专题4.1 直线与圆锥曲线的交点（高效培优讲义）数学北师大版2019选择性必修第一册原卷版

16/16专题4.1直线与圆锥曲线的交点教学目标1.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法.2.会利用直线与圆锥曲线的位置关系求参数的取值范围.教学重难点1.重点:直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法.2.难点：（1）由直线与圆锥曲线的位置关系求参；（2）圆锥曲线的切线问题及弦长问题.知识点01直线与椭圆的位置关系（重点）1.直线与椭圆的三种位置关系当直线与椭圆有两个交点时，称直线与椭圆；当直线与椭圆只有一个公共点时，称直线与椭圆;当直线与椭圆没有公共点时，称直线与椭圆.2.直线与椭圆位置关系的判定将直线方程与椭圆方程联立，消去y（或消去x）得到关于x（或y）的一元二次方程，计算判别式.当Δ>0时，方程组有的实数解，直线与椭圆相交;当Δ=0时，方程组有实数解，直线与椭圆相切；当Δ<0时，方程组实数解，直线与椭圆相离.【知识剖析】1．将直线方程与椭圆的标准方程联立消元后必然会得到一个一元二次方程，即二次项系数必不为零.2.直线与椭圆的位置关系类似于直线与圆的位置关系.【即学即练】1．（24-25高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定2．直线与椭圆的公共点的个数是（

）A．0 B．1C．2 D．无数个知识点02直线与双曲线的位置关系（重点）将直线方程与双曲线的标准方程联立，消去y（或x）得到关于x(或y)的一元方程.(1)当二次项系数等于0时，一元方程为一次方程，且有唯一实数解，从而方程组有唯一实数解，此时直线与双曲线有唯一交点，直线与双曲线此时直线平行于双曲线的.(2)当二次项的系数不等于0时，一元方程为一元二次方程，计算判别式.①当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解,直线和双曲线，有两个交点；当Δ＝0时，方程组有唯一实数解，直线和双曲线，有一个公共点；当Δ<0时，方程组无实数解,直线和双曲线，无公共点．【易错警示】讨论直线与双曲线位置关系时的两个注意1.直线与双曲线方程联立，消元得到一次方程时，要注意对二次项系数是否为0分类讨论.2.要注意直线与双曲线相交包括交于两点和交于一点两种情况，其中交于一点时，直线平行于渐近线.【即学即练】1.已知双曲线方程为x2－eq\f(y2,4)＝1，过P(1,0)的直线L与双曲线只有一个公共点，则共有L()A．4条B．3条C．2条 D．1条2．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期中）直线与双曲线交点的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．4知识点03直线与抛物线的位置关系（重点）将直线方程与抛物线的标准方程联立，消去y（或x）得到关于x(或y)的一元方程.(1)当二次项系数等于0时，一元方程为一次方程，且有唯一实数解，从而方程组有唯一实数解，此时直线与抛物线有唯一交点，直线与抛物线，此时直线与抛物线的对称轴.(2)当二次项的系数不等于0时，一元方程为一元二次方程，计算判别式.①当Δ>0时，方程组有两个不相等的实数解,直线和双曲线，有两个交点；当Δ＝0时，方程组有唯一的实数解，直线和双曲线，有一个公共点；当Δ<0时，方程组没有实数解,直线和双曲线,无公共点．【易错警示】直线与抛物线只有一个公共点，既要考虑直线与抛物线相切的情况，又要考虑直线与抛物线的对称轴平行的情况．【即学即练】1．直线与抛物线的位置关系为（）A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定2.求过定点P（0，1）且与抛物线只有一个公共点的直线方程.知识点04圆锥曲线的弦长问题（重点）圆锥曲线的弦长当直线与圆锥曲线相交时，连接所得的线段叫做圆锥曲线的弦，其长度叫做圆锥曲线的弦长.2．圆锥曲线的弦长公式设直线与圆锥曲线的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|＝，k为直线斜率且k≠0.【即学即练】1．已知双曲线=1(a>0，b>0)，则过它的焦点且垂直于x轴的弦长为.2．（24-25高三上·江苏宿迁·期中）倾斜角为的直线过双曲线的焦点，且与双曲线C交于A，B两点，则.知识点05圆锥曲线的切线、切点弦问题（拓展）1.圆锥曲线的切线方程(1)过椭圆的切线方程为：；(2)过双曲线的切线方程为：；(3)过.2.圆锥曲线的切点弦方程(1)已知为圆外的一点，则两切点弦所在的直线方程是：.(2)椭圆的切点弦方程为；(3)双曲线的切点弦方程为；(4)的切点弦方程为.【巧妙记忆】上述公式的记忆方法均可用“抄一代一”，即把平方项其中一个照抄，另一个将变量用已知点的相应坐标代入(从曲线上一点作曲线的切线，切线方程可将原方程作如下方法替换求出，，，，.【即学即练】1．（24-25高三上·湖南永州·阶段练习）过点可以作双曲线的两条切线，则点坐标可以是（

