的形状是（

）.A．平行四边形 B．正方形 C．菱形 D．矩形【变式2】已知三个点A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),试判断△ABC的形状.题型09点到直线距离公式的应用【典例】已知点到直线的距离为，则点的坐标可以是（

）A． B． C． D．点到直线距离公式的应用主要是求线段的长度、判定三角形的形状、求三角形的面积或根据距离求参数的值等.解决此类问题的关键是正确运用公式,并进行合理转化.【变式1】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知两点和到直线距离相等，则值为（

）A．或 B．或 C．或 D．或【变式2】（24-25高二上·四川达州·期末）已知点，点为直线上动点，则、两点间距离的最小值为（

）A．1 B． C． D．2【变式3】（23-24高二上·广西南宁·月考）已知到直线的距离等于3，则a的值为.【变式4】（24-25高二上·上海·月考）过点且和原点距离是2的直线方程是.题型10两平行线间距离公式的应用【典例】已知两条平行直线与之间的距离为，则的值为（

）A．或8 B．或9 C．或2 D．或2利用两平行线间的距离公式求距离的步骤：第一步：将两条直线的方程转化为一般式方程；第二步：转化两条直线的方程中的一个方程，使得它们x，y的系数对应相同；第三步：使用公式直接求解两条平行直线间的距离.【变式1】（2025·高二·浙江·期中）若直线与直线平行，那么这两条直线之间的距离为（

）A． B． C． D．【变式2】（24-25高二上·河南·期中）已知两平行直线与之间的距离为，则（

）A． B．23 C．13或23 D．或题型11与距离有关的最值问题【典例1】（2025·高二·天津和平·开学考试）直线与之间的距离的最大值为.【典例2】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点P(x,y)在直线x−y−1=0上的运动，则(x+2)2+(y+2)A．12 B．22 C．14点到直线的距离是点与直线上的点的距离的最小值，两条平行直线间的距离是在两条平行直线上各任意取一点所得两点间距离的最小值，它们的应用非常广泛，在某些证明问题或最值问题的解答中尤其常见.最值问题的常用求法有两种：(1)利用解析几何知识，先设一个函数，然后用函数求最值的方法进行求解.(2)几何法：根据几何图形直观判断哪种情况下取得最值.常用结论有：两点之间线段最短；直角三角形的斜边大于直角边；三角形的两边之和(差)大(小)于第三边.【变式1】（24-25高二上·广东汕头·期中）点A2,−4到直线l:mx−y−4m−8=0（mA．5 B．25 C．4 D．【变式2】（24-25高二上·山西·期中）已知点A1,2，直线l：λ+2x+1−λy+2λ+7=0λ∈R，则AA．3 B．10 C．32 【变式3】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知点P(x,y)在直线x−y−1=0上的运动，则(x+2)2+(y+2)A．12 B．22 C．14题型12利用距离公式解决函数的最值问题【典例】（24-25高二上·黑龙江·期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：x−a2+y−b2可以转化为平面上点Mx,y与点NA．210 B．22 C．2+对于若干个根式函数之和或差的函数，有时可将根号内的式子进行转化，转化为各点间的距离之和或差的问题，再数形结合，借助图象求其最值.【变式1】（2025·高二·福建泉州·期中）函数的最小值为．【变式2】（2025·高二·江苏镇江·期中）函数的最大值为.【变式3】（2025·高二·河北石家庄·期末）已知，，则的最小值为.题型13距离的实际应用【典例】（2025·高二·全国·单元测试）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B．5 C． D．对于距离的实际应用题，求解的关键是审题，通过审题并画出图形，将实际问题转化为各种距离之间的关系，再利用距离公式求解.【变式】（2025·高二·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（

）A． B． C． D．一、单选题1．（2025届河南许昌高二上联考）过直线与的交点，且一个方向向量的直线方程为（

）A． B．C． D．2．（24-25高二上·全国·课后作业）已知点A在x轴上，点B在y轴上，线段AB的中点M的坐标是3,4，则AB=（

A．10 B．5 C．8 D．63．（24-25高二上·广东深圳·阶段练习）2．已知直线的法向量为，且经过点，则原点到的距离为（）A． B． C． D．4．（24-25高二上·广东东莞·阶段练习）若直线l1：x+2y−4=0与直线l2：kx−y+2k+1=0的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（A．−16,C．−∞,−15．（2025届重庆部分学校高二上质检）冰糖葫芦是中国传统小吃，起源于南宋，由山楂串成的冰糖葫芦如图1所示，若将山楂串成的冰糖葫芦在平面直角坐标系中的正投影（如图2所示）看成大小相同的圆，竹签看成一条经过所有圆心的线段，且山楂的半径为1，竹签所在的直线方程为，则与该串冰糖葫芦的山楂都相切的直线方程为（

）A． B． C． D．6．（24-25高二上·四川绵阳·阶段练习）若点m,n在直线l：3x+4y−13=0上，则m−12+nA．2 B．4 C．5 D．37．（2025·广东佛山·二模）在平面直角坐标系xOy中，曲线C：的周长为（

）A．12 B．14 C．16 D．208．（24-25高二上·陕西宝鸡·期中）已知三条直线l1:y=x+1，l2:y=−2x+4，l3A．1,−2 B．1,−2,3C．−1,2,−3 D．−1,2二、多选题9．（