九年级上学期数学压轴必考题型-相似三角形的应用（含答案）

人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编

专题相似三角形的应用

一.选择题

1.（2020秋•曾都区期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，它奠定了中国古代数学的基本框架，以计

算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书中记载了这样一个问题：“今

有勾五步，股十二步，问勾中容方几何.”其大意是：如图，RIA48C的两条直角边的长分别为5和12,

则它的内接正方形CDEF的边长为（）

2.（2021春•阜南县月考）如图，一束平行的阳光从教室窗户射入，小兵同学量出3c=1〃?，NC=&m,BN

3

=—m,AC=4.5m,MC=6m,则MA的长为（）

3

A.5mB.1.5mC.6mD.5.5m

3.12021•招远市一模）小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影子长为0.85〃?，紧接着他把手臂竖直举起,

测得影子长为1.11〃?，那么小刚举起的手臂超出头顶（）

A.0.5mB.0.52/zzC.0.55根D.2.22m

4.12021•深圳模拟）如图，小颖身高为160cm,在阳光下影长AE=240a〃,当她走到距离墙角（点。）120cm

的C处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子。上的长度为（）

A.I20CWB.80(7〃C.60(77?D.40cm

5.（2020秋•大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC,其中边8C=60c/〃，高人力=40以"，把它加工成正

方形零件,使正方形的一边在月C上，其余两个顶点分别在48,AC上，则这个正方形零件的边长是（）

A.16B.24C.30D.36

6.（2020秋•孝义市期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知卡钳的四个端点A,B,C,。到支点

。的距离满足殁0=2,且QA=Ob现在只要测得卡钳外端c，。两个端点之间的距离，就可以计

0C0D

算出容器的内径d的大小.这种测量原理用到了（）

A.图形的旋转B.图形的平移

C.图形的轴对称D.图形的相似

7.（2020秋•滨湖区期末）有一个三角形木架三边长分别是15cm，20a〃，24cm,现要再做一个与其相似的

三角形木架，而只有长为125［和24cm的两根木条.要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另

两边（允许有余料），则不同的截法有（）

A.一种B.两种C.三种D.四种

8.（2020秋•东城区期末）如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上，分别记为AC,

BD,设交点为P,点C,。之间有一座假山，为了测量C,。之间的距离，小明已经测量了线段AP和

P。的长度，只需再测量一条线段的长度，就可以计算C,。之间的距离.小明应该测量的是（）

线段CPC.线段人8D.线段人。

二.填空题

9.（2021•吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5〃?的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上

AD长为\m时，它离地面的高度DE为0.6m,则坝高CF为m.

10.（2021•嘉定区三模）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古方城，四面正中

都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立.又出西门二里停，切城角恰见塔形，请问诸君能算者，方

城每边长是几？

如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点D）直行8里有一

塔（点A）,自西门（点E）直行2里至点8,切城角（点C）也可以看见塔，问这座方城每面城墙的长

11.（2022莆田模拟）莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地,这里的妈祖庙更是名扬四海.在湄洲妈祖

庙的正殿前方上建造J'一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡,为海峡两岸同胞共同瞻仰.小颖想测量雕

像的高，她先测得雕像的影长为4.1〃?，并在同一时刻测得一根长为14〃的竹竿的影长是。4〃.请你帮

她算一下，石雕妈祖像高是，

12.（2021•瑞安市一模）数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度人从准备了标杆CD,EF及皮尺,按如

图竖直放置标杆CD与EF.已知CD=EF=2米，DF=2米，在路灯的照射下，标杆CD的顶端C在

上留下的影子为G,标杆EF在地面上的影子是尸从测得FG=0.5米，FH=4米，则路灯的高度AB=

米.

13.（2020秋•汉寿县期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置8。绕。点旋转到AC位置，已知

AB±BDfCDLBD,垂足分别为8,D,AO=6m,AB=\.2m,CO=\mf则栏杆C端应下降的垂直距离

CD为ni.

14.（2020秋•河南期末）如图，为了确定一条河的宽度，测量人员观察到在对岸岸边P点处有一根柱子，

再在他们所在的这一侧岸上选点A和点8,使得从4,。在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点

C,点、D,使月CJ_BP,BDLBP,由观测可以确定AC与。P的交点C他们测得48=20/n,AC=40m,

BD=50m,从而确定河宽PA为in.

