专题02 双曲线的六大常考题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019选择性必修第一册（原卷版）

9/9专题02双曲线的六大常考题型题型一：双曲线的定义及应用题型二：求双曲线的方程题型三：双曲线的焦点三角形问题题型四：双曲线的简单几何性质题型五：双曲线的实际应用题型六：与双曲线有关的创新题（数学文化题、新定义题等）题型一：双曲线的定义及应用1．双曲线两个焦点，焦距为8，为曲线上一点，，则（

）A．1 B．1或9 C．9 D．32．已知双曲线的上、下焦点分别为，过的直线与双曲线的上支交于A，B两点，若，则的周长为（

）A．14 B．12 C．10 D．83．已知双曲线的左、右焦点分别为，，为的右支上一点，为的中点，为线段上一点，若（为坐标原点），则（

）A．4 B．2 C．1 D．4．与圆及圆都内切的圆的圆心在（

）A．椭圆上 B．双曲线的左支上C．双曲线的右支上 D．抛物线上5．已知，，为坐标原点，点是圆上任意一点，点是圆外一点，若，，则点的轨迹方程为（

）A． B．C． D．6．过椭圆右焦点F的圆与圆O：外切，则该圆直径FQ的端点Q的轨迹方程为（

）A． B．C． D．7．如图所示，是双曲线右支在第一象限内一点，分别为其左､右焦点，为右顶点，圆是的内切圆，设圆与分别切于点，当圆的面积为时，直线的斜率为（

）A． B． C． D．8．已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，是圆上一点，则的最小值为.9．已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为.题型二：双曲线的标准方程10．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的焦距为，则的方程为（

）A． B．C． D．11．已知双曲线与双曲线有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（

）A． B．C．或 D．或12．已知A，B为实数，则“”是“为双曲线方程”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件13．（多选）已知曲线：，下列说法正确的是（）A．若，则是焦点在轴上的椭圆B．若，则是圆，其半径为C．若，则是双曲线D．若，，则是两条直线14．已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，离心率分别为，，点P为椭圆与双曲线在第一象限的公共点，且，若，则双曲线的方程为（）A． B． C． D．题型三：双曲线的焦点三角形问题15．已知为坐标原点，双曲线的左、右焦点分别为，，以线段为直径的圆与在第一象限内的交点为.若，则点到直线的距离为（

）A． B．1 C． D．216．已知，分别是双曲线：的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于，则（

）A． B．6 C． D．317．设，为曲线：的左，右两个焦点，是曲线：与的一个交点，则的面积为（）A． B． C． D．18．已知为双曲线的左、右焦点，点在上，，则的面积为．19．已知双曲线是上的任意一点.(1)设点的坐标为，求的最小值；(2)若分别为双曲线的左､右焦点，，求的面积.题型四：双曲线的简单几何性质20．记为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（

）A． B．C． D．21．已知双曲线的离心率为，其一条渐近线被圆截得的线段长为，则实数的值为A．3 B．1 C． D．222．已知等轴双曲线的左､右焦点分别为，半焦距为，过点的直线与的两条渐近线从左到右依次交于两点，且，则（

）A． B． C． D．23．已知双曲线：的焦距为10，左、右焦点分别为，，过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于，两点.若的内切圆与直线相切于点H，且，则双曲线的渐近线方程为（

）.A． B．C． D．24．斜率为1的直线与双曲线交于两点，点是上的一点，满足，，的重心分别为，的外心为．记直线的斜率为．若，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C．3 D．25．已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的左、右支分别交于，两点，且，，其中为坐标原点，则的离心率为（

）A．5 B． C．4 D．26．已知双曲线（,均为正整数）的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，P为C右支上一点，的周长为25，O到直线，的距离分别为，，若，则C的渐近线方程为（

）A． B． C． D．27．已知双曲线的右焦点､左顶点分别为，过点且倾斜角为的直线交的两条渐近线分别于点.若为等边三角形，则双曲线的离心率为（

）A．2 B． C． D．28．已知双曲线，点、是右支上任意两点，且，则的取值范围是．29．已知是双曲线上的点，则的最小值为．30．已知双曲线的一个焦点为为坐标原点，点在双曲线上运动，以为直径的圆过点，且恒成立，则的离心率的取值范围为．题型五：双曲线的实际应用31．如图，一个玩具由矩形竖屏，底面圆盘及斜杆构成，竖屏垂直于圆盘且固定不动，圆盘可以转动，斜杆以恰当的方式固定在圆盘上，可随着圆盘转动．当竖屏上的孔隙形状是合适的双曲线的一支时，斜杆可以自由穿过竖屏的孔隙，所以这个玩具被称为曲线狭缝玩具．若斜杆与圆盘所成角的大小为，斜杆与过底面圆心且与底面垂直的边的距离为1cm，则合适孔隙的曲线线方程可能是（

