专题03 抛物线的六大常考题型（高效培优专项训练）数学北师大版2019选择性必修第一册（原卷版）

9/9专题03抛物线的六大常考题型题型一：抛物线的定义及应用题型二：求抛物线的方程题型四：抛物线的简单几何性质题型三：抛物线的焦点弦问题题型五：抛物线的实际应用题型六：与抛物线有关的创新题（数学文化题、新定义题等）题型一：抛物线的定义及应用1．抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（

）A．1 B．2 C．4 D．82．抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．83．已知点，动点在直线上，过点且垂直于轴的直线与线段MF的垂直平分线交于点，记点的轨迹为曲线．则曲线的方程为（

）A． B． C． D．4．已知点，抛物线：的焦点为F，P是C上的动点，则的最小值为（

）A． B．2 C． D．35．已知实数，，则的最小值为（

）A． B． C． D．6．（多选）已知点到点的距离与点到y轴的距离的差为定值，记动点的轨迹为曲线C，则（

）A．当时，由抛物线和x轴的负半轴构成B．当时，关于原点中心对称C．当时，为轴对称图形D．当时，是由两部分抛物线构成的封闭图形7．已知是抛物线的焦点，是抛物线上的一个动点，，则周长的最小值为．8．已知抛物线，点在上且位于第一象限，点与点关于轴对称，点，，直线与交于另外一点，若的最小值为2，则，的最小值为.题型二：抛物线的标准方程9．抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线准线方程为（

）．A． B． C． D．10．（多选）已知抛物线的焦点在直线上，则抛物线的标准方程为（）A． B． C． D．11．已知抛物线的顶点为原点，对称轴是轴，与直线相交所得线段的长为12，则的标准方程为（

）A． B． C． D．12．已知抛物线的焦点为（不同于原点）是直线与的一个公共点.若，则的准线方程为（

）A． B．C． D．13．已知抛物线过点，其焦点为F，则直线的方程为．14．过点的抛物线的标准方程是．15．根据下列条件，求抛物线的标准方程：(1)准线方程为；(2)对称轴是轴，顶点到焦点的距离等于2；(3)对称轴是轴，经过点．16．已知抛物线的焦点为16．已知双曲线的右焦点为与抛物线的焦点重合，且的顶点与坐标原点重合．过点且与轴垂直的直线交于两点，交于两点，且．(1)求的离心率；(2)若点是与的公共点，且，求与的标准方程．题型三：抛物线的简单几何性质17．下列抛物线中，开口最小的是

A． B． C． D．18．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（

）A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为19．已知，则方程表示的曲线可能是（

）A． B．C． D．20．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（

）A． B． C． D．321．在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（

）A． B． C． D．22．已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是（

）A．任意，都存在点，使得B．任意，都存在点，满足这对点关于点对称C．存在，当点运动时，使得D．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称题型四：抛物线的焦点弦问题23．已知为抛物线的焦点，点在上，且，则点到轴的距离为（

）A．3 B． C．4 D．524．过抛物线C：的焦点F的直线l交C于P，Q两点，则当取最小值时，直线l的斜率为（

）A． B． C． D．25．已知抛物线过点，圆如图，过圆心的直线l与抛物线和圆分别交于P，Q，M，N，则的最小值为（

）A．4 B．5 C．6 D．926．（多选）设抛物线的焦点为F，O为坐标原点，过点F的直线交C于A，B两点，过点A，B分别作准线的垂线，对应垂足分别为点M，N，连接MF，NF，则（

）A．若A，B两点的纵坐标分别为，，则B．若，则直线AF的斜率C．若，则的面积为D．记，，的面积分别为，，，则27．（多选）设抛物线C：的焦点为F，准线为l，过点F的直线交C于A、B两点，过点A、B分别作准线l的垂线，垂足分别为D、E，则下列选项中正确的是（）A．以DE为直径的圆经过点FB．C．的长度可以为6D．28．(多选)已知抛物线C：的焦点为F，若抛物线C在，两点处的切线交于点，与x轴分别交于点M，N．则下列结论一定正确的是（