15.（2020•孝感模拟）《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有昆方不知大小，各中开门.出北门三

十步有木，出西门七百五十步见木.问邑方几何？’‘其意思是：如图，已知正方形小城48CQ,点E,G

分别为CO,的中点，EF1.CD,GH1AD,点八D,H在一条直线上，E广=30步，G〃=750步.问

正方形小城A4c。的边长是多少？该问题的答案是.

16.（2020•泰顺县二模）图I是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放置手机处宽4B

=1.2厘米，托架斜面长8。=5厘米，它有C到尸共4个档位调节角度，相邻两个档位间的距离为0.8

厘米，档位。到B的距离为2.4厘米.将某型号手机置于托奥上（图2）,手机屏幕长AG是15厘米，O

是支点且O/3=OE=2.5厘米（支架的厚度忽略不计）.当支架调到E档时，点G离水平面的距离G"为

厘米；当支架从E档调到F档时，点。离水平面的距离下降了厘米.

17.（2021春•工业园区期末）如图,安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高1.2〃？（CP=\,2m）

身高1.8〃?的小明MN站在距离。点15〃?远的路面上.在路灯的照射卜，路基CP留在地面上的影长EP

为（）4〃，小明留在路面上的影长为3/〃，求路灯A3的高度.

18.（2021•金台区一模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老的大树，大树的

顶端恰好与路灯的灯泡在同一水平线上，小华激动地说：“妈妈，我可以通过测量您的影长，计算出这棵

大树的高度小华让妈妈先站在。处，测得妈妈的影长。产=1.6,〃.妈妈沿8。的方向到达点尸处，此

时小华测得妈妈的影长厂G=2〃?.已知妈妈的身高为1.6m（即。。=石尸=16〃），点B、。、尸、G在同一

水平线上，ABA.BG,CD工BG,EFLBG.求这棵大树的高度.

19.（2021•韩城市一模）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年3、4月陆续开放

的樱花让这里成为了花的海洋.一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利用所学知识测量一棵樱花树的高

度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）.小明在小处竖立了一根标杆E立小刚走到。处时，站立

在C处看到标杆顶端E和树的顶端B在一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离DC=\.6米；然

后，小刚在C处蹲下，小明平移标杆到〃处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在一条直线上，

此时测得小刚的眼睛到地面的距离MC=0.8米.已知E/=GH=2.4米，。尸=2米，FH=1.6米，点C、

F、H、A在一条直线上，点M在CO上，CD1AC,EF1AC,GH1AC,AB1AC.根据以上测量过程

及测量数据，请你求出这棵樱花树的高度.

20.（2020秋•富平县期末）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，乂称“荐福寺塔”，建于唐景龙年间，与大

雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.数学活动小组的同学对■该塔进行了测量，测量方法如下：如图

所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点七的距离为38米，塔的顶端为点人，RABLEB,在点E处

竖直放一根标杆，其顶端为O,DE工EB,在8E的延长线上找一点C,使C,D,A三点在同一直线上，

测得C£=2米.己知标杆。£=2.2米，求该塔的高度A6.

21.（2021春•唐山月考）如图,RS48C为一块铁板余料,N8=90。,BC=6cm,AB=8c?〃，要把它加工成

正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方案的正方形的边长.

方案①方案②

22.（2021•雁塔区校级二模）如图，建筑物4c上有一根旗杆43,小芳计划用学过的知识测量该建筑物的

高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树FD,小芳沿CD后退，发现地面上的点

E、树顶尸、旗杆顶端4恰好在一条直线上，继续后退，发现地面上的点G、树顶尺建筑物顶端8恰好

在一条直线上，已知旗杆AB=3米，FZ）=4米，DE=5米,EG=1.5米，点A、B、C在一条直线上，点

C、。、E、G在一条直线上，AC.F。均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高8C.

23.（2021•陕西模拟）如图，强强同学为了测量学校一棵笔直的大树OE的高度，先在操场上点A处放一面

平面镜，从点A处后退1机到点3处，恰好在平面镜中看到树的顶部E点的像：再将平面镜向后移动4〃?