）A． B． C． D．2．（24-25高二上·辽宁·期末）已知点和抛物线，则过点A且与抛物线相切的直线的方程为.题型01求直线与圆锥曲线的交点【典例1】（24-25高三上·天津滨海新·期中）已知椭圆的右顶点为，上顶点为，为坐标原点，椭圆内一点满足，.(1)求椭圆的离心率；(2)椭圆上一点在第一象限，且满，直线与椭圆另一个交点为.（i）求点的坐标；（用表示）（ii）直线交的延长线于点，若的面积为，求椭圆的标准方程.求直线与圆锥曲线交点的方法求直线与圆锥曲线交点的坐标，就是求两条曲线的方程组成的方程组的解.若题中未明确求曲线的交点坐标，而是要确定一个点的坐标时，应挖掘题目条件，找到该点所在的两条可以列出方程的曲线来求解.【变式1-1】（23-24高二上·新疆伊犁·期中）直线：与椭圆：的一个交点坐标为（

）A． B． C． D．【变式1-2】已知探照灯的轴截面是抛物线y2=x,如图,平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1,-1)处,反射光线过抛物线焦点F后又照射到抛物线上的点Q处,则点Q的坐标为.题型02判断直线与圆锥曲线的位置关系【典例2-1】若是双曲线的渐近线上任意一点，下列正确的是（

）．A．存在过点的直线与该双曲线相切B．不存在过点的直线与该双曲线相切C．至多存在一条过点的直线与该双曲线相切D．至多存在一条过点的直线与该双曲线只有一个交点【典例2-2】（24-25高二上·四川南充·期末）已知两定点，若某直线上存在点，使，则该直线称为“型直线”，给出下列直线，其中是“型直线”的是（

）①；②；③；④A．①③ B．①② C．③④ D．①④直线与圆锥曲线位置关系的判断方法第一步消元：把直线与圆锥曲线的方程联立消元；第二步分类讨论：=1\*GB3①当二次项系数不为零时，若，则直线与曲线相交；若，则直线与曲线相切；若，则直线与曲线相离；=2\*GB3②当二次项系数为零时，直线与曲线只有一个交点（当直线平行于双曲线的渐近线时，直线与双曲线只有一个公共点；当直线平行或重合于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点）．【变式2-1】（23-24高二上·重庆·期末）已知直线的方程为，椭圆的方程为，则直线与椭圆的位置关系为（