）A． B．C． D．32．2025春节档国产影片《哪吒之魔童闹海》接连破全球票房记录，影片中哪吒与敖丙是不可分割的二人组，其中敖丙的武器“盘龙冰锤”相撞后形成了如图所示的曲线，可以用来表示数学上特殊的曲线．如图所示的曲线C过坐标原点O，C上的点到两定点，（）的距离之积为定值．当时，C上第一象限内的点P满足的面积为，则（

）A．6 B． C． D．33．某飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员安全救出，地面指挥中心在返回舱预计到达区域安排了三个救援中心（记为、、），在的正东方向，相距；在的北偏西方向，相距；为航天员的着陆点.某一时刻，接收到的求救信号，由于、两地比距远，后、两个救援中心才同时接收到这一信号.已知该信号的传播速度为，则在处测得的方向角为（

）A．北偏东 B．北偏东 C．北偏西 D．北偏西34．如图，某市在城市东西方向主干道边有两个景点，，它们距离城市中心的距离均为，是正北方向主干道边上的一个景点，且距离城市中心的距离为3km，为改善市民出行，准备规划道路建设，规划中的道路如图所示，道路MN段上的任意一点到景点的距离比到景点的距离都多4km，其中道路起点到东西方向主干道的距离为6km，线路NP段上的任意一点到的距离都相等，以为原点、线段AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xOy.(1)求道路的曲线方程；(2)现要在上建一站点，使得到景点的距离最近，问如何设置站点的位置?（即确定点的坐标）题型六：与双曲线有关的创新题（数学文化题、新定义题等）35．已知双曲线，对于点，若上存在两个点、，使得为线段的中点，则称为的一个“”点，下列各点中，是的“”点的为（

）A． B． C． D．36．我国南北朝时期的数学家祖暅提出了计算体积的祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，其意思可描述为：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.如图，阴影部分是由双曲线与它的渐近线以及直线所围成的图形，将此图形绕轴旋转一周，得到一个旋转体，则这个旋转体的体积为（

）A． B． C． D．37．（多选）随着我国航天科技的快速发展，双曲线镜的特性使得它在天文观测中具有重要作用，双曲线的光学性质是：从双曲线的一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.由此可得，过双曲线上任意一点的切线平分该点与两焦点连线的夹角.已知分别为双曲线的左，右焦点，过C右支上一点作直线l交x轴于，交y轴于点N，则（

）A．C的渐近线方程为B．过点作，垂足为H，则C．点N的坐标为D．四边形面积的最小值为38．（多选）公元前300年前后，欧几里得撰写的《几何原本》是最早有关黄金分割的论著，书中描述：把一条线段分割为两部分，使较大部分与全长的比值等于较小部分与较大的比值，则这个比值即为“黄金分割比”，把离心率为“黄金分割比”倒数的双曲线叫做“黄金双曲线”．黄金双曲线的一个顶点为，与不在轴同侧的焦点为，的一个虚轴端点为，为双曲线任意一条不过原点且斜率存在的弦，为中点．设双曲线的离心率为，则下列说法中，错误的有（）A． B．C． D．若，则恒成立39．年月，欧内斯特·卢瑟福在《哲学》杂志上发表论文.在这篇论文中，他描述了用粒子轰击厚的金箔时拍摄到的运动情况.在进行这个实验之前，卢瑟福希望粒子能够通过金箔，就像子弹穿过雪一样，事实上，有极小一部分粒子从金箔上反弹.如图显示了卢瑟福实验中偏转的粒子遵循双曲线一支的路径，则该双曲线的离心率为；如果粒子的路径经过点，则该粒子路径的顶点距双曲线的中心cm.40．已知为坐标平面内一定点，A为平面上的任意点，向量，点A绕着点逆时针旋转角后得到点，则，我们称该过程为平面上点的旋转，对平面上的任一点做旋转，则称其为平面的旋转变换．平面上的某二次曲线能够通过旋转变成反比例函数图象，我们称