（即AC=4〃?）放在C处，从点。处向后退1.5机到点。处，恰好再次在平面镜中看到大树的顶部E点

的像，测得强强的眼睛距地面的高度FB、GD为1.5〃?，已知点。，A,B,C,D在同一水平线上，且

GDLOD,FB±OD,EOLOD.求大树OE的高度.（平面镜的大小忽略不计）

E

ABCD

24.（2020秋•昌图县期末）如图，小明同学为了测量教学楼的高度OE,先在操场上点A处放一面镜子，从

点A处后退到点8处，恰好在镜子中看到楼的顶部£点：再将镜子向后移动4〃?放在。处，从点C

处向后退15〃到点。处，恰好再次在镜子中看到楼的顶部E点，测得小明的眼睛距地面的高度b8,GD

为1.5加，点。，A,B,C,。在同一水平线上，镜子可看成一个点.求教学楼的高度

25.（2020秋•平阴县期末）如图，某同学想测量旗杆的高度，他在某一时刻测得1米长的竹竿竖直放置时

影长1.5米，在同时刻测量旗杆的影长时，因旗杆靠近一楼房，影子不全落在地面上，有一部分落在墙

上，他测得落在地面上影长为21米.留在墙上的影高为2米，求旗杆的高度.

QB\

\□□

□□

1C□□

□□

□□

26.（2020秋•韩城市期末）如图，某中学两座教学楼中间有个路灯，甲、乙两个人分别在楼二观察路灯顶

湍，视线所及如图①所示.根据实际情况画出平面图形如图②，CDLDF,ABLDF,EFLDF,甲从点C

可以看到点G处，乙从点E恰巧可以看到点。处，点8是。尸的中点，路灯A8高8米，。尸=120米，

□口

□口

□口

27.（2021•峰帽区一模）如图，为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q

和S，使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直，接着再过点5且与PS垂直的直线〃上选择适当的点7,

确定PT与过点Q且垂直PS的直线〃的交点R.如果测得QS=45/”,ST=9（）m,QR=60m,求河的宽度

PQ・

T

人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编

专题相似三角形的应用

一.选择题

1.（2020秋•曾都区期末）《九章算术》是中国占代的数学专著，它奠定了中国占代数学的

基本框架，以计算为中心，密切联系实际，以解决人们生产、生活中的数学问题为目的.书

中记载了这样一个问题：“今自勾五步，股十二步，问勾中容方几何其大意是：如图，

RSA3C的两条直角边的长分别为5和12,则它的内接正方形CQEF的边长为（）

144

A综17

【思路引导】根据正方形的性质得：DE//BC,贝列比例式可得结论.

【完整解答】解：•・•匹边形COE/是正方形,

：,CD=ED,DE//CF,

设ED=x,则CQ=x,AD=5-x,

♦：DE"CF,

AZADE=ZC,NAED=NB,

:.XXDEs^kCB,

.DE=AD

,•而一而’

•.•x-5-x,

125

.丫60

17

・.・正方形CDEF的边长为端.

故选：B.

2.（2021春•阜南县月考）如图，一束平行的阳光从教宝窗户射入，小兵同学量出

AR

NC=—nuBN=—m,AC=4.5m,MC=6〃?，则MA的长为（）

33

A.5mB.7.5mC.6/〃D.5.5m

【思路引导】由于光线是平行的，因此BN//AM,可得△BCNs△人CM,根据三角形相

似的性质，对应线段成比例，列出等式求解即可得出AM.

【完整解答】解：・・・BN//4M,

:.2BCNsXACM、

.NB=BC

••加一而’

BN=?m,AC=4.5m,

3

5

•亘_1

,,MA4.5'

：.MA=7.5（〃?）.

故选：B.

3.（2021•招远市一模）小刚身高1.7m,测得他站立在阳光下的影子长为0.85加,紧接着他

把手臂竖直举起，测得影子长为1.11〃?，那么小刚举起的手臂超出头顶（）

A.0.5机B.0.52〃？C.0.55wD.2.22m

【思路引导】根据在同一时物体的高度和影长成正比，设出手臂竖直举起时总高度心即

可列方程解出x的值，再减去身高即可得出小刚举起的手臂超出头顶的高度.