）A．相离 B．相交 C．相切 D．不能确定【变式4-2】（多选）已知为坐标原点，点在抛物线上，过点的直线交于两点，则（

）A．的准线方程为 B．直线与相切C． D．题型03由直线与圆锥曲线的位置关系求参数【典例3-1】已知直线y＝ax＋1与双曲线C：3x2－y2＝1，当a为何值时(1)直线与双曲线C有唯一的公共点?(2)直线l与双曲线交于两点，且两交点在双曲线的同一支上？(3)直线l与双曲线交于两点，且两交点分别在双曲线的两支上？【典例3-2】已知抛物线的方程为y2＝4x，直线l过定点P(－2,1)，斜率为k，k为何值时，直线l与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点、有两个公共点、没有公共点？由直线与圆锥曲线的位置关系求参数的策略根据直线与圆锥曲线公共点的个数，能够得到直线与圆锥曲线的位置关系,由此联立方程，即得方程组解的情况，进而解决相关问题，求解时尤其要注意直线与双曲线的渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行或重合的特殊情况.【变式3-1】（2025·广东·模拟预测）椭圆E：与曲线H：在第一象限内交于P，Q两点，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【变式3-2】（多选）（24-25高二上·四川凉山·期末）双曲线的左、右两个焦点分别为，则下列说法正确的是（

）A．过点的直线与双曲线右支交于两点，则B．若直线与双曲线恒有公共点，则的取值范围为C．若双曲线的离心率为，则D．若直线与圆相切于点，且与双曲线的渐近线分别交于、两点，与双曲线分别交于、两点，则题型04圆锥曲线的弦长问题【典例4-1】（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与的右支交于，两点，且在第四象限，，则.【典例4-2】（24-25高二上·安徽六安·期中）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为，.(1)求椭圆的方程；(2)设斜率为且过的直线与椭圆交于，两点，求弦长.求圆锥曲线中弦长的方法1.交点法：将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，然后运用两点间的距离公式来求．2.根与系数的关系法：如果直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则弦长公式为：|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1＋\f(1,k2))·eq\r(y1＋y22－4y1y2).3.焦点弦长,利用焦半径公式求解,如：设过抛物线焦点的弦的端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p.【变式4-1】已知椭圆方程为，为过椭圆的左焦点的弦，则的值为（

）A． B． C． D．【变式4-2】（24-25高三上·广东·阶段练习）设曲线，过点的直线与交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，则的斜率可以为（

）A． B． C．2 D．题型05圆锥曲线的切线问题【典例5】（2025·河南周口·模拟预测）已知双曲线C:x2a2−(1)求双曲线C的渐近线方程.(2)若过双曲线C上的动点P(x0,y0)作一条切线(3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积.求圆锥曲线的切线方程方法有:(1)判别式法.即设出切线的斜率k，联立直线与二次曲线的方程，消元转化为一元二次方程，通过△=0求出k,从而得切线方程，对于切线的斜率不存在的情形，则一般画图观察求解，此法为通法.(2)切线公式法.常见的切线公式有：①过圆上的点的切线方程为+②椭圆、双曲线与抛物线的切线方程（见知识预备）(3)几何性质法.对于圆而言，常利用圆的几何性质“圆心到切线的距离等于圆的半径(即d=r)”来速求其切线方程.【变式5-1】（24-25高二下·浙江嘉兴·期中）经过点P(1,32)且与椭圆xA．x+23y−4=0 C．x+23y−2=0 【变式5-2】（24-25高三上·江西南昌·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px的准线与圆M:x+12+y2=1相切于点A，直线ABA．x+y+2=0 B．x−y+2=0C．x+y+2=0或x−y+2=0 D．x+2y+2=0或x−2y+2=0题型06圆锥曲线的切点弦问题【典例6-1】过点P(3,3)作双曲线C：x2−y2=1双切线（切点弦）问题求解策略过圆锥曲线外一点，作圆锥曲线的两条切线，由此衍生的一系列问题，一般称之为双切线问题。这类问题一般的处理步骤是：(1)设切线的斜率为，写出切线的方程；(2)将切线的方程代入圆锥曲线方程，化简得出关键方程；(3)由方程满足判别式，建立关于的一元二次方程，两切线的斜率为方程的两根；(4)结合韦达定理，计算等，并将之用于其他量的计算.【变式6-1】已知，顶点为O的抛物线C:x2=2py(p>0)，焦点为F，点P是C上一点，已知△POF的外接圆与C的准线相切，且外接圆的面积为9π4，过点M1,−2作C的两条切线，切点分别为A,B，则【变式6-2】（24-25高二上·陕西安康·期中）已知椭圆C：x2a2+y(1)求C的方程；(2)若直线l与C交于点P，Q，且线段PQ的中点为R−1,12(3)过动点Tx0,6−x0作C的两条切线，切点分别为A题型07利用切线解决圆锥曲线中的最值问题【典例7】在抛物线y2＝64x上求一点，使它到直线l：4x＋3y＋46＝0的距离最短，并求此距离．求圆锥曲线上的点到直线的距离最短的策略1．先在圆锥曲线上设一点，再利用点到直线的距离与二次函数知识求解；2．根据已知直线设与圆锥曲线相切的直线，联立方程组由Δ求得所设直线的方程，再由平行线间的距离公式求解．【变式7】（2025山西忻州高三上联考），为平面上两点，定义，已知点为抛物线上一动点，点是直线上一动点，则的最小值为练基础1直线与椭圆的位置关系是（）A.相交B.相离C.相切D.不确定2.设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为()A．5B．8C．10 D．123.AB为过椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为()A．b2B．abC．ac D．bc4．（2025·北京门头沟·一模）“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．（24-25高二上·广东潮州·期末）已知双曲线的一条渐近线为，过双曲线的右焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，则弦的长度为（

