专题2.5 直线与圆全章复习（高效培优讲义）数学北师大版2019高二选择性必修第一册原卷版

27/28专题2.5直线与圆全章复习教学目标1.通过复习理顺本章重点知识，如直线方程、圆的方程、直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能综合应用本章知识解决综合性强的问题.教学重难点1.重点(1)直线方程的综合；(2)圆的相关知识的综合.2.难点(1)直线中的对称问题(2)利用韦达定理解决直线与圆的相交问题.一、构建知识网络二、回顾重点知识1．直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角α的范围是[0°，180°)．(2)k＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(tanα，α≠90°，,不存在，α＝90°.))(3)斜率的求法：①依据直线方程；②依据倾斜角；③依据两点的坐标．2．两条直线平行与垂直的判定——斜率法两条直线平行对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2⇔k1＝k2.当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2两条直线垂直如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2⇔k1·k2＝－1.当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l1⊥l23.直线方程的五种形式形式几何条件方程适用范围点斜式过一点(x0，y0)，斜率ky－y0＝k(x－x0)与x轴不垂直的直线斜截式纵截距b，斜率ky＝kx＋b与x轴不垂直的直线两点式过两点(x1，y1)，(x2，y2)eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)与x轴、y轴均不垂直的直线截距式横截距a，纵截距beq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0，A2＋B2≠0平面直角坐标系内所有直线4.利用系数判断两条直线的位置关系设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则(1)平行⇔A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A2C1－A1C2≠0.(2)相交⇔A1B2－A2B1≠0.(3)重合⇔A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0)或eq\f(A1,A2)＝eq\f(B1,B2)＝eq\f(C1,C2)(A2B2C2≠0)．5．两条直线的交点6．三种距离公式(1)两点间的距离公式：已知点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则|P1P2|＝eq\r(（x2－x1）2＋（y2－y1）2).(2)点到直线的距离公式：点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))；=3\*GB2⑶两平行直线l1：Ax＋By＋C＝0与l2：Ax＋By＋D＝0的距离d＝eq\f(|C－D|,\r(A2＋B2)).【易错警示】(1)点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；(2)利用两平行线间的距离公式要先把两直线方程中x，y的系数化为对应相等．7．直线中的对称问题=1\*GB2⑴中心对称问题的两种类型及求解方法点关于点对称若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2a－x1，y＝2b－y1，))进而求解直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程=2\*GB2⑵轴对称问题的两种类型及求解方法点关于直线对称若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l：Ax＋By＋C＝0对称，由方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(A\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)))＋B\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y1＋y2,2)))＋C＝0，\f(y2－y1,x2－x1)·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(A,B)))＝－1，))可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2，y2)(其中B≠0，x1≠x2)直线关于直线对称①若直线与对称轴平行，则在直线上取一点，求出该点关于轴的对称点，然后用点斜式求解．②若直线与对称轴相交，则先求出交点，然后再取直线上一点，求该点关于轴的对称点，最后由两点式求解8．圆的定义及方程定义平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)圆心：(a，b)半径：r一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)圆心：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))半径：r＝eq\f(\r(D2＋E2－4F),2)9．点和圆的位置关系设点P(x0，y0)及圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.(1)(x0－a)2＋(y0－b)2>r2⇔点P在圆外．(2)(x0－a)2＋(y0－b)2<r2⇔点P在圆内．(3)(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2⇔点P在圆上．10.判断直线与圆位置关系的方法几何法(1)明确圆心的坐标和半径，将直线方程化为一般式；(2)利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d；(3)比较d与半径的大小，然后写出结论代数法(1)将直线方程与圆的方程联立，消去一个变量；(2)判断一元二次方程根的个数(Δ与0的关系)；(3)得出结论11．