专题07 直线与圆锥曲线的综合问题14大考点30题（高效培优期中专项训练）（原卷版）高二数学上学期北师大版

8/8专题07直线与圆锥曲线的综合问题考点01求直线与圆锥曲线的交点（共3小题） 1考点02直线与圆锥曲线的位置关系（共3小题）（重点） 2考点03弦长问题（共2小题）（重点） 2考点04中点弦问题（共2小题）（常考点） 2考点05圆锥曲线的切线问题(共2小题) 3考点06定点问题(共2小题)（重点） 4考点07定值问题（共2小题）（重点） 4考点08最值问题（共2小题）（重点） 4考点09取值范围问题（共2小题）（重点） 5考点10定直线问题（共2小题） 5考点11存在性问题（共2小题）（常考点） 6考点12证明问题（共2小题）（难点） 6考点13与向量的综合问题（共2小题）（常考点） 7考点14新定义问题（共2小题）(难点) 7考点01求直线与圆锥曲线的交点（共3小题）1．（24-25高二上·江苏扬州·期中）已知椭圆的焦点坐标分别为和，长轴长为4，则直线与椭圆的交点个数为（

）A．0 B．1 C．2 D．无法确定2．（23-24高二下·广东·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为，直线与双曲线的右支交于点，则（

）A． B．0 C．1 D．23．（2025高三·全国·专题练习）已知抛物线，经过其焦点的直线交曲线于两点，且满足，则（

）A． B． C． D．考点02直线与圆锥曲线的位置关系（共3小题）4．（23-24高二上·江西·期末）直线与椭圆（）的位置关系为（

）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定5．（多选）（24-25高二上·山西太原·期末）已知直线l：，抛物线C：，则下列结论正确的是（

