专题04 椭圆12大考点38题（高效培优期中专项训练）（解析版）高二数学上学期北师大版

1/25专题04椭圆考点01利用椭圆的定义求轨迹方程（共3小题）（重点） 1考点02根据方程表示椭圆求参数（共3小题） 2考点03求椭圆的标准方程(共4小题)（重点） 3考点04椭圆中和、差距离的最值（共3小题) 5考点05椭圆的焦点三角形问题（共4小题）（重点） 7考点06椭圆的离心率问题（共4小题）（重点） 10考点07椭圆有界性的应用(共3小题) 12考点08椭圆对称性的应用（共2小题）（常考点） 15考点09椭圆的实际应用（共3小题）（难点） 16考点10椭圆的光学性质（共2小题）（常考点） 18考点11椭圆参数方程的应用 20考点12椭圆方程及性质的综合应用（共4小题）（难点） 22考点01利用椭圆的定义求轨迹方程（共3小题）1.（25-26高三上·山东青岛·开学考试）已知圆的方程为，定点，为圆上任意一点，线段的垂直平分线与直线相交于点，则点的轨迹方程为（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据条件可得点在以，为焦点，的椭圆上，即可求解.【详解】因为圆的圆心为，半径为，由题知，又，则，所以点在以，为焦点，的椭圆上，由，得，所以点的轨迹方程为，故选：B.2.（24-25高二上·湖北孝感·阶段练习）一动圆与圆外切，同时与圆内切，则动圆圆心的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由圆与圆的位置关系及椭圆的定义和标准方程可得结果.【详解】设动圆圆心为，半径为，设已知圆的圆心分别为、，将圆的方程配方得：，圆心，半径为，圆同理化为，圆心，半径为，当动圆与圆相外切时，有①当动圆与圆相内切时，有②将①②两式相加，得动圆圆心到点和的距离和是常数，所以点的轨迹是焦点为点、，长轴长等于的椭圆，故，，，.故选：A.3.（2025·山西临汾·三模）已知动点满足，则动点M的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由椭圆的定义，结合题意，可得焦点坐标，从而可得的值，可得答案.【详解】由题意可得动点到与两点的距离之和为，且，则动点的轨迹为椭圆，易知，，，即方程为.故选：C.考点02根据方程表示椭圆求参数（共3小题）4．“是“方程表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意，方程，可化为标，当时，方程表示焦点在上的椭圆，即充分性成立；若方程表示焦点在上的椭圆，则满足，即必要性成立，所以时方程表示焦点在上的椭圆的充要条件.故选：A.5.（多选）若方程表示椭圆，则的值可以为（

）A．1 B．3 C．6 D．8【答案】BD【分析】根据方程表示椭圆列不等式，由此求得的取值范围，结合选项即可判断.【详解】由于方程表示椭圆，所以，解得或，结合选项，可知的值可以为3和8.故选：BD6.（多选）如果方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根据椭圆方程特征得出关系式，解不等式即可.【详解】焦点在x轴上，则标准方程中，解得或．又，，得，所以或．故选:BC．考点03求椭圆的标准方程(共4小题)7.（25-26高三上·黑龙江·开学考试）已知椭圆的左、右焦点分别为，左右顶点分别为，过的直线交于两点（异于点），的周长为，且直线与的斜率之积为，则椭圆的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据椭圆的定义即可求得，设，由求得，进而求解.【详解】由的周长为，由椭圆的定义得，解得，所以，，设，则，可得，则，解得，所以椭圆C的方程，故选：A.8.已知椭圆两个焦点的坐标分别是，，并且经过点，则它的标准方程为．【答案】【解析】因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为，由椭圆的定义知，所以．又因为，所以，所以椭圆的标准方程为.故答案为：.9.已知两定点，，曲线上的点到、的距离之和是12，则该曲线的标准方程为.【答案】【解析】由条件可知，，所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆，且，，，，所以椭圆的标准方程为.故答案为：10.（2025·高二·山东青岛·期中）过点，且与椭圆有相同的焦点的椭圆标准方程是．【答案】【解析】由题意设椭圆的方程为，，将点代入，，整理可得：，解得或（舍，所以椭圆的方程为：，故答案为：．考点04椭圆中和、差距离的最值（共3小题)11.已知动点在椭圆上，，则的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用椭圆的定义，将问题化为的最小值，数形结合即可得解.【详解】由题意，为一个焦点，另一焦点为，且；因为，所以在椭圆外部，所以，即求的最小值；由于，当三点共线时取等号；所以的最大值为；故选：D.12.已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，则的最大值是．【答案】30【分析】根据定义，再利用求解即可.【详解】由椭圆的定义得，，则，又点在椭圆内部，，所以，即，当点在的延长线上时，等号成立，所以的最大值为30.故答案为：30.13.已知椭圆的左、右焦点分别为，，为上任意一点，为圆上任意一点，则的最小值为.【答案】【分析】根据圆上的点到定点的距离范围可知，即，结合椭圆的定义可转化为，即可得解.【详解】由椭圆可知椭圆的实轴长，，，圆的圆心，半径，由已知圆上任意一点到得距离，所以，又根据椭圆定义，则，当且仅当，都在线段上时，等号成立，考点05椭圆的焦点三角形问题（共4小题）14．（23-24高二上·吉林·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为、，点是椭圆上一点，若为直角三角形，则的面积为（