圆与圆的位置关系设C1与C2的圆心距为d，半径分别为r1与r2，则位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1、r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|d<|r1－r2|12.计算直线被圆截得的弦长的常用方法(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式|AB|＝eq\r(1＋k2)|xA－xB|＝eq\r(（1＋k2）[（xA＋xB）2－4xAxB]).注：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．三、熟记重要结论1．识记几种特殊位置的直线方程(1)x轴：y＝0；(2)y轴：x＝0；(3)平行于x轴的直线：y＝b(b≠0)；(4)平行于y轴的直线：x＝a(a≠0)；(5)过原点的直线：y＝kx或x＝0.2．倾斜角与斜率的关系(1)当直线不垂直于x轴时，直线的斜率和直线的倾斜角为一一对应关系．(2)当直线l的倾斜角α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，α越大，直线l的斜率越大；当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，α越大，直线l的斜率越大．(3)所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率．3.6种常见对称(1)点(x，y)关于原点(0,0)的对称点为(－x，－y)；(2)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)，关于y轴的对称点为(－x，y)；(3)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)，关于直线y＝－x的对称点为(－y，－x)；(4)点(x，y)关于直线x＝a的对称点为(2a－x，y)，关于直线y＝b的对称点为(x,2b－y)；(5)点(x，y)关于点(a，b)的对称点为(2a－x,2b－y)；(6)点(x，y)关于直线x＋y＝k的对称点为(k－y，k－x)，关于直线x－y＝k的对称点为(k＋y，x－k)．4.圆中的相关结论(1)若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：①当F＝0时，圆过原点．②当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上．③当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；当E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点．④当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切．(2)圆的几何性质①圆的半径r，弦长的一半h，弦心距d满足r2＝h2＋d2.②圆的弦的垂直平分线过圆心．③一般地，三角形有唯一的外接圆，圆心为三角形三边垂直平分线的交点．④已知圆心所在的直线及圆上两点，则两点连线(圆的弦)的垂直平分线与圆心所在直线的交点即为圆心．(3)不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．5．与圆的切线有关的3个结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2.(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2.6．两圆公切线的条数(1)外离时4条；(2)外切时3条；(3)相交时2条；(4)内切时1条；(5)内含时0条．7．两圆相交时公共弦的性质圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交时：(1)将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程；(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦；(3)x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2)．8．切线长公式(1)从圆外一点P(x0，y0)引圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的切线，则点P到切点的切线长d＝eq\r((x0－a)2＋(y0－b)2－r2).(2)从圆外一点P(x0，y0)引圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)的切线，则点P到切点的切线长d＝eq\r(x\o\al(2,0)＋y\o\al(2,0)＋Dx0＋Ey0＋F).10．圆系方程(1)同心圆系方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，其中a，b是定值，r是参数；(2)过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)；(3)过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．题型01直线的倾斜角或斜率的综合问题【典例1】（24-25高二上·天津·阶段练习）过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．直线的倾斜角与斜率的取值范围直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))与eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝eq\f(π,2)时，斜率不存在；当α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))时，斜率k∈(－∞，0)．【变式1-1】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知直线l的斜率，则直线l的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【变式1-2】（江西省赣州市2024-2025学年高二上学期10月检测数学试卷）如图，若直线的斜率分别为，则（