）A．直线l过定点B．当时，直线l与抛物线C相切C．当时，直线l与抛物线C有两个公共点D．当直线l与抛物线C无公共点时，或6．(多选)（24-25高三上·甘肃武威·期末）已知双曲线的两个焦点为，，点在双曲线上，则（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的离心率为C．直线与双曲线只有一个公共点D．直线与双曲线的左支和右支各有一个交点考点03弦长问题（共2小题）7．（25-26高三上·广东潮州·开学考试）已知椭圆长轴长为4，且椭圆的离心率，其左右焦点分别为．(1)求椭圆的方程；(2)设过点且倾斜角为的直线与椭圆交于两点，分别求的周长和面积．8．（25-26高三上·江苏·阶段练习）已知双曲线的离心率为，且过点.(1)求的方程；(2)直线过且交于两点，若弦的长度为的实轴长的两倍，求的方程.考点04中点弦问题（共2小题）9．（24-25高二上·广东惠州·期中）已知双曲线，过点作直线l.(1)若直线l与双曲线相交于A，B两点，P能否是线段AB的中点？为什么？(2)若直线l的斜率k存在，且l与双曲线左右两支都相交，求直线l斜率k的取值范围.10．（25-26高三上·陕西西安·开学考试）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点．(1)求抛物线的方程；(2)当点为弦的中点时，求直线的方程；(3)求的最小值．考点05圆锥曲线的切线问题(共2小题)11．（2025·全国·模拟预测）已知是双曲线上一动点，为坐标原点.设双曲线在点处的切线和两条渐近线的交点分别为.(1)设到两条渐近线的距离分别为，求的值；(2)证明：；(3)求的值.12．（23-24高三上·重庆南岸·阶段练习）在平面直角坐标系中，动点到的距离等于到直线的距离.(1)求M的轨迹方程；(2)P为不在x轴上的动点，过点作（1）中的轨迹的两条切线，切点为A，B；直线AB与PO垂直(O为坐标原点)，与x轴的交点为R，与PO的交点为Q；（ⅰ）求证：R是一个定点；（ⅱ）求的最小值.因此，时取等号.考点06定点问题(共2小题)13．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知双曲线的左顶点为，离心率为3，是上的两点.(1)求的标准方程；(2)若线段的中点为，求直线的方程；(3)若（不在直线上），证明：直线过定点.14．（25-26高二上·广西南宁·阶段练习）已知椭圆，，分别是左、右焦点，是椭圆上一点，的最大值为3，当为椭圆上顶点时，为等边三角形．(1)求椭圆的标准方程；(2)设，分别是椭圆的左、右顶点，若直线与交于点，，且．证明：直线过定点．考点07定值问题（共2小题）15．（24-25高二下·云南·期末）已知两条平行直线，分别与双曲线的左、右两支相切，且交的两条渐近线于，两点，交的两条渐近线于，两点，点，都在轴上方，当且仅当与轴垂直时，．(1)求双曲线的方程；(2)证明：四边形的面积为定值．16．（25-26高二上·云南玉溪·阶段练习）已知椭圆：的离心率为，长轴为4．(1)求椭圆的标准方程；(2)直线：与椭圆交于，两点，求弦长；(3)点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．考点08最值问题（共2小题）17．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知点为抛物线的焦点，为抛物线上两点，且直线与直线斜率之和为0．(1)求抛物线的方程；(2)若为抛物线上一动点，直线，且，求到直线距离的最小值．18．（24-25高二上·江苏南京·阶段练习）在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线的左、右顶点分别为，离心率为.(1)求双曲线的方程；(2)过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点．（i）记直线，的斜率分别为，，证明：是定值；（ii）设G为直线和的交点，记，的面积分别为，，求的最小值．考点09取值范围问题（共2小题）19．（25-26高三上·江苏南京·开学考试）已知椭圆过点，短轴长为.(1)求椭圆的方程；(2)已知点，若椭圆上的点到的距离的最小值是，求正实数的值；(3)椭圆与轴的交点为、（点位于点的上方），直线与椭圆交于不同的两点、.设直线与直线相交于点，求的最小值.20．（24-25高二下·贵州铜仁·期末）已知抛物线过点，焦点为．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点且斜率为1的直线交抛物线于A、两点，若在以为直径的圆内，求实数的取值范围．考点10定直线问题（共2小题）21.(25-26高二上·全国·单元测试）已知定点，动点满足．(1)求动点的轨迹的方程．(2)设过点且与轴不重合的直线交曲线于E，F两点．①过点作与直线垂直的直线交曲线于G，H两点，求四边形EGFH面积的最大值；②设曲线与轴交于P，Q两点，直线PE与直线QF相交于点，证明：点在定直线上．22．（24-25高二下·上海·阶段练习）已知，，等轴双曲线：的左、右顶点分别为、，左、右焦点分别为、，且．点为双曲线的左支上异于点的一个动点．(1)求双曲线的方程；(2)若，求点的坐标；(3)设点，直线交双曲线的右支于点．试判断直线与直线的交点是否在一条定直线上？若是，请求出该直线的方程；若不是，请说明理由．考点11存在性问题（共2小题）23.（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为．(1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．(2)证明：直线经过定点．24.（24-25高二下·湖南衡阳·期末）已知抛物线C：经过点，C的焦点F在x轴的正半轴上，点A，B在C上运动．(1)求C的方程．(2)若直线AB的方程为，求内切圆的半径r．(3)设点，且EF平分，试问直线AB：是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．考点12证明问题（共2小题）25．（25-26高二上·江西赣州·阶段练习）矩形的长为4，宽为2，其四边的中点恰为椭圆的顶点．(1)求的方程；(2)若，，三点在以为直径的圆上，且直线，均与有且只有一个公共点，证明：是直角三角形．26．（2025·四川成都·模拟预测）已知点，，P是直线AB外的一个动点，，垂足为Q，且Q在线段AB外，，记点P的轨迹为曲线C．不过原点的直线l交C于M，N两点，M关于x轴的对称点为T，直线TB和NB的斜率之积为6．(1)求C的方程；(2)判断l是否过定点，若是请求出该定点坐标，若不是请说明理由；(3)试判断的形状（锐角、直角或钝角三角形），并给出证明．考点13与向量的综合问题（共2小题）27．（24-25高二下·贵州黔西·阶段练习）已知双曲线的离心率是，焦距为6．(1)求的方程；(2)若直线与相交于两点，且（为坐标原点），求的方程．28．（24-25高二上·吉林长春·期中）已知抛物线的焦点到准线的距离为2，过点的直线与抛物线相切，且切点为，点为抛物线C上的点．(1)求直线的方程；(2)若直线不与轴垂直，点在轴上，轴，．若直线QP与抛物线和直线分别交于M，N两点，求证：．考点14新定义问题（共2小题）29．（24-25高二下·上海杨浦·阶段练习）在平面直角坐标系中，双曲线．(1)求的两条渐近线的夹角；(2)给定点，其中正数，求上的动点到点的距离的最小值；(3)对平面内不在上的任意一点，记为过点且与有两个交点的直线的全体．对任意直线，记、为与的两个交点，定义．若存在一条直线满足：与的两个交点位于轴异侧，且对任意不同于的直线，均有，则称为“好点”．求所有“好点”所构成的区域的面积．30．（24-25高二下·上海·期中）如图所示，平面直