【完整解答】解：设手臂竖直举起时总高度力〃，列方程得：

1.7x

0.851.11'

解得x=2.22,

2.22-1.7=0.52〃?，

所以小刚举起的手臂超出头顶的高度为0.52〃?.

故选：B.

4.（2021•深圳模拟）如图，小颖身高为160丽,在阳光下影长48=240。??，当她走到距离

墙角（点D）1205?的C处时，她的部分影子投射到墙上，则投射在墙上的影子OE的

长度为（）

C.60cmD.40(-7??

【思路引导】过E作£/_LCG于凡利用相似三角形列出比例式求出投射在地上的影子

长度即可.

【完整解答】解：过E作E/J_CG于F,

设投射在墙上的影子QE长度为xc/〃，由题意得：2GFES4HAB,

・・・A8：FE=AH：(GC-x),

则240：120=160：(160-x),

解得：r=8O.

即：投射在墙上的影子DE长度为80c%

5.（2020秋•大理市期末）如图是一块三角形钢材ABC,其中边4c=60c〃z,高4。=40门〃,

把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在4-4c上,

则这个正方形零件的边长是（）

D.36

【思路引导】根据正方形的对边平行得到BC〃E凡利用“平行于三角形的一边的直线截

其它两边或其它两边的延长线，得到的三角形与原三角形相似”，设正方形零件的边长为

xcm,则KD=EF=xcmfAK=（40-x）cm,根据相似三角形的性质得到比例式,解方

程即可得到结果.

【完整解答】解：•・•匹边形EG”尸为正方形，

：.BC//EF,

，△AMs”BC；

设正方形零件的边长为xcm,则KDuE/uxo/i,AK=（40-x）cm,

*：AD±BC,

.EF=AK

**BCAD，

,x_40-x

••布一"4^,

解得：x=24.

即：正方形零件的边长为24°〃.

故选:B.

6.（2020秋•孝义市期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知卡钳的四个端点A,

B,C,。到支点。的距离满足黑第=2,且。4=0从现在只要测得卡钳外端C，D

OC0D

两个端点之间的距离，就可以计算出容器的内径d的大小.这种测量原理用到了（）

D

A.图形的旋转B.图形的平移

C.图形的轴对称D.图形的相似

【思路引导】首先连接48、CD,然后根据“两边及夹角”判定△AOBs^cOQ.

【完整解答】解：如图，连接A&CD,

..AO=0B_=0八=（用,

OCOD乙

：・OC=OD,

.OAOB

,,-6c=-OD

又「4A0B=/COD,

/.AAOBSACOD.

.ABOA0

CDOC

：.AB=2CD,即d=2CD.

所以这种测量原理用到了图形的相似.

故选：D.

'D

IOC

7.（2020秋•滨湖区期末）有一个三角形木架三边长分别是15c/〃，20cm,24”〃，现要再做

一个与其相似的三角形木架，而只有长为12c〃?和24口〃的两根木条.要求以其中一根为

一边，从另〜根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（）

A.一种B.两种C.三种D.四种

【思路引导】分类讨论：长24c〃?的木条与三角形木架的最长边相等，则长24cM的木条

不能作为一边，设从24cm的一根上截下的两段长分别为xan,ycm（x+><24）,易得长

12cm的木条不能与15cm的一边对应，所以当长12cm的木条与20cm的一边对应时有

15

=与=条：当长12a〃的木条与24c〃?的一边对应时有冬=±=¥，然后分册利用

2420152024

比例的性质计算出两种情况下得x和），的值.

【完整解答】解：长24。〃的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三

边，则长24cm的木条不能作为一边，

设从24cm的木条上截下两段长分别为xcm,ycm（x+}<24）,

由于长12cm的木条不能与15cM的一边对应，否则x+y>24cm,

当长12c”?的木条与2Cc〃?的一边对应，则等=工=青"，

152420

解得：A=9,y=14.4：

当长12cm的木条与24cm的一边对应，则二？=工=±2,

152024

解得：x=7.5,y=10.

有两种不同的截法:把24cM的木条截成9c〃?、14.4c〃!两段或把24tv〃的木条截成15cm、

10cm两段.

故选：B.