）A． B．C． D．题型02两直线的位置关系的综合应用【典例】（24-25高二上·陕西榆林·阶段练习）已知为实数，直线，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件判断两直线位置关系的注意点判断两直线位置关系时，若直线方程中存在字母参数，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况．同时还要注意x，y的系数不能同时为零这一隐含条件．【变式2-1】（多选）（24-25高二上·甘肃嘉峪关·阶段练习）已知直线：，则下列说法正确的是（

）A．直线的斜截式方程是：.B．与直线平行C．与直线垂直D．直线恒过定点【变式2-2】（多选）（24-25高二上·内蒙古包头·期中）已知直线，，下列说法正确的有（

）A．过定点 B．当时，C．的充要条件是 D．点到直线的距离的最小值为题型03直线方程的综合应用【典例】（24-25高二下·上海杨浦·期末）在平面直角坐标系xOy中，已知的三个顶点.(1)求BC边所在直线的一般式方程；(2)若的面积等于2，且点在直线上，求点的坐标.求直线方程时的注意事项(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件．(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应先判断截距是否为零)．【变式3-1】（多选）（24-25高二上·福建福州·期末）已知点，，，则（

）A．是直角三角形B．边上的高所在直线的方程是C．的面积是1D．边上的中线所在直线的方程是【变式3-2】（24-25高二上·贵州毕节·阶段练习）已知的三个顶点，，，则边上的中线所在直线的一般式为，边上的高所在直线的斜截式为.【变式3-3】（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线.(1)证明：对任意实数，直线都经过一个定点；(2)若直线在轴、轴上截距相等，求直线的方程.题型04距离公式的综合应用【典例】（多选）（24-25高二上·福建·期中）已知直线与，过定点，则下列说法正确的是（

）A．“”是“”的必要不充分条件B．“”的充要条件是“”C．点的坐标为D．点到直线的距离的最大值为1距离公式的综合应用距离公式是高考考查的重点内容之一，常与两条直线的位置关系、直线的方程形式、直线的斜率、直线的倾斜角等内容综合考查，判断直线与圆、圆与圆的位置关系时也往往要用到距离公式，故距离公式更多的是以解题工具形式出现.【变式4-1】（24-25高二上·全国·课后作业）点到直线距离的最小值为，最大值为.【变式4-2】（24-25高二上·山东青岛·阶段练习）已知直线与，则（

）A．若，则两直线垂直 B．直线恒过定点C．直线在两坐标轴上的截距相等 D．若两直线平行，则与的距离是【变式4-3】（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知顶点，边AC上的高BH所在直线方程为，边AB上的中线CM所在的直线方程为.(1)求直线AC的方程；(2)求的面积.题型05对称问题【典例】（2025·河北秦皇岛·模拟预测）如图，在一处四周都是镜子的暗房里，在点平行于地面发出一条射线，与的夹角为，在中点处有一个感应器（体积忽略不计），已知，，则下列说法正确的是（

）A．若，射线经过一次反射就被感应器捕捉到，则B．若，射线第一个反射点在边上，则最少需要折射三次才能被感应器捕捉到C．无论长度如何变化，必定存在使得射线反射两次就可以被感应器捕捉到D．存在，使得射线依次经过，，三个面的反射后能被感应器捕捉到解决两类对称问题的关键解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键要抓住两点：一是两对称点的连线与对称轴垂直；二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．【变式4-1】（多选）（24-25高二上·山东济南·阶段练习）一光线过点，经倾斜角为的且过的直线反射后过点，则反射后的光线还经过下列哪些点（