）A．1 B． C．1或 D．1或【答案】D【分析】根据（或）和进行分类讨论，由此可求的面积.【详解】椭圆中，，所以焦点，当或时，此时面积相同，不妨取，如下图所示：代入于椭圆方程，则，所以，所以；当时，如下图所示：设，由条件可知，解得，所以；综上，的面积为或，故选：D.15.（多选）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P为椭圆C上一动点，则下列说法正确的是（

）A．当点P不在x轴上时，的周长是6B．当点P不在x轴上时，面积的最大值为C．存在点P，使D．的取值范围是【答案】ABD【解析】由椭圆方程可知，，则，由椭圆定义得的周长是，故A正确；设，面积的为，则面积的最大值为，故B正确；可知，当位于椭圆短轴一个端点时，最大，此时，又，则为正三角形，，即不存在点P，使，故C错误；可知，当位于椭圆右顶点时，最大值为，当位于椭圆左顶点时，最小值为，即的取值范围是，故D正确；故选：ABD.16.（多选）已知点是左、右焦点为，的椭圆上的动点，则（

）A．若，则的面积为B．使为直角三角形的点有6个C．的最大值为D．若，则的最大、最小值分别为和【答案】BCD【解析】A选项：由椭圆方程，所以，，所以，所以的面积为，故A错误；B选项：当或时为直角三角形，这样的点有4个，设椭圆的上下顶点分别为，，则，，，同理，知，所以当位于椭圆的上、下顶点时也为直角三角形，其他位置不满足，满足条件的点有6个，故B正确；C选项：由于，所以当最小即时，取得最大值，故C正确；D选项：因为，又，的最大、最小值分别为和，当点位于的延长线上时取最大值，当位置的延长线上时取最小值，故D正确.故选：BCD17.（多选）设椭圆的左、右焦点分别为，，坐标原点为O.若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（

）A． B．的面积为2C． D．的内切圆半径为【答案】ABD【解析】由题意得，，则，．由对称性可设（，），，，，由，解得，又，，所以，，所以．由椭圆的定义得，对于A，在中，设，由余弦定理，得，即，解得，故A正确；对于B，的面积为，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，设的内切圆半径为r，由的面积相等，得，即，解得，故D正确．故选：ABD．考点06椭圆的离心率问题（共4小题）18.已知椭圆的左、右两个焦点为，，若椭圆上存在两点、关于原点对称，且满足，，则椭圆的离心率（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可得四边形是平行四边形，进而可求得，利用向量的数量积为，又由基本不等式可得，可得为等边三角形，进而可求离心率.【详解】连接，，因为点、关于原点对称，所以四边形是平行四边形，所以，又因为，所以，所以，因为，所以，所以，又，所以，当且仅当时取等号，又所以为等边三角形，所以，所以椭圆的离以率为.故选：C.19.（2025·高二·四川南充·期中）已知椭圆（且）的焦点为为上的一点，若的周长为18，则椭圆的离心率为．【答案】/【解析】若的长半轴为3，即，又，所以的周长小于12，不符题意．所以的长半轴为，，解得，所以椭圆，所以的离心率为．20．（24-25高二下·云南曲靖·期中）已知，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，若的周长为14，则的离心率为.【答案】/【分析】由焦点三角形周长得到，即可求解.【详解】因为，分别是椭圆：的左、右焦点，是上一点，所以的周长为14，所以，，解得，故离心率.21．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，若以为圆心，为半径作圆，过椭圆上一点作此圆的切线，切点为，若恒成立，则该椭圆离心率的取值范围为.【答案】【分析】由题意作图，根据圆的切线性质以及勾股定理，可建立方程，根据焦半径的取值范围以及题干中的不等式，通过化简整理，代入离心率，可得答案.【详解】如下图所示：易知，又焦半径的最小值为，且恒成立，则，又，所以，整理可得，即，可得，即，又，解得，又半径，则，解得，所以.考点07椭圆有界性的应用(共3小题)22．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知M，N是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆的右焦点，则的取值范围为（