）A． B． C．2 D．16．（多选）已知双曲线C：，直线l过点，以下错误的是（

）A．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的条数是2B．若直线l与双曲线C只有一个公共点，则直线l的斜率是或C．若直线l与双曲线C有两个不同的公共点，则直线l的斜率范围是D．若直线l与双曲线C的渐近线相交于A，B两点，则线段AB中点的轨迹是直线7.（多选）（24-25高二下·广东深圳·期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，点在抛物线C上，直线分别与l交于A，B，直线与抛物线C交于另一点N，则（

）A．F的坐标为 B． C．D．8．若直线x＋y－m＝0被曲线y＝x2所截得的线段长为3eq\r(2)，则m的值为________．9．已知P1,1是双曲线外一点，过P引双曲线x2−y22=1的两条切线PA,PB，A,B为切点，则10．（24-25高二下·四川成都·期中）已知为椭圆：上一点，且点到两焦点距离之和为，且椭圆离心率为.(1)求椭圆的标准方程；(2)若直线被椭圆截得的线段长为，求的值.11．（24-25高三上·广东·阶段练习）已知抛物线的焦点为，以和的准线上的两点为顶点可以构成边长为的等边三角形．(1)求的方程；(2)讨论过点的直线与的交点个数．练提升12．（24-25高二上·陕西西安·期末）若直线与圆相离，则过点的直线与椭圆的交点个数是（

）A．0或1 B．0 C．1 D．213．（24-25高三上·湖南·开学考试）已知直线与曲线有两个公共点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．14．(多选)（2025·湖北·模拟预测）已知、均为正实数，且过点的直线与抛物线相切于点，下列说法正确的是（

）A．B．的最小值为C．的最小值为3D．的最小值为215．（2025·全国·模拟预测）写出与椭圆和抛物线都相切的一条直线的方程为.16.（2025·黑龙江·三模）已知点P是抛物线C:y2=4x准线上的一点，过点P作C的两条切线，切点分别为A,B，则原点O到直线AB距离的最大值为17．已知抛物线C：y2=2x，过点（2,0）的直线l交C于A,B两点，圆M是以线段AB为直径的圆.（1）证明：坐标原点O在圆M上；（2）设圆M过点，求直线l与圆M的方程.18.（2024