）A． B．C． D．【变式4-2】（24-25高二上·江苏泰州·阶段练习）已知，，动点P在直线上.则的最小值为.【变式4-3】（24-25高二上·辽宁·阶段练习）已知点，点，直线过点且与直线垂直.(1)求直线的方程；(2)求直线关于直线的对称直线的方程.题型05圆的方程的综合应用【典例】（24-25高二上·广东惠州·期中）的三个顶点分别是、、.(1)求边上的高所在直线的方程；(2)求的外接圆（为圆心）的标准方程.1．确定圆的方程必须有三个独立条件不论是圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母(a，b，r或D，E，F)的值需要确定，因此需要三个独立的条件．利用待定系数法得到关于a，b，r(或D，E，F)的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值，从而确定圆的方程．2．几何法在圆中的应用在一些问题中借助平面几何中关于圆的知识可以简化计算，如已知一个圆经过两点时，其圆心一定在这两点连线的垂直平分线上，解题时要注意平面几何知识的应用．【变式5-1】在①圆Q经过直线：与直线：的交点，②圆心Q在直线上这两个条件中任选一个，补充到下面的问题中，并作答．问题：是否存在圆Q，使得点，均在圆Q上，且______？若存在，求圆Q的方程；若不存在，请说明理由．【变式5-2】求满足下列条件的圆的方程．(1)经过点且和直线相切，同时圆心在直线上的圆；(2)经过点，且与直线l：相切于点的圆．题型06圆的对称性的综合应用【典例】（24-25高二上·山东滨州·期末）已知圆经过两点，且圆心在轴上，一条光线从点射出，经轴反射后，与圆相切.(1)求圆的方程；(2)求反射后光线所在直线的方程.圆中与对称有关的几个结论(1)圆关于直径所在直线对称；(2)任意两圆关于连心线所在直线对称；(3)若两圆关于某点对称，则两圆圆心关于该点对称，且两圆半径相等;(4)若两圆关于某直线对称，则两圆圆心关于该直线对称，且两圆半径相等.【变式6-1】已知圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0关于直线2ax－by＋2＝0(a，b∈R)对称，则ab的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,4))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,4)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，0)) D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，＋∞))【变式6-2】（24-25高二上·重庆·期中）已知点在圆上，圆与圆关于直线对称．(1)圆与圆的方程；(2)设，是圆上的两个动点，且，点关于原点的对称点为，点关于轴的对称点为，直线，在轴上的截距分别是，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．题型07与圆有关的轨迹问题【典例】（24-25高二上·重庆·阶段练习）已知圆的圆心坐标为，且被直线截得的弦长为．(1)求圆的方程；(2)若动圆与圆相外切，又与轴相切，求动圆圆心的轨迹方程；与圆有关的轨迹问题主要有两种类型，一种是点的轨迹为圆，另一种是以圆为载体，考查动点的轨迹或轨迹方程.求动点的轨迹方程往往先设出动点的坐标，再找等量关系列轨迹方程；有时也可由已知条件判断出轨迹图形，然后由图形求方程.【变式7-1】（23-24高二上·河北唐山·期末）线段长度为4，其两个端点A和B分别在x轴和y轴上滑动，则线段中点的轨迹所围成图形的面积为（

）A．2 B．4 C． D．【变式7-2】（24-25高二上·陕西西安·阶段练习）已知点，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形面积是．【变式7-3】（2024·广东深圳·模拟预测）已知过点的动直线l与圆相交于不同的两点A，B．(1)求圆的圆心坐标；(2)求线段的中点M的轨迹C的方程．题型08圆中的最值问题【典例】已知圆C的圆心在第一象限且在直线上，与x轴相切，被直线截得的弦长为(1)求圆C的方程；(2)由直线上一点P向圆C引切线，A，B是切点，求四边形PACB面积的最小值．四川省成都市树德中学2022-2023学年高二上学期期中考试数学（理）试题两法搞定圆中的最值问题圆中的最值问题主要有两种解决策略，一是代数法，即通过构造函数，将最值转化为函数的最值；二是几何法，即利用圆的丰富的几何性质得到最值.【变式8-1】（2025高三·全国·专题练习）在中，，则面积的最大值为.【变式8-2】（23-24高一下·浙江杭州·期中）已知正三角形ABC的边长为1，P是平面ABC上一点，若，则PA的最大值为．【变式8-3】（多选）（2024高二上·江苏·专题练习）已知点，且点在圆上，为圆心，则下列说法正确的是（

）A．的最小值为 B．当最大时，的面积为2C．的最大值为 D．的最大值为题型09直线与圆的位置关系的综合应用【典例】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知圆，过点的直线与圆交于两点，点满足，其中为坐标原点．(1)求点的轨迹方程；(2)若的面积为2，求．直线与圆位置关系问题的求解策略(1)判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达式较繁琐，则用代数法．能用几何法，尽量不用代数法．(2)已知直线与圆的位置关系求参数的取值范围时，可根据数形结合思想利用直线与圆的位置关系的判断条件建立不等式进行解决．【变式9-1】（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）直线过点，且与圆相交所形成的长度为整数的弦的条数为（