8.（2020秋•东城区期末）如图，在圆形花圃中有两条笔直的小径，两端都在花圃边界上,

分别记为AC,BD,设交点为P,点C,D之间有一座假山，为了测量C,。之间的跖离，

小明已经测量了线段4尸和〃。的长度，只需再测量一条线段的尺度，就可以计算C,D

之间的距离.小明应该测量的是（）

A.线段BPB.线段CPC.线段A8D.线段4。

【思路引导】利用两角法证得△APBs/XOPC,由该相似三角形的对应边成比例求得线段

CO的长度.

【完整解答】解：如图，连接八比

,/ZDCP=NABP,ZDPC=/APB,

/.△APBs^DPC,

・•・"：DP=AB：DC.

•••只需再测量AB线段的长度，就可以计算C,。之间的距离.

故选：C.

二.填空题

9.（2021•吉林）如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为45〃的竹竿AC斜靠在石

坝旁，量出竿上4。长为1〃?时，它离地面的高度。月为0.6〃?，则坝高C/为2.7m.

AB

【思路引导】根据。E〃。凡可得空理，进而得出C厂即可.

ACCF

【完整解答】解：如图，过。作CRLAB于F,则QE〃CR

...坦屈，

ACCF4.5CF

解得Cr=27

故答案为：2.7.

10.（2021•嘉定区三模）清朝《数理精蕴》里有一首小诗《古色古香方城池》：今有一座古

方城，四面正中都开门，南门直行八里止，脚下有座塔耸立.又出西门二里停，切城角

恰见塔形，请问诸君能算者，方城每边长是几？

如图所示，诗的意思是：有正方形的城池一座，四面城墙的正中有门，从南门口（点。）

直行8里有一塔（点4）,自西门（点E）直行2里至点B,切城角（点C）也可以看见

塔，问这座方城每面城墙的长是里.

【思路引导】设这座方城每面城墙的长为x里，根据题意得到//〃CO,NBEC=/ADC

=90。，根据相似三角形的性质即可得到结论.

【完整解答】解：设这座方城每面城墙的长为x里，

由题意得，BE//CD,/BEC=ZADC=90°,CE=CD=Xx,8E=2里，AO=8里，

2

:・NB=/ACD,

•BECE

•■=,

CDAD

1

.2_2~x

一1二8'

2x

•'•x=8,

答：这座方城每面城墙的长为8里，

故答案为：8.

11.（2021•莆田模拟）莆田湄洲岛，是亿万妈祖信徒敬仰的圣地，这里的妈祖庙更是名扬四

海.在湄洲妈祖庙的正殿前方上建造了一尊巨型石雕妈祖像，面向台湾海峡，为海峡两

岸同胞共同瞻仰.小颖想测量雕像的高，她先测得雕像的影长为4.1〃?，并在同一时刻测

得一根长为1.4〃?的竹竿的影长是04〃.请你帮她算一下，石雕妈祖像高是一14.35

【思路引导】根据题意作出图形，然后根据相似三角形的性质可得答案.

【完整解答】解：根据题意，作出如下图形：石雕妈祖像身高为影长为4£,同一

时刻竹竿为CQ，竹竿的影子为ED

设石雕妈祖像身高为

/./\ABEsRCDE,

,x1.4

••—9

4.10.4

・・・x=14.35,

・•・石雕妈祖像身高为14.35m,

故答案为：14.35.

12.（2021•瑞安市一模）数学兴趣小组计划测量公路上路灯的高度AB,准备了标杆CD,

EF及皮尺,按如图竖直放置标杆CO与七立已知CO=EF=2米，。?=2米，在路灯的

照射下，标杆C。的顶端C在石尸上留下的影子为G,标杆上/在地面上的影子是FH,

测得/G=0.5米，尸”=4米，则路灯的高度48=5米.

太

BD2FH

【思路引导】延长CG交于根据相似三角形的判定和性质解答即可.

【完整解答】解：如图，延长CG交切于M,

A

_________6取5'、、、

BO2尸MH

•:/GMF=/CMD,^GFM=ZCDM=9Q0,

:.XGFMsXCDM、

.GF_FM

**CD=DM'

nR

设EW为a米，则〃=(«+2)x22,

2

解得:a=-|,

设8Z)=x米，A8=y米，

同理可得，△CMOS^AMB,

.CD^ABEF^AB

••而年丽丽

2y

—2y―

4x+6

3

y=^x+2

整理得：J],

y=yx+3

解得：（*&

ly=5

经检验1x"是分式方程组的解，

y=5

：,AB=5米.