）A．[51,76] B．[52,76] C．[64,80] D．[68,80]【答案】C【分析】由是左焦点，连接，利用椭圆对称性及定义，将目标式化为，结合及二次函数性质求范围.【详解】若是左焦点，连接，又关于原点对称，

所以为平行四边形或为左右顶点，则，由，则，故，则，开口向上且对称轴为，又，所以.故选：C23.（多选）（24-25高二上·浙江·期中）已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上的任意一点，则下列结论成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】根据椭圆的定义，，将转化为二次函数，即可求解范围，判断A，利用坐标表示，转化为二次函数求解B，利用向量的运算可知，，根据的范围，即可求解，判断C，利用焦半径的最值，即可判断D.【详解】，，，，，设，，则，，A．，范围是，故A正确；B．设，则，故B错误；C．设为原点，则；故C正确；D．和的最大值为，最小值为，所以的最大值为，最小值为，，故D正确.故选：ACD24．（24-25高二上·江苏南京·期中）设为正实数，椭圆：长轴的两个端点是，，若椭圆上存在点满足，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则此时，则，讨论焦点在轴和在轴上两种情况即可求解.【详解】因为为正实数，则若椭圆焦点在轴上，即，即时，则当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点满足，则此时，则，则，解得；若椭圆焦点在轴上，即，即时，则当位于短轴的端点时，取最大值，要使椭圆上存在点M满足，则此时，则，则，解得，综上，m的取值范围是故选：B.考点08椭圆对称性的应用（共2小题）25．（25-26高三上·上海·开学考试）已知椭圆的右焦点为，直线经过椭圆右焦点，交椭圆于、两点（点在第二象限），若点关于轴对称点为，且满足，求直线的方程是．【答案】【分析】先求出椭圆的右焦点坐标，再根据对称性求出直线的倾斜角，从而得到其斜率，再由点斜式即可求得直线的方程．【详解】由点关于轴对称点为，则直线与轴的夹角相等，又，则直线的倾斜角为，则直线的倾斜角为，即直线的斜率为，又椭圆的右焦点为，所以直线的方程是，即，故答案为：．26．（2025高三·全国·专题练习）如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个等分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的左焦点，则.【答案】35【分析】根据椭圆的对称性，结合椭圆定义即可求解.【详解】设椭圆的右焦点为，连接，根据椭圆的对称性，可知，，，又根据椭圆的定义，得，，，，所以，又由椭圆，可知，所以.考点09椭圆的实际应用（共3小题）27.某彗星的运行轨道是以太阳为一个焦点的椭圆，测得轨道的近日点（距离太阳最近的点）与太阳中心的距离为，远日点（距离太阳最远的点）与太阳中心的距离为，并且近日点、远日点及太阳中心在同一条直线上，则（

）A．轨道的焦距为 B．轨道的离心率为C．轨道的短轴长为 D．当越大时，轨道越圆【答案】BCD【详解】设椭圆的长轴长为，短轴长为，焦距为，根据题意得到；故，对于A：焦距，故选项A错误；对于B：因为离心率，故选项B正确；对于C：短轴长，故选项C正确；对于D：离心率，当越大时，椭圆的离心率越小，即椭圆越圆，故D正确；故选：BCD28.（25-26高二上·全国·单元测试）2024年10月22日，我国在太原卫星发射中心使用长征六号运载火箭，成功将天平三号、、卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功．如图，假设天平三号卫星运动的轨道是以地球的球心为一个焦点的椭圆，已知地球的直径约为1.3万千米，卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，运动至远地点距离地球表面高度约3.35万千米，则天平三号卫星运行的轨迹方程可以为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根据题意可得，，进而可求，即可得椭圆方程.【详解】由题意知，卫星的运动轨迹为椭圆，地球的球心为该椭圆的一个焦点.设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题可知，，即．因为天平三号卫星运动至近地点距离地球表面高度约1.35万千米，地球半径约为0.65万千米，所以，可得，因此，结合选项可知A满足．故选：A.29．（24-25高二上·重庆·期末）椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点，顾名思义，就是光线的聚集点，圆锥曲线具有丰富的光学性质.体外冲击波碎石术是椭圆光学性质在医疗方面的典型应用：治疗时，将患者体内的结石置于椭圆反射面的一个焦点处，在另一个焦点释放高能冲击波.依据椭圆光学性质，冲击波经反射后聚焦于结石，利用高强度能量将结石击碎，达到治疗目的，且对周围组织损伤小.现有一个离心率为的椭圆反射面，过椭圆上任意一点作椭圆的切线，若焦点在切线上的射影在一个半径为的定圆上，则该椭圆的焦距为.【答案】【分析】作出图形，延长、交于点，连接，由光线反射可得出，且为的中点，结合中位线的性质和椭圆的定义可求出的值，进而可得出的值，由此可得出该椭圆的焦距.【详解】如下图所示：不妨设椭圆的焦点在轴上，、分别为椭圆的左、右焦点，连接，延长、交于点，由题意可知，点与点关于直线对称，则，且为的中点，又因为为的中点，则，所以，点在以圆心为原点，半径为的圆上，故，由题意可得，解得，故该椭圆的焦距为.考点10椭圆的光学性质（共2小题）30．（25-26高二上·全国·单元测试）椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点，如图所示．设椭圆的两个焦点分别为．若光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为12c，点是椭圆上除顶点外的任意一点，在点处的切线为在上的射影在圆上，则的周长为（