）A．5 B．8 C．9 D．10【变式9-2】（24-25高二上·湖南长沙·阶段练习）已知直线：及圆：.(1)若直线与圆相切，求的值；(2)若直线与圆相交于，两点，且弦AB的长为，求的值.题型10圆与圆的位置关系的综合应用【典例】（24-25高二上·广东韶关·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知为三个不同的定点.以原点为圆心的圆与线段都相切.(1)求圆的方程及的值；(2)若直线与圆相交于两点且，求的值；(3)在直线上是否存在异于的定点，使得对圆上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由.圆与圆的位置关系的综合应用圆与圆的位置关系的综合应用类型有判断位置、求参数、求公切线、求公共弦长等，常利用圆的性质、相应结论、联立方程等策略求解.【变式10-1】（2025·河南·模拟预测）已知圆，圆，直线分别与圆和圆切于两点，则线段的长度为．【变式10-2】（多选）（23-24高二上·河南·期末）已知圆和圆，则（

）A．圆与轴相切B．两圆公共弦所在直线的方程为C．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线D．两圆的公切线段长为题型11利用韦达定理解决直线与圆相交问题【典例】（24-25高二上·广东广州·阶段练习）已知圆，回答下列问题.(1)已知圆D过点，圆心在直线上，截y轴弦长为，求C与D相交所得公共弦长；(2)若过点且斜率为k的直线l与圆C交于P，Q两点，其中O为坐标原点，且，求.利用韦达定理解决直线与圆相交问题直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题．当此类问题用几何法不易求得时，常改变思路，通过联立直线与圆的方程，利用韦达定理，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题,【变式】（24-25高二上·湖北·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆经过原点和点，并且圆心在轴上，圆与轴正半轴的交点为.(1)求圆的标准方程；(2)设为圆的动弦，且不经过点，记、分别为弦、的斜率.（ⅰ）若，求面积的最大值；（ⅱ）若，请判断动弦是否过定点？若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由.题型12与圆有关的新定义题【典例】（2025·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系中，设点，若点满足，其中为定点，则称点是点关于点的“相关点”.(1)已知点，若点是点关于点的“相关点”，且，求的值.(2)已知圆，点，点是圆上的动点，点是点关于点的“相关点”，若点的轨迹与圆有公共点，求正数的取值范围.与圆有关的新定义题求解策略对于与圆有关的新定义问题，求解的关键是读懂新定义，然后根据此新定义去解决问题,在求解的过程中，同时结合圆的方程与性质、直线与圆或圆与圆位置关系的相关知识求解.【变式】（24-25高三上·山东泰安·阶段练习）现定义：若圆上一动点，圆外一定点，满足的最大值为其最小值的两倍，则称为圆的“上进点”.若点同时是圆和圆的“上进点”，则称为圆“”的“牵连点”.已知圆.(1)若点为圆的“上进点”，求点的轨迹方程并说明轨迹的形状；(2)已知圆，且均为圆“”的“牵连点”.（i）求直线的方程；（ii）若圆是以线段为直径的圆，直线与交于两点，探究当不断变化时，在轴上是否存在一点，使得轴平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.单选题1．（2024-2025河南高二上学期12月阶段性联合考试数学试题）已知直线与直线平行，则（

）A．4 B． C．或5 D．2．（24-25高二上·贵州贵阳·期中）设，直线，则（

）是“”的充要条件.A． B．C．或 D．以上均不对3．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）两条平行线：与：间的距离为（

）A． B． C． D．14．（2024·黑龙江佳木斯·模拟预测）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．5.（24-25高二下·云南昆明·阶段练习）与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线共有（

）A．2条 B．3条 C．4条 D．6条6.（24-25高二下·上海宝山·期末）已知直线和曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．7.（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知动点在曲线上，原点在直线上的射影为点的轨迹称为“圆方曲线”，则（

）A．曲线所围成区域的面积为4 B．直线与圆相切C．“圆方曲线”与曲线无交点 D．“圆方曲线”的周长为8．（25-26高三上·云南·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，过l上一点P作圆的两条切线，切点分别为M、N，