故答案为：5.

13.（2020秋•汉寿县期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置8。绕。点旋转到

4c位置，已知ABJ_8D,CDA.BD,垂足分别为B,D,AO=^n,AB=[.2m,CO=\m,

则栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2〃?.

in

【思路引导】由乙48。=/。。。=90。、ZAOB=ZCOD据此得柴=

C0

丝.将已知数掂代入即可得.

CD

【完整解答】解：CDLBD,

,NABO=NCOO=90。，

又,:/AOB=/COD,

/.XABOs△33

则察=黑，

COCD

'：AO=bm,AB=\：2nuC（J=Im,

•.•6_1.2,

1CD

解得：CD=0.2,

・•.栏杆C端应下降的垂直距离CD为0.2〃?.

故答案为：0.2.

14.（2020秋・河南期末）如图，为了确定一条河的宽度，测量人员观察到在对岸岸边P点

处有一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点A和点6,使得6,A,P在回一条直线

上，且与河岸垂直，随后确定点C,点。，使ACLBP,BDLBP,由观测可以确定AC

与DP的交点C.他们测得AB=20m,AC=40m,BD=50m,从而确定河宽PA为80

【思路引导】证出△PAD和△小。相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求解即可

求得以.

【完整解答】解：:ACJ^P,BDIBP,

：.AC//BD,

，△尸BOs△以c,

,BDPB

**ACPA'

AB=20m,AC=40/K,BD=5Um,

m50_PA+20

40―—PA-'

解得：%=8().

故答案为：80.

15.(2020•孝感模拟)《九章算术》是我国数学经典，上面记载：“今有邑方不知大小，各中

开门.出北门三十步有木，出西门七百五十步见木.问邑方几何？”其意思是：如怪，己

知正方形小城ABCO,点七，G分别为CD,AD的中点，EFLCD,GHA.AD,点凡。,

，在一条直线上，EF=30步，GH=750步.问正方形小城48CQ的边长是多少？该问题

的答案是一300步.

【思路引导】根据题意，可知Rl△。/ESRSHOG,从向可以得到对应边的比相等，从而

可以求得正方形的边长.

【完整解答】解：设正方形的边长为X步，

•・•点G、点上分别是正方形A8CO的边A。、CQ的中点,

：.DG=­AD,DE=』CD,

22

:,DG=DE,

由题意易得，ZFDE=ZH,NFED=NDGH=90。.

；.RtADFEsRtAHDG,

■,•E-F=-D-E-,

DGHG

而后户=30步，G”=75O步，

即DExDG=EFxHG,

.*.DE2=30X750=22500,

解得：DE=150,

・・・CO=2QE=300步.

故答案为：300步.

16.（2020•泰顺县二模）图1是一种手机托架，使用该手机托架示意图如图3所示，底部放

置手机处宽A8=1.2厘米，托架斜面长8。=6厘米，它有C到尸共4个档位调节角度,

相邻两个档位间的距离为0.8厘米，档位C到B的距离为2.4厘米.将某型号手机置于

托架上（图2）,手机屏幕长AG是15厘米，。是支点且O8=OE=2.5厘米（支架的厚

度忽略不计）.当支架调到石档时•，点G离水平面的距离GH为转坐匣米；当支

—34―

架从E1档调到尸档时，点D离水平面的距离下降了里厘米.

一25一

图1图2图3

【思路引导】如图3中，作。兀LAH于7,OKLBD于K.解直角三角形求出BK,OK,

利用相似三角形的性质求出QT,BT,AD,G”即可,再求出支架调到尸档时DT的长即

可解决问题.

【完整解答】解：如图3中，作。于7,OK工BD于K.

