专题3.1 抛物线及其标准方程高效培优专项训练数学北师大版2019选择性必修第一册（原卷版）

14/14专题3.1抛物线及其标准方程教学目标1.经历从具体情景中抽象出抛物线的过程2.掌握抛物线的定义3.掌握抛物线的标准方程和推导过程，会求简单的抛物线的标准方程教学重难点1.重点(1)求抛物线的标准方程；(2)抛物线的标准方程的应用．2.难点(1)推导抛物线的标准方程；(2)与抛物线有关的最值问题．知识点01抛物线的定义（重点）抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．2、抛物线集合表示：P=M【知识剖析】（1）定点F不在定直线l上，否则动点M的轨迹不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线．（2）抛物线的定义中指明了抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离的等价性，故二者可相互转化，这也是利用抛物线定义解题的实质．【即学即练】1．（25高二上·贵州黔西·月考）已知抛物线，则抛物线C的焦点到准线的距离是（

）A．4 B． C．3 D．知识点02抛物线的标准方程（难点）抛物线四种标准方程标准方程图形焦点坐标准线方程离心率通径长【知识剖析】（1）标准方程的特征：等号的一边是某个变量的平方，等号的另一边是另一个变量的一次单项式．（2）抛物线标准方程中参数p的几何意义：抛物线的焦点到准线的距离（焦准距），所以p的值恒大于0．（3）若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向右),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向左);（4）若一次项的字母是,则焦点就在轴上,若其系数是正的,则焦点就在轴的正半轴上(开口向上),若系数是负的,焦点就在轴的负半轴上(开口向下).（5）方程右边一次项的变量与焦点所在坐标轴的名称相同，一次项系数的符号决定抛物线的开口方向．p的值决定开口大小，p越大，则抛物线开口越大；p越小，则抛物线开口越小．（6）抛物线虽然是不封闭图形，但与双曲线不同，它没有渐近线．【即学即练】1．（24-25高二下·北京东城·期中）已知抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为（

）A． B． C． D．知识点03抛物线的焦半径公式1．焦半径的定义设抛物线上一点，焦点为，准线为，则线段叫做抛物线的焦半径，过点作准线的垂线段，由抛物线的定义可知，．2．用坐标表示焦半径公式（1）抛物线，（2）抛物线，．（3）抛物线，（4）抛物线，．注：①．②利用焦半径公式，我们可以把抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，解题时方便快捷．【即学即练】1．（24-25高二上·陕西咸阳·期末）若抛物线上一点到焦点的距离与到轴的距离之差为1，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4题型01抛物线的定义及应用【典例1】（24-25高二下·广东·开学考试）抛物线的焦点为F，是抛物线C上一点，且，则焦点F到坐标原点O的距离是（

）A．1 B．2 C．4 D．8抛物线的定义及应用策略利用抛物线的定义往往能实现抛物线上的点到焦点的距离与它到准线间的距离的灵活转化，因而抛物线的定义常用于求焦半径的长、点到准线或坐标轴的距离以及求与焦点相关的距离的最值问题等..【变式1-1】（23-24高二下·江苏南京·月考）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点A在抛物线C上，点B在准线l上，若是边长为2的等边三角形，则的值是（

）.A．1 B． C．2 D．【变式1-2】（24-25高二上·天津东丽·月考）已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，且，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【变式1-3】（24-25高二上·山西晋城·期中）已知点是抛物线：（）上一点，若点到抛物线焦点的距离为10，且点到轴的距离为6，则．题型02抛物线的焦点与准线【典例2】（23-24高二上·全国·课后作业）求下列抛物线的焦点坐标和准线方程，并画出草图.(1)；(2)；(3)；(4).求抛物线的焦点坐标与准线方程1．将方程化为“标准形式”，确定p的值；2．根据开口方向，推导焦点坐标与准线方程【变式2-1】设，则抛物线的焦点坐标为．【变式2-2】下列结论正确的是（