）

A．3 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】先根据题意求出的关系，然后根据几何关系列出等式，求出，进而求出的周长.【详解】由光线由发出经椭圆两次反射后回到经过的路程为，得，即．延长交于点，如图，由光的反射定律知垂直平分线段（关键点），连接OH，则OH是的中位线，于是，而点在圆上，则的周长等于．

故选：D.31．（2025·广西·模拟预测）如图，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.已知椭圆，其左、右焦点分别是，，P为椭圆上任意一点，直线与椭圆相切于点，过点与垂直的直线与椭圆的长轴交于点M，，点，给出下列四个结论，正确的是（

）A．面积的最大值为B．的最大值为7C．若，则D．若，垂足为，则【答案】ABC【分析】对于A：根据椭圆性质分析判断；对于B：由椭圆定义结合几何性质分析判断；对于C：应用角平分线的性质及余弦定理即可求解；对于D，延长交于点，应用对称性及圆的定义即可求解.【详解】由椭圆方程可知：.对于A：当点为短轴顶点时，面积的最大，最大值为，故A正确；对于B：因为，则，可得，当且仅当为线段与椭圆的交点时，取到最大，所以的最大值为7，故B正确；对于C：由椭圆的光学性质，得点P与l垂直的直线为角的角平分线，则，设，则，可得，则，即,整理可得，解得或，当时，，M与O重合，不合题意，所以，即，故C正确；对于D：如图，延长交于点，则在中，，则且为中点，连，在中，，则点在以原点为圆心，2为半径的圆上，即，故D错误.故选：ABC.考点11椭圆参数方程的应用32.（2024高三·全国·专题练习）若椭圆x2b2+y2a2=1的焦点在y轴上，过点1,12【答案】3【分析】由题意，AB是圆x2+y2=1与以OM为直径的圆的公共弦所在直线，可求出直线AB方程，利用椭圆参数方程表示椭圆上点到直线AB的距离d，当d=0【解析】设M1,12，圆x则AB是圆x2+y以OM为直径的圆的方程为x−1即x2得直线AB方程为：x+1设椭圆上的点为Qbcosα,ad=b由于直线和椭圆相切，因此得当cosα−φ=1时，且最小值为0，所以14椭圆内接矩形面积为S=4absin所以面积的最大值为Smax由均值不等式14a2所以离心率e=c故答案为：333.（22-23高二·全国·课堂例题）已知椭圆的标准方程为x2100+y264=1A．6,10 B．6,8 C．8,10 D．16,20【答案】C【分析】方法一：设点Px0,y0，则OP=x方法二：设x0=10cosθ，【解析】方法一：设点Px0,由椭圆的范围，知x0≤a=10，∵点P在椭圆上，∴x02100+y0∵0≤x02≤100，∴方法二：设x0=10cosθ，则OP=因为cos2θ∈0,134.（24-25高二下·上海徐汇·期中）椭圆中，动弦长为．(1)请写出椭圆的参数方程；(2)求面积的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）整理椭圆方程，结合同角三角函数的平方式，可得答案；（2）利用参数方程设出动点坐标，根据两点距离公式以及三角函数的恒等式，写出直线方程，根据点到直线距离，结合三角函数面积公式，可得答案.【详解】（1）由，则，令，则.（2）设，，，则，所以，所以，从而，由，可得，则又直线的方程为，所以点到的距离，所以.考点12椭圆方程及性质的综合应用（共4小题）35.（23-24高二上·江西·期末）已知点为椭圆的焦点，过F的直线l交C于A，B两点．(1)求C的方程；(2)若D为的中点．①求D的轨迹方程；②求的最大值．【分析】（1）根据椭圆的基本量关系求解即可；（2）①设Ax1,