G

图3

•；OB=OE=2.5cm,BE=4cm,OKI.BE,

：.BK=KE=2Cem),

OA：=VoB2-BK2=72.52-22=15(cw),

•・•NOBK=NDBT,NOKB=NB7Q=90。，

:.△BKOS/\BTD,

.BK=BO=OK

••萨一而—玩，

・22.51.5

…BT6DT'

・•・87=4.8(cm),DT=3.6(cm),

A4D=VAT2+DT2=V62+3.62(c7n),

,:DT〃GH,

.DT=AD

•演一记‘

•・•—3.6_i----5----

GH15

.ru45734(、

34

如图3-1中，当支架调到“档时，作。于7；0K上BD于K.

图3-1

*：OB=OE=2,5cm,4尸=4.8。〃，OK工BF,

:.BK=KF=2A(cm),

2

••・OK=JOB2_BK2=42.5-2.42=O-7(CW),

VZOBK=ZDBT,NOKB=NBTD=90。,

:.ABKOsfTD,

.BO=0K

•,而'DT,

.2.5_0.7

W

49

：.DT=—(cm),

25

V3.6-42=48

25-25

・••点D离水平面的距离下降了卓

25

故答案为誓崇

三.解答题

17.(2021春•工业园区期末)如图,安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面尸Q高1.2m

(C0=1.2〃])身高18〃的小明MN站在距离C点15〃?远的路面上.在路灯的照射下,

路基CP留在地面上的影长EP为0.4〃?，小明留在路面上的影长N尸为3〃?，求路灯A4

的高度.

【思路引导】如图，设46=初?，CB=ym.构建方程组解决问题即可.

【完整解答】解：如图，设CB=ym.

..AB=PCAB=BF

•而丽‘MN丽’

'x=1.2

,7=0.4

x二L8'

15-y+3=3

x=9

解得.

y=3

经检验［”a是分式方程的解.，

y=3

「・AB=9（w）,

答:灯A8的高度为9m.

18.（2021•金台区一模）傍晚，小张和妈妈在某公园散步，发现公园的一路灯旁有一棵古老

的大树，大树的顶端恰好与路灯的灯泡在同一水平线上，小华激动地说：“妈妈，我可以

通过测量您的影长，计算出这棵大树的高度小华让妈妈先站在。处，测得妈妈的影长

DF=\.bm.妈妈沿5。的方向到达点厂处，此时小华测得妈妈的影长PG=2/〃.已知妈

妈的身高为1.6m（即CD=律=1.6〃?），点B、D、F、G在同一水平线上,AB1BG-CD

±BG,EF1BG.求这棵大树的高度.

【思路引导】在同一时刻物高和影长成正比，根据相似三角形的性质即可解答.

【完整解答】解：〃石尸〃/

:.2CDFsXABF,AABGS^EFG,

.CD^DFEFJG

**AB"BFTAB=BG

又YCD=EF,

.DF_FG

,,丽记

VDF=1FG=2m,

JBF=BD+DF=B£>+1.6,BG=BD+DF+FG=BD+3,6,

.1.6_2

**BD+1.6-BD+3.6,

：,BD=6Am,4/=64+1.6=8(m),

.1.6_1.6

，，-AB8~,

解得，AB=8.

答：这棵大树的高度是8m.

19.（2021•韩城市一模）青龙寺是西安最著名的樱花观赏地，品种达到了13种之多，每年

3、4月陆续开放的樱花让这里成为了花的海洋.一天，小明和小刚去青龙寺游玩，想利

用所学知识测量一棵樱花树的高度（樱花树四周被围起来了，底部不易到达）.小明在尸

处竖立了一根标杆ER小刚走到C处时，站立在C处看到标杆顶端E和树的顶端8在

一条直线上.此时测得小刚的眼睛到地面的距离。。=1.6米；然后，小刚在。处蹲下，

小明平移标杆到H处时，小刚恰好看到标杆顶端G和树的顶端B在•条直线上，此时测

得小刚的眼睛到地面的距离MC=0.8米.已知EF=GH=2A米，CF=2米，1.6米，

点。、/、H、A在一条直线上，点M在C。上，CDLAC,EF1AC,GHLAC,AB1AC.根

据以上测量过程及测量数据•，请你求出这棵樱花树AB的高度.

【思路引导】过点。作于点P，交EF于点、N,过点M作于点0,交

GH于点、K,构造相似三角形：RDENS&DBP,XGMKS^BMQ,利用相似三角形的对

应边成比例求得相关线段的长度即可.