）A．椭圆的焦点坐标是B．双曲线的顶点坐标是C．抛物线的准线方程是D．双曲线的离心率【变式2-3】已知曲线，则C为（

）A．一条抛物线和两条互相平行的直线B．一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为C．一条抛物线，且该抛物线的焦点坐标为D．两条抛物线，且这两条抛物线的焦点之间的距离为4题型03求抛物线的标准方程【典例3-1】（24-25高二上·山西太原·期末）已知抛物线以圆的圆心为焦点，则其标准方程为（

）A． B． C． D．【典例3-2】（24-25高二下·上海崇明·期末）方程可以化简为（）A． B． C． D．求抛物线的标准方程的常见方法1.待定系数法：（1）定位置：根据条件确定抛物线的焦点在哪条坐标轴上及开口方向；（2）设方程：根据焦点和开口方向设出标准方程；（3）寻关系：根据已知条件列出关于参数p的方程；（4）得方程：解方程，将p代入所设方程即得所求．2.定义法：先分析题设条件，判断出动点的轨迹，然后根据抛物线的定义确定方程，即“先定型，再定量”。利用该方法求标准方程时，要注意是否需先建立平面直角坐标系再解题．【变式3-1】（24-25高二上·湖南·期末）若抛物线上一点到其焦点的距离为9，则该抛物线的方程为（

）A． B． C． D．【变式3-2】求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点F关于准线的对称点为；(2)关于y轴对称，与直线相交所得线段的长为12．【变式3-3】（24-25高二上·全国·课后作业）顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离为3的抛物线的标准方程为（

）A． B．C． D．题型04与抛物线有关的轨迹问题【典例4】（24-25高二上·浙江宁波·期中）若点到直线和它到点的距离相等，则点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．利用抛物线的定义求动点的轨迹方程的策略(1)明确核心：确定抛物线的焦点（定点F）与准线（定直线l，F不在l上）；(2)建系设点：建立直角坐标系，设轨迹上动点P(x,y)，写出F的坐标和l的方程；(3)列等量关系：用距离公式表示|PF|和P到l的距离，令二者相等；(4)化简检验：整理等式得方程，排除不合定义的情况，即为轨迹方程.【变式4-1】（24-25高二上·福建福州·月考）已知动点到点的距离比它到直线的距离大1，则动点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知两点的坐标分别是，直线相交于点，且直线的斜率与直线的斜率的差是，则点的轨迹方程为（

）A．B．C．D．【变式4-3】（24-25高二下·湖南长沙·月考）设，点在轴上，点在轴上，且，当点在轴上运动时，点的轨迹方程为（

）A． B． C． D．题型05抛物线中线段和差的最值问题【典例5】（24-25高二上·辽宁·期末）已知抛物线的焦点为，P为抛物线上一点，若，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4抛物线中线段和与差的最值问题破解策略由抛物线的定义可知，抛物线上的点M到焦点F的距离与M到准线l的距离相等，故与抛物线相关的距离的最值问题常通过距离的转化来解决.【变式5-1】（24-25高二下·安徽·月考）已知点P是抛物线上任意一点，若点P到抛物线C的准线的距离为，到直线的距离为，则的最小值是（

）A． B． C． D．【变式5-2】（24-25高二上·云南大理·开学考试）已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为圆上任意一点，则的最小值为（

）A．6 B．10 C．4 D．8【变式5-3】（24-25高二下·黑龙江大庆·开学考试）设为抛物线上的动点，关于的对称点为，记到直线，的距离分别，，则的最小值为.题型06抛物线在实际问题中的应用【典例6】（24-25高二上·陕西渭南·期中）图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，则焦点的坐标为（

）

A． B． C． D．求解抛物线应用题的五个步骤1．建系：建立适当的坐标系；2．假设：设出合适的抛物线标准方程；3．计算：通过计算求出抛物线的标准方程；4．求解：求出需要求出的量；5．还原：还原到实际问题中，从而解决实际问题．【变式6-1】（24-25高二上·青海海南·期末）图中展示的是一座抛物线形拱桥，当水面在时，拱顶离水面2m，水面宽6m，水面上涨1m后，水面宽度为（