）A． B．C．若，则直线过点F D．若，则直线过点F29．已知抛物线Γ：的焦点为F，过点F的直线l与Γ交于A，B两点．若且，则Γ的准线方程为．30．已知抛物线，过其焦点作直线抛物线交于两点，下列说法正确的是．①以为直径的圆与直线没有公共点；②以为直径的圆与轴只有一个公共点；③的最小值为4；④的最小值为2．31．如图所示，已知抛物线的焦点为，准线与轴相交于点，过点任作一直线与抛物线交于两点，设．求证：(1)平分；(2)．32．已知抛物线的焦点为，过的一条直线与交于，两点，且与的准线交于点．(1)若的纵坐标为2，求；(2)已知为坐标原点，过且平行于的直线与直线，分别交于，两点，证明：为线段的中点．题型五：抛物线的实际应用33．2024年3月20号，我国成功发射鹊桥二号中继卫星，其通过一个大型可展开的星载天线，实现了月球背面与地球之间的信号传输.星载天线展开后形成一把直径（口径）为的“金色大伞”，它的曲面与轴截面的交线为抛物线，在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入接收天线，经反射聚集到焦点处.若“金色大伞”的深度为，则“金色大伞”的边缘点到焦点的距离为（

）A． B． C． D．34．某社会实践小组在调研时发现一座石造单孔桥（如图），该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为25m，拱顶距水面，该处路面厚度约.若小组计划用绳子从桥面石栏放下摄像机取景，使其落在抛物线的焦点处，则绳子最合适的长度是（）A． B． C． D．35．如图，雷达接收器的工作原理是将接收信号汇集到同一焦点，从而获取信息；已知雷达接收器的截面曲线可看作抛物线，则水平光信号入射到抛物线上点A，经抛物线反射到点B，反射光线与x轴的交点为F，则的最小值为．

36．如图所示，一隧道内设双行线公路，其截面由长方形的三条边和抛物线的一段构成，为保证安全，要求行驶车辆顶部（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以抛物线的顶点为原点O，其对称轴所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系（如图），求该抛物线的方程；(2)经过点C和焦点的直线l与抛物线交于另一点Q，求的值；(3)若行车道总宽度AB为7米，请计算通过隧道的车辆限制高度为多少米（精确到0.1米）？题型六：与抛物线有关的创新题（数学文化题、新定义题等）37．已知过圆锥曲线的焦点且与焦点所在的对称轴垂直的弦被称为该圆锥曲线的通径，清代数学家明安图在《割圆密率捷法》中，也称圆的直径为通径.已知圆的一条直径与拋物线的通径恰好构成一个正方形的一组邻边，则（

）A． B．1 C．2 D．438．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出.则直线与之间的最小距离为（

）A．4 B．2 C．8 D．1639．（多选）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面）反射后，集中于抛物线的焦点．若抛物线的焦点为，为坐标原点，一条平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射，再经过上另一点反射后，沿直线射出，则（

）A．若点，则 B．可以为C． D．设直线与的准线的交点为，则点在直线上40．清代青花瓷盖碗是中国传统茶文化的器物载体，具有“温润”“淡远”“清新”的特征．如图，已知碗体和碗盖的内部轴截面均近似为抛物线形状，碗盖深为3cm，碗盖口直径为8cm，碗体口直径为10cm，碗体深6.25cm，则盖上碗盖后，碗盖内部最高点到碗底的垂直距离为（碗体和碗盖的厚度忽略不计）．41-．倍立方问题是古希腊三大几何问题之一.倍立方问题是指给定一个棱长为的正方体，作另一个正方体，使得这个正方体体积是原来正方体体积的两倍（即给出长度为的线段）.古希腊数学家梅内克缪斯采用了抛物线的工具研究倍立方问题：在平面直角坐标系