【完整解答】解：过点D作DPYAB于点P,交EF于点、N,过点M作MQYAB于点Q,

交GH于点K,

由题意可得：DP=MQ=AC,DN=CF=2米,MK=CH,AP=OC=1.6米，AQ=HK=

MC=0.8米.

♦：4EDN=NBDP,NEND=NBPD=9（）°,NGMK=NBMQ,NGKM=8Q/W=90°,

:ADENs^DBP,&GMKS丛BMQ,

.BP=DPBQ=QM

••丽—而GK-MK'

.AB-1.6_ACAB-O.8_AC

**2.4-1.6―_T'2.4-0.8-2+1.6,

・・・A3=8.8（米）.

答：这棵樱花树AB的高度是8.8米.

20.（2020秋•富平只期末）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于唐景

龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志.数学活动小组的同学对该塔进行

了测量，测量方法如下：如图所示，间接测得该塔底部点B到地面上一点E的距离为38

米，塔的顶端为点A,且在点E处竖直放一根标杆，其顶端为。，DEA.EB,

在BE的延长线上找一点C,使C,及，A三点在同一直线上，测得。七=2米.已知标杆

。七=2.2米，求该塔的高度AB.

【思路引导】通过证明△ABCSZXOEC,得到该相似三角形的对应边成比例总熹，即

DECE

AB二38+2

2.2=2易得答案.

【完整解答】解：・・・AB-LEB,DELEB,

••・NOEC=N4BC=90。,

又,：/DCE=/ACB,

：.△ABCsXDEC,

.AB_BC［下AB38+2

「DE-CE，'2.2"2，

解得：AB=44（米）.

答：该塔的高度4B为44米.

21.（2021春•唐山月考）如图，Rt&ABC为一块铁板余料,ZB=90°,BC=6cmtAB=8cmf

要把它加工成正方形小铁板，有如图所示的两种加工方案，请你分别计算这两种加工方

案的正方形的边长.

方案①

【思路引导】方案①：设正方形的边长为w〃?，然后求出AAE/和AABC相似，利用相似

三角形对应边成比例列式计算即可得解.

方案②:作于H,交DE于K,构造矩形DKHG和相似三角形(ABDESABCA),

利用矩形的性质和等面积法求得线段BH的长度，则BK=4.8-y；然后由相似三角形的

对应边成比例求得答案.

【完整解答】解：设方案①正方形的边长为X57,

•・•/4BC=90。，四边形BDFE是正方形,

:.EF//BC,

・•・XAEfsXABC,

.EF=AE

'.而AB,

即

86

解得x=券

即加工成正方形的边长为券

设方案②正方形的边长为)作BH_L4c于”，交DE于K,

•・•四边形EDG尸是正方形，

：.DE//AC,乙EDG=0DGF=90°.

：・BH上DE于K.

・・・NOA7/=90°.

，四边形。K〃G为矩形.

故设HK=OG=y.

：,DE//AC.

:.ABDEsABCA.

.BK=DE

"BHAC,

FC=行分

6X8=yX10x^7.

乙乙

・・・8，=4.8.

：,BK=4.S-y.

.4.8-yy

4.8Io'

解得产挈.

37

22.（2021•雁塔区校级二模）如图，建筑物8c上有一根旗杆/W,小芳计划用学过的知识

测量该建筑物的高度，测量方法如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树77）,小

芳沿CO后退，发现地面上的点£、树顶尸、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续后退，

发现地面上的点G、树顶不建筑物顶端B恰好在一条直线上，已知旗杆AB=3米，FD

=4米，。月=5米，EG=1.5米，点A、B、C在一条直线上，点C、。、E、G在一条直

线上，AC,尸。均垂直于CG,请你帮助小芳求出这座建筑物的高8c.

【思路引导】根据相似三角形的判定和性质得出C。，进而解答即可.

【完整解答】解：由题意可得，ZACE=ZEDF=90\ZAEC=ZFEDr

/.丛ACEs丛FDE,

•.•-A-C=-C-E-,

FDDE

Bp3+BC_=CD+5

45

.CD=5BC5,

4

由题意可得，NBCG=NFDG=9（）。,NBGC=NFGD,

:•△BCGSRFDG,

•BC