）A． B． C． D．8m【变式6-2】（23-24高二上·四川德阳·月考）如图是某景区内的一座抛物线拱形大桥，该桥抛物线拱形部分的桥面跨度为10米，拱形最高点与水面的距离为6米，为增加景区的夜晚景色，景区计划在拱形桥的焦点处悬挂一闪光灯，则竖直悬挂的闪光灯到水面的距离为（

）（结果精确到0.01）A．4.96 B．5.06 C．4.26 D．3.68【变式6-3】如图是一座抛物线型拱桥，当桥洞内水面宽时，拱顶距离水面，当水面上升后，桥洞内水面宽为；

练基础1．已知抛物线上一点到其焦点的距离为4，则（

）A．3 B． C．6 D．2．抛物线的焦点为，点P是抛物线上任意一点，则的最小值为（

）A．1 B．2 C．4 D．83．方程可以化简为（）A． B． C． D．4．在平面直角坐标系xOy中，为抛物线的焦点，点在上，若轴，则（

）A． B． C． D．5．设，，常数，定义运算“”：，若，则动点的轨迹是（

）A．圆 B．椭圆的一部分C．双曲线的一部分 D．抛物线的一部分6．（多选）当实数变化时，关于的方程表示的曲线的形状可能是（

）A．一条直线 B．圆 C．双曲线 D．抛物线7．（多选）抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.已知抛物线的焦点为，一束平行于轴的光线从点射入，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上另一点反射后，沿直线射出，则下列结论中正确的是（

）A． B．若直线倾斜角为，则C． D．与之间的距离为38．设，若抛物线的焦点为坐标原点，则.9．已知抛物线的焦点为，，是上两点，若，则.10．求适合下列条件的抛物线的标准方程：(1)顶点在原点，准线方程为；(2)顶点在原点，且过点；(3)顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在直线上.11．如图是一座抛物线型拱桥横截面的示意图，当水面在l时，拱顶O离水面2m，水面宽那么当水面下降1m后.(1)水面的宽为多少?(2)求此时横截面中水面中心A到抛物线上的点距离的最小值.练提升12．已知过抛物线C：的焦点F的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，点为C上一点，记的面积分别为，若，则的最小值为（

）A．16 B．20 C．25 D．2813．造型可以做成美丽的丝带，将其看作图中曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于，到点的距离与到定直线的距离之积为4，则C在第一象限的点的纵坐标的最大值与1的关系为（

）A． B． C． D．14．（多选）已知抛物线，其焦点为；双曲线的离心率为，其左、右焦点分别为，已知在第一象限存在公共点，则下列说法正确的是（

）A．曲线的焦点坐标为B．曲线C2的渐近线为C．存在，使得点的横坐标为10D．若以为直径的圆与轴相切于点，则15．古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥，将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线．如图所示的圆锥中，AB为底面圆的直径，为PB的中点，某同学用平行于母线PA且过点的平面去截圆锥，所得截口曲线为抛物线．若该圆锥的高，底面半径，则该抛物线的焦点到准线的距离为．16．如图，在平面直角坐标系中，已知，动点在圆上，动点Q在抛物线上，点Q在轴上的投影为，则的最小值为，的最小值为．

17．已知定点，定直线，动点在直线上，过点且与垂直的直线上有一动点，满足，请讨论点的轨迹类型．18．已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合．(1)求抛物线的方程；(2)如图，若过点的直线与抛物线交于不同的两点A，B，O为坐标原点，证明：．19．如图，已知抛物线是曲线上两点，且．(1)求中点的轨迹方程；(2)求证：直线过定点．20．已知抛物线：的焦点为，点在上，且．(1)求的方程；(2)过点作两条互相垂直的直线，若点分别为弦的中点，当取最小值时，求四边形的面积．练创新21．古希腊数学家阿波